Univeridade de Coimbra Análie e Proceamento de BioSinai Metrado Integrado em Engenharia Biomédica Faculdade de Ciência e Tecnologia Univeridade de Coimbra Slide Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Tópico: Univeridade de Coimbra Análie de Fourier de Sinai Compoto Introdução Tranformada de Fourier de Sinai Periódico Convolução e Multiplicação de Sinai Periódico e Não-Periódico Tranformada de Fourier de Sinai Dicreto no Tempo Amotragem Recontrução de Sinai a partir de Amotra Proceamento Dicreto no Tempo de Sinai Contínuo Slide Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Introdução: Univeridade de Coimbra Em itema é muito comum coeitirem inai que ão repreentado de forma diferente (DTFS, FS, DT, e que e mituram. Em particular a eguinte clae de inai podem er miturado: Sinai Periódico e Não-Periódico Sinai Contínuo e Dicreto Eemplo: Um inal periódico é aplicado a um SLIT e a aída correponde à convolução da repota a impulo (inal não-periódico e o inal de entrada (inal periódico. Um inal contínuo é amotrado e proceado. Slide 3 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Univeridade de Coimbra TF de Sinai Periódico : A repreentação de um inal periódico ω ( t = X [ k] k = Sendo a frequência fundamental do inal. Aplicando o par eguinte e a propriedade do delocamento em frequência aplicado a um impulo jkω t A epreão anterior obtemo e e jkω t ( ω ( t é ( ω k ω Frequência fundamental k = k = jkω t ( t = X [ k] e X ( j = X [ k] ( k ω ω ω Slide 4 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Univeridade de Coimbra TF de Sinai Periódico : Podemo concluir que a de um inal periódico é uma érie de impulo epaçado da frequência fundamental k = k = jkω t ( t = X [ k] e X ( j = X [ k] ( k ω ω ω ω A epreão motra como converter entre repreentaçõe e FS de um inal periódico. Slide 5 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Univeridade de Coimbra TF de Sinai Periódico : Eemplo: Repreentação de um co-eno co Subtituindo o coeficiente em Obtemo FS, ω ( ω t X [ k] co, =, k = ± k ± ( t = co( ω t k = k = jkω t ( t = X [ k] e X ( j = X [ k] ( k ω ω ω ( ω t X ( jω = ( ω ω + ( ω + ω Slide 6 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Univeridade de Coimbra TF de Sinai Periódico : Eemplo: Repreentação de trem de impulo p t t T ( Se é um trem de impulo inal de período e frequência O coeficiente FS ão dado por ( = ( t nt n= ω T [ ] ( ω X k = t e dt = jk t T T T Subtituindo em Dee modo obtemo k= k = jkω t ( t = X [ k] e X ( j = X [ k] ( k ω ω ω ( j = ω ( ω k ω P T k = um trem de impulo no tempo é ainda um trem de impulo na frequência. Slide 7 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia TF de Sinai Periódico : Univeridade de Coimbra Eemplo: Repreentação de trem de impulo Um trem de impulo no tempo é ainda um trem de impulo na frequência. p ( t = ( t nt n= ( j = ω ( ω k ω P T k = Slide 8 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
TF de Sinai Periódico : Univeridade de Coimbra A repreentação DTFS para um inal N-periódico é Ω N k = [ n] = X [ k] jkω n Sendo a frequência fundamental do inal. De forma imilar ao cao anterior obtemo uma epreão que relaciona a DTFS e a DT. A partir do coeficiente da DTFS e a frequência fundamental podemo obter a repreentação para a DT. e Frequência fundamental Ω N k = k = jkω n DT jω [ n] = X [ k] e X ( e = X [ k] ( Ω kω Slide 9 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia TF de Sinai Periódico : Univeridade de Coimbra A partir do coeficiente da DTFS e a frequência fundamental podemo obter a repreentação para a DT. Ω N k = k = jkω n DT jω [ n] = X [ k] e X ( e = X [ k] ( Ω kω Slide Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
TF de Sinai Periódico : Univeridade de Coimbra Eemplo: Repreentação DT de um inal Periódico Determinar a tranformada invera DT da repreentação epectral da figura abaio com = Ω N que e eprea por jω X e = Utilizando o par ( ( Ω Ω ( Ω + Ω, < Ω j Conclui-e X k = k = ; X k =, k = ;, outro k N Slide Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia j N k = k = jkωn DT jω [ n] = X [ k] e X ( e = X [ k] ( Ω kω [ ] [ ] (, 4j 4j TF de Sinai Periódico : Univeridade de Coimbra Eemplo: Repreentação DT de um inal Periódico A partir do coeficiente X [ k] = k = ; X [ k] =, k = ;, outro k ( N, 4j 4j Podemo determinar o inal original jω n j n [ n] [ ( e e ] in( n Ω = = Ω j Slide Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
TF de Sinai Periódico : Univeridade de Coimbra Eemplo: Repreentação DT de um inal Periódico Determinar a tranformada invera DT da repreentação epectral da figura abaio com = Ω N um trem de impulo no tempo é ainda um trem de impulo na frequência. jω X e = Ω Ω Ω + Ω, < Ω ( ( ( j j jkω t ( t = X [ k] e ( [ ] ( X jω = X k ω k k= k = Slide 3 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Univeridade de Coimbra Convolução de Sinai Compoto: Convolução de Sinai Periódico e Não-Periódico y ( t = h( t ( t Y( jω = X ( jω H( jω Utilizando a epreõe anteriore que relaciona a de um inal periódico e a propriedade de delocamento para um trem de impulo chegamo à relação ( t = ( t h( t Y( jω = H( jkω X[ k] ( ω kω y k= Ete par permite etabelecer a relação, no domínio da frequência, entre a mitura de um inal periódico X ( jω e um inal nãoperiódico H. ( jω Sinal de Entrada Tranformada de Fourier da Repota a Impulo Slide 4 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Univeridade de Coimbra Convolução de Sinai Compoto: Convolução de Sinai Periódico e Não-Periódico Slide 5 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia TF de Sinai Periódico: Univeridade de Coimbra Eemplo: SLIT com Entrada Periódica Conidere um SLIT com a eguinte repota a impulo ao qual é aplicado o inal periódico eguinte ( t = ( in ( t h t Pretende-e determinar a aída do itema recorrendo à propriedade da convolução. ( t = ( t h( t Y( jω = H( jkω X[ k] ( ω kω y k= Slide 6 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
TF de Sinai Periódico: Univeridade de Coimbra Eemplo: SLIT com Entrada Periódica A repota em frequência do SLIT é Pela epreão Como h O produto é dado por motrando que, ω = in j t t H ω =, ω > ( t = ( t h( t Y( jω = H( jkω X[ k] ( ω kω ( t ( ( ( Y y k= ( jω H ( jω X ( jω Y = ( jω = ( ω + ( ( + ω + ω H ( jω actua como um filtro paa - baio. Slide 7 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia TF de Sinai Periódico: Univeridade de Coimbra Eemplo: SLIT com Entrada Periódica Y jω = H jω X jω Sendo ( ( ( Y o produto epreo graficamente por ( jω = ( ω + + ( ω + ( ω Utilizando a invera obtemo a aída. t ( t = ( ( co( y + Slide 8 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Univeridade de Coimbra Multiplicação de Sinai Compoto: Multiplicação de Sinai Periódico com Não-Periódico Sinal Gate y ( t = g( t ( t Y( jω = G( jω X ( jω ( t Sendo periódico e tendo em atenção a propriedade de delocamento da função impulo chegamo à relação ( t = g( t ( t Y( jω = X[ k] G( j( ω kω y k= Sinal de Entrada g ( t ( t A multiplicação de com a função periódica dá origem a uma que é uma oma peada de verõe delocada de G. ( jω Slide 9 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Univeridade de Coimbra Multiplicação de Sinai Compoto: Multiplicação de Sinai Periódico com Não-Periódico Sinal Gate ( t = g( t ( t Y( jω = X[ k] G( j( ω kω y k= Sinal de Entrada A multiplicação com a função periódica dá origem a uma que é uma oma peada de verõe delocada do epectro do inal periódico. Slide Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Univeridade de Coimbra TF de Sinai Dicreto no Tempo: [ n] j Ω ( Ω j n X e = [ n] e Coniderando a repreentação DT de um inal dicreto arbitrário k = DT jω [ n] X ( e DT ( t X ( jω Pretendemo obter o par correpondente ao par DT em que ( t é o inal contínuo no tempo que correponde a n e correponde à DT de. [ ] X ( X ( jω jω Slide Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Univeridade de Coimbra TF de Sinai Dicreto no Tempo: [ n] A repreentação contínua no tempo e correpondente a correponde a uma decrição amotrada do inal com período cuja relação com a frequência dicreta atravé de ( t = [ n] ( t n= nt Ω = ωt T ( t = [ n] ( t nt X ( jω = [ n] n= Slide Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia n= e jωtn
Amotragem: Univeridade de Coimbra A amotragem de um inal contínuo no tempo é uma operação que gera um inal dicreto no tempo e permite operaçõe de proceamento do inal por computadore. O inal dicreto correponde a um conjunto de amotra do inal que ão múltiplo inteiro de um inal amotrado n = nt Sendo [ n] ( t = [ n] ( t nt ( t = ( nt ( t nt n= ( nt ( t nt = ( t ( t nt n= podemo etabelecer [ ] ( ( t ( t p( t = com p ( t = ( t nt n= repreentando o inal amotrado como produto do inal contínuo com um trem de impulo. Eta repreentação é deignada amotragem impulional. Slide 3 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Univeridade de Coimbra Amotragem: A multiplicação correponde à convolução no domínio da frequência dada por Como P com a frequência de amotragemω A convolução final vem ( t ( t p( t = X ( jω = X ( jω P( jω ( jω = ( ω kω a relação vem X T k = ( jω = X ( jω ( ω kω X T k= ( jω = X ( j( ω kω T k= = T O epectro de um inal amotrado é uma oma infinita de verõe delocada do epectro do inal ante da ua amotragem Slide 4 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Amotragem: Univeridade de Coimbra W < ω < W Banda do Sinal ω = W T = ω ω = 3W ω =. 5W Slide 5 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Amotragem: Univeridade de Coimbra T = ω ω = W ω = 3W aliaing O aliaing é um fenómeno em que a componente de alta-frequência do inal continuo amotrado e identificam com a componente de baia frequência do inal dicreto. Ocorre empre que a frequência de amotragem é inferior a W. ω =. 5W Slide 6 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Univeridade de Coimbra Amotragem: A frequência de amotragem deve er empre que a condição T < /W > W o que implica deve er atifeita para er poível obter um epectro limpo e recuperar o inal poteriormente. ω Slide 7 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Univeridade de Coimbra Amotragem: Para inai dicreto A DT do inal amotrado é obtido de com Ω = ωt com a variável independente o que implica DT j [ n] X ( e Ω = X ( jω ω = ω Ω = ω = ω ω = T X ( jω utilizando a relação ω = T Ω Slide 8 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Amotragem: Univeridade de Coimbra Ω = ω = ω ω = T Epectro periódico Slide 9 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Univeridade de Coimbra Amotragem: Eemplo: Amotragem de uma inuóide Conidere o inal Determine a do inal amotrado para o intervalo de amotragem T = 3,, 4 A do inal é Graficamente: ( t = co( t ( t = co( t X ( jω = ( ω + ( ω + Slide 3 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Univeridade de Coimbra Amotragem: Eemplo: Amotragem de uma inuóide Sendo e ubtituindo em: X jω = T X j ω kω k= Obtemo ( X jω = ( ( T ω + kω + ω kω k= endo X ( jω um par de impulo eparado de ma centrado numa frequência que é um múltiplo inteiro da frequência de amotragem. Sendo T ( t = co( t X ( jω = ( ω + ( ω + = ω 3,, 4 ( ( ( a repectiva frequência de amotragem erão ω = = 8,, 4 T 3 Slide 3 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Amotragem: Univeridade de Coimbra T = 4 ω 8 = T = ω = T = ω = 4 3 3 Slide 3 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Univeridade de Coimbra Recontrução de Sinai: A recontrução de um inal contínuo no tempo envolve a mitura de inai dicreto no tempo e contínuo no tempo. O problema da recontrução revela-e difícil e é neceário que determinada condiçõe e cumpram para que a recontrução eja poível. Notar que a amotra, por i, não revelam nada obre o comportamento do inal entre o intervalo da amotra Slide 33 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Recontrução de Sinai: Univeridade de Coimbra Uma da retriçõe é aegurar que o inal recontruído realize uma tranição entre a diferente amotra. Eta retrição etá relacionada com a frequência máima do inal e correponde a limitar a largura de banda do inal. ( ( Seja t X jω a repreentação de um inal de banda limitada tal que X ( jω = para ω > ωm. Se ω > ωm,com ω = T a frequência de amotragem, então o inal ( t pode er recontruído a partir da amotra nt, n =, ±, ±,. ( L Slide 34 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Univeridade de Coimbra Recontrução de Sinai: Eemplo: Selecção do intervalo de Amotragem Sendo t = in t ( ( t ( t determine a condição para o intervalo de amotragem T de forma que eita uma única olução para a recontrução de. Fazendo a do inal podemo determinar a máima frequência preente no inal. t ( ( jω ω m X ( jω, =, ω ω > ω Sendo ω = m a repectiva frequência de amotragem deverá er ω = T > T < Slide 35 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Univeridade de Coimbra Recontrução de Sinai: Recontrução Ideal Se o par t X amotrado é ( ( jω X ( jω = X ( j( ω kω T k= eite então a repreentação do inal O objectivo da recontrução é aplicar uma operação a que permita obter X ( jω. Io equivale a realizar a multiplicação do epectro pelo filtro H r ( jω T, =, ( X jω ω ω ω > ω X ( X jω ( jω = X ( jω H ( jω r Slide 36 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Univeridade de Coimbra Recontrução de Sinai: Recontrução Ideal Sendo a multiplicação do epectro dada por X ( jω = X ( jω H r ( jω ( t = hr ( t ( t ( t = [ n] ( t nt T in ( ( ω t h t = n= com e. r t Sendo o reultado da convolução dado por ( t = hr ( t ( t = hr ( t [ n] ( t nt = n= n= [ n] h ( t nt = [ n] inc( ω ( t nt r n= Soma peada de epectro Slide 37 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Univeridade de Coimbra Recontrução de Sinai: Recontrução Ideal ( t = h ( t ( t = [ n] inc( ω ( t nt r n= Slide 38 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Univeridade de Coimbra Recontrução de Sinai: Recontrução Ideal A operação decrita por ( t = h ( t ( t = [ n] inc( ω ( t nt é ideal e não pode er realizada na prática porque: n= - É não- caual (depende de valore de valore futuro da entrada [n] - A influência de cada amotra tem etenão temporal infinita. r Recontrução Prática Sample & Hold Caua traniçõe abrupta na aída e uma aproimação em ecada do inal de aída Slide 39 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Univeridade de Coimbra Recontrução de Sinai: Recontrução Prática Sample & Hold O itema Sample & Hold ou Zero-order hold pode er repreentado por uma compoição de inai de pulo delocado de múltiplo inteiro do intervalo de amotragem. h ( t, =, < t < T t <, t > T A convolução da entrada pelo itema ample & hold é ( t = h ( t ( t = h ( t [ n] ( t r nt n= Slide 4 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Univeridade de Coimbra Recontrução de Sinai: Recontrução Prática Sample & Hold De forma equivalente Cujo epectro é h Que introduz modificaçõe no inal ( t = h ( t ( t = h ( t [ n] ( t - Imagen atenuada - Ditorção na amplitude - Fae linear X ( t H ( jω ( t r nt n= ( jω H ( jω X ( jω = e = ( ωt jωt in ω Slide 4 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Univeridade de Coimbra Recontrução de Sinai: Recontrução Prática Sample & Hold A compenação deta modificaçõe é feita com um filtro epecial cujo epectro é Slide 4 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Proceamento Dicreto de Sinai: Univeridade de Coimbra O itema típico de converão de inai contínuo e proceamento dicreto tem vário bloco de proceamento Slide 43 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia Univeridade de Coimbra Proceamento Dicreto de Sinai: Sobre amotragem Slide 44 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia
Sumário Univeridade de Coimbra Tranformada de Fourier de Sinai Periódico Convolução e Multiplicação de Sinai Periódico e Não-Periódico Tranformada de Fourier de Sinai Dicreto no Tempo Amotragem Recontrução de Sinai a partir de Amotra Proceamento Dicreto no Tempo de Sinai Contínuo Slide 45 Análie e Proceamento de BioSinai MIEB Adaptado do lide S&S de Jorge Dia