Testes de Geometria Analítica

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1 GEOMETRIA 1 Testes de Geometria Analítica 1. O mapa de certa cidade foi dividido em quatro quadrantes por meio de duas retas perpendiculares e numeradas, que se cortam no ponto (, ), cada um deles correspondendo a um quadrante do plano cartesiano. O sentido positivo do eio y é o norte, e o sentido positivo do eio é o leste. Edificações que, nessa cidade, estiverem a mais de um quilômetro a oeste e mais de um quilômetro ao norte estarão localizadas no: 1o quadrante o quadrante 3o quadrante 4o quadrante. Dois amigos, Adão e Eva, encontram-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Eles só podem dar um passo de cada vez para Norte, Sul, Leste ou Oeste. Cada passo é representado, nesse sistema, pelo deslocamento de uma unidade para uma das direções mencionadas anteriormente. Eva deu passos para o Sul, depois deu passos para o Leste e parou. Adão deu 7 passos para o Norte, depois deu 3 passos para o Oeste, mais 3 passos para o Sul e parou. Após esses passos, podemos afirmar que a distância entre Adão e Eva é de: passos. 8 passos. 1 passos. 1 passos. 7 passos. 3. Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 1 milhas por hora. Sabe-se que às 1 horas de certo dia Y estava eatamente 7 milhas ao sul de X e que, a partir de então, Y navegou em linha reta para o leste, enquanto que X navegou em linha reta para o sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, às 17 horas e 1 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y, em milhas, era Um grande vale é cortado por duas estradas retilíneas E 1 e E, que se cruzam perpendicularmente, dividindo-o em quatro quadrantes. Duas árvores que estão num mesmo quadrante têm a seguinte localização: a primeira dista 3 metros da estrada E 1 e 1 metros da estrada E, enquanto a segunda se encontra a 6 metros de E 1 e a metros de E. A distância entre as duas árvores é: metros 3 metros 4 metros metros 6 metros. Para estudar o movimento de um astro que se desloca com velocidade constante em trajetória retilínea, um astrônomo fiou um plano cartesiano contendo essa trajetória e adotou nos eios coordenados uma unidade conveniente para grandes distâncias. Em certo momento, o cientista observou que o astro estava no ponto A(3, 6) e, quatro minutos depois, estava no ponto B(, 8). Qual era a posição do astro dois minutos após a passagem pelo ponto A? (3, 8) (3, 7) (4, 7) (3, 4) (4, 8) 6. Sejam A e B os pontos (1, 1) e (, 7) no plano. O ponto médio do segmento AB é: (3, 4) (4, 6) (-4, -6) (1, 7) (, 3) 7. Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos A(,1), B(3,) e C(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em km, é de

2 8. Os pontos (,8), (3,1) e (1,y) do plano são colineares. O valor de y é igual a: 6 17/3 11/,3 9. Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localizase no segundo quadrante, e as distâncias nos eios são dadas em quilômetros A equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semi-eio positivo o um ângulo de 6 é: ( ) - y = () -1 ( 3) + y = 1-3 ( 3) - y = (3) - 1 ( 3)/ + y = 1 - ( 3)/ ( 3)/ - y = [( 3)/3] - 1 A reta de equação y = + 4representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (,), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seja automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto 13. Seja a reta r, de equação y = (/) +17. Das equações a seguir, a que representa uma reta paralela a r é y = (/) + 1 y = - + y = + 1 y = - + y = Leia o teto a seguir. (,). ( 3,1). (,1). (,4). (,6). 1. A equação da reta que contém o ponto A (1, ) e é perpendicular à reta y = + 3 é: + y - = + y = + y - 4 = - y + 3 = + 3y - 7 = 11. Até o ano de, a inflação num certo país manteve-se em 4% ao ano, aproimadamente. A partir daí sofreu aumentos sucessivos de % ao ano, até, declinando novamente em 3, conforme mostra o gráfico abaio. Segundo previsões otimistas de que esse declínio se manterá constante pelos próimos anos, pode-se esperar que a inflação volte ao patamar de 4% no ano de: Um estudante fez uma eperiência semelhante à descrita no teto, utilizando uma vareta AO de metros de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua eperiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eio das ordenadas (y) e o eio das abscissas () continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB: y = 8 4 = 6 3y = 8 4y y = 6 3 y =.

3 1. (Enem 13) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já eistentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano: (1; 1). (1; ). (; 1). (; ). (; ). 17. (Upe 13) A reta r da figura possui equação 3y + 6 =, e o trapézio OBCD tem área igual a 9 unidades de área. Qual é a equação da reta s? A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas (6 ; 3). (3 ; 3). (4 ; 3). ( ; ). ( ; 3)., = 3 = 3, = 4 = 4, = 18. (UPE) No primeiro quadrante de um sistema de coordenadas cartesianas, foi desenhado o retângulo RETO, não quadrado, em que S é o encontro de suas diagonais, e seus lados são paralelos aos eios, como mostra a figura a seguir: 16. Os pontos A, B, C e D do plano a seguir representam 4 cidades. MATEMÁTICA PROFESSOR AMBRÓSIO ELIAS Para cada um desses cinco pontos, calcula-se a razão Uma emissora y/ de entre televisão a sua ordenada quer e construir a sua abscissa. uma estação transmissora numa localização tal que: a distância Para entre qual a estação desses e pontos, a cidade essa localizada razão é a em menor? A seja igual à distância entre a estação e a cidade localizada em B. a distância entre R a estação e a cidade localizada em C seja igual à distância E entre a estação e a cidade localizada em D. Considerando as coordenadas T do plano ao lado, a localização da estação deverá ser O o ponto (1; 1). S (1; ). (; 1). (; ). (; ). Uma emissora de televisão quer construir uma estação transmissora 13. (UNICAMP) numa localização As transmissões tal que: de uma determinada emissora de rádio são feitas por meio de 4 antenas situadas nos pontos A(, ), B(1, ), C(6, 4) e D(, 4), sendo o quilômetro a unidade de a distância comprimento. entre a estação Desprezando e a cidade a localizada altura das em antenas A e supondo que o alcance máimo de cada antena é de seja igual km, à distância pergunta-se: entre a estação e a cidade localizada em O B. ponto médio do segmento BC recebe as transmissões dessa emissora? a distância entre Qual a a estação área da e região a cidade limitada localizada pelo em quadrilátero C ABCD que não é alcançada pelas transmissões da seja igual à distância referida emissora? entre a estação e a cidade localizada em D. Considerando as coordenadas do plano ao lado, a localização da estação deverá ser o ponto 14. Ao realizar uma eperiência multidisciplinar, um professor de Física pediu aos alunos que observassem um raio luminoso partindo de um ponto A(3, 1) e refletindo no ponto B(7, ) e em seguida determinassem: Obs: tg 68 o =, 3 y A r

4 19. (UPE) Na figura a seguir, uma das retas tem equação = 4. Sabendo-se que a distância entre O e P é, a equação da reta que passa pelos pontos O e P é 1. (UPE) Na figura a seguir, o triângulo equilátero OAB está representado em um sistema cartesiano ortogonal, e sua área mede Qual é a equação da reta suporte do lado AB? 4 3y = 3y = 3 4y = 3 4y = 3 4 3y =. (UPE) Na figura a seguir, o quadrado ABCO de lado 3 e o triângulo equilátero ODE, também de lado 3, estão representados num sistema cartesiano ortogonal Oy y 4 = + 3y - 16 = y 8 = - 3y - 1 = 3-3y - 1 =. (Enem 14) A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal. Com base nas informações acima, analise as seguintes afirmativas: I. A ordenada do ponto E é igual a 3. II. A equação da reta suporte do segmento BD é 3 + 3y 1 =. III. A reta suporte do segmento OE tem declividade igual a 3. IV. A área do triângulo hachurado OPQ é aproimadamente, u.a. Está CORRETO o que se afirma em I e II III e IV II e III I, II e III II e IV Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eio X é paralelo ao chão do parque, e o eio Y tem orientação positiva para cima. A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função f() = f() = f() = f() = 4 f() = 4 4

5 3. Um espelho no formato de circunferência foi pendurado em uma parede. Considerando o canto inferior esquerdo como a origem de um sistema cartesiano, o espelho pode ser representado pela equação da circunferência + y 4 4y+ 7,84 =. Dessa forma, constata-se que o espelho está a uma altura do chão de 1, metros. 1, metros. 1, 6 metros. 1, 74 metros. 1,76 metros. 4. Um fabricante de brinquedos utiliza material reciclado: garrafas, latinhas e outros. Um dos brinquedos despertou a atenção de um estudante de Geometria, por ser confeccionado da seguinte forma: amarra-se um barbante em um bico de garrafa pet cortada e, na etremidade, cola-se uma bola de plástico que, ao girar em torno do bico, forma uma circunferência. O estudante representou-a no sistema por coordenadas cartesianas, conforme a figura a seguir: + y y 8 =. + y y+ 7 =. + y 8 =. + y y 7 =. + y = As coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência de equação 4 + (y+ 1) = são, respectivamente: (, 1) e 4 (, 1) e (4, 1) e ( 1, ) e (, ) e 7. Resolver a questão com base na regra da FIFA, segundo a qual a bola oficial de futebol deve ter sua maior circunferência medindo de 68cm a 7cm. Considerando essa maior circunferência com 7cm e usando um referencial cartesiano para representá-la, como no desenho abaio, poderíamos apresentar sua equação como Considerando o tamanho do barbante igual a 6 unidades de comprimento (u.c.) e o bico centrado no ponto (3,4), a equação que representa a circunferência é igual a + y 6 8y 11= + y y 11= + y y+ 11= + y 6 8y+ 11= + y 8 6y 11=. Uma antena de telefone celular rural cobre uma região circular de área igual a 9 π km. Essa antena está localizada no centro da região circular e sua posição no sistema cartesiano, com medidas em quilômetros, é o ponto (,1). Assim, a equação da circunferência que delimita a região circular é 3 + y = π 3 + y = π 7 + y = π 7 + y = π + y = 7 8. O ponto da circunferência + y + + 6y+ 1= que tem ordenada máima é (, 6 ) ( 1, 3 ) ( 1, ) (,3 ) (, 3 )

6 9. (Enem 13) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fiado um sistema de coordenadas cartesianas (, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue: I. é a circunferência de equação + y = 9; II. é a parábola de equação y = 1, com variando de 1 a 1; III. é o quadrado formado pelos vértices (, 1), ( 1, 1), ( 1, ) e (, ); IV. é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (, 1), (, ) e (1, ); V. é o ponto (, ). A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor? 3. A construção da cobertura de um palanque usado na campanha política, para o 1 o turno das eleições passadas, foi realizada conforme a figura. Para fiação da lona sobre a estrutura de anéis, foram usados rebites assim dispostos: 4 no primeiro anel, 16 no segundo, 64 no terceiro e assim sucessivamente. Se, no plano cartesiano, a equação da circunferência eterna do anel eterno da figura é X + y y + 43 =, então o centro e o raio dessa circunferência são, respectivamente, (6, - 4) e 3 (- 6, 4) e 9 (6, - 4) e 9 (- 6, 4) e 3 (6, 4) e Um círculo tangencia a reta r, como na figura abaio. O centro do círculo é o ponto ( 7, ) e a reta r é definida pela equação 3 4y + 1 =. A equação do círculo é 7 y. ( ) + ( ) = ( ) ( ) y+ =. ( 7) + ( y+ ) = 36. ( ) ( ) y = 36. ( ) ( ) 7 + y = (UPE) Se r é a mediatriz do segmento que liga os pontos de interseção dos gráficos das funções y = e y = 3, podemos afirmar que r tem por equação: + 3y 9 = + 3y 1 = + 3y 6 = + 3y + 9 = + 3y + 1 = 6

7 33. (UPE) Sendo (r) a reta dada pela equação y + =, então a equação da reta simétrica a (r) em relação ao eio das abscissas é A) + y =. B) 3 y + 3 =. C) + 3y + 1 =. D) + y + =. E) y =. 34. (UPE) As retas ( r ) cortam os eios nos pontos (,-1) e (,), e a reta ( s ) perpendicular à ( r ) corta o eio das abscissas no ponto (,). A área do triângulo ABC é igual a A) B) 3 ( r ) 4 9 C) D) 1 E) 7 3. (UPE) Geometricamente o sistema + y 1 y 1 y 1 ( s ) 1. B. D 3. A 4. D. B 6. A 7. C 8. B 9. C 1. A 11. E 1. D 13. E 14. B 1. E 16. E 17. B 18. C 19. C. D 1. A. [D] 3. [C] 4. [A]. [A] 6. [B] 7. [B] 8. [C] 9. [E] 3. [A] 31. [A] 3. C 33. D 34. C 3. B Gabaritos 1 determina uma região do plano, cuja área é: unidades de área; 1 unidade de área; 4 unidades de área; 3 unidades de área; 6 unidades de área. 7