FUNÇÕES I- PRÉ-REQUISITOS PARA O ESTUDO DAS FUNÇÕES 1- PRODUTO CARTESIANO 1.1- Par Ordenado - Ao par de números reais a e b, dispostos em uma certa ordem, denominamos par ordenado e indicamos por: (a, b) Ex: (2, 4) a = 2 e b = 4 (-2, 3) a = -2 e b = 3 1.2- Igualdade de Pares Ordenados - Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se, a = c e b = d, ou seja: (a, b) = (c, d) a = c e b = d 1.3- Produto Cartesiano - Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano de A por B o conjunto formado por todos os pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. A X B = {(x, y) x A e y B} Observações: 1ª) Se A = ou B =, por definição, A X B = ; 2ª) Se A = B, podemos escrever o produto cartesiano A X A como A 2, isto é, A X A = A 2 3ª) Sendo A e B não vazios e A B, temos: A X B B X A. 1.4- Número de Elementos de um Produto Cartesiano n(a X B) = n(a). n(b) 1.5- Representação gráfica de um Produto Cartesiano a) Representação por meio de flechas Ex: A = {1, 2} e B = {2, 3} 1 2 2 3 b) Representação no Plano Cartesiano
Observação: - Dados A = {x R / 1 x 4} e B = {x R /1 x 4}. Como A e B são intervalos, o produto cartesiano, neste caso, será o conjunto dos pontos do plano da figura abaixo. 2- RELAÇÕES BINÁRIAS 2.1- Definição - Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos de relação binária de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano AX B. R é relação de A em B R A X B. 2.2- Representação gráfica a) Representação por flechas Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 5, 6} e a relação R = {(x, y) A X B/ y = x + 1}. R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)} O conjunto A é chamado conjunto de partida e o B é o conjunto de chegada. O conjunto formado pelos primeiros elementos de cada par da relação é o domínio e o conjunto formado pelos segundos elementos de cada par da relação é a imagem. D = {0, 1, 2} Im = {1, 2, 3} b) Representação no Plano Cartesiano Cada par da relação é representado por um ponto no plano cartesiano.
II ESTUDO DAS FUNÇÕES 1- Conceito de Função - Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e um elemento y do conjunto B. Pode-se escrever: f : A B 2- Lei de Formação - As relações existentes entre as grandezas são representadas por expressões matemáticas denominadas leis de formação. Ex: y = x + 2 y = x 2 5x f(x) = x + 2 f(x) = x 2 5x 3- Função através de diagramas de flechas - Dados A = {-3, -1, 0, 2} e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4} e a lei de associação y = x + 2, obtemos: Todos os elementos de A estão associados a elementos de B. Cada elemento de A está associado a um único elemento de B. Em decorrência disso, dizemos que a relação dada é uma função de A em B. 4- Domínio, Contradomínio e Imagem de uma função. - Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos considerar a função f: A B, definida por f(x) = 2x D(f) = A CD(f) = B Im(f) = {0, 2, 4, 6} 5- Valor Numérico de uma Função - Sejam os conjuntos A = A = {-1, 0, 1}, B = {0, 1, 2} e a função f : A B definida por f(x) = x + 1. Denominamos valor numérico da função f(x) ao valor y que a função assume quando se atribui um determinado valor à variável x. Esse valor numérico y é chamado de imagem de x pela função y. No caso de f(x) = x + 1, temos: f(-1) = -1 + 1 = 0 f(0) = 0 + 1 = 1 f(1) = 1 + 1 = 2 6- Comentários sobre o Domínio de uma Função - O conjunto dos valores de x para os quais as operações são possíveis é também chamado de domínio de validade.
Observações: a) Quando a variável aparece no denominador de uma fração. Condição: o denominador de uma fração deve ser diferente de zero. 1 Ex: y = x 1 x 1 0 x 1 D = R {1} b) Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par. Condição: O radicando de um radical de índice par deve ser um número maior ou igual a zero. Ex: y = x 4 x 4 0 x 4 D = {x R / x 4} c) Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par e esse radical está no denominador de uma fração. Condição: este caso é a reunião dos dois primeiros; logo, o radicando deve ser maior que zero. 1 Ex: y = x 1 x + 1 > 0 x > 1 D = { x R/ x > 1} 7- Gráfico de uma Função - Para construir o gráfico de uma função dada por y = f(x), com x D, no plano cartesiano, devemos; a) construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente em D e com valores correspondentes para y = f(x); b) a cada par ordenado (x, y) da tabela associar um ponto do plano cartesiano; c) marcar um número suficiente de pontos, até que seja possível esboçar o gráfico da função. Ex: f(x) = x + 1 f(x) = x 2 + 3
y = 2 x 8- Identificação de uma função através do gráfico - Trace retas paralelas ao eixo Oy, de modo que cada uma delas passe por um ponto de abscissa x de A. O gráfico representará uma função se cada uma dessas retas interceptá-lo em um único ponto. Ex: 9- Estudo do Gráfico No Plano Cartesiano - O domínio de uma função é o conjunto representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas. E a imagem é o conjunto representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas. Ex: D = {x R/ 2 x 7} = [2, 7] Im = {x R/ 1 y 4} = [1, 4]