Teorema da Função Inversa

3 a aula, 29-03-2007 Teorema da Função Inversa Teorema da Função Inversa Seja : (X n, p) (Y n, q) um mapa suave tal que D p : T p X n T q Y n é um isomorismo. Então existe U X n aberto tal que (1) p U, (2) W = (U) é aberto em Y n, (3) U : U W é bijectiva, (4) a inversa ( U ) 1 : W U é suave. Segue da regra da cadeia que a unção g = ( U ) 1 tem derivada Dg q = (D p ) 1. Sendo este um resultado local, podemos tomar cartas locais, de X n em torno de p, e de Y n em torno de q, e reduzir a prova a um representante do mapa nestas cartas locais. Suponhamos então que : é um mapa suave, com domínio aberto D R n, tal que D 0 : R n R n é um isomorismo. Designamos por (0) x a matriz Jacobiana de na origem. Para inverter a relação y = (x) vamos usar o Teorema da Função Implícita aplicado à equação F (x, y) = y (x) = 0, onde F : D R n R n assim deinida F é uma unção suave. Como F (0, 0) = 0 (0) = 0, e (0, 0) = (0) é uma x x matriz invertível, pelo Teorema da Função Implícita, o conjunto M = {(x, y) : F (x, y) = y (x) = 0 } é localmente, numa vizinhança de (0, 0), um gráico x = g(y) de uma unção suave g : W R n R n. Mais precisamente, existe um aberto V D R n tal que M V = { (x, y) R n R n : y W e x = g(y) }. Seja U = {x R n : (x, (x)) V }. U é aberto porque a aplicação x (x, (x)) é contínua. Se x U então (x, (x)) M V, o que implica (x) W e g((x)) = x. Logo, (U) W e g = id U. Se y W então (g(y), y) M V, o que implica g(y) U e y = (g(y)). Logo, g(w ) U e g = id W. Aplicando a ambos os lados da inclusão g(w ) U obtemos W = ( g)(w ) = (g(w )) (U) W, o que prova a igualdade W = (U). Logo, é uma bijecção entre U e W, cuja inversa é ( U ) 1 = g. Equivalência entre Mapas Introduzimos a seguir uma relação entre mapas, que em certo sentido é análoga à relação ser dieomoro a entre variedades. Dois mapas suaves : X Y e 1 : X 1 Y 1 dizem-se equivalentes sse existir um par de dieomorismos 1

2 φ : X X 1 e ψ : Y Y 1 tais que ψ = 1 φ. Por outras palavras, o seguinte diagrama é comutativo. X Y 1 X 1 Y1 Algumas observações, cujas veriicações icam ao cuidado do leitor: (1) O dieomorismo φ estabelece uma correspondência bijectiva entre os pontos críticos de e os pontos críticos de 1. (2) O dieomorismo ψ estabelece uma correspondência bijectiva entre os valores críticos de e os valores críticos de 1. (3) A relação ser equivalente a entre mapas é uma relação de equivalência. Fixando duas variedades X e Y, o espaço C (X, Y ) de todas as aplicações suaves : X Y pode ser munido de uma topologia natural, habitualmente chamada a topologia de Whitney. Um mapa C (X, Y ) diz-se estável se or equivalente a todos os mapas próximos, nesta topologia. Os mapas estáveis correspondem a classes de equivalência abertas. Identiicando a circunerência S 1 com o quociente S 1 = R/Z, o mapa : S 1 R, (x) = sin(2 π x), é estável. Este mapa tem dois pontos críticos não degenerados, um máximo e um mínimo. A igura seguinte mostra um exemplo de um mapa g : S 1 R, com ponto crítico degenerado, de tipo cúbico, que é instável. Note que g tem três pontos críticos, mas perto de g existem mapas com dois e quatro pontos críticos respectivamente. A instabilidade de mapas é enómeno associado à ocorrência de singularidades, i.e., de pontos críticos degenerados. O conceito de equivalência pode ser localizado. Dados mapas : (X, p) (Y, q) e 1 : (X 1, p 1 ) (Y 1, q 1 ) dizemos que e 1 são localmente equivalentes sse existirem dieomorismos locais φ : (X, p) (X 1, p 1 ) e ψ : (Y, q) (Y 1, q 1 ) tais que ψ = 1 φ. Por outras palavras, o diagrama seguinte é comutativo. (X, p) (X 1, p 1 ) (Y, q) 1 (Y1, q 1 )

Topologia Dierencial 3 Teorema da classiicação local de mapas em pontos regulares Seja p X n um ponto regular de um mapa suave : (X n, p) (Y k, q). Então (1) se n = k, é localmente equivalente à identidade id :. (2) se n > k, é localmente equivalente à projecção linear π : (R k, 0), π(x 1,..., x n ) = (x 1,..., x k ). (3) se n < k, é localmente equivalente à inclusão linear ι : (R k, 0), ι(x 1,..., x n ) = (x 1,..., x n, 0,..., 0). Caso n = k. Tomem-se cartas locais φ : (X n, p) e ψ : (Y k, q) (R k, 0). Seja = ψ φ 1 o representante de nestas cartas. Como p é regular, D 0 é um isomorismo. Pelo teorema da unção inversa, admite uma inversa local g :. O seguinte diagrama comutativo (X n, p) id (Y n, q) g id mostra que é localmente equivalente à identidade id :. Caso n > k. Tomem-se cartas locais φ : (X n, p) e ψ : (Y k, q) (R k, 0). Seja = ψ φ 1 o representante de nestas cartas. Como p é regular, rank(d 0 ) = k. Isto signiica que a matriz Jacobiana (0) tem as suas k linhas x linearmente independentes, e, portanto, tem pelo menos k colunas linearmente independentes. Sem perda de generalidade podemos ( supor que) isto acontece com as primeiras k colunas. Por outras palavras, det (0) (x 1...,x k 0. Seja então ) g : R n R n o mapa g(x) = ( (x 1,..., x n ), x k+1,..., x n ). Deinindo π : R n R k, π(x 1,..., x n ) = (x 1,..., x k ), temos = π g. O mapa g tem matriz Jacobiana na origem [ ] x (0) = (0) (0) (x 1...,x k ) (x k+1...,x n), O I com determinante det ( ( ) (0)) = det (0) x (x 1,...,x k 0. Logo, g : ) é um dieomorismo local. Finalmente, o seguinte diagrama comutativo (X n, p) g (Y k, q) id π

4 mostra que é localmente equivalente à projecção linear π : (R k, 0). Caso n < k. Tomem-se cartas locais φ : (X n, p) e ψ : (Y k, q) (R k, 0). Seja = ψ φ 1 o representante de nestas cartas. Como p é regular, rank(d 0 ) = n. Isto signiica que a matriz Jacobiana (0) tem as suas n colunas linearmente independentes, e, portanto, tem pelo menos n linhas linearmente x independentes. Sem perda de generalidade podemos ( supor que) isto acontece com as primeiras n linhas. Por outras palavras, det ( 1,..., n) (0) (x 1...,x n) 0. Seja então g : R k R k o mapa g(x) = (x 1,..., x n ) + (0,..., 0, x n+1,..., x k ). Deinindo ι : R n R k, ι(x 1,..., x n ) = (x 1,..., x n, 0,..., 0), temos = g ι. O mapa g tem matriz Jacobiana na origem [ ( 1,..., n) x (0) = (0) O (x 1...,x n) ( n+1,..., k ) (0) I (x 1...,x n) com determinante det ( ( ) (0)) = det ( 1,..., n) (0) x (x 1,...,x n) é um dieomorismo local. ], 0. Logo, g :

Topologia Dierencial 5 Finalmente, o seguinte diagrama comutativo (X n, p) id (Y k, q) g 1 ι mostra que é localmente equivalente à inclusão linear ι : (R k, 0). Submersões e Imersões Seja : X n Y k um mapa suave. A aplicação diz-se: (1) uma imersão sse n < k e não tem pontos críticos. (2) um dieomorismo local sse n = k e não tem pontos críticos. (3) uma submersão sse n > k e não tem pontos críticos. Recordemos que uma aplicação : X Y se diz aberta sse para cada subconjunto aberto U X, (U) or aberto em Y. Teorema Seja : X n Y k, n k, um mapa suave sem pontos críticos. Então é uma aplicação aberta. Em particular, se X n é compacto e Y k conexo então é sobrejectiva. Pelo teorema da classiicação de mapas sem pontos regulares, numa vizinhança de

6 cada ponto p X, é localmente equivalente a uma projecção linear π : R n R k, π = id quando n = k. Como, em qualquer caso, a projecção π é uma aplicação aberta, o mapa é aberto numa vizinhança de p. Logo, é localmente um mapa aberto. Tendo em conta a propriedade ( i I V i) = i I (V i), é globalmente um mapa aberto. Como é aberta, o conjunto (X n ) é aberto em Y k. Mas como X n é compacto, (X n ) é também compacto, o que implica que seja echado em Y k. Como Y k é conexo, sendo (X n ) simultaneamente não vazio, aberto e echado em Y k, tem-se (X n ) = Y k. Logo, é sobrejectiva. Teorema Seja : X n Y n um dieomorismo local duma variedade compacta X n noutra variedade conexa Y n. Então todas as pré-imagens 1 (y), com y Y n, têm o mesmo número inito de elementos. Exercício 33. Teorema Seja : X n Y k uma submersão duma variedade compacta X n noutra variedade conexa Y k. Então todas as pré-imagens 1 (y), com y Y k, são variedades de dimensão n k dieomóricas entre si. Ver exercício adiante.