FUNÇÃO Introdução ao Cálculo Diferencial I /Mário DEFINIÇÃO Seja D um subconjunto dos reais, não vazio. Definir em D uma função f é eplicitar uma regra que a CADA elemento D associa-se a UM ÚNICO R. Notação Observações D: domínio da função f D R R: contradomínio da função f f = f(): imagem de.. Eemplo Sendo D = 1, 2, 3, seja definida a função f, tal que f() = = 2 + 3. Se tomarmos: = 1 = f(1) = 2.1 + 3 = 5 = 2 = f(2) = 2.2 + 3 = 7 = 3 = f(3) = 2.3 + 3 = 9 Logo D = 1, 2, 3 Im = 5, 7, 9 R Está contido REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO A representação gráfica de uma função f com domínio D, é o conjunto dos pontos (,) do plano, tais que: D e = f() R. (pertence) Eemplos 1- Construir os gráficos e eplicitar o domínio e o conjunto imagem das funções. a) = 2 6 1
= 2* - 6 Observações: 1. D = ]-, + [ = R 2. Im = ]-, + [ = R 3. = 3 é raíz da função f() = 2 6 (valor em que a reta corta o eio 0, abscisas). 4. = -6 é o coeficiente linear (valor em que a reta corta o eio 0, ordenadas). b) = ² - 2 3 = ^2-2* - 3 2
Observações: 1. D = ]-, + [ = R 2. Im = ]-4, + [ = { ϵ R/ -4} 3. = -1 e = 3 são as raízes da função = ² - 2 3. 4. = -3 é o valor em que a parábola corta o eio 0, ordenadas. 5. O intervalo de ]-, 1] a função é decrescente e o intervalo de ]1, + [ a função é crescente. 6. = -4 é o valor mínimo da função = ² - 2 3. c) f() = 1 D = { ϵ R/ 0} = R { 0 } = R* Im = R - { 0 } d) f ( ) 3
D = { ϵ R/ 0} = R + = [0, + ) Im = { ϵ R/ 0 } = R + = [0, + ) e) f() = =, se 0 -, se < 0 D = R Im = { ϵ R / 0} = R + = [ 0, + ) 4
2- Determine o domínio das funções: a) f ( ) 5 5 0 - -5 (-1) 5 D = { ϵ R / 5} = ( -, 5] b) g( ) 3 3 0 3 D = { ϵ R / 3} = [ 3, + ) c) s( ) 5 3 f() g() f() g() 3 5 f g 3 5 D (f+g) = [3, 5] = { ϵ R / 3 5 } Eercícios 1- Seja f() = ( 2)(8 ) para 2 8. a) Determinar f(5), f(1/2), f(-1/2) b) Qual o domínio de f()? c) Determinar f( 1-2t) e indicar o domínio. 5
d) Determinar f[f(3)] e f[f(5)]. e) Traçar o gráfico de f(). 2- Determinar o domínio das seguintes funções: a) = ² b ) 1 4 c) 2 d) ² 4 e) ² 4 3 4 f ) 3 7 g 3 5 ) 7 8 h ) 1 3- Usando uma ferramenta gráfica (geogebra, winplot, outros), traçar as curvas definidas pelas equações dadas, identificando as que representam o gráfico de uma função = f(). Neste caso, determine a função, o domínio e o conjunto imagem. a) = 3-1 b) ² = 0 c) ² - = 0 d) 4 ² 0 e) ² ² 16 1 f) g) ² 11 4- Construir o gráfico, determinar o domínio e o conjunto imagem da seguinte função ³, se 0 f() = 1, se 0 < < 2 ², se 2 6
5- Determine algebricamente os valores de, tais que f() < g(), sendo f() = 2 +1 e g() = 4. Usando uma ferramenta gráfica, traçar o gráfico das funções e comparar os resultados. 6- Determinar algebricamente os valores de, tais que o gráfico de f() esteja abaio de g(), sendo f() = ² -1 e g() = 1 ². Usando uma ferramenta gráfica, traçar o gráfico das funções dadas e comparar os resultados. 7
1 - Função Constante: = k. FUNÇÕES USUAIS Introdução ao Cálculo Diferencial I /Mário k D = R Im = k 0 Obs: O gráfico da função constante ( = k) é uma reta paralela ao eio O. Eemplo: = f() = 3 D = R 3 Im = 3 0 2- Função afim ou do primeiro grau: = a + b. D = R Im = R 0 Obs: o gráfico de = a + b, é uma reta do sistema cartesiano SIGNIFICADO DE a e b. 2 P 2 ( 2, 2 ) 1 P 1 ( 1, 1 ) 0 1 2 8
Se tomarmos o quociente (Taa de variação da função afim) a b ( a b) a b a b a( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a Logo = a Sendo = 1 / 1 = a = a. Isto significa que a é a variação em para CADA aumento UNITÁRIO em (chamado assim de coeficiente angular ou declividade da reta). Fazendo ainda = 0, teremos: = a.0 + b = b. Isto é: b identifica o ponto de interseção da reta com o eio O (ordenadas). Eemplos 1- Dada a função real = 5 +2, pede-se: a) o coeficiente angular b) o ponto de interseção com o eio 0. c) o gráfico da função. 2- Calcular a equação de uma reta = a + b que contém os pontos P 1 (1, 3) e P 2 (3, 7). 3- Calcular a equação da reta que contém o ponto P(3, 8) e tem declividade a = -2. Eercícios 1- Representar graficamente as retas dadas por: a) = 2. 4 b) = -2. + 10 2- Escrever a equação da reta que contém os pontos: a) A = (-2, 3) e B = (2, 5) b) A = (2, 10) e B = (6, 1) c) P 1 = (1, 5) e P 2 = (3, -1) d) P1 = (1, -3) e P2 = (4, 3) 3- Escrever a equação da reta que contém o ponto P e tem o coeficiente angular (declividade) a, em cada caso: a) P = (3, 5) e a = 2 b) P = (0, 5) e a = -1 9
c) P = (-2, 1) e a = 5 4- Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele num gráfico, obtemos a figura abaio. Se for mantida sempre essa relação entre tempo e altura, qual será a altura da planta no 30º dia? 2 altura(cm) 1 tempo(dias) 2 4 5- O gráfico abaio fornece a posição S(t), em Km, ocupada por um veículo, em relação ao Km O (zero) da estrada em que se movimenta, para vários instantes t (em h). S(t) 150 100 50 2 4 t Pede-se a) Qual é a função horária que descreve a posição desse veículo em função do tempo? b) Em que instante o veículo ocupará a posição S = 500 Km? 4- Uma empresa produz trufas de chocolate, cujo custo de fabricação pode ser dividido em duas partes: uma fia de R$ 1.500,00 e uma variável onde cada trufa custa R$ 0,50 para ser produzida. a) Escreva a epressão custo total C de produção mensal para uma produção de unidades. ( = C = a + b). b) O custo total de produção para 1000 trufas. c) Quantas trufas serão necessárias produzir para que o custo total seja de R$ 3.000,00? 10
Definição Introdução ao Cálculo Diferencial I /Mário FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÂO DO 2º GRAU A função f: R R dada por f() = a² + b + c, com a, b, c reais e a 0, denomina-se função quadrática. Eemplos: f() = ² - 4 3 (a = 1, b = -4, c = -3) f() = ² - 9 (a = 1, b = 0, c = -9 ) f() = 4² + 2 3 (a = 4, b = 2, c = -3) f() = -² - 5 (a = -1, b = -5, c = 0) f() = 7² (a = 7, b = 0, c = 0) Gráfico Para construirmos o gráfico da função quadrática no plano cartesiano, vamos proceder da mesma maneira como fizemos para a função do 1º grau. O gráfico de uma função quadrática é uma curva aberta chamada parábola. Observação: A função f() = ² - 2 3, temos a = 1(a > 0) => a parábola tem a concavidade voltada para cima. a > 0 A função f() = -² + 2 + 3, temos a = -1 (a< 0) => a parábola tem a concavidade voltada para baio. a < 0 Zeros (ou raízes) de uma função do 2º grau. Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de que anulam a função, ou seja, que tornam f() = 0. Estes valores nós calculamos usando o algoritmo de Bhaskara que é: onde = b² - 4ac (discriminante!) 11
Da mesma forma que, para as equações do 2º grau: Introdução ao Cálculo Diferencial I /Mário Se > 0 a função = a² + b + c tem duas raízes reais distintas ( ). Se = 0 a função = a² + b + c tem duas raízes reais iguais ( = ). Se < 0 a função = a² + b + c não tem raízes reais. Observação: As raízes são os valores de em que a parábola corta o eio das abscissas (). Eemplos: Determinar as raízes (zeros) das funções: a) = ² - 4 5 solução: Fazendo ² - 4 5 = 0, teremos = b² - 4ac = (-4)² - 4.1.(-5) = 16 + 20 + 36 = b ( 4) 36 4 6 = -1 e = 5 2. a 2(1) 2 = ^2-4* - 5 12
b) = 4² + 20 + 25 solução Resolvendo a equação : 4² + 20 + 25 = 0, teremos: = (20)² - 4.(4).(25) = 400 400 = 0 20 0 20 5, logo = = -5 / 2. 2.4 8 2 = 4*^2 + 20* + 25 2- A função f() = ² - 2 + 3k tem dois zeros reais iguais. Nestas condições, determinar os valores de k. Solução: A condição para que a função tenha zeros reais iguais é que = 0. = b² - 4.a.c = (-2)² - 4.1.(3k) = 4 12k 4 12k = 0 => 12k = 4 => k = 4 / 12 => k = 1 / 3. EXERCÍCIOS 1- Determinar os zeros(raízes) das seguintes funções: a) = ² - 7 + 10 b) = 2² - 3 + 4 c) = ² + 2 + 1 13
ESTUDO DO VÉRTICE DA PARÁBOLA Vamos estudar, neste item, o vértice da parábola e observar as consequências desse estudo: As coordenadas do vértice A parábola, que representa o gráfico da função f() = a² + b + c, passa b por um ponto V, chamado vértice, cujas coordenadas são : v = 2. a (abscissa) e v = (ordenada) 4.a Os esboços dos gráficos, no diversos casos, são os seguintes: > 0 a > 0 a < 0 4.a -b/2a -/4.a -b /2a = 0 a > 0 a < 0 0 -b/2.a 0 -b / 2.a < 0 -/4.a a < 0 a > 0 -b/2.a 0 -/4.a 0 -b/2.a 14
b Logo vértice da parábola é o ponto: V (, ). 2. a 4. a IMPORTANTE: Quando: a > 0, o vértice funciona como sendo o ponto mínimo. Neste caso o valor mínimo da função é dado por: min = v = -/4.a Quando: a < 0, o vértice funciona como sendo o ponto máimo. Neste caso o valor máimo da função é dado por: ma = v = -/4.a Eemplos: 1- Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f() = ² - 2 3 e discutir quanto a ponto máimo ou mínimo. Solução: b ( 2) 2 v 1 2. a 2(1) 2 = b² -4.a.c = (-2)² - 4.(1).(-3) = 4 + 12 = 16 v 16 16 4 4. a 4(1) 4 Logo: o vértice é o ponto V(1, -4). Como (a = 1 > 0), então esse ponto é ponto de mínimo. 2- A função f() = ² - 6 admite valor máimo ou valor mínimo? Qual é esse valor? Solução: f() = ² - - 6 como a = 1 > 0, a função admite valor mínimo, que vamos calcular; a>0 min = - / 4.a = b² - 4.a.c = (-1)² - 4.(1).(6) = 1 + 24 = 25 v = -/4.a = -15 / 4 ( valor mínimo). 15
EXERCÍCIOS 1- Calcule as raízes da função f() = ² - 6 + 5 2- Dada a função f() = ² - 4-5, pede-se: a) f() tem ponto máimo ou mínimo? b) qual é o valor máimo ou mínimo de f()? 3- Um projétil é lançado do solo, verticalmente para cima. Desprezando-se a resistência do ar, e admitindo-se a aceleração da gravidade calculou-se a função que relaciona o espaço H em metros, e o tempo t em segundos, representada pela igualdade H = -4t² + 80t. Nessas condições, determine: a) o tempo gasto para o projétil atingir a altura máima. b) a altura máima atingida pelo projétil. c) o tempo gasto para o projétil voltar ao solo, após o disparo. 4- O custo diário da produção de uma indústria de aparelhos de telefone é dado pela função C() = ² - 86 + 2.500, onde C() é o custo em dólares e é o número de unidades fabricada. Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo? 5- Uma bala é atirada de um canhão de brinquedo e descreve uma parábola de equação = -3² + 6 (como mostra a figura). Onde e são medidos em metros. Assinale a alternativa correta. h A) A altura máima atingida pela bala é de 9m B) A altura máima atingida pela bala é de 3m V C) O alcance da bala na horizontal é de 6m h ma = v D) O alcance da bala na horizontal é de 4m E) A distância da bala percorrida na horizontal ao atingir a altura máima é de 2m 0 v 6- Sabe-se que a trajetória de um corpo lançado obliquamente, desprezados os efeitos de ar, é uma parábola. Um corpo lançado a partir do solo (figura) descreve uma parábola de equação: = -4 2 + 120 ( e são dados em metros) D Pode se: a) a altura máima atingida pelo corpo: CD b) a distância que se encontra o corpo do ponto de lançamento ao atingir a altura máima: AC. A C B 7- Eercícios 40, 43, 45, p 57, livro: Cálculo A, 6ª ed. FLEMMING. 16
1- Função Eponencial Introdução ao Cálculo Diferencial I /Mário FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTIMICAS Seja a um número real positivo a 1. A função dada por = a com R, recebe o nome de função eponencial Eemplos a. = 2 b. = ( 1 2 ) c- = 3 d- = ( 1 3 ) Gráfico da função eponencial. Como eemplo, faremos os gráficos dos eemplos a e c acima. a) = 2 (usando uma ferramenta gráfica) = 2^ Observações: 1. D = R 2. Im = ]0, + [ = R* + = { ϵ R/ > 0} 3. ponto (0, 1) pertence ao gráfico de = 2 a função = 2 é crescente, pois a base é a = 2 (a >0) c) = 3 ( manualmente!) Inicialmente, faremos uma tabela 17
= 3-2 1 9-1 1 3 0 1 1 3 2 9 = 3-2 = (1/3)² = 1/9 = 3-1 = 1/3 = 3 0 = 1 = 3¹ = 3 = 3² = 9 = 3^ Os outros itens ficam como eercícios. EXERCÍCIO RESOLVIDO Em juros compostos, o montante de uma aplicação de capital inicial C, a uma taa i, em n períodos é dado por: C(n) = C.(1 + i) n Podemos assim obter, o montante composto de um capital inicial de R$ 3.000,00 aplicados à taa de 2% a.m. durante 10 meses. Isto é: C = 3.000,00 i = 2% a.m. = 2 / 100 = 0,02 a.m. n = 10 m Logo C(10) = 3.000( 1 + 0,02) 10 = 3.000(1,02) 10 = 3.000. 1,218994 = R$3.656,98 Aplicações 18
1- Suponhamos que a população de um determinado país cresça eponencialmente. Sabe-se que daqui a t anos, sua população P será dada por P = 2,3.10 7.(1,2) t a) Qual é a sua população atual? b) Qual será sua população daqui a 2 anos? 2- Suponhamos que o valor de um carro usado decresça eponencialmente como tempo t. Seu valor V, em reais, daqui a t anos, será dado por V = 1,2.10 4.(0,81) t a) Qual é seu valor atual? b) Qual será seu valor daqui a 1 ano? c) Qual será seu valor daqui a 6 meses? 2- Função logaritmo Seja a um número real positivo, a 1. Se é um número real positivo eiste um único real tal que a =. O número assim obtido recebe o nome de logaritmo de na base a, e escrevemos: = log a. A função definida por = log a com > 0, recebe o nome de função logaritmo de base a. Gráfico da função logarítmica Eemplos a- = log 10 = log() b- = log 1 2 c- = log 3 d- = log 1/3 Como eemplos faremos apenas os itens a e c. a) = log() (usando uma ferramenta gráfica!) 19
= log() Observações: 1- D = R* + = ]0 ; + [ = { ϵ R/ > 0} 2- Im = R 3- O ponto (1, 0) pertence ao gráfico de = log(). 4- a função = log 10 () = log(), é crescente, pois a base é b = 10 (1 b>0) c) = log 3 = log 3 1/9-2 1/3-1 1 0 3 1 9 2 =log 3 (1/9)3 =1/93 =9-1 3 =(3²) -1 3 =3 -² =-2 =log 3 (1/3)3 =3-1 =-1 =log 3 (0)3 =3 0 =0 =log 3 (3)3 =3 1 =1 =log 3 (2)3 =3 2 =2 = log()/log(3); 0.0 <= <= 10 20
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LAGARITIMOS Sendo a, b, c números reais positivos com b 1, e n R + *, teremos: log b log ( a. c) log a log c b b b a log b( ) logb a l ogb c c log b log a log n a n.log a Eercícios sobre as propriedades operatórias de logaritmos. 1- Determine a) log 180 b) log 600 c) log 50 d) log(0,514) e) log 3 18 f) log 5 271 g) log 7 320 2- Resolva as equações: a) 3 = 20 b) 2,7 = 1,02 c) 5 +1 = 80 c c a b 3- Um capital de R$ 6.000,00 foi investido a juros compostos, a uma taa mensal fia de 3%. Após quanto tampo ele rendeu R$ 2.347,80? 4- Durante quanto tempo deve ser aplicado um capital a juros compostos de 5% ao mês, para que o rendimento obtido seja equivalente a 2 vezes o capital aplicado? 5- Após ser plantada, a muda de uma árvore começa a crescer. Sabe-se que sua altura H (em cm) após t meses, é dada pela função: H = 15. log 2 ( t +2) Calcule a) a altura da muda ao ser plantada. b) a altura da árvore daqui a 6 meses. c) a altura da árvore daqui a 8 meses. b 21
d) Em quanto tempo a altura da árvore atinge 60 cm? e) Em quanto tempo a altura da árvore dobre? Introdução ao Cálculo Diferencial I /Mário 6- Numa dada cidade a população atual é de 380.000 habitantes. Se a população apresenta uma taa de crescimento anual de 1,5%, estime o tempo necessário para a população duplicar. Use um modelo de crescimento eponencial. 7- A meia vida do rádio-226 é de 1.620 anos. a) Obter o modelo de decrescimento eponencial para esta substância. b) Após 700 anos, qual o percentual de uma dada quantidade inicial de rádio ainda resta? 8- Uma certa substância radioativa decai eponencialmente sendo que, após 100 anos, ainda restam 60% da quantidade inicial. a) Obter o modelo de decaimento eponencial para esta substância. b) Determinar a sua meia-vida. c) Determinar o tempo necessário para que reste somente 15% de uma dada massa inicial. REFERÊNCIAS: ANTON, Howard. Cálculo Um Novo Horizonte. 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2006, vol 1, 578p. FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 5ª ed. São Paulo: Makron. 2006. SILVA, S. M. da et al. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002. ÁVILA, Geraldo. Introdução ao cálculo. Rio de Janeiro: Editora JC, 1998. LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo: Harbra, 1984. 22