MODELO DE FECHAMENTO PARA DENSIDADE DE FORÇA INTERFACIAL DO MODELO DE DOIS FLUIDOS SEM DECOMPOSIÇÃO DE FORÇAS SOBRE A INTERFACE

MODELO DE FECHAMENTO PARA DENSIDADE DE FORÇA INTERFACIAL DO MODELO DE DOIS FLUIDOS SEM DECOMPOSIÇÃO DE FORÇAS SOBRE A INTERFACE R. V. P. REZENDE 1, R. A. ALMEIDA 2, I. C. GEORG 3, A. A. ULSON DE SOUZA 1, S. M. A. GUELLI U. DE SOUZA 1 1 Unversdade do Federal de Santa Catarna, Depto. Eng. Químca. 2 Unversdade Estadual de Marngá, Depto. Eng. Químca. 3 Unversdade Comuntára da Regão de Chapecó, Depto. Eng. Químca. E-mal para contato: rezendervp@gmal.com RESUMO A modelagem matemátca de escoamentos multfáscos vem sendo desenvolvda e aprmorada nos últmos anos e, dentre as váras abordagens, assnala-se a formulação Euler-Euler que embasa o Modelo de Dos Fludos. O problema de fechamento do modelo decorrente da promedação das equações nstantâneas locas é comumente resolvdo por meo da decomposção da densdade de força nterfacal em dversos mecansmos: Arrasto, Massa Vrtual, Sustentação, etc. Tas modelos tem grande sucesso nos sstemas para os quas foram desenvolvdos e calbrados, mas carecem de generaldade e aplcação ampla e rrestrta. O presente trabalho propõe uma solução alternatva ao problema de fechamento sem a decomposção e postulação de quas forças agem e de quas seram os modelos que as descrevem. O modelo se propõe a descrever o efeto de todo o Tensor Tensão sobre a nterface - a força resultante - dexando a cargo da própra físca e dnâmca do escoamento defnr como as fases se nfluencam. Um caso de teste fo escolhdo ncalmente onde se comparam a abordagem padrão e a proposta, resolvendo-se por meo de smulação numérca dreta no códgo comercal ANSYS CFX a nstabldade de Raylegh-Taylor. Os dados obtdos demonstram que a proposta, mesmo que anda ncpente, apresenta-se como promssora, vsto os resultados entre ambas as abordagens apresentarem boa concordânca entre s e com a comparação expermental. 1. INTRODUÇÃO O estudo de escoamentos multfáscos desponta hoje como um avanço no campo da Mecânca dos Fludos, da mesma manera que o estudo da turbulênca o fo na vrada do século XX. Grande parte desta latênca se deve à complexdade deste tpo de escoamento, pos soluções analítcas são dfíces de serem obtdas e lmtadas em sua abrangênca. O uso de smulação numérca, até pouco tempo, era pouco prátca na maora dos casos devdo às lmtações computaconas e mesmo fnancera, restrngndo-se a stuações e geometras smples. Na ndústra, o estudo de escoamentos multfáscos faz-se presente constantemente, encontrando-se fenômenos deste tpo nas mas dversas áreas como na ndústra aeroespacal, químca, almentos, cvl, mecânca e nuclear. E em todas, muto esforço tem sdo dedcado

no entendmento da físca destes fenômenos, na sua descrção matemátca e, consequentemente, em métodos de predção do comportamento destes sstemas. Para a ndústra petroquímca, por exemplo, este conhecmento é fundamental, vsto que pratcamente todas as operações untáras de refno tratam de sstemas multfáscos de alta complexdade, tanto sob o ponto de vsta físco-químco, quanto matemátco. Outras área da cênca como meteorologa, oceanografa e medcna também são setores carentes de maor empenho em pesqusas neste campo. 1.1. Escoamentos Multfáscos Escoamentos multfáscos são uma classe de escoamentos onde há a presença de mas de uma fase como, por exemplo, água e óleo, ar e água ou ar e poera; sendo estes exemplos de sstemas líqudo-líqudo, gás-líqudo e gás-sóldo, respectvamente e encontrados faclmente na Natureza. Uma fase pode ser formada por uma substânca pura como a água; por um sstema multcomponente formado por mas de uma espéce químca como, por exemplo, água do mar ou o ar atmosférco; ou colodal, como a maonese ou pasta de dente, formadas por dferentes materas em dversos estados físcos msturados em uma escala dmnuta e que em conjunto tem um comportamento reológco própro. A prncpal dfculdade do tratamento matemátco destes escoamentos resde no comportamento das nterfaces (Ish e Mshma, 1984). Localmente, um escoamento multfásco consste em certo número de regões preenchdas por uma únca fase lmtada por meo da nterface que as separa. O contorno desta dfculdade trata o escoamento através da descrção do comportamento médo dos campos envolvdos, como feto no tratamento da turbulênca. E, da mesma manera, o processo de promedação das equações nstantâneas de conservação gera um problema de fechamento do sstema. No fechamento do sstema deve-se descrever matematcamente de que manera as fases nteragem e trocam nformações, como quantdade de movmento, energa e massa. Os modelos de fechamento dsponíves são extremamente dependentes da morfologa e do regme do escoamento e carecem de generaldade, prncpalmente quando há varação de ambos (Drew, 1983, 1989, 1892; Chahed et al., 2003; Burns, 2002; Patankar e Joseph, 2001). Tome-se como exemplo o transporte de fludos em gasodutos ou oleodutos. Hdrocarbonetos podem mudar de estado físco durante seu escoamento por uma sére de fatores, e um sstema monofásco antes líqudo (ou gasoso) muda para um padrão multfásco gás-líqudo, apresentando uma sére de regmes e padrões de escoamentos que podem mutas vezes ser danosos às estruturas das tubulações e a outros equpamentos envolvdos, como válvulas, meddores de vazão, etc. (Rezende et al., 2008 a; Paladno, 2005). 2. MODELAGEM MATEMÁTICA A descrção dos campos nstantâneos locas é mpratcável na maora das stuações, e, dferentemente da turbulênca, a solução dos campos nstantâneos locas não é apenas um problema de escala espacal e temporal - que também exste. Assocada a nterface há uma descontnudade de todos os campos, e as equações dferencas de conservação, representadas

em sua forma canônca pela Equação 1, tornam-se sngulares, e sobre a nterface uma condção de salto deve ser aplcada, a Equação 2; S t u J, (1) ˆ u u S J n. (2) Frente a sto, a descrção de um comportamento médo é preferível. Assm, um procedmento de promedação é efetuado às equações nstantâneas, neste caso a méda de conjunto (ensemble average) (Drew, 1989),,, ; f x t f x t dm. (3) E Dante da descontnudade dos campos, um artfíco matemátco é utlzado: a função ndcadora de fase, xt 1 se em t x, 0 se em t x, (4) onde representa a fase. Este artfíco matemátco é mportante, pos a méda na função ndcadora de fase, representa a presença potencal da fase (Burns, 2002), ou a probabldade de se encontrar a fase em uma coordenada de tempo e espaço qualquer. É comum também se referr a esta grandeza como fração volumétrca, r, assm, r, que é contnua, afastando os problemas de sngulardade nas nterfaces. Todo o procedmento algébrco detalhado de obtenção das equações promedadas pode ser encontrado em (Rezende, 2008 b). A Equação 1 é multplcada pela função ndcadora de fase e o operador de promedação conjunta é então aplcado. Após defnrem-se as varáves promedadas de manera a elmnar (Burns, 2002; Rezende, 2008 a, b), obtém-se, t r r r r S u J u u J. (5) O termo do lado dreto da gualdade representa a perda da nformação das equações nstantâneas locas devdo à promedação. Quando a varável em questão é u, a Equação 5 passa a representar a equação de conservação de quantdade de movmento promedada,

t r u r uu r T r g u M, (6) onde T representa o tensor tensão da fase. Os dos últmos termos à dreta do snal de gualdade representam a transferênca de quantdade de movmento pela nterface devdo à transferênca de massa pela mesma, u u ρu u, (7) e a transferênca de quantdade de movmento devdo às tensões que agem sobre a nterface, M T. (8) Este últmo termo, M, denomna-se densdade de força nterfacal com undades de força por undade de volume e representa um fluxo de quantdade de movmento e é o tema deste trabalho. Densdade de Força Interfacal: Nesta formulação méda, a nformação da posção da nterface, sua forma e velocdade se degenerou em dos termos: u e M, que agora precsam ser modelados para o fechamento do sstema de equações. Com a promedação, temse um modelo determnístco que resolve o comportamento médo do sstema, mas matematcamente ncompleto, pos as condções de salto promedadas agora não passam de restrções para os termos de transferênca nterfacal de quantdade de movmento, N f 1 u M m, (9) e os dos novos termos precsam de equações consttutvas de fechamento. O termo m representa a tração, ou força de tensão superfcal devdo ao desequlíbro de forças do termo a esquerda do snal de gualdade. O tratamento matemátco da densdade de força nterfacal é feto por meo da decomposção, encarando-a como uma superposção lnear de dferentes tpos de forças Drag Lft VM Basset atuantes na nterface, M F F F F, e algumas dessas forças como a de Basset, Basset F, são de dfícl mplementação computaconal sendo quase sempre desconsderadas. Já outras como a de arrasto, Drag F, de massa vrtual, VM F, e a de Lft sustentação, F, tem dversas correlações, sendo cada uma calbrada de acordo com um tpo específco de problema, o que as torna restrtas em sua aplcação. Na hpótese da tensão superfcal ser desprezível e não haver transferênca de massa entre as fases, o únco termo atuante é M. Isto num sstema bfásco mplca em

M M β, ou seja, uma smetra de forças. E, ndferentemente da formulação, as forças são consderadas smétrcas ou recíprocas, F F, mesmo em presença de tensão superfcal, tendo como resultado um desbalanço da equações de conservação, pos M m M, ou seja, realmente não há smetra. A dferença das forças agndo sobre a nterface é equlbrada pela força de tensão nterfacal. Esta smetra postulada é uma das causas de nstabldade numérca do modelo de dos fludos quando do uso de um modelo de tensão superfcal. Todava, esta problemátca surge prncpalmente devdo à decomposção e a consequente smetra das forças. Um dos prncpas motvos para a decomposção é a necessdade de nvarânca galleana das forças de nterface. Drew (1989) demonstra que para que a nvarânca exsta é necessáro que as equações de fechamento sejam funções de grandezas também nvarantes. Todava, recorrendo a Equação 8, o modelo exge que somente duas questões sejam responddas: (1) Como se calcular o tensor tensão sobre a nterface? e (2), Como se calcular o gradente da função ndcadora de fase?. A dedução das equações não pede nenhuma decomposção. Para a segunda questão tem-se r, ou seja, a méda de conjunto do gradente da função ndcadora de fase é o própro gradente de fração volumétrca, que tem a propredade de ser normal a qualquer sossuperfíce do campo de fração volumétrca. Esta constatação é base de uma sére de modelos, sendo o mas conhecdo o de Força de Superfíce Contínua para a tensão superfcal (Brackbll et al., 1999). A Equação 8 portanto, representa a projeção do tensor tensão na dreção do vetor normal à nterface, o gradente de fração volumétrca, cujo o módulo representa a própra área da nterface por undade de volume: M T eˆˆ e e k, (10) T j j k M T e. (11) j j O gradente da função ndcadora de fase opera como uma função Delta de Drac dentro do operador ntegral de méda, E ˆ dm M T x x n, (12) o que pode ser renterpretado como, M T r, onde T representa o tensor tensão na nterface. E o escoamento possu em s todas estas nformações. A prncpal dfculdade está em como se medr o tensor tensão sobre a nterface. Isto expermentalmente é um grande desafo, entretanto, a abordagem numérca permte que se amostre qualquer campo, em qualquer posção a qualquer nstante de tempo e vrtualmente com a precsão que se quser.

15cm 09 a 12 de setembro de 2012 Pode-se determnar o produto escalar do tensor tensão em relação ao vetor normal da nterface ou de outra superfíce materal qualquer aonde se quser (Georg et al., 2008): M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r u j j r u e e e e j j kr e k x x. (13) A Equação 13 representa o termo fonte das equações de conservação de quantdade de movmento para cada fase, com a vantagem de que se pode consderar ou não a tensão superfcal. Não sendo mas necessáro consderar ou não um tpo de força uma vez que todas, sejam elas quas forem, estão mplíctas no tensor tensão. A função Delta garante que o termo fonte seja calculado somente na regão da nterface. Ela é representada por uma função gaussana centrada na fração volumétrca de 50%. Isto afasta problemas de gradentes acentuados tanto no espaço quanto no tempo. Esta abordagem é smlar ao modelo de força contínua de Brackbll et al. (1999). 3. METODOLOGIA Um problema de teste fo escolhdo para se avalar o efeto que a Equação 13 exercesobre um problema envolvendo duas fases mscíves. Dos fludos, água pura e água salgada, com densdades próxmas possundo uma nterface vertcal e mesma vscosdade (10-3 Pa.s). Ao dexar o sstema segur seu curso, surgem forças de csalhamento devdo à dferença de peso dos fludos que se movem em dreções opostas devdo ao empuxo gerado. Esta movmentação então dá orgem às nstabldades de Raylegh-Taylor. A Fgura 1 lustra a confguração do problema. Os fludos se encontram ncalmente estagnados. As condções de contorno aplcadas as paredes são de não deslzamento. 50cm 50cm kg/m³ kg/m³ Fgura 1 - Domíno de cálculo. O modelo fo resolvdo numercamente no smulador comercal ANSYS CFX v12.1 empregando uma malha hexaédrca regular com 163 ml elementos. A nterface é mposta por meo de uma função de suavzação untára, o que garante uma transção nas propredades e campos gradual, melhorando a establdade numérca. A solução do sstema é obtda com passo de tempo adaptatvo varando de 10-6 s a 10-3 s, mantendo o número de Courant abaxo de 0,02. A solução segregada é preferda devdo à explctação do termo fonte mantendo tanto os termos fontes quanto os campos de fração volumétrca no mesmo nível teratvo.

4. RESULTADOS Na Fgura 2 apresenta-se o transente da camada de csalhamento. A nterface mposta ncalmente dfusa por questões de establdade numérca é rapdamente compactada ao espaçamento de um elemento (~1mm). Esta compactação se dá devdo à atvação do algortmo de compressão da nterface. A nstabldade então logo surge em sua forma característca enovelada. A malha se mostrou adequada na captura da nterface resolvendo todas as escalas da turbulênca a um Reynolds médo de cerca de 5 10 3. A obtenção da solução é de dfícl convergênca devdo à captura destas estruturas e ao modo como os termos fontes são resolvdos pelo códgo, o que requer o passo adaptatvo de tempo e dentro dos lmtes fxados. Os resíduos médos quadrátcos da solução fcaram entre 10-5 a 10-6. Fgura 2 Desenvolvmento das nstabldades de Raylegh-Taylor em ntervalos de 0,5s. Na Fgura 3 apresenta-se a comparação entre o resultado numérco e o obtdo expermentalmente. A dfculdade expermental resde na retrada do septo que acaba por arrastar a nterface, todava, o comportamento qualtatvo mostra-se muto smlar.

Fgura 3 - Comparação das camadas de csalhamento numérca e expermental. A comparação entre a densdade da força de arrasto dada pelo modelo de mstura padrão (Rezende, 2008 b) e a densdade de força nterfacal é mostrada na Fgura 4. Os vetores apontam na dreção do deslocamento da nterface e a magntude é dferencada para cada pedaço da nterface (mostrada em verde). Pelo modelo de mstura padrão apenas a força de arrasto sera consderada e a sua méda ntegral sobre a área é de cerca de 71N/m³. O valor obtdo pela Equação 13 é cerca de 18% maor resultando em 84N/m³. Densdade da Força de Arrasto Méda: M Modelo 84 N m 3 F Drag 71N m 3 Fgura 4 Vetores da força resultante sobre a nterface e comparação entre a densdade méda da força por undade de volume dada pelo modelo de arrasto padrão e o modelo proposto. Esta dferença pode ser devdo ao modelo em s necesstar de alguma constante de ajuste; ndcar que além do arrasto outras forças estão atuando como Basset, massa Vrtual e Sustentação; ou ambas as hpóteses serem verdaderas. Estudos mas detalhados são necessáros para se quantfcar a contrbução de cada uma delas.

5. CONCLUSÕES O modelo proposto obteve boa descrção do desenvolvmento de uma nstabldade de Raylegh-Taylor. A comparação dos resultados com o observado expermentalmente apresenta boa concordânca qualtatva e os valores da densdade méda da força sobre os obtdos para o modelo de mstura padrão e o proposto foram da mesma ordem de magntude. Sendo a força de arrasto a força predomnante, a dferença entre os resultados pode advr da desconsderação das demas forças; de um ajuste por meo de uma constante de fechamento no modelo proposto; ou mesmo de ambas as hpóteses, o que requer anda estudos mas aprofundados. O modelo também permte a nclusão dreta das componentes do tensor de Reynolds na Equação 13 o que a torna anda mas nteressante dante da possbldade de acoplar a densdade de força nterfacal ao campo turbulento. 6. REFERÊNCIAS BRACKBILL, J. U., D. B. KOTHE, C. ZEMACH. A Contnuum Method for Modelng Surface Tenson. J. Comput. Phys. n. 100, p. 335-354, 1999. BURNS, A. D. Computatonal flud dynamcs modelng of mult-phase flows. In:Multphase Flow Curse. Alpha-Beta Numercs, Lecture Notes. 2002. CHAHED, J., V. ROIG e L. MASBERNAT. Euleran-Euleran two-flud model for turbulent gas-lqud. Int. J. of Multphas Flow, v.29, n.1, p.23-49. 2003. DREW, D. A. Mathematcal flow modelng of two-phase flow. Annu. Rev Flud. Mech, v.15, p.261-291. 1983. DREW, D. A. Effect of partcle velocty flutuatons on the nerta couplng n two-phase flow. In: Consttutve Relatonshps and Models n Contnuum Theores of Multphase Flows, Huntsvlle, p. 172, 1989. DREW, D. A. Analytcal modelng of multphase flows. In: Elsever Scence Publshers. Bolng Heat Transfer: Modern Developments and Advances. Amsterdam; New York, 1992. GEORG, I. C., R. V. P. REZENDE, C. R MALISKA,. Estudo Numérco do Escoamento Ascendente de uma Bolha de Gás em um Meo Líqudo In: 1º Encontro Braslero sobre Ebulção, Condensação e Escoamento Mutlfásco Líqudo-Gás, Floranópols. EBECEM 2008, 2008. ISHII, M. e K. MISHIMA. Two-flud model and hydrodynamc consttutve relatons. Nucl. Eng. Des., v.82, p.107-126. 1984. PATANKAR, N. A. e D. D. JOSEPH. Lagrangan numercal smulaton of partculate flows. Internatonal Journal of Multphase Flow, v.27, n.10, p.1685-1706. 2001.

PALADINO, E. E. Estudo do escoamento multfásco em meddores de vazão do tpo pressão dferencal. Tese (Doutorado). Depto. Eng. Mecânca, Unversdade Federal de Santa Catarana, Floranópols, 263 p., 2005. REZENDE, R. V. P., L. KOSTETZER, L. C. FONTES, L. P. RANGEL, M. V. REIS. Análse Fludodnâmca do Escoamento Bfásco em Regme Anular no Interor de Dutos, Floranópols: ESSS, Relatóro Técnco, 154 p., 2008 a. REZENDE, R. V. P. Modelagem Matemátca e Desenvolvmento de Metodologa Computaconal para a Smulação Numérca do Escoamento Bfásco de Ar e Ferro- Gusa em Canal de Corrda de Alto-Forno, Dssertação(Mestrado). Depto. Eng. Mecânca, Unversdade federal de Santa Catarna, 2008 b.