ESPECIALIDADE ) Preecha as lacuas abaio e, em seguida, assiale a alterativa correta. Uma variável aleatória discreta tem a seguite fução de probabilidade P( ) K 0 se 0 < 8 caso cotrário Com base esta iformação há como valor para costate K e como valor da esperaça da variável. a) 6 / b) 6 / c) 6 / d) 6 / 7 7 JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) Para P() ser fução de probabilidade deve satisfazer os aiomas de probabilidade (Moretti pág 0 a ) em especial temos que verificar que: i Logo K 6 K 6 P( i) etão temos: 8 8 6 P( 0< 8) P( ) K K Para calcular a esperaça da fução de distribuição devemos utilizar o seguite cálculo (Moretti, pág 5 e 6) realizado abaio: E ( ). P( ). 6 +. 6 +... + 8. 8 6 0 6 7 ) Uma classe de 0 aluos de certo curso de formação de oficiais apresetou um diagrama de dispersão com as otas das disciplias de Português e Matemática, como mostrado a seguir: - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A (Notas variado de 0 (zero) a 00 (cem) potos) Com base este gráfico, aalise as assertivas. I. A mediaa das otas de português é maior do que a mediaa das otas de matemática.
II. As otas de português estão mais dispersas do que as otas de matemática. III. A amplitude iterquartílica (difereça etre o terceiro quartil e primeiro quartil) das otas de português é meor do que 0 potos. IV. A ota míima de português é maior do que a ota mediaa de matemática. Estão corretas somete as assertivas a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I, III e IV. d) II, III e IV. Para resolução das assertivas apresetadas devemos levar em cosideração a aálise de um gráfico de dispersão (Triola, 008 pág. ), oções de escala em gráficos (Triola, 008 pág.), cálculos acerca de medidas de cetro da média e mediaa (Triola, 008 pág.6, 6 e coceitos básicos de variação e amplitude (Triola, 008 pág.76) e medidas de dispersão de quartis e percetis e itervalo ou amplitude iterquatílica (Triola, 008 pág 0 a ). I. Certo. Mediaa Nota Português 8,5 > Mediaa Nota Matemática (<75) II. Errado. (80<Nota Português <00) Amplitude Total 0 < (55<Nota Matemática<5) Amplitude Total 0 III. Certo. Q () Q (86,5) 6,5 <0 IV. Certo. Míimo Nota Português (8) > Mediaa Nota Matemática (< 75) As questões, e 5 referem-se ao teto a seguir. Um estudo logitudial foi realizado em 00 áreas de risco de eposição à degue em 0 regiões metropolitaas do Brasil os aos de 00 e 00, para avaliar as políticas destas regiões em relação ao combate à degue. Níveis de Risco: Risco 00 : Baio ao : Alto Total 60 0 0 0 60 0 0 00 60 0 0 60 0 80 70 0 0 80 0 0 Total 0 70 0 80 00 Risco 00 ) Iforme se é verdadeiro (V) ou falso (F) sobre as afirmativas relacioadas com a situação-problema. A seguir, idique a opção com a sequêcia correta. ( ) O risco médio estimado de 00 caiu em relação ao risco médio de 00. ( ) A moda do risco de 00 e 00 são iguais a. ( ) O risco mediao estimado de 00 é igual ao de 00. ( ) A amplitude iterquartílica (difereça etre o terceiro quartil e o primeiro quartil) do risco é a mesma para o ao de 00 e 00. a) V F V V b) F V V V c) V V F V d) F V V F JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA A) Para resolução das assertivas apresetadas devemos utilizar cohecimetos sobre variáveis bidimesioais (Magalhães e Lima 00 pág. 5 a 8) em combiação de cálculos de medidas de cetro de média e mediaa (Triola 008 pág.6 e 6) e coceitos básicos de variação e amplitude (Triola, 008 pág.76) e medidas de dispersão de quartis e percetis e itervalo ou amplitude iterquatílica (Triola, 008 pág. 0 a ). I. Verdadeiro Média Risco 00,575 < Média Risco 00,75 II. Falso. Moda 00 / Moda 00 III. Verdadeiro. Mediaa Risco 00 Mediaa Risco 00 IV. Verdadeiro. Q Rico 00 () Q Risco 00 () Q Rico 00 () Q Risco 00 () - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
) Preecha as lacuas abaio e, em seguida, assiale a alterativa correta. Em das áreas estudadas o ível de risco ão se modificou do ao de 00 para 00. Observa-se também áreas em que o ível de risco caiu pelo meos potos. a) 5,5% / 60 b) 5,5% / 0 c) 6,0% / 60 d) 6,0% / 0 JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) Devemos utilizar cohecimetos sobre variáveis bidimesioais (Magalhães e Lima, 00 pág. 5 a 8) em combiação com cálculos de fução de probabilidade cojuta para este tipo de variável (Magalhães e Lima, 00 pág.8 a ). Baseado estes coceitos é feito o cálculo dos ites para a questão. I. Soma de Níveis Risco 00 Níveis Risco 00 dividido por 00 áreas eistetes. 60+ 0+ 0+ 0 60 0, 55 00 00 II. Dado Nível Risco 00, Nível Risco 00 tivemos 0 áreas. Dado Nível Risco 00, Nível Risco 00 tivemos 0 áreas. Dado Nível Risco 00, Nível Risco 00 tivemos 60 áreas. Assim o total de áreas com redução de ível de risco em pelo meos potos foi de 0 + 0 + 60 0 áreas. 5) Aida com relação à situação problema, cosidere a tabela como uma distribuição cojuta de duas variáveis, da qual o risco 00 será represetado pela variável e o risco 00 pela variável y. Aalise as probabilidades de cada item. A P( < ) B P(y > ) C P( /y > ) D P(y > ) De acordo com as probabilidades apresetadas por cada item acima, qual alterativa cotém as probabilidades ordeadas em ordem crescete? a) A C D B b) C A D B c) C A B D d) A C B D JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA A) Devemos utilizar cohecimetos sobre cálculos de fução de probabilidade cojuta para variável bidimesioal (Magalhães e Lima, 00 pág.8 a ). 0 00 j A: P < ) P( ) 0, ( i j, j 0 B: P ( Y> ) PY ( ) i, i, j 0, 00 C: Logo: A < C < D < B - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A i, j i i j i, i i j ( P( IY ) P / Y> ) P( / Y ) PY ( ) 0 D: P ( Y> ) i, j i, j 0,666... 00 i j i+ i j i i, i j i, j i, j 0 0,666... 0
6) Cosidere a variável aleatória cotíua com a seguite fução de desidade de probabilidade f () ( ) 0 se < < caso cotrário O valor da esperaça da variável é dado por a) b). 5. c) d).. 5 JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) Para calcular a esperaça da variável aleatória cotíua devemos itegrar a variável multiplicada por sua respectiva fução de desidade de probabilidade (Moretti, pág.) E ( ). f( ) d. ( ) 5 0 0 8 0 7) Iforme se é verdadeiro (V) ou falso (F) sobre as afirmativas relacioadas com a situação-problema. A seguir, idique a opção com a sequêcia correta. Uma amostra aleatória simples de tamaho, estimadores para a média amostral: T + T ( ) O estimador T é ão viesado. ( ) O estimador T é ão viesado. ( ) O estimador T é o úico viesado. ( ) Os estimadores T e T são os úicos ão viesados. a) V F V V b) F V V V c) V F F V d) V V V F Um estimador é ão viesado pra média se E [ T] µ Dado que +, é retirada de uma população com média µ. São propostos T 5 T. é a estimativa ão viesada do parâmetro média aritmética µ. Uma amostra de tamaho tem combiações possíveis: (, ), (, ), (, ) e (, ) Para o estimador ão ser viesado à média (esperaça) de todas amostras possíveis, tem que ser igual ao parâmetro (Moretti 000 pág. e ), e este cálculo pode ser epresso através da esperaça de todas as amostras possíveis (Hoffma, 8), etão temos: [ ] ET E + + + + 6+ 6 + + + + 0 + + + 8 [ T ] 0 - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
[ ] ET 5 5 5 5 6+ 6 + + + + + +.. +. +. +. [ ] ( ) ET I. Verdadeiro. II. Falso. III. Falso. IV. Verdadeiro. As questões 8, e 0 referem-se ao teto a seguir. Foi realizado um estudo para aalisar a obesidade em aluos de uma determiada escola através do Ídice de Massa Corporal (IMC). Iicialmete, decidiu-se realizar um estudo piloto em aluos do º ao do esio fudametal, a fim de testar duas técicas de amostragem sobre a melhor técica que poderia ser aplicada o estudo maior. O º ao do esio fudametal desta escola cotiha classes (ºA 0; ºB0; ºC0), totalizado 00 aluos. Decidiu-se fazer uma amostragem de 0 aluos por Amostragem Aleatória Simples com Reposição (AASc) e uma Amostragem Estratificada (AE) coforme a tabela abaio. Tamaho da Média Variâcia Amostra IMC Amostral AASc - º 0 60 AE - ºA 6 88 AE - ºB 5 0 AE - ºC 8) Preecha as lacuas abaio e, em seguida, assiale a alterativa correta. Com base as iformações da situação-problema, observa-se que a média geral das Amostrages Estratificadas é igual a e variâcia do estimador média amostral para Amostragem Aleatória Simples com reposição é. a),8 /, b),8 /,5 c), /,50 d), /,5 Para o cálculo da Esperaça Amostragem Estratificada deve-se cosiderar a proporção de cada estrato e sua respectiva esperaça (Bolfarie e Bussab, 000 pág.6 e ) E 6 0 0 0 68+ 00+ 88 0 ( ) E ( ) + E ( ) + E ( ), A B C Para cálculo da Variâcia AASc (Bolfarie e Bussab, 000 pág.8): var σ 60 0 ( ), 5 ) Aalisado a Amostragem Estratificada, há variâcia do estimador em que a média amostral é dada por a),0. b),5. c),0. d),5. JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) Para o cálculo da Variâcia da Amostragem Estratificada (Bolfarie e Bussab, 000 pág. ) temos Var ( ) Ni N k i W i i σ i - 5 - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
Var ( ) 0 00 Var ( ) (0,6).(0,88).(0,78).(0,8),5. Var 5 ( ) + Var 0 ( ) + Var 0 A B c ( ) 0) O Efeito do Plao Amostral (EPA) é uma ferrameta importate para avaliar a eficiêcia de plaos amostrais, comparado a variâcia de um estimador sob um plao amostral com a variâcia deste mesmo estimador sob outro plao amostral dito com padrão. Cosiderado o plao Amostral Aleatório Simples (AASc) como padrão para aalisar o estimador média do plao amostral estratificado, assiale a alterativa correta. a) EPA 0,67. b) EPA 0,8. c) EPA,00. d) EPA,67. Para o cálculo do efeito do plao amostral devemos calcular a razão das variâcias do plao amostral a ser testado com um plao amostral dito como padrão, coforme apresetado (Bolfarie e Bussab, 000 pág.6) temos: AE Var EPA AASc Var AE AASc ( ),5 ( ),5 ) Seja,,..., uma amostra aleatória de uma distribuição ormal com média µ e variâcia σ descohecida. Tais dados são obtidos em uma Amostra Aleatória de tamaho desta população, calculou-se sua média e variâcia amostral S. De acordo com estas iformações, o valor de P ( > µ + ( s / )) é a) meor que %. b) etre % e 5%. c) etre 5% e 0%. d) maior que 0%. JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA D) A variâcia e desvio padrão da média amostral são dados pelos seguites cálculos (Moretti, 000 pág. 5) σ Temos que Var( ) etão: DP( ) σ σ O objetivo é calcular a probabilidade de a média amostral ser maior que a média populacioal mais um terço do desvio padrão da média populacioal, ou seja: P σ > µ + Para fazermos iferêcia sobre uma amostra temos que a variável padroizada segue o seguite modelo: (Casella e Berger, 00 pág. 0) Z α ( testesobremédia) µ σ Com isto temos o cálculo da probabilidade que se apreseta da seguite forma: σ µ + σ µ µ + σ µ σ P µ + P Zα > P Zα > P Zα > PZ σ σ σ > α ( > ) 0, 5-6 - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
) Fucioários de uma empresa de trasporte tiveram a seguite evolução salarial: o ao de 005, eles recebiam a importâcia de R$.000,00 com ídice de preços relativo-local de,5. Em 00, os fucioários recebiam a importâcia de R$.700,00 com ídice de preços relativo-local de,50. Com base estes dados, o reajuste real dos fucioários o período de 005 a 00 foi de a) 0%. b) 0%. c),5%. d) 5%. Deve-se utilizar para resolução desta questão coceitos de preço relativo (Hoffma, 8 pág.0 e ) e ídice simples de preços agregados (Hoffma, 8 pág. a ) Em 000: R$.000,00 - ídice de preços,5 etão Em 005: R$.700,00 - ídice de preços,50 700 000,50, 0,,5,5,5 0,, Reajuste Bruto,5 0, 5 Reajuste de Preços Reajuste Relativo 5 ) Seja,,..., uma amostra aleatória de uma distribuição qualquer cotíua. Ao realizar um histograma da variável amostrada otou-se que a distribuição dos dados se apresetava de forma assimétrica egativa. Deotado: média amostral, ~ Mediaa Amostral e M Moda. Com base estas iformações, a ordeação correta das estatísticas é ~ a) < M <. ~ b) < M <. c) M < ~ <. d) < ~ < M. JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA D) Cosiderado uma distribuição assimétrica egativa (à esquerda) (Hoffma, 8 pág. e ) (Triola, 008 pág.70) temos que a moda da distribuição é maior que a mediaa e essa é maior que a média, sedo a ordeação da distribuição referida,,..., < ~ < ) Seja uma amostra aleatória de uma fução distribuição de probabilidade dada por e se > 0 F(, ) 0 caso cotrário Com base esta iformação, aalise as afirmativas. I. O estimador para pelo método de máima verossimilhaça é a média amostral. II. O valor do mometo de primeira ordem cetrado em zero é a média amostral. III. O valor da média e desvio padrão são iguais se estimados pelo método de mometos. Estão corretas somete as afirmativas: a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) I, II e III. - 7 - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A M
JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) Para respoder este item temos que otar a fução referete à distribuição acumulada de uma variável aleatória epoecial (Ross, pág.) e com esta iformação temos que a fução de desidade de probabilidade é a derivada da fução de distribuição acumulada, logo temos:. e se> 0 F (, ) f (, ) 0 caso cotrário Para o item I utilizaremos coceito a respeito de Estimadores de Máima Verossimilhaça (Casella e Berger, 00 pág. 5 e 6). L i e I. Correto. ( ) i l ( L( ) ) 0 ( ( )) ( i) l L l. e l ( L( )).l( ) i - 8 - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A i i 0 Para o item II e III utilizaremos coceito a respeito de Fuções Geradoras de Mometos (Ross, pág. 5 e 5) para distribuição epoecial: II. Icorreto. M ( t) para t< t var( ) E( ) E( ) III. Correto. ( ) M '( t) M '(0) t ( t) ( ) M ''( t) M ''(0) E( var( ) E( ) ( E( ) ) dp( ) var( ) E M '(0) E dado que ( ) As questões de 5 e 6 referem-se ao teto a seguir. Supoha que uma variável aleatória cuja fução geradora de mometos é M ( t) para < t t 5) Preecha as lacuas abaio e, em seguida, assiale a alterativa correta. Acerca da fução geradora apresetada, pode-se afirmar que o mometo de primeira ordem cetrado em zero é e o mometo de seguda ordem cetrado em zero é. a) b) c) / / / d) / + JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) Utilizaremos coceitos a respeito de Fuções Geradoras de Mometos (Ross, pág. 5) para distribuição epoecial para resolução dos ites solicitados. I II M ( t) para t< M '( t) M '(0) t t M ''( t) M ''(0) t ( ) ( ) )
6) Aida aalisado a fução geradora de mometos, pode-se afirmar que a variâcia desta distribuição é dada por a). b). c). d). JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA D) Utilizaremos coceitos a respeito de Fuções Geradoras de Mometos (Ross, pág. 5), com os mometos ecotrados a questão aterior temos: ( E( ) ) M ( 0) ( 0) Var ( ) E( ) M 7) Em um teste para seleção de estagiário de uma empresa foram apresetados modelos de regressão e gráficos origiados deles. A B C I. Y 0, + 0, 00 II. Y 0, 70 + 0, 08 III. Y, 8 + 0, 0 IV. Y, + 0, 50 Relacioe os gráficos com as equações e assiale a alterativa que apreseta a sequêcia correta. a) I A, II B, III C, IV D b) I D, II A, III C, IV B c) I C, II D, III A, IV B d) I C, II B, III A, IV D Aálise visual das escalas dos gráficos de regressão utilizado associação dos coeficietes β 0 e β com equações de regressão estimadas graficamete, observado as escalas dos gráficos (Draper e Smith, 8 pág.0 a 8). Podemos relacioar o gráfico apresetado com a equação substituido valores máimos e míimos da variável e verificado se esta é a mesma variação verificada em Y. D - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
Gráfico A: ma 00 e mi 500 ode a variação de Y a reta é de aproimadamete a, substituido ma e mi as equações temos: I Y ma 88, 8 e Y mi 5, II Y ma, e Y mi 7, III Y ma e Y mi, IV Y ma 0, 7 e Y mi 5, 7 De acordo com os resultados apresetados o Gráfico A relacioa-se com equação III. Gráfico B: ma 5 e mi 5 ode a variação de Y a reta é de aproimadamete a, substituido ma e mi as equações temos: I Y ma, 77 e Y mi 0, 87 II Y ma, 68 e Y mi 0, 7 III Y ma, 6 e Y mi, 0 IV Y ma, 8 e Y mi, De acordo com os resultados apresetados o Gráfico B relacioa-se com equação IV. Gráfico C: ma 7 e mi 5, 5 ode a variação de Y a reta é de aproimadamete 0,6 a 0,, substituido ma e mi as equações temos: I Y ma 0, e Y mi 0, 5 II Y ma 0, 8 e Y mi 0, III Y ma, 06 e Y mi, IV Y ma, e Y mi, De acordo com os resultados apresetados o Gráfico C relacioa-se com equação I. Gráfico D: ma 7 e mi ode a variação de Y a reta é de aproimadamete 0, a 0,, substituido ma e mi as equações temos: I Y ma 0, 6 e Y mi 0, 8 II Y ma 0, e Y mi 0, III Y ma, e Y mi, 85 IV Y ma, 6 e Y mi, De acordo com os resultados apresetados o Gráfico A relacioa-se com equação II. As questões 8 e referem-se ao teto a seguir. Uma equipe de estudates deseja participar de uma competição esportiva. Para etrar esta competição devem ter redimeto acadêmico maior ou igual a 7,5 potos. A distribuição de otas desta turma está apresetada abaio. Observe. Nº de Aluos Nota 8 6 6 7 8 8) Quatos aluos com redimeto acadêmico (ota) devem etrar a equipe para que a mediaa das otas seja 7,5? a) 7. b) 8. c). d) 0. - 0 - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA D) O cálculo da mediaa de um cojuto de valores (Triola, 008 pág.6) é apresetado ode a mediaa é a média, dois valores cetrais do rol de dados são ordeados para o caso do úmero de dados ser par e a posição cetral para o caso do úmero de dados ser ímpar. O valor da mediaa atual (7) é a média dos valores da posição e 0 dos dados ordeados (com N iicial 8). Para o valor de a mediaa ser 7,5 e dado a etrada de aluos somete com ota, os dois valores cetrais da distribuição dos dados ordeados tem que ser 7 e 8, para isto olhado a distribuição atual dos dados ordeados seria a posição e 5 e dado o cálculo da posição cetral da mediaa como - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A N N pos + pos + Me, etão o valor de N fial 8, logo o úmero de aluos iseridos com ota teria de ser: N iserido N fial N iicial 8-8 0 ) Quatos aluos com redimeto acadêmico (ota) devem etrar a equipe para que a média seja 7,5? a) 7. b) 8. c). d) 0. JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) O cálculo da média de um cojuto de valores (Triola, 008 pág.6) é apresetado como a soma de valores deste cojuto dividido pelo úmero de valores, etão o valor da média atual é dado por i i 8 O valor da média esperada devemos adaptar ao cálculo da média, ode devemos acrescer idivíduos com ota e + i 8+ i icluí-lo a divisão da seguite forma: passe 7, 5 i 7,5i 5,5i i 8 As questões 50 e 5 referem-se ao teto a seguir. 7,5*( 8+ i) + i Um estudo revelou que a probabilidade de uma pessoa ter cotraído AIDS é de %. Mostrou que se a pessoa cotraiu AIDS, um determiado eame detecta o resultado positivo em 0% dos casos, e se a pessoa ão cotraiu, o eame detecta o resultado egativo em 60% dos casos. 50) Iforme se é verdadeiro (V) ou falso (F) sobre as afirmativas relacioadas com a situação-problema. A seguir, idique a opção com a sequêcia correta. ( ) A probabilidade do eame acertar um resultado qualquer é maior que 65%. ( ) Se o eame der positivo, a proporção de pessoas com a doeça é de /5. ( ) Se o eame der egativo, a probabilidade de a pessoa ter a doeça é de /55. ( ) Se a pessoa cotraiu AIDS, a probabilidade de fazer eames de forma idepedete e todos apresetarem resultado egativo acotecerá em mais de 0% das vezes. a) V V V V b) F V V F c) V F F V d) F F F F JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) Probabilidade de ter Aids P ( A) 0, 0 Probabilidade Eame Positivo P (E) Probabilidade Eame Negativo P (E ) P ( E / A) 0, P ( E / A) 0,6
Para respoder o item I utilizaremos coceitos de Probabilidade Codicioada e o Teorema da Probabilidade Total (Moretti, pág. ). I U I P( E / A). P( A) U P( E / A). P( A) 0,.0,0+ 0,6 *0, 0,00+ 0,5 0, 60 I P( E A) P( E A) Para respoder os ites de II e III utilizaremos coceitos de Probabilidade Codicioada, Teorema de Bayes e Teorema da Probabilidade Total p. a Moretti () II P( A E) III P( A E) ( AIE) P( E) ( E / A). P( A) P P 0,.0,0 0,00 / 0,0... P P( A) 0,.0,0+ 0,.0, 0,05 ( AIE) P( ( E / A). P( A) + P( E / A). P( E / A). P( A) ( E / A). P( A) + P( E / A). P 0,.0,0 0,00 / 0,007... P P( A) 0,.0,0+ 0,6.0, 0,55 Para o Item IV vamos utilizar coceitos de Evetos Idepedetes (Moretti, pág. e 0) e cálculo de Probabilidade de Distribuição Biomial (Ross, pág.6) IV Dado ser uma variável aleatória ode uma pessoa doete apreseta resultado egativo temos que P() P ( ) P( E / A) sedo uma variável aleatória biomial (Ross, pág.6) ode a probabilidade de evetos desta v.a. é demostrada abaio: P ( ) ( 0,6).( 0,) 0, 6 5) Preecha as lacuas abaio e, em seguida, assiale a alterativa correta. A combiação de teste é uma ferrameta importate para melhorar a qualidade de um eame. Ao realizar 5 testes em paralelo, desejado-se ecotrar ou mais resultados positivos para cosiderar o eame como positivo, haverá uma probabilidade do resultado positivo se adequar a uma distribuição. a) biomial b) geométrica c) hipergeométrica d) multiomial O modelo de probabilidade proposto ode uma população de tamaho N com m elemetos desta população com uma determiada característica k, ode é feita uma amostragem de tamaho sem reposição ode se deseja ecotrar i idivíduos com determiada característica k segue um modelo de distribuição de probabilidade Hipergeométrico. (Ross, pág.7) 5) Seja,,..., uma amostra aleatória de uma fução distribuição de probabilidade dada por P (, θ ) θ.( θ ) Com base esta iformação, o estimador de máima verossimilhaça para θˆ é dado por a) b) c) d) i i ( ) i i + ( i ) + i ( i ) + i - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) Utilizado procedimetos para estimação de um parâmetro através de uma fução de máima verossimilhaça (Casella e Berger, 00 pág.5 e 6) temos: ( ) ( ) θ. θ l( L( )) lθ. ( θ) i l( L( )).l( θ) + l( θ). L i l ( L( ) ) 0 θ ( ) - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A i 0 i i i i 0 θ. ( θ) θ ( θ) θ. + θ θ i i + i + i ( ) i i i θ 5) Sejam A e B evetos de um dado espaço amostral com as seguites características P ( A) P( B) P( A/ B) 0, 5 i i i Assiale a alterativa em que as características ão podem ser atribuídas a estes cojutos. a) Idepedetes. b) Mutuamete ecludetes. c) Apresetam itersecção ão ula. d) Represetam distribuições de probabilidade. JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) Para respoder as características ieretes aos cojutos A e B utilizaremos coceitos de Probabilidade Codicioada, Teorema de Bayes e Teorema da Probabilidade Total (Moretti, pág a ) e (Magalhães e Lima, 00 pág. a 8). Sobre Idepedêcia: P( AI B) P( A). P( B) 0,5 se A e B idepedetes P ( A / B) P( A) se A e B idepedetes P( AIB) P( A / B) P( AIB) P( A / B). PB 0,5. 0,5 0, PB ( ) ( ) 5 Isto é, podem ou ão ser idepedetes, pois a hipótese de idepedêcia ão foi descartada. Sobre Itersecção Nula e Mutuamete Ecludetes: ( A / B). P( ) 0,5.0,5 0,5 0 P( AI B) P B ão tem itersecção ula e ão são mutualmete ecludetes Sobre a possibilidade de Represetarem uma Distribuição de Probabilidade: Por defiição podem represetar distribuições de probabilidade, pois todas as probabilidades estão o itervalo 0 p 5) Preecha as lacuas abaio e, em seguida, assiale a alterativa correta. O preço de um determiado produto apresetou um coeficiete de variação de. Seja dado que o produto teve uma redução de 0% em seu preço, o ovo coeficiete de variação é dado por 0 u.m.. a), u.m. b) u.m. c) 0 u.m. d) 7,5 u.m. A costrução do coeficiete de variação euciado por Triola (008) pág. 8 coforme abaio: s CV
Cosiderado propriedades de Esperaça Matemática euciadas por Moretti () pág. 8 e propriedades da variâcia euciadas por Moretti () pág. 5 e 5 temos: Se Y a Aplicado propriedades de Esperaça Matemática E ( Y ) ae. ( ) Aplicado propriedades de Variâcia Var ( Y ) a. Var( ) DP ( Y ) Var( Y ) a. Var( ) adp. ( ) Temos: Y a > Y 0,8 Seja i média de preços iicial, preços fial. f 0,8. i e s f 0,8. si f média de preços fial, s i desvio padrão de preços iicial, s f desvio padrão de s 0,8. s i f i CV i e CV f i f 0,8. i Etão CVi CVf 0u. m. s si i 55) Com relação à Teoria da Amostragem, assiale a afirmativa icorreta. a) Na Amostragem Sistemática, a seleção do primeiro idivíduo é feita por Amostragem Aleatória Simples. b) Na Amostragem Estratificada, a população é divida em subpopulações com estratos mutuamete ecludetes. c) Na Amostragem Coglomerados, a população é dividida em subpopulações com coglomeros homogêeos. d) Na Amostragem Aleatória Simples, todas as uidades amostrais têm a mesma probabilidade de serem escolhidas. Por defiição os coceitos de amostragem defiidos por Bolfarie e Bussab (000) pág. 57 e Moretti (000) pág. a 6 e aalisamos abaio cada alterativa sobre os tipos de amostragem: Amostragem Aleatória Simples: De acordo com Bolfarie e Bussab (000) pág.77 e 78 e defiições supra citadas a Amostragem Aleatória Simples se caracteriza por dar a todos o elemetos amostra a mesma probabilidade a cada uidade amostral. Afirmação sobre o tipo de amostragem CORRETA. Amostragem Sistemática: De acordo com Bolfarie e Bussab (000) pág. e e defiições supra citadas a Amostragem Sistemática a seleção do primeiro elemeto é selecioado aleatoriamete segudo uma Amostragem aleatória simples. Afirmação sobre o tipo de amostragem CORRETA. Amostragem por Coglomerados: De acordo com Bolfarie e Bussab (000) pág. 87 o procedimeto amostral aalisado são costruídos através de coglomeros heterogêeos sedo uma micro represetação da população. Afirmação sobre o tipo de amostragem INCORRETA Amostragem Estratificada: De acordo com Bolfarie e Bussab (000) pág. a 7 a população é subdividida em parcelas bem defiidas, cada estrado tem sua subpopulação e isto caracteriza que as populações são mutuamete eclusivos (coceito apresetado por Magalhães e Lima (00) pág. 7). Afirmação sobre o tipo de amostragem CORRETA. As questões 56 e 57 referem-se ao teto a seguir. Um estudo sobre as características de plaos amostrais levatou iformações acerca de um plao amostral baseado em Amostragem Aleatória Simples com Reposição (AASc) e um plao amostral baseado em Amostragem Aleatória Simples sem Reposição (AASs), listado, a seguir, Estimadores ão viesados para a variâcia do estimador da média amostral deomiado como. Para > temos ( AASc) σ Var / - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
( ) s Var( AASs) N Ode N é o tamaho da população; é o tamaho da amostra; s é a variâcia da amostra; σ é a variâcia populacioal. 56) Aalise as afirmativas com plaos amostrais apresetados. I. De acordo com as propriedades do efeito do plao amostral EPA, a AASs apreseta melhor eficiêcia que a AASc. meor a variâcia de uma AASs. II. Quato maior a proporção da amostra ( ) III. s é sempre maior que Estão corretas somete as afirmativas a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) I, II e III. N σ em um plao amostral de AASc. JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA A) Para resolução do item I utilizaremos a comparação dos plaos amostrais AASs e AASc (Bolfarie e Bussab, 000 pág.06) I. Verdadeiro. Var Var ( AASs) ( AASc) N < N EPA para N > Para resolução do item II utilizaremos propriedades de uma AASs e costruiremos o estimador de variâcia (Bolfarie e Bussab, 000 pág.6) II. Verdadeiro. Observamos uma relação iversa etre variâcia e fração amostral por defiição: Var s. N ( AASs) Para resolução do item III utilizaremos os resultados de cálculo referete à distribuição amostral de s (Bolfarie e Bussab, 000 pág.86) III. Falso. Por defiição, há possibilidade de uma variâcia amostral ser meor que a variâcia amostral como eemplificado por Bolfarie e Bussab a distribuição amostral de s. Var 57) O resultado da razão etre Var a) b) N. N N. N N c). N N d). N ( AASs) ( AASc) resulta em JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA A) Para resolução desta questão utilizaremos a comparação dos plaos amostrais AASs e AASc (Bolfarie e Bussab, 000 pág.06). - 5 - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
58) Certa empresa deseja fazer uma pesquisa com seus clietes sobre a aceitação de uma ova liha de produtos; admite um erro máimo de ± potos percetuais para a estimativa da proporção ecotrada. Cosiderado que o tamaho é de 65 clietes, qual é o ível de cofiaça aproimado deste plao amostral? a),%. b),7%. c) 68,%. d) 5,%. O cálculo do tamaho da amostra é dado por: (Magalhães e Lima, 00 pág.) Z. pˆ.( pˆ) e α eq. Sedo a proporção estimada descohecida é cosiderado 5 00 pág.). Substituido esta proporção em eq. temos: Z p ˆ 0,, pois 0,5 maimiza pˆ.( pˆ ) 0,5. 0,5 65. 65 Z. α Zα Z e.(0,0) 65 α α (Magalhães e Lima, pˆ segue uma distribuição ormal para grade (>0) (Magalhães e Lima, 00 pág. e ), etão podemos descrever o ível de cofiaça como sedo: P( Z ) α < Z < Zα P( < Z < ) 0,68 5) A cidade de Atares está sofredo com o ivero rigoroso o ao de 0, cujas temperaturas os últimos 5 dias foram em média de ºC, com variâcia de 00ºC. Uma outra cidade, Metrópolis, também registrou temperaturas baias o mesmo período, com média de ºF e desvio padrão ºF. Dado que para trasformar a temperatura de Fahreheit (ºF) em Celsius (ºC): 5 TC ( TF ). Ode TC Temperatura em ºC e TF Temperatura em ºF. Preecha com A se a iformação está relacioada com a cidade de Atares e M se a iformação está relacioada com a cidade de Metrópolis. Em seguida, assiale a alterativa que apreseta a sequêcia correta. ( ) A meor média da temperatura. ( ) A meor variâcia da temperatura. ( ) O meor coeficiete de variação da temperatura. a) A M M b) M A M c) M A A d) A M A JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA A) Se Y a + b Propriedades de Esperaça Matemática (Moretti, pág.8) Propriedades da Variâcia (Moretti, pág.5 e 5) E ( Y ) ae. ( ) + b Var ( Y ) a. Var( ) DP ( Y ) Var( Y ) a. Var( ) adp. ( ) Utilizado propriedades de Esperaça para resolução do Item I. - 6 - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
5 I E [ TC] E ( TF ) ETF [ ]. E[ TF] E[A] ºC 5. 60 5 05 60 E[M] 5ºF E[A]<E[M] 5 60 Utilizado propriedades de Variâcia para resolução do Item II. 5 5 8 5 8 II Var [ TC] Var ( TF ) Var[ TF ]. Var[ TF] Var[A] 00ºC 5 5. 8. 8 8 Var[M] ( ) Var[A]>Var[M] 8ºF Utilizado coceitos para costrução do coeficiete de variação (Triola, 008 pág.8) para resolução do Item III. III - DPTC [ ] CV [ TC] ETC [ ] Var[ TC] ETC [ ] 00 8 CV[A] 5 [M ] 5 CV[A]>CV[M] CV,8 60) Seja,,..., uma variável aleatória que represeta o redimeto acadêmico de um aluo; tal variável segue uma distribuição ormal com média 6 e variâcia. Em um grupo de pessoas, qual é a probabilidade aproimada da soma destas otas ser meor que 0? a) 0,77. b) 0,866. c) 0,. d) 0,7. µ 6 e σ Y + + + Temos que: e dadas propriedades de Esperaça e Variâcia Moretti () pág. 8 a 5. E ( Y) E( + + + ) ( Y) Var( + + + ) 6 Var cosiderado s idepedetes Dado Y t 0 temos e utilizado técicas para calculo de população ormais Magalhães e Lima (00) pág.8 e 8. Z c y µ y 0,5 σ P α y ( Z < Z ) P( Z <,5) 0,5+ 0, 0, 6) O ciclo PDCA (do iglês: Pla [plaejameto], Do [eecução], Check [verificação], Actio [atuação corretiva]) é um método de gereciameto pertecete a técica de estatística de plaejameto e aálise de eperimetos. Qual das alterativas abaio ão faz parte dos pricípios básicos do plaejameto de eperimetos? a) Réplica. b) Aleatorização. c) Seleção de íveis. d) Formação de blocos. - 7 - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
Para realização de um plaejameto de eperimetos temos três básicos, que são Réplica, Aleatorização e Formação de Blocos. (Werkema e Aguiar, 6 pág.8) 6) Um parâmetro chamado Ψ pertece a uma determiada população. São elaborados estimadores ψ ˆ, ψ ˆ e ψ ˆ com as seguites características E ( ψ ˆ) ψ ( ψˆ ) < E( ψˆ ) E( ψˆ ) ( ψˆ ) < Var( ψˆ ) Var( ψ ) E Var < ˆ Com base estas iformações, aalise as afirmativas. I. O estimador ψ ˆ é mais eficiete que os demais para estimar o parâmetro Ψ. II. O estimador ψ ˆ é mais preciso que os demais estimadores. III. O estimador ψ ˆ é mais eficiete que o estimador ψ ˆ para estimar o parâmetro Ψ. IV. Os estimadores ψ ˆ e ψ ˆ tem a mesma eficiêcia para estimar o parâmetroψ. Estão corretas somete as afirmativas a) I e IV. b) I, III e IV. c) II e III. d) II, III e IV. - 8 - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A Para resolução dos ites de I a IV utilizaremos técicas de avaliação de Estimadores de Cosistêcia (Casella e Berger, 00 pág. 67 a 70) e Eficiêcia (Cassela e Berger, pág. 70 a 7). I. Falso. Na classe de estimadores ão viesados o estimador mais eficiete deve ter meor variâcia. II. Verdadeiro. Pois ψ ˆ é o de meor variâcia. III. Verdadeiro. ψ ˆ e ψ ˆ são estimadores ão viesados, ode ψ ˆ tem meor variâcia que ψ ˆ, etão ψ ˆ é mais eficiete. IV. Falso. O estimador ψ ˆ ão pode ser cosiderado o mais eficiete pois descohecemos a magitude do seu viés e para estimadores viesados a eficiêcia é medida pelo Erro Quadrático Médio, sedo Var ψ ˆ + Viés EQM ( ) 6) Preecha as lacuas abaio e, em seguida, assiale a alterativa correta. Sejam e Y variáveis aleatórias idepedetes, ode represeta o úmero de caras em 0 laçametos de uma moeda viciada, cujo úmero de caras é 50% maior do que o úmero de coroas e Y, uma variável aleatória, que segue Poisso com média igual a uidades de medida. Cria-se uma ova variável a partir da seguite relação: Z Y + 5 ode é o valor da esperaça de Z e é o valor da variâcia de Z. a) 8 / 8,6 b) 8 /,6 c) / 8,6 d) /,6 JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA D) Dadas as propriedades de Esperaça e Variâcia (Moretti, pág.8 a 5) para resolução dos Ites I e II temos: tem distribuição biomial com parâmetros e p ode: 0; p,5.pe ode pe é a probabilidade de coroas.,5. pe ( pe),5pe pe 0, etão p 0,6 A distribuição de apreseta as características (Ross, pág.6 e 5) que serão utilizadas para resolução do item I. I E [ ]. p 0.0,6 6 E [ Y]
E [ Z] E[ Y + 5]. E[ ] EY [ ] E[5] + 5 Y tem distribuição de poiso com parâmetro lambida igual a e apresetam características ieretes a esta distribuição e jutamete com o euciado acima para o item I podemos desevolver o item II. (Ross, pág.57,5 e 60) II Var [ ]. p.( p) 0.0,6.0,, Var [ Y] E[ Y ] Var[ Z] Var Y + ] Var[ Y ] [ Var[ ] + Var[ Y] Cov[, Y] Cov [, Y ], etão.,+, Se idepedete 0 Var [ Z] 6 6) Seja,,..., uma variável aleatória discreta com a fução de desidade de probabilidade epressa abaio. A variâcia desta distribuição é dada por a) /. b) 5/. c) /5. d) 5/. JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) Ecotrar primeiramete a equação da fução os lugares em que f() tem desidade ão ula e em cada itervalo ecotrar a equação da reta (Bojoro et al, ) logo temos: até (-)/ até / até (-)/ O cálculo da esperaça de uma fução aleatória cotíua (Ross, pág.0) é aplicado abaio: b ( ) ( ) E[ ]. f ( ) d d d d a. +. +. + + d d d. + + 8 6 7. + + 8 6 + 5 6 6 5+ 7 5+ 5+ 0...5,5 + + 6 6 Para o cálculo da esperaça de (Ross, pág.06) ode aplicamos este cálculo abaio em ossa fução: b ( ) ( ) [ ]. f ( ) d. d+. d+. d E a + + d d d. + + - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
6 8 7 8 56 56 08 8. + + 8 + 0 768 + 7+ 76+ 67 60 0... + + O cálculo da Variâcia de (Ross, pág.05) é uma operação algébrica, por isso utilizamos o cálculo abaio: Var [ ] E[ ] E[ ] 0 5 80 75-0 - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A 0 5 65) O modelo de regressão liear é ajustado Y ˆ a i + bi com o coeficiete de determiação 8% e o gráfico de resíduos apreseta heterocedástico do erro. Assim, pode-se afirmar que a) o coeficiete a o modelo ão é sigificativo. b) a estatística de teste t do modelo de regressão ão é válida. c) o coeficiete a estimado por míimos quadrados é viesado. d) ão é possível verificar heterocedasticidade do erro por gráficos de resíduos. JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) A) Icorreto: O coeficiete a isoladamete pode ser sigificativo está diretamete relacioado com a formulação do coeficiete de determiação. (Draper e Smith, 8 pág.) B) Correto: Para uma estatística t ser válida para um modelo de regressão devem ser satisfeitas hipóteses básicas relacioadas aos resíduos gerados pelos modelos: Normalidade, Idepedêcia, Média Zero e Variâcia Costate. Dado que a heterocedasticidade é observada quado ão há variâcia costate o valor da estatística de teste t para o modelo ão é válida. (Draper e Smith, 8 pág.60) C) Icorreto: Dado a esperaça do erro igual a zero e a variabilidade ierete a y a esperaça do estimador de míimos quadrados de a é ão viesado. (Draper e Smith, 8 pág. 8 e 0) D) Icorreto: Mostra que a heterocedasticidade é verificada o gráfico de resíduos versus ordem. (Draper e Smith, 8 pág.6 e 6) As questões 66, 67 e 68 referem-se ao teto a seguir. Deseja-se comparar o cosumo médio de combustível etre fabricates de motores para equipar um ovo jato de certo fabricate de aeroaves. Foram selecioados 5 motores de cada fabricate e apresetadas as duas estimativas a seguir. Quadrado Médio Etre Grupos QME Soma de Quadrados Detro dos Grupos SQD 8 66) Iforme se é verdadeiro (V) ou falso (F) sobre as afirmativas relacioadas com a situação-problema. A seguir, idique a opção com a sequêcia correta. ( ) O úmero de graus de liberdade detro dos grupos é de. ( ) O úmero de graus de liberdade etre os grupos é de. ( ) A soma de quadrados detro dos grupos é maior que etre os grupos. ( ) É possível estimar a variâcia amostral de todos os dados através da tabela Aova. a) V F F F b) F V F V c) V V V F d) F V V V JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA D) A costrução da tabela Aova (Draper e Smith, 8 pág. 75) ode é apresetada a relação da soma de quadrados e aálise de variâcia. Com base esta iformação da Tabela Aova respoderemos todos os ites euciados abaio: I. Falso. Número de graus de liberdade Detro do Grupo é a difereça do úmero de elemetos (0) pelo úmero de grupos () 6 5
II. Verdadeiro. Número de graus de liberdade Etre Grupos é determiado pelo úmero de grupos - grau de liberdade III. Verdadeiro. SQE QME * gle * 6 e SQD 8 etão SQD > SQE IV. Verdadeiro. Pois s SQT / 67) Preecha as lacuas abaio e, em seguida, assiale a alterativa correta. Através da tabela Aova pode-se calcular o valor do quadrado médio detro dos grupos de e, por coseguite, o valor da estatística F em. a) / b) / c) / d) / JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA B) (Draper e Smith, 8 pág. 75) Utilizaremos o cálculo do quadrado médio detro do grupo QMD e a estatística de teste F, sedo abaio utilizada para resposta do subitem I e II: I. QMD SQD / gld 8 /6 QME F QMD II. 68) Dados que o valor da estatística F com os graus de liberdade apresetados a tabela Aova é de,, pode-se afirmar que a) há difereça etre as médias o cosumo de combustível dos motores aalisados, pois o valor estimado é maior que o tabelado. b) há difereça etre as médias o cosumo de combustível dos motores aalisados, pois o valor estimado é meor que o tabelado. c) ão há difereça etre as médias o cosumo de combustível dos motores aalisados, pois o valor estimado é meor que o tabelado. d) ão há difereça etre as médias o cosumo de combustível dos motores aalisados, pois o valor estimado é maior que o tabelado. JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA A) (Draper e Smith, 8 pág. 75 e 76) a estatística de teste F é dada por: F > F, e por defiição rejeita-se a hipótese de igualdade etre as médias. cal tab As questões 6 e 70 referem-se ao teto a seguir. Um treiameto de tiro é realizado em um alvo circular com círculos cocêtricos (círculos com o mesmo cetro) com 8 cm e 0 cm de diâmetro. Supõe-se que a probabilidade de um soldado acertar um tiro o alvo é de 80%, que todos os potos deste alvo sejam equiprováveis e que os disparos realizados por este soldado sejam idepedetes etre si. 6) Iforme se é verdadeiro (V) ou falso (F) sobre as afirmativas relacioadas com a situação-problema. A seguir, idique a opção com a sequêcia correta. ( ) A probabilidade do soldado, em um disparo, acertar o tiro o círculo de maior diâmetro é maior que 60%. ( ) A probabilidade do soldado, em um disparo, acertar o tiro o círculo de meor diâmetro é meor que 5%. ( ) A probabilidade de se acertar o círculo de maior diâmetro é 6,5 vezes maior do que acertar o círculo meor. ( ) A probabilidade de se acertar o círculo de maior diâmetro é 5,5 vezes maior do que acertar o círculo meor. a) V F V F b) F F V F c) V V F V d) V V V F - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
Descrevedo os cojutos: A Acertar o Alvo. Acertar o Círculo Meor Y Acertar o Círculo Maior r 8/ cm r y 0/ 0 cm Para Calcular as probabilidades solicitadas primeiramete devemos utilizar coceitos descritos (Casella e Berger, 00 pág.7 a ) a respeito de defiição de probabilidades: P ( A) 0, 8 Área de Área de Y π. r π. 6π y cm π. r A π.0 6π 8π A + A y 6 π + 8π 00π cm etão: 6 π /00π 6% A A y 8 π /00π 8% - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A cm Para solução dos ites I e II temos que utilizar coceitos de probabilidade codicioal (Casella e Berger, 00 pág.0 a ) Item I Verdadeiro ( Y A) PY ( / A). P( A) 0,8. 0,8 0, 67 Item II Verdadeiro ( A) P( / A). P( A) 0,6. 0,8 0, 8 P I P I Para solucioar os ites III e IV temos que utilizar os valores ecotrados os ites I e II e calcular a seguite razão: Razão Y/ 0,67/0,8 5,5 Item III Falso Item IV Verdadeiro 70) Em um determiado treiameto, a acurácia pede que o soldado acerte um tiro o círculo de meor diâmetro e, em seguida, realize disparos até que destes tiros teha até cm de distâcia do primeiro. Dado que o soldado da situação-problema irá realizar este procedimeto, a esperaça do úmero de disparos realizados para eecutar a tarefa é a) 5. b) 50. c) 00. d) 5. JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA D) Tc Tiro certeiro A Tc Área Alvo A y 8π cm. Tc π r π. π cm Para calcular as probabilidades solicitadas primeiramete devemos utilizar coceitos descritos a respeito de defiição de probabilidades: (Casella e Berger, 00 pág. 7 a ) P ( A) 0, 8 Área de Área de Y π. r π. 6π y π. r A π.0 6π 8π A + A y 6 π + 8π 00π etão: π / 00π % A Tc Para solução deste quesito devemos utilizar coceitos de probabilidade codicioal (Casella e Berger, 00 pág.0 a ) P ( T A) PT ( / A). P( A) 0,0,. 0,8 0, 008 c I Acerto certeiro A c c T c I A
P ( A ) PT ( A) 0, 008 c c I A c é uma distribuição geométrica com esperaça dada por /p. (Casella e Berger, 00 pág.7) Etão E(A c ) /0,008 5 7) Aalise as afirmativas a seguir sobre o teste de hipótese. I. O poder de um teste é o complemetar da probabilidade do erro tipo II. II. O erro tipo II é a probabilidade de rejeitar a hipótese ula dado que ela é falsa. III. O erro tipo I é a probabilidade de rejeitar a hipótese ula dado que ela é verdadeira. IV. O poder do teste é igual à probabilidade de rejeitar a hipótese ula, dado um valor qualquer para o parâmetro, especificado ou ão pela hipótese alterativa. Estão corretas somete as afirmativas a) I e III. b) II e III. c) I, III e IV. d) II, III e IV. Para resolução dos ites I a IV devemos utilizar o coceito de Erros de Decisão (Moretti, 000 pág.75 a 77) ode: ( Erro TipoI) P( rejeitarh0 H Verdadeiro) α ( Erro TipoII) P( ão rejeitarh0 H Falso) β ( PoderTeste) P( rejeitarh H ) β P 0 P 0 P 0 0Falso I. Verdadeiro. De acordo com as probabilidades acima euciadas. II. Falso. O erro tipo II é defiido como P( ão rejeitarh H0Falso) III. Verdadeiro. O erro tipo I é defiido como ( rejeitarh H Falso) P 0 0. 0. IV. Verdadeiro. De acordo com as probabilidades acima euciadas. 7) A seguir, os gráficos de autocorrelação e autocorrelação parcial de um modelo Bo-Jekis ARMA, com o erro aleatório sedo um ruído braco e o módulo dos coeficietes da defasagem da série meor que. Com base as iformações dos gráficos, aalise as afirmativas. I. Represetam modelos autorregressivos. II. Represetam modelos de médias móveis. III. Represetam modelos estacioários. IV. Represetam modelos ivertíveis. Estão corretas somete as afirmativas a) I e III. b) I e IV. c) II e III. d) II e IV. - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
Utilizado técicas para idetificar modelos ARMA (Moretti e Toloi, 006 pág.50 e 5) observado os gráficos de FAC e FACP, os modelos ARMA a que se referem é um ARMA(0,) ou Média Móveis de Ordem. O modelo MA() é sempre estacioário, mas é ivertível somete quado os coeficietes de defasagem forem meor que. (Moretti e Toloi, 006 pág.) 7) Em um determiado posto de atedimeto de coleta de sague, o úmero de coletas realizadas por dia segue o modelo de distribuição de Poisso, com média de / coleta/hora. Com base estas iformações, o desvio-padrão é igual a a) 0,5. b) 0,5. c). d). JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA A) Utilizado características da distribuição Poisso (Ross, pág.5 e 60), e cosiderado uma variável aleatória que segue uma distribuição Poisso com parâmetro, temos as seguites propriedades: E ( ) e Var ( ). Com base isto o desvio padrão da variável apresetada é: DP ( ) Var( ) 0,5 0, 5 7) Num determiado aeroporto, o tempo gasto para se fazer um check-i apresetação do passageiro à compahia aérea segue uma distribuição uiforme, com o itervalo de 0 a 0 miutos. Qual a probabilidade do tempo gasto por um passageiro ser maior que a média mais do desvio-padrão? ( ) a) ( ) 5 b) ( ) c) 6 ( ) 5 d) 5 Utilizado características da distribuição Uiforme Cotíua (Ross, pág. 07 e 08) e cosiderado uma variável aleatória que segue esta distribuição temos: a+ b Se segue uma distribuição Uiforme (a, b) com E( ) e Var( ) Utilizado as propriedades da distribuição do euciado acima temos que: E a+ b 0 ( ) 5 DP ( ) Var( ) ( b a) ( b a) ( 0 0) A partir deste resultado calculamos a probabilidade solicitada: P > 5+ 5. P > 5+ 5. 0 5 5 5. 5. 5 5 0 0 ( b a). ( ) 6 - - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
As questões 75 e 76 referem-se ao teto a seguir. Uma ura cotém bolas amarelas, bolas bracas e bolas pretas e retiram-se bolas com reposição. Sejam e Y variáveis aleatórias ode: se a primeira bola retirada for Amarela e 0 caso cotrário e Y se a seguda bola retirada for Braca, Y se a seguda bola retirada for Preta e Y 0 caso cotrário. 75) Preecha as lacuas abaio e, em seguida, assiale a alterativa correta. As variáveis e Y represetam uma distribuição cojuta da qual o valor da esperaça margial de vale e variâcia margial de Y vale. a) 8/ /8 b) 8/ 8/8 c) / /8 d) / 50/8 A partir dos dados forecidos podemos defiir a distribuição cojuta de e Y como: Y 0 Total 0 / / / 8/7 /7 / /7 /7 / Total / / Para resolução dos ites utilizaremos os cálculos da probabilidade margial das variáveis e Y (Moretti, pág. 55 e 56) e o cálculo de esperaça e variâcia (Moretti, pág.5 e 50). Var I. E [ ] II. E [ Y] E [ Y ] 0. +. 8 0. +. +. 0. +. +. [ Y] EY [ ] E[ Y] 8 08 6 8 8 76) Relacioe as coluas e marque a alterativa que apreseta a sequêcia correta. (Algumas letras ão serão usadas.) (A) / (B) 0 (C) / (D) 6/8 (E) 8/ (F) 6/8 (G) 6/8 ( ) Esperaça de. ( ) Variâcia de Y. ( ) Variâcia de + Y. ( ) Correlação etre e Y. a) C D D B b) A F D G c) C F A G d) E G B F JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA A) Para resolução do item I utilizaremos o cálculo de esperaça (Moretti, pág. 5) utilizado a probabilidade margial de. I. E [ ] 0. +. - 5 - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
Para resolução dos ites II e III utilizaremos propriedades de variâcia e covariâcia (Moretti, pág.5 e 5) utilizado a probabilidade margial de e Y. Var Var E II. E [ ] 0. +. [ ] E[ ] E[ ] [ Y] EY [ ] E[ Y] [ Y] Cov Var 8 + 7 8 08 6 8 8 + 0. +. + 7 7 7 7 7 8 8 8 8. 7 7 8+ Cov, Y + 8 8 VarY + Cov, + 8. 0. + 0. + 0.. [, Y] E[, Y ] E[ ]. E[ Y] 0 [ Y] Var ] + Var[ Y] [ ] 8 7 [ III. Var [ + Y] Var ] + [ ] [ Y] 6 8 8+ 8 [ Para resolução do item IV utilizaremos a defiição de correlação etre duas variáveis (Moretti, pág. 6): IV. Corr [ Y] [, Y] Cov 0, 0 Var[ ]. Var[ Y] Var[ ]. Var[ Y ] 6 8 77) Preecha as lacuas abaio e, em seguida, assiale a alterativa correta. Em uma pesquisa eleitoral, utilizado uma amostra aleatória de tamaho 50, estimou-se que a probabilidade dos eleitores votarem em certo cadidato era de 50%, com uma margem de erro de ± % e com ível cofiaça de %. Com um tamaho de amostra de pessoas, reduzir-se-ia a margem de erro pela metade, com o mesmo ível. a) 00 b) 5 c) 50 d) 00 JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA D) Cosiderado o tamaho de amostra para proporção (Magalhães e Lima, 00 pág.) temos: Zα. pˆ.( pˆ) e Calculado dois tamahos de amostra para diferetes marges de erro: ii fim Z Z 0,5. 0,5. α ii Zα. e. e Z α e 0,5. 0,5. α Z. Z. ( e / ) fim α α.( e / ) e e. Fazedo a razão etre os tamahos de amostra e calculado o tamaho de amostra com redução da margem de erro. fim ii Z Z α α e e e e ii 50 etão fim. ii.50 00 Z α 78) Em certa cidade, acredita-se que a distribuição dos tipos saguíeos (A, B, AB e O) siga uma distribuição uiforme discreta. Para testar esta tese, foi realizada uma pesquisa com 0 pessoas da qual costatou-se que 0% era do tipo A, 5% do tipo B, 5% do tipo AB e 0% do tipo O. Defiiu-se em realizar um teste qui-quadrado de aderêcia e a distribuição uiforme discreta iicialmete apresetada era adequada. O valor da estatística qui-quadrado proposta é de - 6 - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A
a) 0,6. b),. c),. d),8. O cálculo da aderêcia da distribuição com os valores observados é realizado calculado o seguite score quiquadrado: (Magalhães e Lima, 00 pág. 68) ( O E) ( 0) ( 0 0) ( 0 0) ( 6 0) χ + + + E 0 0 0 0 χ 6+ 6, 0 7) Foi utilizado um diagrama de caias (Bo-plot) para resumir iformações de grupos A, B, C e D, ode cada grupo dispuha de elemetos coforme apresetado a seguir. 0 Boplot of A; B; C; D 8 Data 7 6 5 A B C D Com base as iformações do gráfico, aalise as afirmativas. I. O grupo B tem distribuição simétrica. II. O valor míimo dos valores é observado o grupo C. III. A distribuição de valores do grupo C é assimétrica egativa. IV. A distribuição de valores do grupo D é assimétrica egativa. V. As amplitudes dos grupos A e C são iguais. Estão corretas apeas as afirmativas a) I, II e IV. b) I, III e V. c) III, e V. d) IV e V. JUSTIFICATIVA DA ALTERNATIVA CORRETA: (LETRA D) Para resolução dos ites I a V deve ser utilizado coceitos de assimetria (Triola, 008 pág. 70) e represetação através do Diagrama de Caias (Bo-Plot) (Triola, 008 pág.8 a 0). I. Falso. Mediaa do grupo B º Quartil ou º Quartil mostrado ser uma distribuição assimétrica. II. Falso. O valor míimo (5) ecotra-se o grupo D. III. Falso. A distribuição do grupo C é assimétrica positiva: Média > Mediaa IV. Verdadeiro. A distribuição do grupo D é assimétrica egativa: Média < Mediaa V. Verdadeiro. A amplitude dos grupos A e C é igual a. - 7 - Gabarito Cometado EA EAOT 0 Estatística Versão A