GEOMETRIA ANALÍTICA Professor Jairo Weber
EXEMPLO. 1. Para que valor(es) de a o ponto P(a+2; -2) está situado sobre o eixo das ordenadas? 2. Seja o ponto T(2s+4; 10) um ponto da primeira bissetriz. Qual o valor numérico de s?
PONTO E RETA Plano Cartesiano.
EXERCÍCIOS
PONTO E RETA Dados dois pontos quaisquer, A e B, de coordenadas (x A, y A ) e (x B, y B ), respectivamente, a distância entre os pontos A e B pode ser obtida pela aplicação do teorema de Pitágoras.
EXERCÍCIOS
ENEM - 2013 Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das cidades estão representadas no plano cartesiano: A torre deve estar situada em um ponto equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas. a) (65 ; 35) b) (53 ; 30) c) (45 ; 35) d) (50 ; 20) e) (50 ; 30)
ENEM 2011 Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto a) ( 5, 0). b) ( 3, 1). c) ( 2, 1). d) (0, 4). e) (2, 6).
PONTO E RETA Ponto médio. Exemplo: Dados os pontos A(2;1) e B(2;-6), determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB.
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
PONTO E RETA Baricentro (G) de um triângulo ABC Exemplo: Determine as coordenas do baricentro do triângulo, cujos vértices são (2;3), (0;5) e (- 1;8)
ENEM Num triângulo, o baricentro é o ponto de encontro das medianas. Uma mediana une um vértice ao meio do lado oposto. A palavra baricentro vem do grego barys, que significa pesado ou grave. Podemos entender o baricentro como o centro de gravidade de uma superfície triangular. Quando soltamos um objeto no ar, ele cai no chão, como se estivesse sendo atraído para baixo, por conta da força da gravidade. Na figura seguinte, observe que, quando se apóia uma superfície triangular pelo seu baricentro, ela tende a ficar parada, ou seja, em equilíbrio. Esse triângulo de cartolina ficaria em equilíbrio se o apoiássemos, preferencialmente, no ponto: A) R B) S C) T D) U E) V
PONTO E RETA Área de um triângulo a partir dos Vértices: Exemplo: Determine a área do triângulo, cujos vértices são A(1;2), B(2;-6) e C(0;0).
EXERCÍCIO 1. Calcule a área do quadrilátero de vértices A(4,0), B(6,2), C(2,4) e D(0,2). (Dante, 2008)
PONTO RETA Condição de alinhamento de três pontos. Exemplo: Dados os pontos H(2.3), T(1,0) e R(0,-2).Verifique se os pontos são colineares.
PONTO E RETA Verifique se os pontos A(2;3), B(3;4) e C(-5;-4) são colineares. Exercício. (UEA-05) Qual é o valor de p para o qual os pontos (3p, 2p), (4, 1) e (2, 3) são colineares? (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (E) 3 (Puc-rio) O valor de x para que os pontos (1,3), (- 2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: a) 8. b) 9. c) 11. d) 10. e) 5.
EXERCÍCIOS DO LIVRO Página 17 do 1 ao 5.
PONTO E RETA Equação geral da reta (ax+by+c=0) pela condição de alinhamento entre três pontos. Exemplo. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,6).
EXERCÍCIO. 1. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A (-1,-2) e B (5,2). 2. Escreva as equações gerais das retas determinadas por: a) A(2,3) B(0,1). b) M(-3,-1) N(2,-5). 3. (Cesgranrio) A equação da reta mostrada na figura a seguir é: a) 3x + 4y - 12 = 0 b) 3x - 4y + 12 = 0 c) 4x + 3y + 12 = 0 d) 4x - 3y - 12 = 0 e) 4x - 3y + 12 = 0
4. Determine a equação geral da reta representada no plano cartesiano abaixo.
(Uerj) Sabedoria egípcia Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a sombra no chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as mais curtas, com dias quentes. (Adaptado de Revista "Galileu", janeiro de 2001.) Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando uma vareta OA de 2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB: a) y = 8-4x b) x = 6-3y c) x = 8-4y d) y = 6-3x
(Ufrn) Na figura a seguir, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade, medida em ml, de um medicamento que uma pessoa deve tomar em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção. O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose: a) 7 ml b) 9 ml c) 8 ml d) 10 ml
EXERCÍCIOS DO LIVRO. Página 19: 1, 2 e 3.
ESTUDO DA RETA. tg( ) m y y 0 y x 2 2 m( x x y x 0 ) 1 1 Coeficiente angular da reta e equação fundamental da reta. Exemplo. Determine o coeficiente angular da reta que passa por A(2,-3) e B(-4,3). Exemplo. A partir do coeficiente calculado do exemplo anterior determine o ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas.
EXERCÍCIOS 1. Determine a equação geral da reta que passa no eixo das abscissas em 4 e determina com o mesmo eixo um ângulo de 60º. R: 2. Qual é a equação geral dessa reta (use tg 135 = - 1)? Resposta: x+y-4=0 3x y 4 3 0 3. Qual a equação geral que forma com o eixo das abscissas um ângulo de 60º e passa pelo P(5,2)? Resposta: 3x y 2 5 3 0 4. (UFES) A equação da reta que passa por P(3, -2) com inclinação de 60º, é:
5. (UEMG) Na figura, tem-se representada, em um sistema de coordenadas cartesianas, a trajetória de um móvel que parte de uma cidade A e vai para a cidade D, passando por B e C. Sendo os 4 pontos pertencentes a reta de equação 5x 3y 15 = 0 e B e C pontos de interseções, respectivamente, com os eixos y e x. Determine as coordenadas de B e C e a distâncias entre essas duas cidades B e C
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA. Exemplo. Determine a equação reduzida da reta 2x-2y-10=0 e determine: a) o ângulo de inclinação em relação ao eixo das abscissas. b) o ponto de interseção com o eixo das ordenas. c) o ponto de interseção com o eixo das abscissas.
EXERCÍCIOS 1) (G1 CFTSC 2008) Se o ponto P(2,k) pertence à reta de equação 2x + 3y 1 = 0, então o valor de k é: a) 1. b) 0. c) 2. d) -1. e) -2.
PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE RETAS. As retas r: 2x y 7 0 e s: x y 5 0 são concorrentes sobre um mesmo plano. Isto significa que existe entre elas um ponto em comum, chamado ponto de interseção. O ponto de interseção entre as retas r e s é: a) (-2,-3) b) (2,3) c) (-3,-2) d) (-2,-5) e) (-2,5)