Cap.2 LEIS DO MOVIMENTO

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Históia: dsd os filósofos ggos A Estática = É pat da mcânica qu tata da anális dos copos m pouso. Sócats, Platão Aistótls são os tês maios filósofos da Antiguidad. Foam também gands studiosos das fábulas, po vm nlas um bom cício paa dsnvolv a comptência agumntativa. Sócats - filósofo ggo (Atnas 470-399 a.c.). Platão - filósofo ggo (Atnas 47a.C. - id.c.347a.c.). Aistótls - filósofo ggo. (Dsd Galilu 1564-164) A Dinâmica = É pat da mcânica qu tata da anális dos copos m movimnto. Físico, Matmático astónomo Italiano, Galilu Galili (1564-164) dscobiu a li dos copos nunciou o pincípio da Inécia. 1

(164-177, Nwton fomulou as lis fundamntais do Movimnto). A dinâmica divid-s assim m: Cap. LEIS DO MOVIMENTO -Cinmática, tata da gomtia do movimnto lacionado com a posição, vlocidad, aclação tmpo, sm fência às causas do movimnto. -Cinética ou popiamnt Dinâmica, tata das acçõs nt as foças agnts num copo o su movimnto, usa-s a dinâmica paa s pv o movimnto causado plas foças aplicadas ou paa s dtmina as foças ncssáias à podução d um dtminado movimnto. Rlaciona foças do copo, massa movimnto. -A1ª 3ª Li d Nwton é utilizada na stática m copos m pouso, mas também utilizada na dinâmica quando os copos não têm aclação. -Aª Li d Nwton é utilizada na dinâmica quando os copos têm aclação, paa laciona os fitos (aclaçõs) com cagas ou foças aplicadas.

Cap. LEIS DO MOVIMENTO 1ª li d Nwton ou Li da Inécia S não istm foças aplicadas num copo ntão a vlocidad do copo é constant. O copo pmanc m pouso ou com movimnto ctilíno unifom. mv = const. F =0 ª li d Nwton ou Li da Aclação Um ponto matial submtido a uma foça não nula adqui uma aclação com módulo popocional ao módulo da foça na msma dicção sntido dsta. F = d/dt(mv) F=ma F = ma 3ª li d Nwton ou Li da Acção A qualqu acção opõ-s uma acção d intnsidad igual d sntido oposto. d/dt(m 1 v 1 )=-d/dt(m v ) F 1- =-F -1 3

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Estática: Equilíbio stático A foça F é uma quantidad vctoial, função da sua magnitud, dicção sntido. As stas dsignam as foças qu actuam m cada objcto. O símbolo W utiliza-s galmnt paa o pso do copo símbolo N a foça activa ou d contacto no copo. Linha d aplicação Ponto d aplicação Magnitud do vcto F Ângulo da dicção Rsistência do a O copo humano é modlado atavés d um sistma aticulado d copos ígidos. Ficção Pso copo W (N) = mg N 4

Estática: Equilíbio stático Cap. LEIS DO MOVIMENTO As foças classificam-s d: foças tnas, intnas d contacto. As foças tnas actuam sob o sistma m studo: acçõs ao solo, pso (mg), foças aplicadas As foças intnas istm no intio do sistma (foças nos músculos ligamntos). As foças d contacto istm no contacto nt sistmas. 5

Estática: Equilíbio stático Diagamas d copo liv Cap. LEIS DO MOVIMENTO I) músculos II) um sistma III) baço supio T T1 IV) antbaço P 6

Estática: Equilíbio stático Diagamas d copo liv. Cap. LEIS DO MOVIMENTO 7

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Estática: Equilíbio stático Diagama anatómico da pna da anca, paa a situação d uma pssoa apoiada numa só pna, ou num movimnto lnto d passada, com psntação das acçõs musculas lvants das dimnsõs: - Foça R, cida na cabça do fému plo actábulo; - Foça M, cida plo músculo aduto do actábulo. Diagamas d copo liv da pna da anca. Hman, Iving; Physics of th human body, Biological and mdical physics, Biomdical Engining ; Sping, 007 8

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Anális vctoial Concitos d tigonomtia Y (X H,Y H ) (X K,Y K ) Lado adjacnt Adj + Opp = Hyp Lado Oposto Y (X T,Y T ) (X K,Y K ) (X A,Y A ) (X hl, Y hl ) (X H,Y H ) X sin θ = opp / hyp cos θ = adj / hyp tan θ = opp / adj (X T,Y T ) (X A,Y A ) (X hl, Y hl ) X 9

10 Cap. LEIS DO MOVIMENTO Anális vctoial Adição subtacção d vctos Foças são quantidads vctoiais qu podm s somadas d acodo com a li do paallogamo. Podm s utilizadas difnts nomnclatuas paa psnta um vcto foça: A magnitud dicção da sultant R d duas foças P Q pod s dtminada gaficamnt ou tigonomticamnt. P R Q A Q P R Q P R Q P R ~ ~ ~ músculo P S=Q-P Q A P Q S Q P S P Q S ~ ~ ~

y Cap. LEIS DO MOVIMENTO Anális vctoial Componnts ctangulas d um vcto no plano A foça F pod s obtida m componnts ctangulas. Intoduzindo o vcto unitáio 1 sgundo o io y: F = F 1 + F y F y = F y F F y F Cos( ) 0 0 F Sin( ) F = F cos F y = F sin F tan = F y F 1 F = F 1 F = F + F y 11

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Anális vctoial. Anális gáfica No caso d um vcto V s multiplicado po um scala n : - A sultant é n vzs o compimnto do vcto V; - No caso d n>0, o sntido do vcto sultant é igual ao vcto V; - No caso d n<0, o sntido do vcto sultant é oposto ao vcto V. Paa dtminação dos ângulos nt vctos os ios coodnados: - Os sinais das componnts y psntam o sntido. - Paa dtminação dos ângulos : 1

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Anális vctoial Componnts ctangulas d um vcto no plano Quando 3 ou mais foças actuam numa patícula, as componnts ctangulas da sua sultant podm s obtidas po adição algébica das cospondnts componnts das foças dadas. R = R R y = R y A magnitud a dicção d R pod s dtminada po: tan = R y R = R R + R y y R R 1 R R 3 13

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Anális vctoial Componnts ctangulas d um vcto no spaço AfoçaF pod s obtida m componnts ctangulas. Intoduzindo o vcto unitáio 1, 3 sgundo o io, y z: F = F cos F y = F cos y F z = F cos z y B y B B O F y F F A D F y O y A F F D O F y z F A F D E z F z C E z y F z C z E F z C 14

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Anális vctoial Componnts ctangulas d um vcto no spaço cos y cos z 3 Os cossnos, y z são os cossnos dictos da foça F. y (Magnitud = 1) F z 3 z F y cos 1 F = F F 1 cos = F F F = F 1 + F y + F z 3 ou F = F (cos 1 + cos y + cos z 3 ) = cos 1 + cos y + cos z 3 Paa qu a magnitud sja unitáia: cos + cos y + cos z = 1 F = F cos y = F y F + F y + F z cos z = F z F 15

Ecício.1 Estática: quilíbio stático Cap. LEIS DO MOVIMENTO No pojcto d um implant da anca, qual é a foça activa da aticulação? MF MF y F y JRF y 0 5 6 BW 0 d JRF D JRF = joint action foc y 5/6 BW 16

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Ecício. Estática: quilíbio stático 360 mm 500 mm z D O A y C B 450 mm 600 mm 30 mm 1. Dsnha o diagama d copo liv vifica as foças qu actuam no bald. Um svatóio suspnso m 3 cabos supota um pso W=1165N. Dtmin a foça qu actua m cada cabo. 360 mm 500 mm z D T AD O A y T AC C B T AB 450 mm 600 mm 30 mm W = _ (1165 N) j 17

Cap. LEIS DO MOVIMENTO. Rsolv cada foça m coodnadas catsianas. F F = F = (d i + d y j + d z k) d AB = (450 mm)i + (600 mm)j AB = 750 mm AC = (600 mm)j _ (30mm)k AC = 680 mm AD = ( _ 500 mm)i + (600 mm)j + (360 mm)k AD = 860 mm AB 450 600 TAB TABAB TAB TAB i j TAB 0.6i 0.8 j AB 750 750 AC 600 30 15 8 TAC TACAC TAC TAC j k TAC j k AC 680 680 17 17 AD 500 600 360 5 30 18 TAD TADAD TAD TAD i j ktad i j k AD 860 860 860 43 43 43 3. A soma das foças qu actuam na patícula (bald) dvm sta m quilíbio. _ 5 0.6 T AB 43 T AD = 0 T AB = 0.9690 T AD (1) 15 0.8 T AB + 17 T 30 AC + 43 T AD _ 1165 N = 0 () 8 18 _ T AC + 17 43 T AD = 0 T AC = 0.8895 T AD (3) T AD = 516 N ; T AB = 500 N; T AC = 459 N 18

Ecício.3 Estática: quilíbio stático Equilíbio d cusos Cap. LEIS DO MOVIMENTO Os cusos A B stão ligados po um cabo com 55 mm d compimnto podm dsliza livmnt nas hasts sm atito. S a foça P = (341 N)my, fo aplicada ao cuso A, dtmin: (a) a foça d tacção instalada no cabo quando y = 155 mm; (b) a intnsidad da foça Q ncssáia paa mant o quilíbio do sistma. 19

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Ecício.4 Estática: quilíbio stático Foça no cotovlo duant o balanço no basbol As foças aplicadas nos ligamntos tndõs no cotovlo d um jogado foam mdidas na dicção mdial (M), antio (A) d compssão (C). Os sus valos são: F M =48N, F A =101N, F C =53N. Os vctos unitáios nas dicçõs fidas são: M =0.79 1 +0.17 +0.59 3 A =0.1 1-0.98 C =-0.58 1-0.1-0.81 3 Com bas nsts dados calcul a foça sultant qu actua no cotovlo. Rsposta: A sultant da foça qu actua no cotovlo é igual à soma das tês foças: F=(F M ) M +(F A ) A +(F C ) C F=48(0.79 1 +0.17 +0.59 3 )+101(0.1 1-0.98 )+53(-0.58 1-0.1-0.81 3 ) F=1.8 1-56.6 +47.6 3 [N] ou F=5.3(0.94 1-0.5 +0.1 3 ) [N] 0

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Ecício.5 Estática: quilíbio stático Foça no Fému Há tês foças d tacção d 10N cada uma fazndo ângulos bm dfinidos com o sistma d io psntado, qu são aplicadas ao fému. Calcul a sultant dssa foças o ângulo qu sta faz com a hoizontal. =? R=? 10N 10N 10N 61º 17º 19º Ecício.6 Estática: quilíbio stático Otodontia aplicada no dnt incisivo A fim d foça um dos dnts incisivos paa alinhamnto com os outos dnts da acada, foi amaado um lástico a dois molas, um d cada lado, passando plo dnt incisivo, como mosta a figua. S a tacção no lástico fo 1 N, quais são a intnsidad a dicção da foça aplicada ao dnt incisivo? Obsvação: 1- Os incisivos são dnts localizados mdialmnt na cavidad bucal (4 dnts incisivos na maila 4 na mandíbula), possuindo a função d cot dos alimntos no ato da mastigação. - O dnt não s mov sm qu ista absoção dposição d tcido ósso. 1

Ecício.7 Estática: quilíbio stático Suspnsão do mmbo infio Cap. LEIS DO MOVIMENTO Paa suspnd a pna ngssada d um pacint numa cama d hospital, utilizou-s um pso W um cabo d pso dspzávl qu passa plas duas oldanas B C qu tm a outa tmidad fia m A. Admit-s qu as duas oldanas têm pso dimnsõs dspzávis qu stão pfitamnt lubificadas, po foma a qu a foça d tacção nos tês toços AB, BC CD do cabo sja a msma. Paa a configuação indicada na figua, dtmin a intnsidad, a dicção o sntido da foça cida sob a pna. D

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Cinmática da patícula ou ponto matial Posição, vlocidad aclação m coodnadas catsianas: Posição tmpo t X tmpo t+dt X+X O movimnto d uma patícula m linha cta dsigna-s movimnto ctilíno. Paa dfini a posição da patícula P nssa linha, scolh-s uma oigm fia O uma dicção positiva. A distância d O a P, dfin compltamnt a posição da patícula na linha chama-s a posição coodnada da patícula. No instant t, (ous)dfin a posição da patícula. A posição é psntada po nºs algébicos qu podm s positivos ou ngativos. Um valo positivo paa significa qu a patícula s nconta na dicção positiva, um valo ngativo significa qu s nconta na dicção ngativa. 3

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Cinmática da patícula ou ponto matial vlocidad m coodnadas catsianas: Concito d vlocidad média instantâna. A vlocidad, v, da patícula é igual à divada da posição (ous)m odm ao tmpo t: v t L/ T v lim t0 t L/ T d dt 4

Cinmática da patícula ou ponto matial Posição, vlocidad aclação m coodnadas catsianas A aclação a é obtida po difnciação d v m odm a t, a v lim t0 t L/ T Ou ainda atavés d: Cap. LEIS DO MOVIMENTO a dv dt dv dv dt d d dt v dv d a = dv dt ou a = d dt A vlocidad v aclação a são psntadas po nºs algébicos qu podm s positivos ou ngativos. Um valo positivo paa v indica qu a patícula s mov na dicção positiva, um valo ngativo qu s mov na dicção ngativa. Um valo positivo paa a, contudo, pod significa qu a patícula s movimnta apidamnt com movimnto aclado na dicção positiva, ou dsacla movndo-s dvaga, na dicção ngativa. Um valo ngativo paa a dv s intptado convnintmnt. O P - + 5

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Anális do sntido do movimnto ctilíno: Positivo numa dicção X; Anális do sntido do vcto vlocidad: Positivo numa dicção X: Sntido do vcto aclação: Positivo ou ngativo numa dicção X. O sntido do movimnto não indica o sntido do vcto aclação. Sntido dos vctos Sntido do vcto vlocidad Altação da vlocidad: + significa mais ápido. - significa mais lnto. 0 significa qu mantém. v a + + v a=0 + 0 v a + - v a - + v a=0-0 6

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Ecício.8 Cinmática da patícula ou ponto matial Movimnto d um ponto Quando um ponto matial s movimnta m linha cta a sua posição é dfinida po: 6t t 3 Calcul a vlocidad instantâna a aclação paa todos os instants d tmpo. d v( t) 1t 3t dt dv( t) a( t) 1 6t dt a v tim 7

Ecício.9 Posição, vlocidad aclação Cap. LEIS DO MOVIMENTO O vcto posição d um ponto P m movimnto no spaço, com oigm num ponto fio O, considando um fncial E, é dado pla pssão: P/O =(1.67+3t )[cos(t ) 1 +sin(t ) ] O P Dtmin a vlocidad a aclação do ponto P nss fncial. E Rsposta: v= [6t cos(t )-(6.7t+1t 3 )sin(t )] 1 + [6t sin(t )+(6.7t+1t 3 )cos(t )] a=[6cos(t )-4t sin(t )-(6.7+36t )sin(t )-(6.8t +48t 4 )cos(t )] 1 + +[6sin(t )+4t cos(t )+(6.7+36t )cos(t )-(6.8t +48t 4 )sin(t )] Ecício.10 Posição, vlocidad aclação A posição d um ponto matial qu s dsloca m linha cta é dfinida pla lação =t^3-6t^-15t+40, ond é psso m mtos t m sgundos (t>0). Dtmin: a) O instant m qu a vlocidad sá nula. b) A posição a distância pcoida plo ponto até ss instant. c) A aclação do ponto nss instant. 8

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Cinmática da patícula ou ponto matial Tipos d movimnto ctilíno Movimnto ctilíno unifom, m qu a vlocidad v da patícula é constant. = o + vt d t v ct d v dt dt 0 0 Movimnto ctilíno unifommnt aclado, m qu a aclação a da patícula é constant. d dt v o dv dt at a ct 0 d v v0 t dv a t 0 dt v atdt dv v a vdv ad vdv a d v d v0 0 0 0 v = v o + at 1 = o + v o t + at v = v o + a( - o ) Movimnto lativo O A A B B/A B Movimnto lativo d pontos matiais B = A + B/A Vlocidad lativa Aclação lativa v B = v A + v B/A a B = a A + a B/A 9

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Cinmática da patícula ou ponto matial Movimnto cuvilíno y v O P o A vlocidad v da patícula é dfinida pla lação s P O movimnto cuvilíno d uma patícula nvolv o movimnto da patícula sob um caminho cuvo. A posição P da patícula, num dado instant tmpo, é dfinida plo vcto posição com oigm m O no sistma d ios coodnados a P. v = d dt O vcto vlocidad é tangnt à tajctóia da patícula, tm magnitud v igual à divada m odm ao tmpo do spaço s pcoido pla patícula: v = ds dt 30

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Cinmática da patícula ou ponto matial Movimnto cuvilíno y v P o s P v = d dt v = ds dt O y a Nota: Em gal, a aclação a da patícula não é tangnt ao caminho da patícula. É dfinida pla lação: P o s P a = dv dt O 31

z, y, z são as coodnadas ctangulas da patícula P, ntão as componnts catsianas ctangulas da vlocidad da aclação d P são iguais, spctivamnt, à pimia sgunda divadas m odm a t : k y a z j a y P i Cap. LEIS DO MOVIMENTO Cinmática da patícula ou ponto matial Movimnto gal m coodnadas catsianas a. v =. v y = y. v z = z.. a =.. a y = y.. a z = z z k y j v z i v y yj i O uso d componnts ctangulas é útil no studo d movimnto d pojctis. P zk v 3

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Cinmática da patícula ou ponto matial Movimnto lativo nt patículas m coodnadas catsianas Paa patículas A B m movimnto no spaço, o movimnto lativo d B m lação a A, m lação ao fncial fio m A m tanslação m lação à oigm. Sndo B/A o vcto posição lativo d B m lação a A, tmos: y B A y A B B/A B = A + B/A z z Sndo v B/A a B/A, spctivamnt, a vlocidad lativa a aclação lativa d B m lação a A, tmos: v B = v A + v B/A a B = a A + a B/A 33

Movimnto gal m coodnadas cuvilínas ou intínscas y C Po vzs é inconvnint psnta as componnts da aclação vlocidad m função das componnts ctangulas, y,z. Paa uma patícula P movndo-s numa tajctóia plana cuva, não ncssaiamnt cicula, podm s dfinidos m P os vctos unitáios t tangnt à tajctóia n nomal à tajctóia com sntido diigido paa o cnto d cuvatua. O sistma d ios acompanha o movimnto do ponto. A vlocidad aclação são pssas m função das componnts tangncial nomal. A vlocidad da patícula é tangnt à tajctóia dada pla pssão: v v t A aclação é dada pla pssão: d v v Nota: Cap. LEIS DO MOVIMENTO Cinmática da patícula ou ponto matial a t dt n O v a n = n dv a t = t dt t - v é a vlocidad da patícula - é o aio d cuvatua da tajctóia. - O vcto vlocidad v é tangnt à tajctóia. - O vcto aclação a consist na componnt a t tangnt à tajctóia a componnt a n na dicção do cnto d cuvatua. n P 34

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Cinmática da patícula ou ponto matial Movimnto gal m coodnadas cuvilínas ou intínscas v Vt dv dv dt a t V dt dt dt dv dt d t V dt d dt dv dt d ds t V dt d ds dt dv dt 1 t V V dt d y O C P v = v t a = dv dt v a n = n dv a t = t dt t n v t + n Nota1: S um ponto matial s dsloca numa tajctóia cuva com vlocidad unifom (V=const) a aclação não sá nula! Nota: A cpção acontc unicamnt num ponto d inflão da cuva! 35

36 P O = Quando a posição da patícula s mov num plano dfinido m coodnadas polas, é convnint utiliza as componnts adial tansvsal sob o vcto posição da patícula na dicção obtida po otação d 90 o no sntido anti-hoáio, spctivamnt. são os vctos unitáios localizados m P na dicção adial tansvsal. Os vctos vlocidad aclação da patícula, m função das componnts adial tansvsal, são: dt d dt d dt d a dt d d d dt d v Nota: é impotant nota qu a não é igual à divada m odm ao tmpo d v qua não é igual à divada d v. Cinmática da patícula ou ponto matial Movimnto m coodnadas polas Cap. LEIS DO MOVIMENTO

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Ecício.11 Movimnto do baço numa aula d aóbia Uma instutoa d aóbia faz um movimnto d abdução, lva o su baço da posição vtical à posição hoizontal do su ombo m 0.6 sgundos num itmo constant. Dtmin a vlocidad a aclação na tmidad do baço, assumindo um compimnto do sgmnto igual a 0.36m. L Rsposta: =/ ad= posição angula ddt = /1. d dt =0 Rsolução m coodnadas polas: a v=0.99[m/s] a=-.6[m/s ] v 0,36. 0,36.. 1, 1, 0,36.. 1,,6 0,99 37

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Ecício.1 movimnto lativo - O baço com compimnto d 0.9 [m] oda m Y tono da aticulação O com bas na pssão: 1 1,5 10 t - A pulsia B movimnta-s ao longo do baço sm atito m função da pssão: 0,9 0,1t - Calcul : a) as pssõs paa a posição instantâna, vlocidad aclação da pulsia B. b) a vlocidad aclação d B, após uma otação X do baço d 30º=0.5 [ad], cospondnt a 1.87[s]. Rsolução m coodnadas Catsianas: cos sin cos sin cos sin cos i sin j v a sin cos sin cos sin cos O 38

Rsolução m coodnadas Polas: v 0.4t 0.9 0.1t 0.3 t 3 0.4t 0.7t 0.036t Cap. LEIS DO MOVIMENTO a 0.4 0.9 0.1t 0.3 t 0.4t0.3 t 0.9 0.1t 0.3 3 0.4 0.7t 0.036t 0.180t 0.7 39

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Anális scala m coodnadas polas: v a Anális scala m coodnadas catsianas: v a cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos v v v y a a a y v v v a a a 40

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Dinâmica da patícula ou ponto matial: ªli d Nwton (momnto lina) Aplicaçõs da li d movimnto ª li d Nwton um ponto matial submtido a uma foça não nula adqui uma aclação com módulo popocional ao módulo da foça na msma dicção sntido dsta. a=1m/s^ 1N=(1kg)(1m/s^)=1kg.m/s^ m=1kg F=1N Sndo m a massa da patícula, F o somatóio ou sultant, das foças qu actuam na patícula, a a aclação lativa a um fncial nwtoniano, ntão: F F = ma = m dv/dt = d(mv)/dt = d(l)/dt Quantidad d movimnto d um ponto matial Intoduzindo a noção d momnto lina da patícula, L = mv, a ª li d Nwton pod s scita na foma: L=m.v F L L=(kg)(m/s)=kg.m/s qu pssa qu a sultant das foças qu actuam na patícula é igual à divada do momnto lina. 41

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Dinâmica da patícula ou ponto matial: ªli d Nwton Aplicaçõs da li d movimnto I - Quda liv d um objcto A quda liv d uma bola tm aclação constant (g). Esta aclação dnomina-s aclação da gavidad. A foça qu causa ssa aclação da gavidad é o pso dss objcto (mg). m=1kg P=m.g a=9,81m/s^ P=(1kg)(9,81m/s^)=9,81N P=9,81N Ecício.13 (unidads) i) Um homm com 95kg d massa na ta, a qu pso cospond m Nwton? P=959,8=931,95N ii) O msmo homm na lua qu pso tm, sabndo qu a aclação da gavidad na lua é d 1,6m/s^? P=951,6=153,9N 4

y P a z a y a Cap. LEIS DO MOVIMENTO Dinâmica da patícula ou ponto matial: ªli d Nwton Aplicaçõs da li d movimnto Paa solv um poblma qu nvolva movimnto da patícula, F = ma dv s quacionada na foma: Componnts catsianas ou ctangulas z y O O a a n P P a t a F = ma F y = ma y F z = ma z Componnts intínscas: tangncial nomal F t = ma t = m dv dt Componnts polas: adial tansvsal... F = ma = m( - ).... F = ma = m( + ) v F n = ma n = m 43

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Ecício.13 (Pêndulo Simpls) Um pêndulo simpls com m d compimnto dscv um aco d cicunfência no plano vtical. Sab-s qu paa a posição psntada, a foça cida na coda é igual a,5 vzs o pso do pêndulo, calcul a vlocidad aaclaçãoopêndulo nssa posição. 44

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Dinâmica da patícula ou ponto matial: ªli d Nwton Aplicaçõs da li d movimnto II Movimnto d uma sfa num plano inclinado Uma bola dsliza num plano inclinado sm atito. O diagama psnta as foças qu actuam na bola. Nst caso o movimnto da bola é no sntido d 1, assim aplicando a ª li d Nwton: mg sin 1 mg cos Com bas nsta quação vctoial conclui-s qu: N Intgando a aclação a 1 m lação ao tmpo é possívl obt as pssõs da vlocidad v 1 da distância s 1 pcoida: a v 1 1 dv1 dt ds1 dt v v 1 10 s s 1 10 dv 1 ds 1 t 0 t 0 g v 10 s 10 são constants dpndnts das condiçõs iniciais do poblma. sin ma 1 1 1 : : a 1 g sin N mg cos g t sin v g t sin dt s s v t g ( t / )sin 10 dt v 1 v 10 gt sin 1 10 10 v 1 v 10 a 1, v 1, s 1 45

III Tajctóia paabólica d uma bola d golf Dtmin a tajctóia d uma bola d golf lançada com uma vlocidad inicial v 0 com uma inclinação m lação ao plano hoizontal. A quação do movimnto, dspzando a sistência do a é dada po: Nst caso: dv dv dv 1 3 dt 0 dt g dt 0 mg Intgando m odm ao tmpo: Cap. LEIS DO MOVIMENTO Dinâmica da patícula ou ponto matial: ªli d Nwton Aplicaçõs da li d movimnto m dv1 dt 1 dv dt dv3 dt 3 v v v 1 3 v v Assumindo qu a bola stá na oigm: 10 0 30 0 V 0 é a vlocidad da bola paa t=0s v10 V0 cos v0 V0 sin 1 V0tcos v30 0 t 0 Vt 0 sin gt As quaçõs da tajctóia: 3 0 A altua máima qu a bola ating distância pcoida na dicção 1. d * ma * 0 t V0 gsin, h ( t ) V gsin 0 * dt s/ t s V g sin cos 10 gt v 30 0 1 1 3 v 10 30 t 10 30 gt v v t 0 0 t 0 46

P A B Cap. LEIS DO MOVIMENTO Ecício.14 ªli d Nwton Dslizamnto d caias As caias A B são tanspotadas num sistma tapt olant. A caia A tm uma massa d 30 [kg] a B uma massa d 15 [kg]. O coficint d atito nt as váias supfícis d contacto é d s = 0.15 k = 0.10. Sabndo qu =30 o qu a magnitud da foça P aplicada na caia A é 50N, dtmin: (a) A aclação do bloco A; (b) A foça d tacção na coda. 1. cinmática: dtminação da aclação das patículas. Assumi qu o movimnto d A é paa baio. S A s movimnta tm aclação paa baio, a caia B movimnta-s paa cima com a msma aclação. a A = a B a A a B A B 47

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Ecício.14 ªli d Nwton. Dinâmica: faz diagama d copo liv com as foças aplicadas o vcto foça quivalnt ma. caia A : W A = 94.3N 50N F k = k N N T = m A a = 30a 3. Quando o poblma nvolv ficção: é ncssáio 1º assumi qu o movimnto é possívl vifica ssa validad. A foça d ficção na supfíci é m movimnto F = k N. A foça d ficção na supfíci quando o movimnto é iminnt é F = s N. Fa ma = s N caia B : N W B = 147.15N T F k = k N = m B a = 15a Fa ma Fa stático Q1 Q Q F Movimnto k N k P F k = k N N N Fa 48

4. Aplica ª li Nwton: A lação nt as foças qu actuam na patícula, a massa a aclação é dada po F = ma. O vcto F a podm s pssos atavés das componnts ctangulas ou tangncial nomal. Caia A : F y = 0: N - (94.3) cos 30 o = 0 N = 54.87 N Y 30 o Cap. LEIS DO MOVIMENTO Ecício.14 ªli d Nwton W A = 94.3N T = ntão: F k = k N = 0.10 (54.9) = 5.49 N F = ma: 50 + (94.3) sin 30 o - 5.49 - T = 30 a 50N X N m A a = 30a F N k = k N 30 o F y = 0: N - N - (147.15) cos 30 o = 0 : N = 38.31 N ntão: F k = k N = 0.10 (38.31) = 38.3 N F k = k N F = ma: T - F k - F k - (147.15) sin 30 o = 15 a ntão: T - 137.9 = 15 a () F k = k N ntão: 371.66 - T = 30 a (1) Caia B : W B = 147.15N Rsolvndo a quação (1) () dá: T = 15 [N] a = 5.1 [m/s ] N T = m B a = 15a 49

5. Vificação da hipóts do movimnto. Dv s vificado qual o valo da foça P, paa o qual o movimnto é iminnt. Paa ss movimnto iminnt ambos as caias stão m quilíbio: W A = 94.3 N 30 o Cap. LEIS DO MOVIMENTO Ecício.14 ªli d Nwton T 30 o N W B = 147.15 N T P F m = s N N Caia A: Caia B: F m = s N F m = s N N Do quilíbio stático: F y = 0: N = 54.87 N F m = s N = 0.15 (54.87)=38.3 N F y = 0: N = 38.31 N F m = s N = 0.15 (38.31)=57.35 N F = 0: P + (94.3) sin 30 o - 38.3 - T = 0 (3) F = 0: T - 38.3-57.35 - (147.15) sin 30 o = 0 (4) Rsolvndo as quaçõs (3) (4) dá P = 60.N. A actual foça P (50N) é maio qu o valo paa o qual o movimnto é iminnt (60.N). 50

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Ecício.15 ªli d Nwton Máquina paa cita os músculos Confom a figua, uma dspotista cita os sus músculos atavés d um dispositivo, utilizando uma massa d 10 [kg]. A distância na hoizontal nt o su cotovlo (A) a bas da oldana (B) é d 60 [cm], sndo a distância na vtical nt sss pontos d 0 [cm]. Dtmin a foça cida no baço da dspotista quando st stá inclinado d 45º m lação à dicção hoizontal. Nss momnto a massa no sistma tm uma aclação ascndnt d 3 [m/s ], confom psntado na figua. a T mg Rsposta: Com bas na ªli d Nwton, o cálculo paa a foça no cabo pod s fctuado plo quilíbio dinâmico da massa: T-109.81=103 T=18.1 [N] Considando as foças qu actuam m (D) é possívl dtmina a foça qu é cida no baço da dspotista: F=T D/B D/B = A/B + D/A D/B =(0.6 1-0. )+(-0.3cos45º 1 +0.3sin45º )= 0.37 1 +0.03 D/B =(0.37 1 +0.03 )/SQRT(0.37 +0.03 )=0.99 1 +0.08 F=18.1(-0.99 1-0.08 )[N] T mg 51

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Dinâmica da patícula ou ponto matial: ª li Nwton (momnto angula) Aplicaçõs da li d movimnto H O z y O P mv O momnto angula H O d uma patícula m lação a O é dfinido como o momnto m lação a O do momnto lina mv da patícula. H O = mv H O é um vcto ppndicula ao plano qu contém mv com magnitud: H O = mv sin Rsolvndo os vctos mv m componnts ctangulas, o momnto angula H O é dtminado na foma: i j k H O = y z mv mv y mv z 5

No caso d uma patícula m movimnto no plano y, tmosz = v z = 0. O momnto angula é ppndicula ao plano y é compltamnt dfinido po: H O = H z = m(v y - yv ). Efctuando a divada tmpoal do momnto angula, H O, aplicando a ª li d Nwton: H O mv Cap. LEIS DO MOVIMENTO Dinâmica da patícula ou ponto matial: ª li Nwton (momnto angula) Aplicaçõs da li d movimnto mv v mv ma M O H O Significa qu : a soma dos momntos m lação ao ponto O das foças qu actuam na patícula é igual à divada do momnto angula m lação ao msmo ponto O. 53

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Momnto angula d uma patícula m movimnto ctilíno: Uma patícula d massa m mov-s ao longo d uma linha cta, paallamnt m lação ao io das abcissas, com vlocidad constant (v). Dtmin o valo do momnto angula no ponto O. H o mv O momnto angula sá um vcto otogonal ao plano, cuja amplitud sá igual a: H o. mv sin m. v.. sin O vcto momnto angula sá constant, duant o movimnto. Nstas condiçõs ist consvação do momnto angula. 54

Cap. LEIS DO MOVIMENTO Momnto angula d uma patícula m movimnto d otação: H o Uma patícula d massa m mov-s m tono d um io fio, num movimnto plano cicula, com vlocidad constant (v). Dtmin o valo do momnto angula no ponto O. mv O momnto angula sá um vcto otogonal ao plano fomado plo vcto plo vcto mv. H o. mv sin. 90 m. v No movimnto d otação, a componnt catsiana (z) do vcto H O é muito impotant. H oz. sin( ) mv mv Intoduzindo o concito cinmático do movimnto: v w m w H oz m w 55