Módulo de um número real; Equações modulares; Funções modulares. 9º ano Matemática Tarefas 4 Professor Anthony MÓDULO DE UM NÚMERO Dado um número real x, definimos módulo de x, ou valor absoluto de x como: O significado destas sentenças é: I) o módulo de um número real não negativo é o próprio número. II) o módulo de um número real negativo é o oposto do número. x x, se x 0. x, se x 0 Exemplo: Seja y = x 3. Para x = 3, temos x 3 = 0 e, portanto y = 0. Para x > 3, temos x 3 > 0 e, portanto y = x 3. Para x < 3, temos x 3 < 0 e, portanto y = (x 3) = x + 3 = 3 x. Outra definição importante para o módulo de um número real x é: x x Consequências importantes: FUNÇÃO MODULAR Função Modular: é aquela que associa a cada elemento x real um elemento x IR. Para que o conceito de função fique claro adotamos a notação da função f(x) = x, como sendo: x, se x 0 x, se x 0
Matemática Avaliação Produtiva Sendo que o gráfico de f(x) = x é semelhante ao gráfico de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será refletida sempre para um f(x) positivo. Gráfico da Função Modular: Para construir o gráfico da função modular procedemos assim: 1 º passo: construímos o gráfico da função onde f(x) > 0 º passo: onde a função é negativa, construímos o gráfico de f(x) ( rebate para o outro lado na vertical). 3 º passo: unem-se os gráficos. EXEMPLO: 1) Esboce o gráfico da função f(x) = x + 1 3. Solução. O gráfico pedido é a translação vertical no sentido negativo do eixo em 3 unidades. Após a translação temos: i) O ponto (-1, 0) do 1º gráfico se desloca e o mínimo passa a ser (-1, 0 3) = (-1, -3). ii) O º gráfico intercepta o eixo X nos pontos: x130 x (,0). ( x1) 30x40 x 4 ( 4,0)
Exercícios Complementares EQUAÇÃO MODULAR Equação Modular: A equação modular está baseada nas seguintes propriedades: i) Se a > 0 e x = a, então x = a ou x = - a. ii) Se a = 0 e x = 0, então x = 0. Exemplos: 1) Resolva a equação: ( 6) 10 Solução: Pela definição vem: ) Resolver: x 1 = x + 3. x. x61 x 18 x 9 x 6 1. S = {-3, 9}. x61 x 6 x 3 Solução: Repare que os dois membros são positivos. Significa dizer que os conteúdos dos módulos são iguais ou são opostos: x1 x3 x1 x3 x 4 x1 x3. S = {4, /3}. 1 3 3 x x x x 3 3) Resolver: x + = 3. Solução: O 1º membro é um valor positivo. Logo, não há como ser ( 3). S = Ø. 4) Resolver: x 1 = x 1. Solução: Repare que o 1º membro é positivo. Logo, há uma condição a ser imposta ao º membro: x 1 0. Isto indica que a solução encontrada deverá satisfazer a x 1. x1 x1 x 01incompatível x1 x1. S = Ø. 1 1 3 x x x x 1 incompatível 3 6) Resolver: x + x 4 = 8. Solução: Como há dois casos para observar em cada módulo, uma sugestão de solução é a construção da grade semelhante à da solução da inequação. Cada interior do módulo pode ser tratado como uma função onde os zeros são identificados. 1 3 x + + x 4 + x + x 4 ( x + ) + ( x + 4) (x ) + ( x + 4) (x ) + (x 4) Os três intervalos foram analisados e os conteúdos retirados dos módulos. Resolvendo cada caso, temos: 1º ) x x 4 8 1º ) x x 1 º) x x 4 8 º) 0 6 impossível. Logo, S = {-1, 7}. 3º ) 4 8 x x 3º ) x 14 x 7 LISTA DE EXERCÍCIOS Resolva as seguintes equações modulares, em R. 01. x - = 4 0. x+ = 3 03. 4 3x = 3x 4 04. 3x +1 = x - 5 05. x - 6 = 3 - x 3
Matemática Avaliação Produtiva Construa o gráfico das funções a seguir: 06. f(x) = x + 1 07. f(x) = - 3x + 1 08. f(x) = x + 4x - 5 09. f(x) = - x + 11x - 10 10. f(x) = x - 3 x + Determinar o domínio e a imagem das funções abaixo: 1 11. x 3 1. f(x) = x 4x + 8 + 1 x 1 13. x 3x 1 Resolva as equações modulares abaixo, em R. 14. x - 3x +1 = 1 15. x - 3x - 1 = 3 16. x - x - 6 = 0 17 x - 4 x + 3 18. O domínio da função real f ( x) 1 x é o intervalo a) { x x 1 ou x 1} b) { x x 1 ou x 1} c) { x 1 x 1} d) { x 1 x 1} 19. A equação x - + x - 5 = 3 tem: a) uma única solução b) exatamente duas soluções c) exatamente três soluções d) um número infinito de soluções e) nenhuma solução 0. O conjunto de soluções da equação x - 1 + x - = 3 é: a) {0,1} b) {0,3} c) {1,3} d) {3} e) { } 1. A respeito da função f(x) = x, é verdadeira a sentença: a) f(x) = x, se x < 0 b) f(x) = - x, se x > 0 c) f(x) = 1, se x IR d) o gráfico de f tem imagem negativa e) o gráfico de f não possui imagem negativa 4
Exercícios Complementares. Seja f (x) uma função real. O gráfico gerado pelo módulo dessa função, f(x), a) nunca passará pela origem. b) nunca passará pelo 3º ou 4º quadrante. c) intercepta o eixo x somente se f(x) for do primeiro grau. d) intercepta o eixo y somente se f(x) for do segundo grau. 3. Seja x 3 uma função. A soma dos valores de x para os quais a função assume o valor é a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 4. Os gráficos de f (x) x 4 e g (x) (x) se interceptam em a) apenas um ponto. b) dois pontos. c) três pontos. d) quatro pontos. e) nenhum ponto. 5. O gráfico que melhor representa a função real definida por 4 x4, se x7 x x, se x é a) b) c) d) e) 6. Determine a imagem da função f, definida por x x, para todo x, conjunto dos números reais. a) Im( f ) b) Im( f) { y y 0}. c) Im( f) { y 0 y 4}. d) Im( f) { y y 4}. e) Im( f) { y y 0}. 5
Matemática Avaliação Produtiva 7. Na figura a seguir, é apresentado o gráfico de uma função f, de R em R A função f é dada por a) x, se x0 x, se x 0 c) x1, se x0 x, se x0 b) d) x, se1 x x3,sex 1 e x x, se1 x x 1, se x1 e x 6