Cálculo diferencial em IR n

Cálculo diferencial em IR n (Funções) DMAT 7 Abril

Conteúdo Introdução Campos Escalares e Vectoriais Noção de Domínio e de Contradomínio 6 4 Composição de Funções 8 5 Representação Gráfica de Funções 5 Representação tridimensional de superfícies 5 ConjuntosdeNível 7/Abril/

Introdução Os conceitos de limite, continuidade e diferenciabilidade que se estudaram no quadro das funções reais de variável real podem ser generalizados a outro tipo de funções com importantes aplicações emdiferentes áreas funções cujo domínio é um subconjunto D do espaço vectorial IR n e que assumem valores no espaço vectorial IR m, f : D IR n IR m,comn e m números naturais Simbolicamente f : D IR n IR m (x,, x n ) f (x,, x n ) em que x =(x,,x n ) representa um elemento de D e f (x,, x n ) aimagem de f em x É este o objectivo do cálculo diferencial em IR n O estudo da notação, representação e propriedades elementares destas funções é o objectivo deste capítulo De notar que as características vectoriais da função f edoseuargumento x são normalmente sugeridas escrevendo em letra carregada ( bold ) estes símbolos: f (x) Esta notação será a que utilizaremos preferencialmente Outros autores utilizam a notação f ( x) ou f ( x) Senenhumanotaçãoem especial for utilizada é o contexto que permite averiguar das características vectoriais da função e/ou do seu argumento Campos Escalares e Vectoriais Chamam-se campos escalares às funções reais (m =)de variável vectorial: f : D IR n IR x f (x) Nestas circunstâncias f (x) representa um número real A distribuição espacial de temperaturas numa sala ou a distribuição das pressões na atmosfera constituem alguns exemplos de campos escalares Exemplo Afunçãof :IR IR é um campo escalar f (x, y, z) =x + y +z 7/Abril/

De referir que quando n =um campo escalar se reduz a uma função real de variável real Chamam-se campos vectoriais às funções tais que, f (x) = y é um vector de IR m com m (se m =afunçãof é um campo escalar): f : D IR n IR m x f (x) Nesta situação a imagem de x (isto, é y) pormeiodef tem m componentes, y,,y m f (x) =y =(y,y,,y m ), às quais se podem associar os m campos escalares f,,f m, que representam para cada i m, acomponentei da imagem do campo vectorial f em x D: y = f (x) = f (x,, x n ) y = f (x) = f (x,, x n ) y m = f m (x) = f m (x,, x n ) Os m campos escalares f,, f m designam-se componentes escalares (ou funções coordenadas) do campo vectorial f Neste contexto, um campo vectorial pode interpretar-se como constituído por um conjunto ordenado de m campos escalares A distribuição espacial das velocidades no ar atmosférico constitui um exemplo de um campo vectorial Exemplo A função f :IR IR definida por f (x, y, z) =(xy, z) é um campo vectorial com n =e m = A função f :IR 4 IR definida por f (x, y, z, w) =(x, z, w + y) é um campo vectorial com n =4e m = 7/Abril/

Basicamente um campo escalar transforma elementos de IR n,istoé,sequências de n elementos, em elementos de IR Um campo vectorial transforma elementos de IR n em elementos de IR m (com m ), isto é, transforma sequências de n elementos em sequências de m elementos De referir que os elementos genéricos de IR n são habitualmente representados por (x,, x n ) No entanto os elementos de IR ou IR podem, também ser representados recorrendo à notação (x, y) ou (x, y, z) Seguidamente apresentaremos mais alguns exemplos de campos escalares e vectoriais Exemplo Afunçãof :IR IR definida por é um campo escalar f(x, y) =x + y Exemplo 4 Seja f :IR IR definida por f (x) =(cosx, sin x, x) Aimagemdafunçãoemcadapontox de IR éumelementodeir Teráas componentes f (x) = cosx, f (x) = sinx, f (x) = x Cada uma das funções f,f e f é um campo escalar de IR em IR Exemplo 5 Seja f afunçãof :IR IR definida por f (x, y, z) =(x + y, y + z) Neste caso o valor que a função assume em cada ponto (x, y, z) de IR éum elemento de IR Terá duas componentes f (x, y, z) = x + y, f (x, y, z) = y + z Cada uma das funções f (x, y, z) e f (x, y, z) é um campo escalar de IR em IR 4 7/Abril/

As aplicações lineares de IR n em IR ou de IR n em IR m, constituem exemplos de campos escalares ou campos vectoriais muito importantes É possível mostrar que este tipo de funções podem ser representadas por matrizes apropriadas: as matrizes do tipo m n representam aplicações lineares de IR n em IR m Exemplo 6 Seja f a aplicação linear de IR em IR representada pelo seguinte produto matricial: [ ] [ ] x =x + y y Este campo escalar também pode ser definido por f (x, y) =x + y Seja f a aplicação linear de IR 4 em IR representada pelo seguinte produto matricial: [ ] x [ ] 4 y x +4y z +w z = x +z +w w Esta aplicação é um campo vectorial que também pode ser descrito da seguinte forma: f (x, y, z, w) =(x +4y z +w, x +z +w) Uma particular referência à aplicação identidade f : IR n IR n (x,, x n ) (x,, x n ) que a cada vector de IR n associa o mesmo vector A aplicação anterior é um campo vectorial de IR n em IR n Esta aplicação é linear (porquê?) Afunçãoprojecção de ordem j π j : IR n IR (x,, x j,,x n ) x j que a cada vector de IR n associa a sua componente j, constitui um exemplo de campo escalar que é também uma aplicação linear Observemos que a aplicação identidade em IR n, já referida, tem por componentes escalares precisamente as projecções π j, com j n 5 7/Abril/

De referir finalmente as aplicações associadas a cada vector v de IR n e definidas como se segue v IR n IR x v x em que representa o operador produto interno Euclideano Estas aplicações que associam a cada vector x de IR n, o valor do produto interno de v com x, são também aplicações lineares particularmente importantes Exemplo 7 Construa-se v IR IR x v x fixando v =(, ) Nestas circunstâncias v x =(, ) (x,x )=x +x Não é difícil verificar que esta aplicação é linear As operações binárias de adição, subtracção, multiplicação e divisão de dois reais constituem exemplos adicionais de campos escalares de IR em IR As operações unárias tais como a radiciação, a inversão aritmética, etc,constituem outros exemplos de funções reais de variável real, já estudadas anteriormente Noção de Domínio e de Contradomínio Seja f uma função de variável vectorial em IR n isto é, um campo escalar ou vectorial Nem sempre f se encontra ou pode ser definida em todos os elementos do conjunto anterior Tal é o caso, por exemplo, do campo escalar f (x, y) = (porquê?) x +y Chama-se domínio de f, ao conjunto D de elementos x pertencentes a IR n, para os quais a função f está definida Em geral consideramos D o maiorconjuntoparaoqualafunçãopodeserdefinida Na determinação do domínio D f IR n de um campo escalar efectuamse sobre IR n as restrições operatórias associadas à definição de f Na determinação do domínio de um campo vectorial de IR n em IR m efectua-se, em primeiro lugar, o cálculo dos domínios de cada um dos m campos escalares associados, D f,d f,,d fm O domínio D f do campo vectorial f será D f = D f D f D fm 6 7/Abril/

Nos exemplos seguintes ilustram-se estes conceitos Exemplo 8 Seja f (x, y) = Este campo escalar não está definido no ponto x +y (, ) Assim, o seu domínio será D =IR \{(, )} Consideremos o campo vectorial f (x, y, z) = x + y,y+ z As componentes escalares f e f estão definidas em IR Assim o domínio de }{{}}{{} f f f é D f = D f D f =IR IR =IR Seja f :IR IR o campo vectorial definido por ( ) x z f (x, y, z) = x + y, y z,y+ z Neste caso, as componentes do campo vectorial são os campos escalares: f (x, y, z) = x z x +y, f (x, y, z) = y z, f (x, y, z) =y + z Designando por D, D e D os domínios de cada um deles tem-se que D = { (x, y, z) IR : x y }, D = { (x, y, z) IR : z> }, D = IR Neste caso D, odomíniodocampovectorialf será o conjunto D D D = { (x, y, z) IR :(x y ) z> } Chama-se contradomínio de f : D f IR n IR m ao conjunto dos elementos de IR m que são imagem por meio de f de algum x D f,istoé, ao conjunto que se representa simbolicamente por f (D f ): f (D f )={y IR m : y = f (x) para algum x D f } 7 7/Abril/

Exemplo 9 Determinemos o contradomínio de f (x, y) =(x,y) Reparemos que D f =IR Então o contradomínio de f será f ( IR ) = { (x, y) IR :(x, y) =f (v) para algum v IR } = {( x,y ) com (x, y) IR } = { (x, y) IR : x } 4 Composição de Funções Dadasasfunçõesf : D f IR n IR m e g : D g IR p IR n pode construír-se umanovafunçãoh : D h IR p IR m h : D h IR p IR m x h (x) =f (g (x)) designada por composição da função g com a função f e simbolicamente representada por f g [que se lê f após g, jáquef g (x) =f (g (x))] Se designarmos o contradomínio de g por g (D g ) afunçãoh = f g estará definidaseaintersecçãodocontradomíniodeg com o domínio de f for não vazia, isto é, se g (D g ) D f Neste caso o domínio de h = f g será D f g = {x IR p : x D g e g (x) D f } Em geral podemos afirmar que se g (D g ) D f então D f g = D g Exemplo Sejam f (x, y) =xy e g (x, y) =(x,xy) Determinemos D f g e f g Comecemos por observar que D f =IR e que por isso g ( IR ) IR Como D g =IR e g ( IR ), D f g =IR Por outro lado, facilmente se verifica que f g (x, y) = f (g (x, y)) = f ( x,xy ) = x y 8 7/Abril/

De referir que, dado um campo vectorial f de IR n em IR m, as respectivas componentes escalares f a f m, podem ser determinadas efectuando a composição f j = π j (f) =π j f do campo vectorial referido com as projecções das diferentes ordens, definidas anteriormente De forma idêntica, fazendo v = e j, a operação f j = e j f, j m em que e j representa o vector j da base canónica ordenada de IR m,permite igualmente determinar as referidas componentes escalares do campo vectorial f Lembremos que a base canónica de IR m é constituída pelos vectores e =(,,,, ) e =(,,,,) e m =(,,,, ) Exemplo Sejam f (x, y, z) = ( x,x+ y, z x) e π, π e π as projecções de ordem, e de IR em IR Determinemos π j (f) para j =, e Facilmente se verifica que π (f) =x, π (f) =x + y e π (f) = z x Exemplo Indique a composição de funções elementares que permitem construír o campo escalar: Reparemos que D f IR Assim, f (x, y, z) = x + y f (x, y, z) =h g p (x, y, z) com h a operação inversão aritmética, g a operação adição e p : IR IR (x, y, z) p (x, y, z) =(x, y) =(π (x, y, z),π (x, y, z)) Exemplo Indique a composição de funções elementares que permitem construír os campos escalares seguintes: f (x, y) = x; 9 7/Abril/

g (x, y, z) = x + y Comecemos por observar que o campo escalar f (x, y) = x, representa a composição do campo escalar π π : IR IR (x, y) π (x, y) =x com a função raíz quadrada, isto é, f = π Finalmente, o campo escalar g (x, y, z) = x+y, representa a composição em que l é o campo vectorial g (x, y, z) =h l (π (x, y, z),π (x, y, z)) e h representa a operação de adição l : IR IR (x, y) l (x, y) =( x, y) 5 Representação Gráfica de Funções Certos campos escalares de duas variáveis podem ser representados graficamente no espaço tridimensional Considerando o sistema de eixos ortogonais XY Z,ográfico de uma função f : D IR IR,éoconjuntodepontos (x, y, z) de IR tais que (x, y) D e z = f (x, y) Em certas condições estes conjuntos de pontos definem superfícies em IR 5 Representação tridimensional de superfícies A visualização no espaço tridimensional destas superfícies realiza-se na prática determinando as linhas que resultam da intersecção das referidas superfícies com certos planos simples de IR normalmente os planos x = C, y = C e z = C Nos exemplos seguintes concretizaremos esta ideia Exemplo 4 Representemos graficamente em IR o campo escalar z = x + y Observemos que, da intersecção de z = x + y com o plano z = C, resultam linhas que são circunferências de raio C (se C>), centradas em (,,C): { z = x + y z = C { C = x + y z = C 7/Abril/

z No caso em C =a intersecção reduz-se ao ponto (,, ) o que quer dizer que a origem pertence ao gráfico de f Notemos também que as imagens de f são todas maiores ou iguais a zero pelo que para C<aintersecção é vazia Determinemos agora as linhas de intersecção da referida superfície com os planos x =(plano que contém os eixos dos y e z) ey =(plano que contém os eixos dos x e z): { { z = x + y z = y, x = x = { { z = x + y z = x y = y = Repare-se então que nos planos indicados as linhas de intersecção determinadas são as parábolas z = y e z = x A representação espacial das linhas (nossas conhecidas) atrás determinadas nos planos respectivos permite visualizar em IR a superfície considerada (parabolóide): 8 6 4 8 6 4 - - - - y - - x Parabolóide Exemplo 5 Representemos graficamente f (x, y) =x y Observemos que, da intersecção de z = x y com os planos z = C, resultam as seguintes linhas: { z = x y z = C { C = x y z = C Estas linhas representam curvas do tipo y = ± x C nos planos z = C para C> ecurvasdotipox = ± y + C nos planos z = C para C : 7/Abril/

z y - - - - - - x Intersecção com os planos z = C Determinemos agora as linhas de intersecção da referida superfície com os planos x =(plano que contém os eixos dos y e z) ey =(plano que contém os eixos dos x e z): { { z = x y z = y, x = x = { { z = x y z = x y = y = Repare-se então que nos planos indicados as linhas de intersecção determinadas são as parábolas z = y e z = x A representação espacial das linhas (nossas conhecidas) atrás determinadas, nos planos respectivos, permite visualizar em IR a superfície considerada (parabolóide-hiperbólico): 8 6 4 - -4-6 -8 - - - - y - - x Parabolóide-hiperbólico 5 Conjuntos de Nível Os campos escalares de IR em IR que definem superfícies podem, em geral, ser representados graficamente no espaço tridimensional, como se viu atrás Outra forma de expressar graficamente a informação associada a estes campos escalares é recorrendo à noção de conjuntos de nível, noção esta que já foi implicitamente invocada nos exemplos anteriores 7/Abril/

y Esta representação tem a vantagem de também poder ser utilizada na representação de campos escalares de IR em IR Mais formalmente, chama-se conjunto de nível L(c), do campo escalar f : D IR n IR, ao conjunto dos elementos de D IR n em que a função f assume o mesmo valor c, isto é, L (c) ={x : x D e f(x) =c} Em IR estes conjuntos são designados por curvas de nível ou linhas de nível eemir por superfícies de nível As curvas de nível conhecidas por isóbaras e isotérmicas constituem exemplos de conjuntos de nível que são do conhecimento geral Exemplo 6 Determinemos e representemos graficamente algumas curvas de nível do campo escalar As curvas de nível de f são: f (x, y) =x + y F (c) = { (x, y) IR :(x, y) D x + y = c } Estas curvas representam circunferencias centradas na origem e raio c, se c> Nocasoemquec =a curva de nível correspondente reduz-se a um ponto Na figura seguinte representamos as curvas F (), F (), F (4) e F (5) - - - - - - x Curvas de nível F (), F (), F (4) e F (5) Determinemos e representemos graficamente algumas curvas de nível do campo escalar g (x, y) =x y cuja representação se pode observar na figura seguinte: 7/Abril/

y z 8 7 6 5 4 y - - - - - - x Representação gráfica da superfície g (x, y) =x y As curvas de nível de g são: G (c) = { (x, y) IR :(x, y) D x y = c } Na figura seguinte representamos as curvas G (5), G (5) G (): - - - - - - x Curvas de nível G (5), G (5) G () Exemplo 7 Consideremos agora o campo escalar, f (x, y, z) =x +y +z Os seus conjuntos de nível serão: L (c) = { (x, y, z) IR :(x, y, z) D x + y + z = c } Não é difícil observar que representam em IR superfícies esféricas, de raio c, se c>, centradas na origem Se c =a correspondente superfície de nível reduz-se ao ponto (,, ) Referências [] Apostol,TM,Calculus,Reverté,977; 4 7/Abril/

[] Azenha, Acilina e Jerónimo, M A, Cálculo Diferencial Integral em IR e IR n, McGraw-Hill, 995; [] Lima, Elon Lages, Curso de Análise (Vol e ), IMPA, Projecto Euclides, 995; [4] Piskounov, N, Calcul Différentiel et Intégral, MIR, 976; [5] Taylor, A E, Advanced Calculus, Xerox College Publishing, Massachusetts, 97; [6] Wade, W R, An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 995; 5 7/Abril/