Univsidad Fdal d Santa Cataina Fom th SltdWoks of Sgio Da Silva 00 Esolha Inttmpoal Sgio Da Silva Availabl at: https://woksbpssom/sgiodasilva/39/
Esolha Inttmpoal Hal R Vaian Intmdiat Mioonomis, 8th dition Capítulo 0 Consumi agoa? Consumi dpois, usando a poupança d agoa? Est tipo d solha d onsumo qu laiona o psnt ao futuo é um xmplo d solha inttmpoal Rstição oçamntáia inttmpoal Digamos qu o onsumido pis solh quanto onsumi d to bm m dois píodos d tmpo Dnotamos a quantidad d onsumo m ada píodo po (, ) ; supomos qu os pços d ada píodo fiqum onstants iguais a um: p = p = ; dnotamos a quantidad d dinhio qu o onsumido possui m ada píodo po ( m, m ) ; supomos qu dinhio sja tansfido do píodo paa o píodo atavés d uma poupança qu não nd juos ( = 0 ) supomos qu o onsumido não pod toma dinhio mpstado: o máximo qu pod gasta no píodo é m Na Figua, vmos qu, nss modlo, a ta oçamntáia apsnta inlinação p m m m m = = =, intpto hoizontal = = = m intpto vtial = = = m p p p O onsumido onsom toda a sua nda (dotação) m ada píodo ( = m no píodo = m no píodo ) ou onsom mnos do qu m no píodo, poupando paa onsumi mais do qu m no píodo Ess modlo pod s ampliado paa lva m onta o fato d qu o onsumido pod mpsta ou toma mpstado a uma taxa d juos Podmos ontinua supondo qu
p = p = S o onsumido poupa ( < m ), b juos pla quantidad poupada m a quantidad qu podá s onsumida no píodo sá dada po: = m + ( m ) + ( m ) = m + ( + )( m ), () ond m ( ) é a nda d juos bida pla quantidad poupada no píodo S, no píodo, o onsumido onsumi mais do qu sua nda ( > m ), tomando mpstado paa paga a quantia m om juos ( m) no píodo, ntão a quantidad qu podá s onsumida no píodo sá: = m ( m ) ( m ) Podmos simplifia ssa xpssão paa: = m ( + )( m ), qu é a msma quação () Potanto, a quação () fon a ta oçamntáia inttmpoal Po la, sabmos qu, s m > 0, o onsumido bá juos po sua poupança; s m < 0, o onsumido pagaá juos plo mpéstimo fito s m = 0, ntão m = m =, o qu signifia qu o onsumido não tomaá mpstado, potanto, não bá nm pagaá juos Podmos sv a quação () omo: = m + ( + )( m ) () = m + ( + ) m ( + ) ( + ) + = ( + m ) + m ( ) Como a quação ( ) é uma ta oçamntáia, stá implíito qu o pço do onsumo no psnt é p = + qu o pço do onsumo no futuo é p = Como o pço do onsumo futuo é igual a, a quação ( ) fon a ta oçamntáia m tmos do valo futuo Podmos dividi a quação ( ) po + : m + = m+ + + ( ) Agoa o pço do onsumo psnt fia sndo p = o pço do onsumo futuo, p + = Como o pço do onsumo psnt é igual a, a quação ( ) fon a ta oçamntáia m tmos do valo psnt
Na Figua, o intpto hoizontal é nontado onsidando = 0 na ta m oçamntáia m tmos do valo psnt ( ) Fiamos om = m + + O intpto vtial, po sua vz, é nontado onsidando = 0 na ta oçamntáia m tmos do valo futuo ( ) Fiamos om = ( + ) m+ m Como p = p + = na quação ( ), a inlinação =, logo p p Inlinação = = ( + ) + Potanto, s aumnta, a ta oçamntáia fiaá mais íngm na Figua, giando m tono do ponto d dotação A ta gia m tono do ponto d dotação plo fato d qu a dotação sá smp assívl Assim, paa dtminada dução m, o onsumido obtá mais d Pfênias inttmpoais O fomato d uma uva d indifnça inttmpoal infoma o gosto do onsumido nt onsumi agoa ou dpois Po xmplo, na uva d indifnça d inlinação igual a (Figua 3), o onsumido sá indifnt nt onsumi hoj ou amanhã O onsumo d hoj o d amanhã são bns substitutos pfitos a TMS nt hoj amanhã sá igual a Na Figua 4, tmos uma uva d indifnça qu psnta o gosto d onsumi quantidads iguais hoj amanhã, sm s qu substitui o onsumo d um píodo plo do outo: o onsumo d hoj o d amanhã são bns omplmntas pfitos Na Figua 5, tmos uma uva d indifnça onvxa qu psnta o gosto d onsumi ta quantidad média m ada píodo Paa onsgui isso, o onsumido pod
qu substitui ta quantidad do onsumo d hoj po ta quantidad do onsumo d amanhã Estátia ompaativa Dada a ta oçamntáia inttmpoal do onsumido suas pfênias d onsumo * * inttmpoais, s, na solha ótima (, ), < m, o onsumido sá um mpstado (Figua 6a); s > m, l sá um tomado d mpéstimo (Figua 6b)
No aso m qu l é um mpstado ( < m ), s ( + ) (Figua 7), a ta oçamntáia inttmpoal fiaá mais íngm, otando m tono do ponto d dotação o onsumo psnt ontinuaá mno do qu m Potanto, o onsumido ontinuaá na ondição d mpstado Obsv qu não podá fia à diita d m poqu isto violaia a pfênia vlada: solhas à diita d m stavam disponívis na solha iniial mas foam ptidas m função da solha d S ( + ) (Figua 8), a ta oçamntáia inttmpoal fiaá mais ditada, giando m tono do ponto d dotação o onsumo psnt podá fia maio do qu m Potanto, o onsumido podá sai da ondição d mpstado (ou não, já qu não podmos o ao agumnto da pfênia vlada nsta situação)
No aso m qu o onsumido é um tomado d mpéstimo ( > m ), s ( + ) (Figua 9), a ta oçamntáia inttmpoal fiaá mais ditada, giando m tono do ponto d dotação o novo onsumo psnt ontinuaá maio do qu m Potanto, o onsumido mantá a ondição d tomado d mpéstimo, o qu é gaantido pla pfênia vlada S ( + ), a ta giaá m tono do ponto d dotação, fiando mais íngm Potanto, o onsumido podá ou não s tona mpstado (já qu não podmos o à pfênia vlada nsta situação) Contudo, s l ontinua sndo tomado d mpéstimo
(omo dsnhado na Figua 0), sua situação pioaá, pois fiaá m uma uva d indifnça mais baixa Equação d Slutsky na solha inttmpoal Uma vaiação d pço apsnta tanto um fito-substituição omo um fito-nda na quantidad dmandada A quação d Slutsky spaa sts dois fitos:
p p m, t s m = + ( m ) t s ond p é o fito total, p é o fito substituição m é o fito nda Na solha inttmpoal, s p aumnta fia mais alto do qu p, o onsumido substituiá onsumo psnt po onsumo futuo, além disso, fiaá mnos io no psnt, omo s sua nda m diminuíss S p : o onsumo d hoj fia mais ao do qu o d amanhã Isto pod s visto atavés da ta oçamntáia m tmos d valo futuo ( ), ond p = +, potanto, p ( ) = + Como p signifia qu o onsumido vai qu onsumi mnos no píodo, s, assim, o fito-substituição signifia qu: m p s < 0 m Quanto ao fito-nda, s o onsumo psnt fo d um bm nomal, m, potanto, m m > 0 Lvando m onta os dois sultados antios na quação d Slutsky, o sntido do fito total do aumnto d p, dado po p, dpndá m última anális do sinal d m Assim, s o onsumido fo tomado d mpéstimo, m < 0 t < p t 0 Isto signifia qu o aumnto da taxa d juos duziá o onsumo psnt do tomado d mpéstimo, poqu l tia qu paga mais juos no futuo Poém, s o onsumido fo mpstado, a quação d Slutsky não nos pmit sab o fito do aumnto d sob o t onsumo psnt D fato, om m > 0, p pod apsnta qualqu sinal Vaiação d pços Podmos agoa abandona a hipóts d qu os pços m ada píodo são onstants ( p = p = ) paa onsida inflação ou dflação Supomos qu o pço om onstant dpois dix d s Substituindo, ntão, p = p na ta oçamntáia inttmpoal (), fiamos om:
p = p m + ( + )( m ) () ou + = m + ( m ) ( ) p Compaando om (), o qu mudou foi o tmo + m vz d + Como p p =, p = + π, (3) ond π é a taxa d simnto do pço qu o onsumido spa paa o póximo píodo Substituindo (3) m ( ): + = m + ( m ) ( ) + π A taxa d juos al ρ é dfinida omo: + + ρ = (4) + π Substituindo (4) m ( ): = m + ( + ρ)( m ) ( ) Enquanto a quação () infoma o onsumo adiional do píodo no aso m qu o onsumido ab mão d unidads montáias no psnt, a quação ( ) infoma o onsumo adiional do píodo no aso m qu o onsumido ab mão d unidads d bns d onsumo no psnt Considando (4): + + ρ = + π + + ( + π ) + π ρ = = = + π + π + π π ρ = (4 ) + π Paa um valo d π pquno, + π ρ π, (4 )
ond é onhida π, não, já qu é uma pvisão Po xmplo, s a taxa d juos nominal fo 7% o onsumido ata na pvisão da taxa d inflação m %, a taxa d juos al aabaá sndo 6%: ρ 007 00 006 = 6% Valo psnt Nas tas oçamntáias: ( + ) + = ( + m ) + m ( ) m + = m+ + +, ( ) o tmo à diita da igualdad da quação ( ) infoma o valo da dotação m tmos d valo futuo, nquanto o tmo à diita da igualdad da quação ( ) infoma o valo da dotação m tmos d valo psnt No qu s f ao valo futuo, s o onsumido pud toma mpstado ou mpsta $ atual à taxa d juos nominal, no futuo o quivalnt sá + dólas, poqu o onsumido pod mpsta a um bano $ hoj à taxa d juos st sá tansfomado m $ ( + ) no póximo píodo Potanto, $ ( + ) no póximo píodo quivalm a $ hoj Potanto, + é o pço d $ hoj m lação a $ no póximo píodo Como as unidads montáias do píodo têm pço igual a na quação ( ), sta stá sndo xpssa m tmos d unidads montáias futuas No qu s f ao valo psnt, tudo é mdido m tmos d unidads montáias d hoj Na quação ( ), as unidads montáias do píodo têm pço igual a Quanto valá $ no póximo píodo m dólas d hoj? Rsposta: + dólas Poqu $ podm + s tansfomados m $ no píodo sguint, poupando-s bndo-s juos à taxa Assim, o valo psnt do dóla a s ntgu no póximo píodo é + Um plano d onsumo sá assívl s o valo psnt do onsumo fo igual ao valo psnt da nda S o onsumido pud ompa vnd bns livmnt a pços onstants, l pfiá a dotação mais alta, poqu isto signifia a ta oçamntáia mais aima Analogamnt, s o onsumido pud mpsta ou toma mpstado livmnt a uma taxa d juos onstant, l pfiá a dotação d maio valo psnt, poqu a ta oçamntáia inttmpoal staá mais aima o onsumido podá aumnta su onsumo nos dois píodos Quanto maio fo o valo psnt d uma dotação, maio também sá o valo futuo Costumamos solh a anális plo valo psnt apnas po ma onvniênia A dotação d maio valo psnt popoiona maio onsumo m ada píodo s o onsumido pud mpsta toma mpstado à taxa d juos (Figua ) Esolhndo a taxa d juos apopiada Como há difnts taxas d juos, paa o álulo do valo psnt solhmos aqula qu sja a mlho altnativa do uso do dinhio, já qu a taxa d juos md o usto d opotunidad do dinhio Paa um fluxo d pagamntos nvolvndo um dtminado gau d
iso, pisamos o a uma taxa d iso smlhant Paa um fluxo d tinta anos, usamos uma taxa d juos d tinta anos, assim po diant Valo psnt paa tês píodos Com a taxa d juos onstant po tês píodos, $ apliado hoj ndá $ ( + ) no píodo sguint Rapliando sta nova quantia, la ndá $ ( + ) no tio píodo Comçando om $ + hoj, st s tansfoma m $ no píodo 3 A ta oçamntáia inttmpoal fia sndo m m + + = m + + + ( + ) + ( + ) 3 3 (5) Not qu p = p = + p = ( + ) 3 Em gal, p = t ( + ) t
om a taxa d juos onstant, = = S a taxa d juos não fo onstant, a ta oçamntáia s modifia paa m m + + = m + + ( )( ) ( )( ) 3 3 + + + + + + Qual sá o valo psnt d $ no futuo? Dpnd d quando é o futuo d quanto é a taxa d juos (Tabla ) Tabla Ano 5 0 5 0 5 30 Taxa d Juos 005 095 09 078 06 048 037 030 03 00 09 083 06 039 04 05 009 006 05 087 076 050 05 0 006 003 00 00 083 069 040 06 006 003 00 000 Na Tabla, onsidando o ano om = 0%, tmos: $ VP = = = = 083 ( + 00) () Já paa o ano 30 om = 5%, tmos: $ VP = = = = 005 00 30 30 ( + 05) (5) 6677 Cálulo d um fluxo d pagamntos O valo psnt pmit onvt dtminado fluxo d pagamntos m unidads montáias d hoj S dois invstimntos gam difnts fluxos d pagamnto, dv-s solh o d maio valo psnt Exmplo O onsumido ompa uma asa fazndo um mpéstimo Su fluxo d nda sá M M, o fluxo d pagamntos sá dado po P + P, + El onsguiá paga s ou M M M M P + > P + + + M P + + P + > 0 M P + P+ > 0
VPL > 0 Potanto, sá um bom invstimnto s o valo psnt líquido fo positivo Exmplo O invstimnto A ga $00 agoa $00 no póximo ano O invstimnto B ga $0 agoa $30 no póximo ano Qual é o mlho? Dpnd da taxa d juos Paa = 0, o invstimnto B sá mlho: 00 00 VP = 00 + A 00 300 + = + + 0 = VP B = 30 30 0 + 0 30 + = + + 0 =, ond VP A é o valo psnt do invstimnto A VP B o valo psnt do invstimnto B Todavia, paa = 00 (0%), o invstimnto A sá mlho: 00 00 VP A = 00 + = 00 + = 6667 + 0 30 VP B = 0 + = 5833 + 0 Exmplo 3 O onsumido faz uma ompa d $000 no pimio dia do mês usando su atão d édito A taxa d juos obada no atão d édito é 5% ( = 005 ) S o onsumido paga os $000 no final do mês não havá nagos finanios S não paga nada, tá o nago d $30 ( = 000 005 = 30 ) Poém, s l paga a maio pat, digamos $800, na pátia l tomou mpstado apnas $00 O nago finanio dvia s $3 ( = 00 005 = 3) Muitas mpsas não fazm sta onta invntam o onito d saldo médio mnsal, signifiando qu o onsumido passou 30 dias om saldo dvdo d $00 O saldo médio mnsal sá d quas $000 o nago d quas $30, omo no aso m qu o onsumido não pagou a onta Títulos A missão d títulos po mpsas govno é uma foma d s toma mpstado ofndo aos onsumidos difnts fluxos d aixa ao longo do tmpo, qu podm s usados paa o onsumo m um píodo ou m outo Bônus são tipos spífios d títulos ond o tomado d mpéstimo (qu mit o bônus) pomt paga a quantia fixa d x unidads montáias (upom) po dtminado píodo, até a data d matuidad T, quando o valo d fa F é pago ao potado do bônus O fluxo d pagamntos do bônus é ( x, xx,,, F ) o valo psnt paa a taxa d juos onstant é: x x F VP = + + + + ( + ) ( + ) T
Como o pço d um dóla pago no futuo diminui quando a taxa d juos aumnta (Tabla ), o valo psnt d um bônus diminui quando a taxa d juos aumnta Pptuidads (ou onsols) são um tipo d bônus qu faz pagamnto paa smp Paa a pptuidad qu paga $ x po ano, o valo psnt é ou x x VP = + + ( + ) + x x VP = x + + + + + ( + ) VP = x + VP + ( ) x VP VP = + + + VP x VP = + + VP( + ) VP x = + + VP + VP VP = x x VP = Potanto, quando VP Esta última fómula pod s utilizada paa s alula o valo apoximado d um bônus d longo pazo (po xmplo, d 30 anos) Exmplo 4 S = 0% a pptuidad pomt paga $0 po ano paa smp: 0 VP = = 00 00 S subi paa 0%, ntão: 0 VP = = 50 00 Exmplo 5 O onsumido toma mpstado $000 paa paga m pstaçõs mnsais d $00 ada Quanto l iá paga d juos? Tomando o fluxo d pagamntos (000, 00, 00,, 00) igualando su valo psnt a zo pmit aha Há
fómulas pontas paa failita st álulo Vja, po xmplo, http://wwwoolmathom/alulatos/paymnthtm A sposta do poblma é: o onsumido pagaá 35% d juos (obsv qu não é 0%!) Impostos S a nda d juos fo tibutada, paa ada dóla adiional d nda, m, o imposto a paga aumntaá m t m Apliando-s X m um ativo, b-s X na foma d pagamntos d juos Mas também s paga tx d imposto A taxa d juos após o imposto sá ( t ) a nda qu fia após o imposto sá ( tx ) Est é o ponto d vista do mpstado Do ponto d vista do tomado d mpéstimo, s o pagamnto d juos X fo dsontado do imposto a paga tx, a taxa d juos após o imposto ontinuaá sndo ( t ) o usto d toma mpstado sá ainda X tx = ( t) X Potanto, paa onsumidos na msma faixa d tibutação, a taxa d juos após o imposto sá a msma tanto paa qum mpsta omo paa qum toma mpstado S o imposto fo sob a poupança, l duziá a quantidad d dinhio qu o onsumido qu poupa Já um subsídio à tomada d mpéstimo aumntaá a quantidad d dinhio qu o onsumido dsja toma mpstado Sgio Da Silva 00 sgiodasilvaom