Blucher Mechancal Engneerng Proceedngs May 2014, vol. 1, num. 1 www.proceedngs.blucher.com.br/evento/10wccm UMA ABORDAGEM PROBABILÍSTICA PARA A ESTIMATIVA DA RESPOSTA DINÂMICA DE PASSARELAS MISTAS (AÇO-CONCRETO) J. M. dos S. de Souza 1, J. G. Santos da Slva 2 e L. R. O. de Lma 2 1 Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl, PGECIV, Unversdade do Estado do Ro de Janero, UERJ (jorgebulk@hotmal.com) 2 Departamento de Estruturas e Fundações, Unversdade do Estado do Ro de Janero, UERJ Resumo. Passarelas de pedestres com arqutetura moderna, esbeltas e leves são uma constante nos das atuas, apresentando grandes vãos e novos materas. Este arrojo arqutetônco tem gerado números problemas de vbrações excessvas, especalmente sobre passarelas mstas (aço-concreto). As normas e recomendações de projeto consderam, anda, que as forças nduzdas pelo camnhar humano são determnístcas. Todava, o camnhar humano e as respectvas forças dnâmcas geradas apresentam comportamento randômco. Deste modo, o presente trabalho de pesqusa objetva contrbur com os projetstas estruturas, a partr do emprego de uma abordagem probablístca para avalação do estado lmte de utlzação deste tpo de estrutura, assocado a vbrações excessvas que podem vr a causar desconforto humano. Para tal, utlza-se como modelo estrutural base uma passarela nterna construída no novo campus do Insttuto de Traumatologa e Ortopeda - INTO, na cdade do Ro de Janero. Com base na utlzação de métodos probablístcos, torna-se possível determnar a probabldade dos valores das acelerações de pco da estrutura ultrapassarem ou não os crtéros de conforto humano estabelecdos em normas e recomendações de projeto. Palavras-chave: Passarelas de pedestres, Dnâmca estrutural, Métodos probablístcos. 1. INTRODUÇÃO Consderando-se o avanço dos materas empregados na construção cvl, as estruturas estão cada vez mas leves e esbeltas e, portanto, mas flexíves, tornando o seu comportamento dnâmco cada vez mas crítco na ótca do conforto humano dos usuáros. Além dsso, a dmnução do amortecmento estrutural e a mudança na natureza e na ntensdade das cargas contrbuem para esse novo cenáro [1-7]. De forma geral, os projetos de passarelas são elaborados consderando, somente, devdo à ação de cargas estátcas, não levando em consderação as ações dnâmcas orundas do movmento de pessoas. Com sso, cada vez mas se tem observado um número crescente de estruturas que apresentam comportamento dnâmco nsatsfatóro, gerando, portanto, problemas assocados ao conforto humano dos usuáros [1-7].
As normas e guas de projetos [8,9] que tratam dos problemas de conforto humano devdo à ação humana consderam as forças nduzdas pelo camnhar de pedestres como sendo um processo determnístco. Contudo, em função da varação dos parâmetros da força dnâmca nduzda pelo camnhar, tas como peso do pedestre, frequênca do passo, comprmento do passo, coefcentes dnâmcos, etc., tal fenômeno apresenta comportamento randômco [1]. Por outro lado, atualmente, os projetstas estruturas têm tdo acesso a ferramentas numérco-computaconas com elevado nível de precsão, para estudar o comportamento de estruturas sujetas a ações dnâmcas, de forma a dentfcar, anda durante a fase de projeto, o desempenho da estrutura quando submetda a cargas dnâmcas. Entretanto, o custo computaconal para elaboração de um espectro de resposta probablístco a partr da modelagem computaconal é elevado tornando por vezes tal procedmento nvável na prátca de projeto [1]. Deste modo, a presente nvestgação objetva o desenvolvmento de uma metodologa de análse para avalação da resposta dnâmca de passarelas de pedestres, medante o emprego de métodos probablístcos, no que tange ao conforto humano dos usuáros da estrutura. Para tal, utlza-se como modelo estrutural base uma passarela nterna construída no novo campus do Insttuto de Traumatologa e Ortopeda - INTO, na cdade do Ro de Janero. Com base no emprego de métodos probablístcos torna-se possível determnar a probabldade dos valores das acelerações máxmas da estrutura ultrapassar ou não os crtéros de conforto humano estabelecdos em normas e recomendações de projeto [8,9]. Consderandose o desenvolvmento da metodologa de análse proposta fo possível determnar os valores das acelerações de pco (acelerações máxmas) para uma determnada probabldade de ocorrênca, vsando determnar se a resposta dnâmca do modelo nvestgado é satsfatóra ou não, no que tange ao conforto humano dos pedestres. 2. AÇÕES DINÂMICAS DEVIDO AO CAMINHAR HUMANO. De forma geral, a função representatva do camnhar humano tem sdo representada por uma sére de Fourer, com base em uma composção de harmôncos. Tal representação tem sdo utlzada correntemente por dversos autores que estudam este assunto [1-8]. Assm sendo, a representação matemátca da ação humana do camnhar (ação dnâmca vertcal) é dada pela Eq. (1). F( t) P 1 cos( 2 f F(t) : função do carregamento dnâmco (N); P : peso do pedestre (N); : coefcente dnâmco para a força harmônca; : múltplo do harmônco (1, 2, 3, etc.); f p : frequênca do passo do pedestre (Hz); t : tempo (s); : ângulo de fase para o harmônco (radanos); p t (1)
O modelo de carregamento dnâmco utlzado nesta nvestgação basea-se em uma análse mas realsta para representar a exctação dnâmca provenente do pedestre, de forma a ncorporar o mpacto transente do calcanhar humano. O modelo matemátco adotado no presente estudo fo proposto a partr de uma aproxmação respaldada por estudos expermentas que permtram regstrar a reação total de um pso, gerada ao longo do tempo, durante uma camnhada [3], de acordo com as Eqs. (2) a (5). fm Fm P t P se 0 t 0,04T p 0,04Tp C1 t 0,04Tp fm Fm 1 se 0,04Tp t 0,06 Tp 0,02Tp F(t) Fm se 0,06 Tp t 0,15 Tp (2) nh P P sen2 f pt 0,1T p se 0,15Tp t 0,90Tp 1 t 10 P C 2 1 P se 0,90T p t Tp Tp nh Fm P 1 (3) 1 C 2 P P 1 C 1 1 (4) f m 1 2 1 2 4 se nh 3 se nh 4 (5) F m : valor máxmo da sére de Fourer, dado pela Eq. (3); f m : fator de majoração do mpacto do calcanhar, (f m = 1,12); T p : período do passo; C 1 : coefcente dado pela Eq. (4); C 2 : coefcente dado pela Eq. (5). A função matemátca utlzada para representar a ação produzda por uma pessoa camnhando, não é smulada smplesmente por uma sére de Fourer, pos as equações ncorporam na formulação o pco transente representatvo do mpacto do calcanhar humano sobre a estrutura, como sendo gual a 1,12 (f m = 1,12) [3]. Os coefcentes dnâmcos assocados aos harmôncos da camnhada são fornecdos pelo gua de projeto do AISC [8], Tabela 1.
Tabela 1. Coefcentes dnâmcos [10]. Harmônco Coefcente Dnâmco (α ) Ângulo de Fase (Φ ) 1 0,5 0 2 0,2 π/2 3 0,1 π 4 0,05 3π/2 Na sequênca do estudo, a Fg. 1 apresenta uma função de carregamento dnâmco, obtda com base no emprego das Eqs. (2) a (5), assocada à ação dnâmca humana vertcal, referente a um pedestre camnhando com frequênca do passo gual a 2 Hz (f p = 2 Hz). Fgura 1. Função de carregamento dnâmco devdo ao camnhar de um pedestre (f p = 2 Hz). 3. SOLUÇÕES ANALÍTICAS PARA CÁLCULO DAS ACELERAÇÕES DE PICO As expressões analítcas utlzadas neste trabalho de pesqusa consderam as passarelas de pedestres como representadas por sstemas com apenas um grau de lberdade (S1GL). Deste modo, sabe-se que o comportamento dnâmco de um S1GL para um determnado modo de vbração genérco pode ser representado pela Eq. (6) [4,11]. a(t) F(t) 2 2 v (t) u(t) (6) m a(t) : aceleração (m/s²); v(t) : velocdade (m/s); u(t) : deslocamento (m); : coefcente de amortecmento modal; m : massa modal do harmônco ; : frequênca angular da exctação para o harmônco (rad/s); : função do modo de vbração ; F(t) : função do carregamento dnâmco (N).
Sendo F(t) uma função harmônca do tpo F(t) = F 0 sen (ωt), o deslocamento e a aceleração, assocados à fase permanente da resposta do sstema (S1GL), podem ser obtdos pelas Eqs. (7) e (8), respectvamente [4,11]. u(t) a(t) 3.1. Método analítco proposto por Raner et al. [7] 1 F0 cos( t) 2 (7) 2 m 1 F0 cos( t) (8) 2 m Raner et al. [7] propôs um método analítco para o cálculo da aceleração de pco no meo do vão de passarelas. As passarelas são modeladas com sendo um sstema massa-mola com um grau de lberdade (S1GL). A ampltude da força dnâmca devdo ao camnhar humano corresponde a F = αp (α: o coefcente dnâmco e P: o peso do pedestre). Assm sendo, a aceleração da estrutura é calculada com base no emprego do fator de amplfcação dnâmco,, obtdo grafcamente para passarelas bapoadas [7]. Deste modo, a aceleração de pco devdo à frequênca do camnhar ressonante com a passarela é calculada por meo da Eq. (12) [7]. a : aceleração de pco o meo do vão (m/s 2 ); f n : prmera frequênca natural da passarela (Hz); : coefcente dnâmco; K : rgdez da estrutura (N/m). 2 P a (2 fn ) (9) K Observando-se a Eq. (9), destaca-se que o valor αp/k representa o deslocamento estátco no meo do vão da passarela devdo à ampltude da força dnâmca. A aceleração de pco no meo do vão da estrutura pode ser calculada pela Eq. (10), substtundo-se o valor de (2πf) 2 = K/m [7]. Para passarelas bapoadas a massa equvalente do sstema é da ordem de metade da massa total da estrutura (m = 17/35 = 0,5 M). Deste modo, a aceleração de pco da passarela pode ser calculada também pela Eq.(11) [7]. m : massa equvalente do sstema S1GL (kg); M : massa total do vão (kg). P a m (10) 2 P a M (11)
3.2. Método analítco proposto por Murray et al. [8] Murray et al. [8] propôs no gua de projeto do AISC um método analítco para o cálculo da aceleração de pco no meo o vão de passarelas de pedestres por meo da Eq.(12). R P a cos( 2 f p t) (12) W R P f p W t : fator de redução; : coefcente dnâmco; : peso do pedestre (N); : frequênca do passo do pedestre (Hz); : coefcente de amortecmento estrutural; : peso efetvo da passarela (kgf); : tempo (s). O fator de redução R leva em consderação que o pedestre camnhando sobre a estrutura e a pessoa perturbada pela vbração orunda do camnhar nem sempre se encontra no local de maor ampltude modal. O fator de redução R sugerdo para passarelas é gual a 0,7 [8]. 3.3. Método analítco probablístco proposto por Zvanovc [2] Zvanovc [2] propôs um método analítco para o cálculo da aceleração de pco de passarelas adotando-se, bascamente, a mesma formulação presente no gua de projeto do Sétra [4]. Deste modo, a aceleração de pco assocada ao prmero modo de vbração da estrutura pode ser calculada por meo da Eq. (13). 1 f p lp a(t) P sen(2 f p t) sen ( t) (13) 2 m L a(t) m P f p l p L : aceleração de pco (m/s²); : coefcente de amortecmento; : massa modal da passarela (kg); : coefcente dnâmco; : peso do pedestre (N); : frequênca do passo (Hz); : comprmento do passo (m); : comprmento da passarela (m).
4. MODELO ESTRUTURAL. O modelo estrutural nvestgado neste trabalho de pesqusa consste em uma passarela de pedestre msta (aço-concreto) com vão de 15m, conforme lustrado na Fg. 2. Os perfs metálcos ASTM A36 utlzados são do tpo I soldados. Para as vgas de aço fo consderado um módulo de elastcdade gual a 205 GPa. A laje de concreto possu espessura de 0,10m, resstênca característca a compressão de 25 MPa e módulo de elastcdade gual a 28 GPa. A Tabela 1 lustra as propredades geométrcas dos perfs das longarnas e transversnas. a) Vsta superor do modelo estrutural. b) Seção transversal da passarela. Fgura 2. Modelo estrutural nvestgado. Tabela 2. Característcas geométrcas das vgas da passarela (dmensões em mm). Tpo de Perfl Altura do Perfl (H) Largura da Mesa (b f ) Espessura da Mesa Superor (t f ) Espessura da Mesa Inferor (t f ) Espessura da Alma (t w ) Longarna - I 700 x 159,9 700 300 25,0 25,0 8,0 Transversna - I 330 x 45,4 330 200 9,5 9,5 6,3
5. MODELAGEM NUMÉRICA Na sequênca do estudo fo feta uma comparação entre o valor da frequênca fundamental (f 01 ), do modelo em estudo, obtda analtcamente [8], com aquele advndo da modelagem numérco-computaconal, va método dos elementos fntos, por meo da utlzação do programa Ansys [12]. Deste modo, a Tabela 3 apresenta os valores das cnco prmeras frequêncas naturas das passarelas, consderando-se varações fetas sobre o comprmento do vão do modelo orgnal nvestgado (L = 15m), de acordo com a Fgura 2. Vão (m) f 01 (Hz) Murray et al. [8] Tabela 3. Frequêncas naturas das passarelas. Frequêncas Naturas (Hz) [12] Dferenças (%) f 01 f 02 f 03 f 04 f 05 5 29,11 30,65 54,05 59,96 69,84 83,16 5,3% 6 22,20 23,16 39,74 48,35 61,84 74,32 4,3% 7 17,27 17,66 30,38 39,98 53,79 68,81 2,3% 8 13,48 14,00 24,80 41,88 52,37 60,29 3,8% 9 10,90 11,12 20,72 35,48 45,88 55,33 2,0% 10 8,98 9,18 17,77 30,32 40,79 50,92 2,2% 11 7,61 7,62 15,77 26,96 44,95 46,07 0,1% 12 6,44 6,13 14,04 23,30 39,83 40,22 4,8% 13 5,51 5,50 12,67 12,67 20,28 34,91 0,2% 14 4,77 4,76 11,56 17,79 30,96 32,62 0,2% 15 4,12 4,10 11,08 15,86 28,53 31,76 0,4% 16 3,64 3,63 10,05 14,06 25,79 28,44 0,3% 17 3,23 3,22 9,38 12,54 23,56 25,68 0,3% 18 2,89 2,86 8,79 11,24 21,64 23,30 1,0% 19 2,60 2,59 8,28 10,14 19,99 21,26 0,3% 20 2,35 2,34 7,83 9,19 18,61 19,41 0,3% A partr dos valores das frequêncas naturas calculadas numercamente observou-se que a estrutura orgnal (f 01 = 4,10 Hz e L = 15m), Fgura 2, encontra-se em ressonânca com o segundo harmônco da carga de exctação devdo ao camnhar humano. Ressalta-se, anda, que além das frequêncas naturas, os deslocamentos e as acelerações de pco também foram obtdos na seção central do modelo, com base no emprego do modelo de carregamento proposto por Varela [3], medante smulações numércas, de acordo com a Tabela 4.
Estes valores de aceleração de pco obtdos numercamente foram comparados com aqueles assocados às soluções analítcas para sstemas com um grau de lberdade (S1GL) [7,8], consderando-se, ncalmente, a aleatoredade do peso do pedestre camnhando com frequênca do passo gual a 2 Hz, coefcentes dnâmcos propostos por Murray et al. [8] e coefcente de amortecmento estrutural gual a 1% [8,10]. De acordo com os resultados apresentados na Tabela 4, fo observado que os valores das acelerações de pco, calculados numercamente, apresentam dferenças em relação aos resultados fornecdos pelos métodos analítcos smplfcados (S1GL), propostos por Raner et al. [7] e Murray et al. [8], sendo que estas dferenças quanttatvas são da ordem de 19% e 14%, respectvamente. Tabela 4. Comparação entre os valores das acelerações de pco a p (m/s²). Peso (N) Raner et al. [7] a p (m/s²) Ansys [12] a p (m/s²) Dferenças (%) 755 0,39 0,48 18,66% 637 0,33 0,41 18,88% 794 0,41 0,51 18,96% 598 0,31 0,38 18,96% 627 0,32 0,40 18,96% 676 0,35 0,43 18,96% 872 0,45 0,56 18,96% 882 0,46 0,56 18,96% 853 0,44 0,54 18,98% Peso (N) Murray et al. [8] a p (m/s²) Ansys [12] a p (m/s²) Dferenças (%) 755 0,55 0,48 13,88% 637 0,46 0,41 13,57% 794 0,57 0,51 13,46% 598 0,43 0,38 13,46% 627 0,45 0,40 13,46% 676 0,49 0,43 13,46% 872 0,63 0,56 13,46% 882 0,64 0,56 13,46% 853 0,62 0,54 13,43%
6. ABORDAGEM PROBABILÍSTICA PARA ESTIMATIVA DA RESPOSTA DINÂ- MICA DA PASSARELA A metodologa para análse dnâmca probablístca desenvolvda nesta nvestgação utlza os valores das acelerações de pco calculadas analtcamente [2,4,7,8,11], com base na consderação de um grande número de análses representatvas do espaço amostral em estudo. Neste trabalho de pesqusa, o número de análses realzadas para geração dos resultados fo de 20000 (Vnte ml). O coefcente de amortecmento estrutural fo defndo como sendo gual a 1% [8,10] e, concomtantemente, a aleatoredade dos parâmetros de projeto relevantes para a resposta dnâmca do modelo estrutural (peso do pedestre, frequênca do passo do pedestre, comprmento do passo do pedestre e coefcente dnâmco devdo ao camnhar) fo efetvamente consderada neste estudo, adotando-se para tal os valores de méda e desvo padrão de acordo com uma dstrbução normal, de acordo com o exposto na Tabela 5. Tabela 5: Méda e desvo padrão das varáves randômcas do problema em estudo. Varável Undade Méda (μ) Desvo Padrão (σ) Referêncas Utlzadas M kg 75 15 Pedersen e Frer [5] f p Hz 2,0 0,2 Bachmann e Ammann [10] l p m 0,83e -035f n 0,025 Murray et al. [8] α - 0,71 0,071 Zvanovc [2] Com base nos valores das acelerações de pco fo calculada a função de densdade de probabldade (fdp) e a função de probabldade acumulada (P c ), no que dz respeto a varável contínua aceleração de pco. A função densdade de probabldade (fdp) de uma varável é a função matemátca cujo gráfco produz a curva teórca que representa a manera pela qual a probabldade total é dstrbuída em relação à ampltude dos possíves valores desta varável contínua, ou seja, esta função representa a probabldade de uma varável assumr um determnado valor ou estar compreendda em um ntervalo de valores pré-defndo. Por outro lado, a função de densdade acumulada (P c ) assocada a cada valor possível da varável a probabldade deste valor ser menor ou gual ao valor escolhdo. Em seguda, a Fg. 3 apresenta as probabldades cumulatvas para as acelerações de pco calculadas com base no emprego dos métodos analítcos [2,4,7,8,11], consderando-se o coefcente de amortecmento estrutural gual a 1% ( = 1%). Deve-se ressaltar que o método sugerdo por Zvanovc [2] e, bem como, a formulação clássca teórca, assocada à resposta dnâmca de um sstema com um grau de lberdade [4,11], apresentam, bascamente, a mesma formulação matemátca e, consequentemente, apresentam os mesmos resultados para as acelerações de pco, conforme lustrado na Fg. 3. Observando-se os resultados apresentados na Fg. 3, verfca-se, anda, que os métodos propostos por Murray et al. [8] e Raner et al. [7] apresentam resultados dstntos em relação àqueles obtdos pela formulação clássca teórca [4,11]. Esta dvergênca se deve ao fato de
que na formulação de Murray et al. [8] e na formulação de Raner et al. [7], os valores das acelerações máxmas são calculados consderando-se a ação dnâmca do camnhar em ressonânca com a estrutura e utlzando-se um fator de redução gual a 0,7 e 0,5, respectvamente. Fgura 3. Modelo estrutural nvestgado. Consderando-se o valor lmte para as acelerações de pco recomendado pela ISO 2631-2 para passarelas de pedestres (a lm = 0,5 m/s² [9]), verfca-se, por exemplo, que de acordo com os métodos analítcos propostos por Zvanovc [2], Raner et al. [7] e Murray et al. [8], a passarela msta (aço-concreto) analsada, lustrada pela Fg. 2, apresenta acelerações de pco acma do lmte normatvo em 5%, 10% e 50% dos casos, respectvamente, volando os crtéros de conforto humano, Fg. 3. Por outro lado, pode-se dzer, também, que para estes mesmos métodos analítcos smplfcados [2,7,8], a passarela msta (aço-concreto) nvestgada encontra-se de acordo com o lmte de norma em 95%, 90% e 50% dos casos, respectvamente, Fg. 3, no que dz respeto aos vnte ml casos nvestgados neste estudo. 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS Este trabalho de pesqusa apresenta uma contrbução, no sentdo de avalar a resposta dnâmca de passarela de pedestres, com base no desenvolvmento de uma metodologa de análse probablístca, tendo em mente o emprego de soluções analítcas para sstemas com um grau de lberdade (S1GL). Para tal, um grande número de análses, da ordem de vnte ml, representatvas do espaço amostral em estudo foram consderadas. Normas e recomendações de projeto foram utlzadas, no que dz respeto aos valores lmtes para as acelerações de pco de passarelas de pedestres, objetvando uma análse de conforto humano. Com o ntuto de verfcar a nfluênca da aleatoredade dos parâmetros de projeto (peso, frequênca do passo, comprmento do passo e coefcentes dnâmcos) sobre a resposta dnâmca da estrutura, fo verfcado que a resposta dnâmca da passarela nvestgada apresenta valores dêntcos quando o comprmento do passo do pedestre é consderado uma varável aleatóra ou randômca.
A partr da metodologa de análse proposta neste estudo foram gerados gráfcos com base na varação das acelerações de pco em função da probabldade acumulatva, para uma passarela msta (aço-concreto) com 15m de vão. Com base no emprego destes gráfcos fo possível determnar faclmente o valor máxmo de aceleração (aceleração de pco) para uma determnada probabldade de ocorrênca no sstema estrutural nvestgado. Assm sendo, consderando-se o valor lmte para as acelerações de pco recomendado pela ISO 2631-2 para passarelas de pedestres (a lm = 0,5 m/s²) (ISO 2631-2 1989 [9]), a passarela msta (aço-concreto) nvestgada neste estudo vola os crtéros de conforto humano em 50% (Murray et al. [8]), 10% (Raner et al. [7]) e 5% (Zvanovc [2]), no que dz respeto aos vnte ml casos analsados. Agradecmentos Os autores deste trabalho de pesqusa agradecem ao suporte fnancero fornecdo pelas Agêncas de Fomento à Pesqusa do país: CAPES, CNPq e FAPERJ. 8. REFERÊNCIAS [1] Souza, J.M. dos S de., Metodologa de análse probablístca para avalação do comportamento dnâmco de passarelas mstas (aço-concreto). Dssertação de Mestrado, Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl, PGECIV, Unversdade do Estado do Ro de Janero, UERJ, Ro de Janero, Brasl. 2012. [2] Zvanovc, S., Probablty estmaton of vbraton for pedestran structures due to walkng. PhD Thess, Department of Cvl and Structural Engneerng, Unversty of Sheffeld, UK. 2006. [3] Varela, W.D., Modelo teórco-expermental para análses de vbrações nduzdas por pessoas camnhando sobre lajes de edfícos. Tese de Doutorado, Unversdade Federal do Ro de Janero, Departamento de Engenhara Cvl, COPPE/UFRJ, Ro de Janero, Brasl. 2004. [4] Sétra: Servsse d études technques des routes et autoroutes. Assesment of vbratonal behavour of footbrdge under pedestran loadng, 131 pgs. 2006. [5] Pedersen, L. e Frer, C., Senstvty study of stochastc walkng load models, Department of Cvl Engneerng, Aalborg Unversty, Sweden. 2001. [6] Hauksson, F., Dynamc behavor of footbrdges subjected to pedestran-nduced vbratons. MSc dssertaton, Structural Mechancs, Lund Unversty, Sweden. 2005. [7] Raner, J.H., Pernca, G. e Allen, D.E., Dynamc loadng and response of footbrdges. Canadan. Journal of Cvl Engneerng, v. 15, n. 1, p. 66-71. 1988 [8] Murray, T.M., Allen, D.E. e Ungar, E.E., Floor vbratons due to human actvty. Steel Desgn Gude Seres, Amercan Insttute of Steel Constructon, AISC, 70 pgs. 2003.
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