Fiabilidade e Cotrolo de Qualidade LMAC Exame de a. Época / o. Teste o. Semestre 4/5 Duração: horas / hora e 45 miutos 8/Julho/5 6a. feira 7h, P. Cosidere os seguites registos dos istates de falha graves em milhas percorridas de 9 autocarros de carreira: 6,, 7,, 9, 58, 59, 69, 76. a Exemplifique a utilização de um gráfico TTT com algus cálculos por exemplo três potos. Que aspecto esperaria para este gráfico, caso se descofiasse da adequação do modelo expoecial a este cojuto de dados?.5 Failure times T i time i miles to a serious failure of the i th bus, i,..., 9 Complete data t 6,, 7,, 9, 58, 59, 69, 76 Total time o test up to time t i i τ t i j + t j t j τ j Abcissae of the TTT plot, i,,..., i t i + i + t i t i Ordiates of the TTT plot τt i, i,...,, where τ t τt 7; equal to, for i. Four poits of the TTT plot i τ t i τ t i + i + t i t i i τt i τt + 9 + 6 458 9. 458 458 + 9 + 6 76 9. 76 76 + 9 + 7 59 9. 59 4 59 + 9 4 + 7 445...... 5 445 + 9 5 + 9 9...... 6 9 + 9 6 + 58 9 6...... 7 6 + 9 7 + 59 58 45...... 8 45 + 9 8 + 69 59 6...... 9 6 + 9 9 + 76 69 7...... 7.9 7.475 7.69 b Calcule uma estimativa da fução de fiabilidade de um autocarro para a distâcia de milhas. Admita agora que as 9 observações dizem respeito a 9 autocarros de carreira colocados a circular simultaeamete, de etre um grupo de de uma frota. Cosiderado as hipóteses de trabalho que eteder coveietes, reavalie a estimativa que obteve. Comete.. Distributio assumptio T i T Expoetialλ, i,...,. To kow if this assumptio is reasoable the Bartlett s goodess of fit test should be doe. Ukow parameter R T t e λt, where t miles. Cesored data r 9 t,..., t r 6,, 7,, 9, 58, 59, 69, 76 Cumulative total time i test Accordig to Defiitio 5.7, the cumulative total time i test is give by: r t t i + r t r i 6 +... + 76 + 9 76 476. Ubiased estimate of R T t Accordig to Table 5.4, the UMVUE of R T t is, for t < t 476 ad r >, r R T t t t 9 476.86879. Accordig to Table 5., the oparametric estimate of R T t i proposed by Blom is equal to ˆR T t i i +.65 +.5 i.844. The relative differece betwee the UMVUE of R T, RT.86879, ad the oparametric estimate of R T, ˆR T.844 is approximately equal to 5%. This suggest that cesorig the data had a mild impact o this particular poit estimate. Aspect of the TTT plot Accordig to Remark 5.5, the TTT plot should be a lie i case T i Expoetialλ, i,...,. Judgig by the three poits we just obtaied that does ot seem to be the case.
. A figura abaixo descreve um sistema de redistribuição de água a três cidades C, C e C a partir de uma cetral de forecimeto de água W. Diz-se que o sistema de redistribuição de água está operacioal se as três cidades receberem água. a Admita que os tempos até etupimeto das codutas de água em ceteas de horas são v.a.s, IHRA, com valor esperado igual a 75h. Obteha um limite iferior para o valor esperado do tempo até que o sistema de redistribuição de água deixe de estar operacioal, limite esse que determiará o itervalo etre operações de mauteção/desobstrução das codutas de água..5 Idividual duratios i h, commo stochastic agig character ad expected value T i IHRA, i,..., 5, with commo expected value µ i ET i µ 7.5. Duratio of the system i h T Lower boud for ET We are dealig with a coheret system characterized as follows: the 5 compoets have duratios T i IHRA, i,..., 5 ad, thus, accordig to Propositio.6, T i NBUE, i,..., 5; the expected value of the duratio of each of the 5 compoets is equal to µ i ET i µ 7.5; the miimal path sets are P {,, 4} P {,, 5} P {, 4, 5} P 4 {,, 4} P 5 {,, 5} P 6 {,, 4} P 7 {,, 5} P 8 {, 4, 5} p 8 miimal path sets. Now, we ca apply Theorem.65, ad coclude that µ ET max µ j,...,p i i P j { #Pj } µ iµ max j,...,p µ #P j µ 7.5.5. b Como caracterizaria o tempo até que o sistema deixa de estar operacioal T quato ao evelhecimeto estocástico? Justifique. Obteha a expressão de um limite superior para ET.. Stochastic ageig of T We are dealig with a coheret system with 5 compoets whose duratios T i IHRA, i,..., 5 ad, thus, accordig to Table., we ca coclude that T IHRA. Upper boud for ET We are dealig with a coheret system characterized as follows: T i IHRA, i,..., 5; µ i ET i µ 7.5; the miimal cut sets are K {, } K {4, 5} K {,, 4} K 4 {,, 5} K 5 {,, 5} K 6 {,, 4} q 6 miimal cut sets. Now, we ca apply Theorem.69, ad coclude that µ ET mi j,...,q µ iµ mi j,...,q i K j e t/µi dt e t/µ #K j dt e t/µ mi j,...,q #K j dt e t/µ dt e t/µ e t/µ dt µ e t/µ + µ + e t/µ µ µ 4
µ.5. Upper boud for ET Sice T IHRA we ca apply Theorem.5, capitalize o the previous upper boud for ET ad coclude that ET Γ + ET µ! 5.5.. Cosidere que as compoetes do sistema double crossliked abaixo são idepedetes e possuem fiabilidade comum e igual a p.95. a Determie a fução de estrutura usado para o efeito os cortes míimos..5 Miimal cut sets K {, 4} K {, 4} K {, 5} K 4 {, 5} K 5 {, 6} K 6 {, 4} q 6 miimal cut sets Structure fuctio By cosiderig X i Beroullip i, i,..., 6 ad applyig result.4, we ca coclude that the structure fuctio of this system equals φx.4 q X i j i K j X X 4 X X 4 X X 5 X X 5 X X 6 X X 4. b Obteha limites iferior e superior o mais estritos possível para a fiabilidade do sistema, ao admitir que as compoetes estão associadas positivamete ao ivés de serem idepedetes..5 Compoets p i p.95, i,..., 7 Sice the 5 compoets form a coheret system ad operate i a positively associated fashio, we ca apply Theorem.7, amely result.4. Miimal path sets P {,, } P {4, 5, 6} P {4,, } P 4 {4, 5, } p 4 miimal path sets Miimal cut sets K {, 4} K {, 4} K {, 5} K 4 {, 5} K 5 {, 6} K 6 {, 4} q 6 miimal cut sets Lower boud for the reliability rp.4 rp max p i j,...,p i P j p ip max j,...,p p#pj #P j, j p p.975.95.85775. Upper boud for the reliability.4 rp mi p i j,...,q i K j p ip mi p #Kj j,...,q #K j, j p p.95.95.9975. 4. O gestor de uma grade tituraria resposável pelo tigimeto de peças de m de tecido acredita que perderá um importate cotrato se o úmero de imperfeições por peça exceder 4 em exactamete.86% dos casos. a Que tipo de carta lhe parece mais razoável utilizar? Determie o respectivo alvo e os seus limites de cotrolo.. 5 6
Cotrol statistic Y N umber of imperfectios i the N th piece of m of fabric, N IN Distributios Y N Poissoλ, i cotrol Y N Poissoλ λ + δ, out of cotrol, where δ δ > represets the magitude of the shift i λ Obtaiig the target value of λ Accordig to the text ad lookig at the of the c.d.f. of some Poisso r.v., we get λ : P Y N > 4 λ λ.86 F P oissoλ4.984 λ.5. Sui chart A upper oe-sided u chart should be adopted because we are collectig the umber of imperfectios per piece of m of fabric, ad it is very importat to detect icreases i λ, the expected value of this r.v. Target of the upper oe-sided u chart CL λ Cotrol limits of the sigma upper oe-sided u chart LCL because we are dealig with a upper oe-sided chart UCL λ + γ λ.5 +.5 5.745 b Caso tivesse ocorrido uma alteração o valor esperado do úmero de imperfeições por peça para, qual seria a mediaa do úmero de amostras recolhidas até à detecção de tal alteração por parte da carta que escolheu? Comete o seu sigificado..5 Ru legth We are dealig with a Shewhart chart, thus, the umber of samples collected util the chart triggers a sigal give δ, RLδ, has the followig distributio: RLδ Geometric ξδ. Shift δ λ λ.5.5 Probability of triggerig a sigal ξδ P Y N LCL, UCL δ Y N, LCL P Y N > UCL δ F P oissoλλ+δucl F P oisso 5.745 F P oisso 5.984.66 Media of RLδ { } F RLδ p T able 9. if m IN : F RLδ m p ξδ m p ξδ m p m l ξδ l p l ξδ< l p m l ξδ p.5 l.5 m l.66 m 4.484 4 Whe the expected value of the umber of imperfectios per piece of m of fabric icreases from its target value λ.5 to λ, the probability of triggerig a valid sigal withi the first 4 samples is at least 5%. 5. A grossura da parede é uma característica importate a produção de garrafas de vidro para bebidas gaseificadas. Admita que esta v.a. possui distribuição ormal com valor esperado sob cotrolo µ.6cm e desvio-padrão costate e igual a.cm. O cotrolo de µ é feito à custa de uma carta EWMA padrão com limites assitóticos, caracterizada por 5, λ.4 e γ EW MA.889, que possui ARL EW MA 5 e ARL EW MA.5 5.789. a Após ter preechido a tabela abaixo, o que poderá afirmar acerca do estado do processo de produção de garrafas? Quality characteristic X thickess of the glass bottle X Normalµ, N 4 5 x N.7.69.7.59.59 w N.6485.67578.6 Estimator of µ X N mea of the N th radom sample of size Distributio X N Normal µ µ,, i cotrol, where µ.6,. ad 5 X N Normal µ µ + δ,, out of cotrol, where δ δ represets the magitude of the shift a decrease or a icrease! i µ. Asymptotic cotrol limits of the stadard EWMA cotrol chart for µ Sice 5, λ.4 ad γ EW MA.889, they are equal to λ LCL EW MA µ γ EW MA λ.4..6.889.4 5. 7 8
.56576 UCL EW MA µ + γ EW MA.6 +.889.6464 λ λ.4.4 EWMA cotrol { statistic µ, N W N λw N + λ X N, N IN Observed values of the EWMA cotrol statistic { µ, N N x N w N λw N + λ x N, N IN.6.7.4.6 +.4.7.6474.69.6485.7.67578 4.59.6 5.59.4.6 +.4.59.6568 The fact that w.67578 LCL EW MA, UCL EW MA.56576,.6464 suggests that the process is out-of-cotrol. b Descreva uma carta X padrão com o úmero esperado de amostras recolhidas até falso alarme igual a 5 amostras. Compare a velocidade média de detecção desta carta com a da carta EWMA padrão descrita em a a detecção de um shift de magitude δ.5. Comete..5. 5 Cotrol statistic of the stadard X chart X N mea of the N th radom sample of size, previously described. Cotrol limits of the stadard X chart LCL µ µ γ µ UCL µ µ + γ µ Probability of triggerig a sigal Takig ito accout the distributio of the cotrol statistic, the chart for µ triggers a sigal with probability equal to: ξ µ δ P XN LCL µ, UCL µ δ { UCLµ µ + δ / LCLµ µ + δ / } Φ Φ Φ γ µ δ Φ γ µ δ, δ IR. Ru legth The umber of samples collected util this Shewhart chart triggers a sigal give δ, RL µ δ, has the followig distributio: RL µ δ Geometric ξ µ δ Obtaiig γ µ The costat γ µ is such that ARL µ 5, that is, γ µ : ξ µ ARL µ Φ γ µ Φ γ µ ARL µ, γ µ Φ ARL µ, γ µ Φ.999 γ µ.9 Probability of detectig a shift of magitude δ.5 ξ µ.5 Φ.9.5 Φ.9.5 Φ.59 Φ 4.59.944..559 Requested out-of-cotrol ARL ARL µ.5 ξ µ.5.559 7.889. ARL µ.5 7.889 > ARL EW MA.5 5.789. This is a expected result because the X chart teds to be, i average, slower tha the EWMA chart i the detectio of small ad medium size shifts like δ.5. 6. O feómeo dos siais erróeos ão é exclusivo dos esquemas cojutos para µ e. a Qual a probabilidade de ser emitido um sial erróeo pelo esquema S uilateral superior com úmero esperado de amostras até falso alarme igual a, quado e há uma redução de % o desvio-padrão?. Quality characteristic X Normalµ, Cotrol statistic S N variace of the N th radom sample of size, N IN Distributios SN χ, i cotrol, where SN θ χ, out of cotrol, where θ θ > represets a shift a decrease or a icrease! i the stadard deviatio Cotrol limits of the upper oe-sided S chart LCL UCL γ 9
Probability of triggerig a sigal ξ θ P SN LCL, UCL θ UCL F χ γ F χ θ, θ > Ru legth RL θ Geometric ξ θ. Obtaiig γ The costat γ is such that ARL, i.e. γ : ξ ARL F χ γ F χ γ ARL γ F.99 χ γ.67 ARL Requested probability A reductio of 9% of correspods to θ.9 ad the probability that such a decrease is detected by this chart is equal to γ ξ.9 F χ θ.67 F χ.9 F χ 9 6.75.,.5 because F.995.59 < 6.75 < 7.88 F.999. χ χ 9 9 b Compare-a com a correspodete probabilidade de emissão de sial válido por parte de um esquema S padrão com ARL sob cotrolo também igual a. Cofrote também as probabilidades de emissão de sial etre as primeiras amostras destas duas cartas, mais uma vez quado θ.9. Comete estes resultados..5 Cotrol limits of the stadard S chart Accordig to Table 9., LCL γ F χ ARL µ 9 F.5 χ 9 9.75 UCL γ+ F χ ARL µ 9 F.995 χ 9 9.59 Requested probability A shift of magitude θ.9 is detected by this stadard chart with probability ξ θ P SN LCL, UCL θ 9.8 γ + γ because F χ 9 F χ F χ θ.59.9 F χ F χ F χ 9. F χ.4 9 9 θ.75.9.9995.,.999.5.5,.6.999 7.88 < 9. < 9.67 F χ 9.4 <.7 F.5. χ 9.9995 ad F..88 < χ 9 Sice the upper oe-sided S chart was ot desiged to detect decreases i, it is o surprise we have ξ.9 < ξ.9. Ru legths RL θ Geometric ξ θ RL θ Geometric ξ θ Requested probabilities p P RL θ ξ θ.,.5.958,.94 p P RL θ ξ θ.5,.6.65,.9878. Usurprisigly, p << p for the same reaso we poited before.
7. Uma gestora de uma compahia que recebe lotes de dimesão N adoptou um plao de amostragem simples com 65 e c, tedo decidido pela rectificação da ispecção. a Determie a redução relativa da fracção de uidades defeituosas os lotes devida à rectificação da ispecção, quado o verdadeiro valor da fracção de peças defeituosas é igual a p.%..5 Sigle samplig pla for attributes N lot size 65 sample size c acceptace umber Auxiliary r.v. ad its approximate distributio D umber of defective uits i the sample a Biomial, p Probability of acceptig the lot P a p P D c p. F Biomial,p c F Biomial65,. 65. i. 65 i i i.997 65 + 65..997 64 + 65..997 6.998974 Average outgoig quality of a sigle samplig pla with rectifyig ispectio.4 p N P a p AOQp N. 65.998974.9. Relative reductio i the percetage defective AOQp %.9 % p..49% b Obteha o úmero médio de uidades ispeccioadas deste plao de amostragem, cosiderado para o efeito o valor de p da alíea aterior. Comete.. Average total ispectio of the sigle samplig pla with rectifyig ispectio.5 AT Ip P a p + N P a p 65.998974 +.998974 66.985 AT I. 66.985 is slightly larger tha the sample size 65. Usurprisigly, the relative reductio i the percetage defective is isigificat approx. %.