Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Derivada

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia Campus Vitória da Conquista Coordenação Técnica Pedagógica Programa de Assistência e Apoio aos Estudantes Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Derivada Orientadora: Bolsista: Ma. Polyane Alves Santos Philipe Silva Farias Vitória da Conquista 2012

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia Campus Vitória da Conquista Coordenação Técnica Pedagógica Programa de Assistência e Apoio aos Estudantes Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Derivada Apostila feita por Philipe Silva Farias, estudante do curso de Graduação em Engenharia Elétrica, do Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia, Campus Vitória da Conquista, desenvolvida sob a orientação da Professora: Ma. Polyane Alves Santos, no período de Agosto de 2010 à Janeiro de 2011. Atualização em Abril de 2012. Vitória da Conquista 2012

Sumário 1 Derivada 7 1.1 A Reta Tangente e a Derivada.................. 7 1.2 Exercícios............................. 19 1.3 Derivabilidade e Continuidade.................. 22 1.4 Exercícios............................. 29 1.5 Teoremas Sobre Derivação de Funções Algébricas....... 32 1.6 Exercícios............................. 36 1.7 Derivadas das Funções Trigonométricas............. 39 1.8 Exercícios............................. 41 1.9 A Derivada de uma Função Composta e a Regra da Cadeia.. 44 1.10 Exercícios............................. 49 1.11 A Derivada da Função Potência para Expoentes Racionais.. 52 1.12 Exercícios............................. 54 1.13 Derivação Implícita........................ 57 1.14 Exercícios............................. 61 1.15 Derivadas de Ordem Superior.................. 64 1.16 Exercícios............................. 66 1.17 Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas........ 68 1.18 Exercícios............................. 69 1.19 Derivadas de uma Função exponencial............. 71 1.20 Exercícios............................. 72 1.21 Derivadas das Funções Logarítmicas............... 74 1.22 Diferenciação Logarítmica.................... 76 1.23 Exercícios............................. 78 1.24 Derivadas das Funções Hiperbólicas............... 81 1.25 Derivadas das Funções Hiperbólicas Inversas.......... 82 1.26 Exercícios............................. 85 1.27 Valores extremos das Funções e Técnicas de Construção de Gráficos.............................. 86 1.27.1 Valor Funcional Máximo e Mínimo........... 86 1.27.2 Exercícios......................... 99 1.27.3 Funções Crescentes e Decrescentes e o Teste da Derivada Primeira....................... 102 1.27.4 Exercícios......................... 107 1.27.5 Concavidade e Pontos de Inflexão............ 110 1.27.6 Exercícios......................... 120 1.27.7 O Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos 123 1.27.8 Exercícios......................... 129 1.27.9 Traçando um Esboço do Gráfico de uma Função.... 131

1.27.10 Exercícios......................... 140 1.28 Formas Indeterminadas e a Regra de L Hôspital........ 143 1.28.1 Produtos Indeterminados................. 148 1.28.2 Diferenças Indeterminadas................ 148 1.28.3 Potências Indeterminadas................ 149 1.29 Exercícios............................. 151 2 Referências 153

Lista de Figuras 1 Ilustração.............................. 7 2 Ilustração.............................. 8 3 Ilustração.............................. 8 4 y = x 2 no ponto (2, 4)....................... 11 5 Hipérbole e sua tangente...................... 13 6 Retas tangente e normal ao gráfico, Exemplo 5......... 14 7 f(x) = x 1 3.............................. 23 8 y = f(x) = x........................... 26 9 y = f (x).............................. 26 10 f(x) = 1 x 2........................... 27 11 Máximo relativo.......................... 86 12 Máximo relativo.......................... 86 13 Mínimo relativo.......................... 87 14 Mínimo relativo.......................... 87 15 Exemplo 62............................. 88 16 Exemplo 63............................. 89 17 Exemplo 64............................. 90 18 Exemplo 67............................. 92 19 Exemplo 68............................. 93 20 Exemplo 69............................. 94 21 Exemplo 70............................. 94 22 Exemplo 71............................. 95 23 Exemplo 72............................. 96 24 Exemplo 73............................. 98 25 Exemplo 74............................. 99 26 Exemplo 75............................. 104 27 Exemplo 76............................. 105 28 Exemplo 77............................. 106 29 Ilustração 1............................. 110 30 Ilustração 1............................. 110 31 Exemplo 78............................. 111 32 Exemplo 78............................. 111 33 f(x) = x 4.............................. 112 34 Ponto de Inflexão.......................... 113 35 Ponto de Inflexão.......................... 113 36 Ponto de Inflexão.......................... 113 37 Ilustração 3............................. 115 38 Exemplo 80............................. 117 39 Exemplo 81............................. 118

40 Exemplo 82............................. 119 41 Exemplo 83............................. 120 42 Exemplo 84............................. 124 43 Exemplo 86............................. 125 44 Exemplo 87............................. 126 45 Exemplo 88............................. 127 46 Exemplo 89............................. 129 47 Exemplo 90............................. 133 48 Exemplo 91............................. 135 49 Exemplo 92............................. 138 50 Exemplo 93............................. 140

1 Derivada 1.1 A Reta Tangente e a Derivada Muitos problemas importantes de Cálculo envolvem a determinação da reta tangente a uma curva dada, em um determinado ponto dela. Para uma circunferência, sabe-se da Geometria Plana que a reta tangente em um ponto seu é a reta que tem com ela um único ponto em comum. Essa definição não é válida para uma curva em geral. Por exemplo, na Figura 1 a reta que queremos que seja tangente à curva no ponto P intercepta a curva em outro ponto Q. Para chegar a uma definição adequada de reta tangente ao gráfico de uma função em um de seus pontos, começamos pensando em definir a inclinação da reta tangente ao ponto. Então, a reta tangente é determinada por sua inclinação e pelo ponto de tangência. Figura 1: Ilustração. Consideremos a função f contínua em x 1. Queremos definir a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em P (x 1, f(x 1 )). Seja I o intervalo aberto que contém x 1 e no qual f está definida. Seja Q(x 2, f(x 2 )) outro ponto do gráfico de f, tal que x 2 também esteja em I. Tracemos uma reta através de P e Q. Qualquer reta que passe por dois pontos de uma curva é chamada de reta secante, assim, a reta através de P e Q é uma reta secante. A Figura 2 mostra retas secantes para vários valores de x 2. A Figura 3 mostra uma determinada reta secante, onde Q está à direita de P. No entanto Q pode estar de qualquer lado de P, conforme mostra a Figura 2. Vamos denotar a diferença entre as abscissas de Q e de P por x, assim, x = x 2 x 1. Apostila Derivada 7

Figura 2: Ilustração. Figura 3: Ilustração. Apostila Derivada 8

Observe que x denota uma variação nos valores de x, quando ele muda de x 1 para x 2 e pode ser positiva ou negativa. Essa variação é chamada de incremento de x. Retornando à reta secante P Q da Figura 3, sua inclinação é dada por m P Q = f(x 2) f(x 1 ), x desde que a reta P Q não seja vertical. Como x 2 = x 1 + x, a inclinação de P Q pode ser escrita como m P Q = f(x 1 + x) f(x 1 ). x Vamos agora considerar o ponto P como fixo e o ponto Q como móvel, ao longo da curva em direção a P, isto é, Q tende a P. Isto equivale a dizer que x tende a zero. Quando isso ocorre, a reta secante gira em torno do ponto fixo P. Se a reta secante tiver uma posição limite, desejaremos essa posição limite como sendo a da reta tangente ao gráfico f no ponto P. Assim, queremos que a inclinação da reta tangente ao gráfico em P seja o limite de m P Q quando x tende a zero, se esse limite existir. Se lim m P Q for + ou x 0, então, à medida que x tende a zero, a reta P Q aproxima-se da reta por P, que é paralela ao eixo y. Nesse caso, queremos que a reta tangente ao gráfico em P seja a reta x = x 1. Toda essa discussão leva-nos à seguinte definição: Definição 1. Suponhamos que a função f seja contínua em x 1. A reta tangente ao gráfico de f no ponto P (x 1, f(x 1 )) é (i) a reta por P tendo a inclinação m(x 1 ), dada por se o limite existir; (ii) a reta x = x 1 se m(x 1 ) = lim x 0 f(x 1 + x) f(x 1 ), (1) x e f(x 1 + x) f(x 1 ) lim x 0 + x f(x 1 + x) f(x 1 ) lim x 0 x for + ou for + ou. Apostila Derivada 9

Se nem (i) e nem (ii) da Definição 1 forem verdadeiras, então não existirá reta tangente ao gráfico de f no ponto P (x 1, f(x 1 )). Exemplo 1. Dada a parábola y = x 2, ache a inclinação da reta secante, nos quesitos de (a) até (c) pelos dois pontos: (a) (2, 4), (3, 9); (b) (2, 4), (2,1; 4,41); (c) (2, 4), (2,01; 4,0401). (d) Ache a inclinação da reta tangente à parábola no ponto (2, 4). Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente em (2, 4). Sejam m a, m b e m c as inclinações das retas secantes em (a), (b) e (c), respectivamente. (a) m a = 9 4 3 2 = 5; (b) m b = (c) m c = 4, 41 4 2, 1 2 4, 0401 4 2, 01 2 = 0, 41 0, 1 = 4, 1; = 0, 0401 0, 01 (d) Seja f(x) = x 2. De (1) temos, = 4, 01; m(2) = f(2 + x) f(2) lim x 0 x = (2 + x) 2 4 lim x 0 x = lim x 0 = lim x 0 4 + 4 x + ( x) 2 4 x 4 x + ( x) 2 x = lim (4 + x) = 4. x 0 (e) A Figura 4 mostra um esboço do gráfico e um segmento da reta tangente em (2,4). Algumas vezes nos referimos à inclinação da reta tangente como a inclinação da curva no ponto. A ideia por trás disso é que, se dermos um grande zoom em direção ao ponto, a curva aparentará ser uma reta. A Figura 4 ilustra esse procedimento para a curva y = x 2 do Exemplo 1. Quanto maior for o zoom, mais indistinguível da reta tangente será a parábola. Apostila Derivada 10

Figura 4: y = x 2 no ponto (2, 4). Exemplo 2. Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico da função definida por y = x 2 3x + 4 no ponto (x 1, y 1 ). De (1), f(x 1 ) = x 3 1 3x 1 + 4. f(x 1 + x) = (x 1 + x) 3 3(x 1 + x) + 4. f(x 1 + x) f(x 1 ) m(x 1 ) = lim x 0 x = lim x 0 = lim x 0 = lim x 0 (x 1 + x) 3 3(x 1 + x) + 4 (x 3 1 3x 1 + 4) x x 3 1 + 3x 2 1 x + 3x 1 ( x) 2 + ( x) 3 3x 1 3 x + 4 x 3 1 + 3x 1 4 x 3x 2 1 x + 3x 1 ( x) 2 + ( x) 3 3 x. x Como x 0, podemos dividir o numerador e o denominador por x e obter m(x 1 ) = lim x 0 [3x3 1 + 3x 1 x + ( x) 2 3] = 3x 2 1 3. (2) Apostila Derivada 11

Para fazer um esboço do gráfico da função do Exemplo 2, colocamos pontos no gráfico e um segmento da reta tangente em alguns deles. Os valores de x são tomados arbitrariamente e o valor funcional correspondente é calculado pela equação dada, o valor de m é calculado de (2). É importante determinar os pontos onde o gráfico possui tangente horizontal. Como uma reta horizontal possui inclinação zero, esses pontos são encontrados ao resolvermos em x 1 à equação m(x 1 ) = 0. Fazendo os cálculos para esse exemplo temos 3x 2 1 3 = 0, resultando x 1 = ±1. Assim sendo, nos pontos com abscissas 1 e 1 a reta tangente é paralela ao eixo x. Exemplo 3. Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole y = 3 x no ponto (3, 1). Seja f(x) = 3. Então a inclinação da reta tangente em (3, 1) é x f(3 + x) f(3) m(3) = lim x 0 x = lim x 0 = lim x 0 = 1 3. 3 1 3+ x x = lim x 0 3 (3+ x) 3+ x x x x(3 + x) = lim x 0 1 3 + x Portanto, uma equação da reta tangente no ponto (3, 1) é y 1 = 1 (x 3), 3 que se simplifica para x + 3y 6 = 0. A hipérbole e sua tangente estão na Figura 5. Apostila Derivada 12

Figura 5: Hipérbole e sua tangente. Exemplo 4. Encontre as inclinações das retas tangentes ao gráfico da função f(x) = x nos pontos (1, 1), (4, 2) e (9, 3). Como temos que calcular três inclinações, é mais eficiente encontrar a inclinação em um ponto genérico (x 1, x 1 ): f(x 1 + x) f(x 1 ) x1 + x x 1 m(x 1 ) = lim = lim x 0 x x 0 x x1 + x x 1 x1 + x + x 1 = lim. x 0 x x1 + x + x 1 1 2 = 1 1 2 1 = lim x 0 = lim x 0 (x 1 + x) x 1 x( x 1 + x + x 1 ) = lim x 0 1 x1 + x + x 1 = x x( x 1 + x + x 1 ) 1 x1 + = 1 x 1 2. x 1 No ponto (1, 1) temos x 1 = 1; logo, a inclinação da tangente é m(1) = 1. Em (4, 2), temos m(4) = 2 = 1 1 ; e em (9, 3), temos m(9) = 4 4 2 = 9 6. Definição 2. A reta normal a um gráfico em um dado ponto é a reta perpendicular à reta tangente naquele ponto. Apostila Derivada 13

Exemplo 5. Encontre a equação da reta normal ao gráfico da função f(x) = x 3 3x + 4 no ponto (2, 6). Como a inclinação da reta tangente ao gráfico f(x) = x 3 3x + 4 em qualquer ponto (x 1, y 1 ) é m(x 1 ) = 3x 2 1 3, a inclinação da reta tangente no ponto (2, 6) é m(2) = 9. Sendo assim, a reta normal ao gráfico f(x) = x 3 3x+4 no ponto (2, 6) é perpendicular à reta tangente naquele ponto. Portanto, a inclinação da reta normal a (2, 6) é 1, e uma equação dessa reta normal é 9 y 6 = 1 (x 2) 9 9y 54 = x + 2 x + 9y 56 = 0. A Figura 6 mostra o gráfico e as retas tangente e normal em (2, 6). Figura 6: Retas tangente e normal ao gráfico, Exemplo 5. O tipo de limite em (1), na Definição 1, página 9, usado para definir a inclinação da reta tangente é um dos mais importantes em Cálculo. Definição 3. A derivada de uma função f é a função denotada por f, tal que seu valor em qualquer número x do domínio de f seja dado por se esse limite existir. f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x), (3) x Apostila Derivada 14

Se x 1 for um determinado número no domínio de f, então f (x 1 ) = lim x 0 f(x 1 + x) f(x 1 ). (4) x Se esse limite existir. Comparando as fórmulas (1) e (4), note que a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto (x 1, f(x 1 )) é precisamente a derivada de f calculada em x 1. Exemplo 6. Ache a derivada de f se f(x) = 3x 2 + 12. Se x for qualquer número do domínio de f, então de (3), f f(x + x) f(x) (x) = lim x 0 x = lim x 0 = lim x 0 = lim x 0 [3(x + x) 2 + 12] (3x 2 + 12) x 3x 2 + 6x x + 3( x) 2 + 12 3x 2 12 x 6x x + 3( x) 2 = lim (6x + 3 x) = 6x. x x 0 Logo, a derivada de f é a função f, definida por f (x) = 6x. O domínio de f é o conjunto de todos os números reais, sendo igual ao domínio de f. Considere agora a fórmula (4), que é Nessa fórmula seja f (x 1 ) = lim x 0 f(x 1 + x) f(x 1 ). x x 1 + x = x, (5) então x 0 é equivalente a x x 1. (6) De (4), (5) e (6) obtemos a seguinte fórmula para f (x 1 ): f (x 1 ) = lim x x1 f(x) f(x 1 ) x x 1, (7) se o limite existir. A fórmula (7) é uma alternativa para (4) no cálculo de f (x). Apostila Derivada 15

Exemplo 7. Para a função f(x) = 3x 2 + 12, ache a derivada de f em 2 de duas maneiras: (a) Aplicando a fórmula (4); (b) Aplicando a fórmula (7). (a) f(x) = 3x 2 + 12. Da fórmula (4), (b) Da fórmula (7), f f(2 + x) f(2) (2) = lim x 0 x = lim x 0 = lim x 0 = lim x 0 f (2) = lim x 2 f(x) f(2) x 2 = lim x 2 (3x 2 + 12) 24 x 2 = lim x 2 3x 2 12 x 2 [3(2 + x) 2 + 12] [3(2) 2 + 12] x 12 + 12 x + 3( x) 2 + 12 12 12 x 12 x + 3( x) 2 = lim (12 + 3 x) = 12. x x 0 = 3 lim x 2 (x 2)(x + 2) x 2 = 3 lim x 2 (x + 2) = 12. O uso do símbolo f para a derivada da função f foi introduzido pelo matemático francês Joseph Louis Lagrange (1736-1813), no século XVIII. Essa notação indica que a função f é derivada da função f e seu valor em x é f (x). Se (x, y) for um ponto do gráfico de f, então y = f(x) e y também será usado como notação para a derivada de f(x). Com a função f definida pela equação y = f(x), podemos expressar y = f(x + x) f(x), (8) onde y é chamado de incremento de y e denota a variação no valor da função quando x varia de x. Usando (8) e escrevendo dy em lugar de f (x), dx a fórmula (3) torna-se dy dx = lim y x 0 x. Apostila Derivada 16

O símbolo dy dx como notação para derivada foi introduzido pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). No século XVII Leibniz e Sir Isaac Newton (1642-1727), trabalhando independentemente, introduziram quase ao mesmo tempo o conceito de derivada. É provável que Leibniz considerasse dx e dy como pequenas variações nas variáveis x e y e a derivada de y em relação a x como a razão de dy por dx quando dy e dx tornam-se pequenos. O conceito de Limite como concebemos atualmente não era conhecido por Leibniz. Na notação de Lagrange, o valor da derivada em x = x 1 é indicado por f (x 1 ). Com a notação de Leibniz escreveríamos ] dy dx x=x 1. Deve-se lembrar que, nesse momento, dy é um símbolo para derivada e não dx d deve ser considerado como uma razão. Na verdade, pode ser considerado dx como um operador (um símbolo para a operação de cálculo da derivada) e quando escrevemos dy d, isto significa (y), ou seja, a derivada de y em relação dx dx a x. Duas outras notações para a derivada de uma função f são d dx [f(x)] e D x[f(x)]. Cada uma dessas notações permite-nos indicar a função original na expressão para a derivada. Naturalmente, se a função e as variáveis forem denotadas por outras letras que não f, x e y, as notações para derivada incorporarão essas letras. Por exemplo, se a função g estiver definida pela equação s = g(t), então a derivada de g poderá ser indicada em cada uma das seguintes formas: g (t), ds dt, d dt [g(t)] ou D t[g(t)]. Apostila Derivada 17

Exemplo 8. Ache dy dx se y = x 3. Temos y = f(x), onde f(x) = x 3. dy dx = lim y x 0 x = lim x 0 = lim x 0 f(x + x) f(x) x x + x 3 x 3. x Para avaliar esse limite, racionalizamos o numerador. dy dx = lim ( x + x 3 x 3)( x + x 3 + x 3) x 0 x( x + x 3 + x 3) = lim x 0 (x + x 3) (x 3) x( x + x 3 + x 3) x = lim x 0 x( x + x 3) + x 3. O numerador e o denominador são divididos por x (desde que x 0) para obter dy dx = lim 1 = x 0 x + x 3 + x 3 1 2 x 3. Exemplo 9. Calcule d dx ( ) 2 + x. 3 x Queremos encontrar a derivada de f(x) onde f(x) = 2 + x 3 x. Assim, Apostila Derivada 18

d dx ( ) 2 + x 3 x f(x + x) f(x) = lim x 0 x 2+x+ x = lim 2+x 3 x x 3 x x 0 x = lim x 0 = lim x 0 = lim x 0 = lim x 0 (3 x)(2 + x + x) (2 + x)(3 x x) x(3 x x)(3 x) (6 + x x 2 + 3 x x x) (6 + x x 2 2 x x x) x(3 x x)(3 x) 5 x x(3 x x)(3 x) 5 (3 x x)(3 x) = 5 (3 x). 2 1.2 Exercícios 1. Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (x 1, y 1 ). Faça uma tabela de valores de x, y e m no intervalo fechado [a, b] e inclua na tabela todos os pontos onde o gráfico tem uma tangente horizontal. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente em cada ponto colocado no gráfico. (a) y = 9 x 2 ; [a, b] = [ 3, 3] (b) y = 2x 2 + 4x; [a, b] = [ 1, 3] (c) y = x 3 + 1; [a, b] = [ 2, 2] 2. Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (x 1, y 1 ). Faça uma tabela dos valores de x, y e m nos vários pontos do gráfico e inclua na tabela todos os pontos onde o gráfico tem uma tangente horizontal. Faça um esboço do gráfico. (a) f(x) = 3x 2 12x + 8. (b) f(x) = 4 x. Apostila Derivada 19

(c) f(x) = x 3 6x 2 + 9x 2. 3. Ache uma equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta normal. (a) y = x 2 4x 5; ( 2, 7). (b) y = 1 8 x3 ; (4, 8). (c) y = 6 ; (3, 2). x (d) y = x 4 4x; (0, 0). 4. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2x 2 + 3 que é paralela à reta 8x y + 3 = 0. 5. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 3 x2 que é perpendicular à reta x y = 0. 6. Ache f (x) aplicando a fórmula f (x) = lim x 0 (a) f(x) = 7x 3. (b) f(x) = 8 5x. (c) f(x) = 4. (d) f(x) = 4 2x 2. (e) f(x) = 3x 2 2x + 1. 7. Ache a derivada indicada. (a) (b) d dx (8 x3 ). d dx ( x). (c) D x ( 1 x + 1 (d) D x ( 2x + 3 3x 2 ). ). (e) D x ( 1 x 2 x ). 8. Ache f (a) aplicando a fórmula f (x 1 ) = lim x 0 f(x + x) f(x). x f(x 1 + x) f(x 1 ). x Apostila Derivada 20

(a) f(x) = 4 x 2 ; a = 5. (b) f(x) = 2 x 3 ; a = 4. (c) f(x) = 2 x 1; a = 4. 9. Ache f (a) aplicando a fórmula f (x 1 ) = lim x x1 f(x) f(x 1 ) x x 1. (a) f(x) = 2 x 3 ; a = 2. 1 (b) f(x) = ; a = 3. 2x + 3 (c) f(x) = 1 9x; a = 7. 10. Ache dy dx. (a) y = 4 x 2 + 3x. (b) y = 2 7x. (c) y = 3 x. (d) y = 1 3 x x. Apostila Derivada 21

1.3 Derivabilidade e Continuidade O processo de cálculo da derivada é chamado derivação. Se uma função possui uma derivada em x 1, a função será derivável em x 1. Isto é, a função f será derivável em x 1 se f (x 1 ) existir. Uma função será derivável em um intervalo aberto se ela for derivável em todo número no intervalo aberto. Exemplo 10. Seja f(x) = x 1 3. (a) Ache f (x). (b) Mostre que f (0) não existe, mesmo que f seja contínua nesse número. (c) Faça um esboço do gráfico de f. (a) Da Definição 1, f (x + x) 1 3 x 1 3 (x) = lim. (9) x 0 x Racionalizemos o numerador para obter um fator comum x no numerador e no denominador; disto resulta, f [(x + x) 1 3 x 1 3 ][(x + x) 2 3 + (x + x) 1 3 x 1 3 + x 2 3 ] (x) = lim x 0 x[(x + x) 2 3 + (x + x) 1 3 x 1 3 + x 2 3 ] = lim x 0 = lim x 0 = (b) Observe que 1 (x + x) x x[(x + x) 2 3 + (x + x) 1 3 x 1 3 + x 2 3 ] 1 (x + x) 2 3 + (x + x) 1 3 x 1 3 + x 2 3 1 = 1. 3x 2 3 x 2 3 + x 1 3 x 1 3 + x 2 3 3x 2 3 não é definido em x = 0. Se (9) for usado para calcular f (0), temos (0 + x) 1 3 0 1 3 1 lim = lim, x 0 x x 0 ( x) 2 3 e esse limite não existe. Então, f não é derivável em zero. No entanto, a função f é contínua em 0, pois lim f(x) = lim x 1 3 x 0 x 0 = 0 = f(0). (c) Um esboço do gráfico de f está na Figura 7. Apostila Derivada 22

Figura 7: f(x) = x 1 3. Para a função f(x) = x 1 3, como f(0 + x) f(0) lim x 0 x = lim x 0 1 ( x) 2 3 = +, da Definição 1 (ii) segue que a reta x = 0 é a reta tangente ao gráfico de f na origem. Nesse exemplo, a função definida por f(x) = x 1 3 tem as seguintes propriedades: 1. f é contínua em zero; 2. f não é derivável em zero; 3. O gráfico de f tem uma reta tangente vertical no ponto onde x é zero. É importante deixar claro que o fato de uma função ser contínua em um número não implica que ela seja derivável naquele número. Mas o fato da função ser derivável implica a continuidade, o que é assegurado pelo Teorema 1. Teorema 1. Se uma função f for derivável em x 1, então f será contínua em x 1. a a A prova desse teorema pode ser encontrada na página 150, Livro: O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Uma função f pode deixar de ser derivável em um número c por uma das seguintes razões: 1. A função f é descontínua em c. Isso decorre do Teorema 1; Apostila Derivada 23

2. A função f é contínua em c e o gráfico de f tem uma reta tangente vertical no ponto onde x = c; 3. A função f é contínua em c e o gráfico de f não tem uma reta tangente no ponto x = c. Definição 4. Se a função f for definida em x 1, então a derivada à direita de f em x 1, denotada por f +(x 1 ), será definida por f +(x 1 ) = se o limite existir. f(x 1 + x) f(x 1 ) lim x 0 + x f +(x 1 ) = lim x x + 1 f(x) f(x 1 ) x x 1, Definição 5. Se a função f for definida em x 1, então a derivada à esquerda de f em x 1, denotada por f (x 1 ), será definida por f (x 1 ) = se o limite existir. f(x 1 + x) f(x 1 ) lim x 0 x f (x 1 ) = lim x x 1 f(x) f(x 1 ) x x 1, Uma função f definida num intervalo aberto contendo x 1 será derivável em x 1 se e somente se f +(x 1 ) e f (x 1 ) existirem e forem iguais. Naturalmente, então, f (x 1 ), f +(x 1 ) e f (x 1 ) são todas iguais. Exemplo 11. Onde a função f(x) = x é diferenciável? Se x > 0, então x = x e podemos escolher x suficientemente pequeno tal que x + x > 0 e ainda x + x = x + x. Consequentemente, para x > 0 temos f x + x x (x) = lim x 0 x = lim x 0 (x + x) x x x = lim x 0 x = lim 1 = 1, x 0 e f é diferenciável para qualquer x > 0. Analogamente, para x < 0 temos x = x e podemos escolher x suficientemente pequeno tal que x + x < 0 e, assim, x + x = (x + x). Apostila Derivada 24

Portanto, para x < 0, f x + x x (x) = lim x 0 x = lim x 0 (x + x) ( x) x x = lim x 0 x e dessa forma f é diferenciável para qualquer x < 0. Para x = 0 temos que verificar f f(0 + x) f(0) (0) = lim x 0 x = lim x 0 0 + x 0 x Vamos calcular o limite esquerdo e o direito: = lim ( 1) = 1, x 0 (se ele existe). e 0 + x 0 lim x 0 + x 0 + x 0 lim x 0 x = lim x 0 + x x = lim x x 0 + x = x = lim x 0 x = lim x x 0 x = lim x 0 lim 1 = 1 x 0 + ( 1) = 1. Uma vez que esses limites são diferentes, f (0) não existe. Portanto, f é diferenciável para todo x, exceto em 0. Uma fórmula para f é dada por { 1 se x > 0 f (x) = 1 se x < 0, e seu gráfico está ilustrado na Figura 9. O fato de que f (0) não existe está refletido geometricamente no fato de que a curva y = x não tem reta tangente em (0, 0) (ver gráfico na Figura 8). Apostila Derivada 25

Figura 8: y = f(x) = x. Figura 9: y = f (x). Apostila Derivada 26

Exemplo 12. Seja f definida por f(x) = 1 x 2. (a) Faça um esboço do gráfico de f. (b) Prove que f é contínua em 1. (c) Determine se f é derivável em 1. Pela definição de valor absoluto, se x < 1 ou x > 1, então f(x) = (1 x 2 ) e se 1 x 1, f(x) = 1 x 2. Logo, f pode ser definida como x 2 1 se x < 1 f(x) = 1 x 2 se 1 x 1. x 2 1 se x > 1 (a) Um esboço do gráfico de f está Figura 10. Figura 10: f(x) = 1 x 2. (b) Para provar que f é contínua em 1, verificamos as três condições para continuidade. (i) f(1) = 0; (ii) lim f(x) = lim x 1 x 1 (1 x2 ) = 0; Assim, lim f(x) = 0; x 1 lim f(x) = lim 1) = 0. x 1 + x 1 +(x2 (iii) lim x 1 f(x) = f(1). Como as condições (i)-(iii) são verificadas em 1, f é contínua em 1. Apostila Derivada 27

(c) f (1) = lim x 1 f(x) f(1) x 1 = lim x 1 (1 x 2 ) 0 x 1 = lim x 1 (1 x)(1 + x) x 1 f +(1) = lim x 1 + f(x) f(1) x 1 (x 2 1) 0 = lim x 1 + x 1 (x 1)(x + 1) = lim x 1 + x 1 = lim x 1 [ (1 + x)] = 2. = lim x 1 +(x + 1) = 2. Como f (1) f +(1), segue que f (1) não existe e assim f não é derivável em 1. Exemplo 13. Dada f(x) = { 1 x se 0 < x < b 1 1 4 x se x b. (a) Determine um valor de b de tal forma que f seja contínua em b. (b) f é derivável no valor de b encontrado na parte (a)? (a) A função f será contínua em b se lim f(x) = f(b) e lim f(x) = f(b). x b x b + 1 lim f(x) = lim x b x b x = 1 b ; lim f(x) = lim x b + x b + f(b) = 1 1 b; logo f será contínua em b se 4 1 b = 1 1 4 b 4 = 4b b 2 b 2 4b + 4 = 0 (b 2) 2 = 0 b = 2. (1 14 ) x = 1 1 4 b. Apostila Derivada 28

Assim, e f é contínua em 2. f(x) = { 1 x se 0 < x < 2 1 1 4 x se x 2, (b) Para determinar se f é derivável em 2, calculemos f (2) e f +(2). f (2) f(x) f(2) = lim x 2 x 2 = lim x 2 = lim x 2 1 x 1 2 f +(2) = lim x 2 + f(x) f(2) x 2 x 2 2 x 2x(x 2) = lim 1 x 2 2x = 1 4. (1 1 = lim x) 1 4 2 x 2 + x 2 = lim x 2 + = lim x 2 + 1 1x 2 4 x 2 2 x 4(x 2) = lim 1 x 2 + 4 = 1 4. Como f (2) = f +(2), segue que f (2) existe e, portanto, f é derivável em 2. 1.4 Exercícios 1. Faça o seguinte: (I) Trace um esboço do gráfico da função; (II) determine se f é contínua em x 1 ; (III) calcule f (x 1 ) e f +(x 1 ), se existirem; (IV) determine se f é derivável em x 1. (a) f(x) = { x + 2 se x 4 x 6 se x > 4, x 1 = 4. Apostila Derivada 29

(b) x 3, x 1 = 3. (c) f(x) = { 1 se x < 0 x 1 se x 0, x 1 = 0. (d) (e) (f) f(x) = f(x) = f(x) = { x 2 se x 0 x 2 se x > 0, x 1 = 0. { 1 x se x < 1 (1 x) 2 se x 1, x 1 = 1. { 2x 2 3 se x 2 8x 11 se x > 2, x 1 = 2. (g) f(x) = 3 x + 1, x 1 = 1. (h) f(x) = { 5 6x se x 3 4 x 2 se x > 3, x 1 = 3. (i) (j) f(x) = f(x) = { x 2 se x < 0 x 2 se x 0, x 1 = 0. { 3x 2 se x 2 x 3 se x > 2, x 1 = 2. 2. Dada f(x) = x 4. (I) Prove que f é contínua à direita de 4. (II) Prove que f +(4) não existe. (III) Faça um esboço do gráfico de f. 3. Dada f(x) = x 2 9. (I) Prove que f é contínua em (, 3] e [3, + ). (II) Prove que nem f ( 3) nem f +( 3) existem. (III) Faça um esboço do gráfico de f. 4. Dada f(x) = x 3 2. (I) Prove que f é contínua à direita de 0. (II) Prove que f +(0) existe e ache o seu valor inicial. (III) Faça um esboço do gráfico de f. 5. Dada { x f(x) = 2 7 se 0 < x b se x > b 6 x, Apostila Derivada 30

(a) Determine um valor de b para o qual f é contínua em b. (b) f é derivável em b encontrado na parte (a)? 6. Ache os valores de a e b tais que f seja derivável em 2 se { ax + b se x < 2 f(x) = 2x 2 1 se x 2. Apostila Derivada 31

1.5 Teoremas Sobre Derivação de Funções Algébricas Como o processo de cálculo da derivada de uma função, a partir a Definição 3, em geral é lento, veremos alguns teoremas que nos possibilitam encontrar derivadas com mais facilidade. Teorema 2. Se c for uma constante e se f(x) = c para todo x 1 então f (x) = 0, ou seja: A derivada de uma constante é zero. a a ver prova na página 156, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Exemplo 14. Se f(x) = 5, então, de acordo com o Teorema 2, calcule sua derivada. f (x) = 0. Teorema 3. Se n for um inteiro positivo e se f(x) = x n, então f (x) = nx n 1. (ver prova na página 157, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold) Exemplo 15. Se f(x) = x 8, então, de acordo com o Teorema 3, calcule sua derivada. f (x) = 8x 7. Apostila Derivada 32

Exemplo 16. Se f(x) = x, então, de acordo com o Teorema 3, calcule sua derivada. f (x) = 1. x 0 = 1. 1 = 1. Teorema 4. Se f for uma função, c uma constante e g a função definida por g(x) = c. f(x), então, se f (x) existir, g (x) = c. f (x), ou seja: A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função, se essa derivada existir. a a ver prova na página 158, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Exemplo 17. Se f(x) = 5x 7, então, de acordo com o Teorema 4, calcule sua derivada. f (x) = 5. 7x 6 = 35x 6. Teorema 5. Se f e g forem funções e se h for a função definida por então, se f (x) e g (x) existirem, h(x) = f(x) + g(x), h (x) = f (x) + g (x), ou seja: A derivada da soma de duas funções é a soma de suas derivada se elas existirem. a a ver prova na página 158, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Apostila Derivada 33

O resultado do Teorema 5 pode ser aplicado a um número qualquer, finito, de funções, por indução matemática, e isso será enunciado como um outro teorema. Teorema 6. A derivada da soma de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se elas existirem. Exemplo 18. Encontre f (x) se f(x) = 7x 4 2x 3 + 8x + 5. f (x) = D x (7x 4 2x 3 + 8x + 5) = D x (7x 4 ) + D x ( 2x 3 ) + D x (8x) + D x (5) = 28x 3 6x 2 + 8. Teorema 7. Se f e g forem funções e h for a função definida por então, se existirem f (x) e g (x), h(x) = f(x)g(x), h (x) = f(x)g (x) + g(x)f (x), ou seja: A derivada do produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função, mais a segunda função vezes a derivada da primeira função, se essas derivadas existirem. a a ver prova na página 159, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Exemplo 19. Encontre h (x) se h(x) = (2x 3 4x 2 )(3x 5 + x 2 ). h (x) = (2x 3 4x 2 )(15x 4 + 2x) + (3x 5 + x 2 )(6x 2 8x) = (30x 7 60x 6 + 4x 4 8x 3 ) + (18x 7 24x 6 + 6x 4 8x 3 ) = 48x 7 84x 6 + 10x 4 16x 3. Apostila Derivada 34

Teorema 8. Se f e g forem funções e se h for a função definida por então, se f (x) e g (x) existirem, h(x) = f(x), onde g(x) 0, g(x) h (x) = g(x)f (x) f(x)g (x) [g(x)] 2, ou seja: A derivada do quociente de duas funções é a fração tendo como denominador o quadrado do denominador original e como numerador o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, se essas derivadas existirem. a a ver prova na página 160, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. ( ) 2x 3 + 4 Exemplo 20. Ache D x. x 2 4x + 1 ( ) 2x 3 + 4 D x x 2 4x + 1 = (x2 4x + 1)(6x 2 ) (2x 3 + 4)(2x 4) (x 2 4x + 1) 2 = 6x4 24x 3 + 6x 2 4x 4 + 8x 3 8x 16 (x 2 4x + 1) 2 = 2x4 16x 3 + 6x 2 8x + 16 (x 2 4x + 1) 2. Teorema 9. Se f(x) = x n, onde n é um inteiro negativo e x 0, então f (x) = nx n 1. (ver prova na página 161, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold) Apostila Derivada 35

Exemplo 21. Ache d ( ) 3. dx x 5 ( ) d 3 dx x 5 = d dx (3x 5 ) = 3( 5x 6 ) = 15 x 6. 1.6 Exercícios 1. Derive a função dada aplicando os Teoremas de Derivação. (a) f(x) = 7x 5. (b) g(x) = 8 3x. (c) g(x) = 1 2x x 2. (d) f(x) = 4x 2 + x + 1. (e) f(x) = x 3 3x 2 + 5x 2. (f) f(x) = 3x 4 5x 2 + 1. (g) f(x) = 1 8 x8 x 4. (h) g(x) = x 7 2x 5 + 5x 3 7x. (i) F (t) = 1 4 t4 1 2 t2. (j) v(r) = 4 3 πr3. (k) G(y) = y 10 + 7y 5 y 3 + 1. (l) F (x) = x 2 + 3x + 1 x. 2 Apostila Derivada 36

(m) f(x) = x3 3 + 3 x 3. (n) g(x) = 4x 4 1 4x 4. (o) f(x) = x 4 5 + x 2 + 4x 4. (p) g(x) = 3 x 2 + 5 x 4. (q) H(x) = 5 6x 5. (r) f(s) = 3(s 3 s 2 ). (s) g(x) = (2x 2 + 5)(4x 1). (t) f(x) = (2x 4 1)(5x 3 + 6x). (u) f(x) = (4x + 3) 2. (v) G(y) = (7 3y 3 ) 2. (w) F (t) = (t 3 2t + 1)(2t 2 + 3t). 2. Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas de derivação. (a) D x [(x 2 3x + 2)(2x 3 + 1)]. ( ) 2x (b) D x. x + 3 ( ) x (c) D x. x 1 ( ) 2y + 1 (d) D y. 3y + 4 ( ) d x 2 + 2x + 1 (e). dx x 2 2x + 1 ( ) d 4 3x x 2 (f). dx x 2 ( ) d 5t (g). dt 1 + 2t 2 ( ) d x 4 2x 2 + 5x + 1 (h). dx x 4 (i) d dy ( y 3 8 y 3 + 8 ). Apostila Derivada 37

(j) d ds Cálculo Diferencial e Integral I ( s 2 a 2 s 2 + a 2 ). [ 2x + 1 (k) D x (3x 1) x + 5 ]. (l) D x [ x 3 + 1 x 2 + 3 (x2 2x 1 + 1) ]. 3. Ache uma equação da reta tangente à curva y = x 3 4 no ponto (2, 4). 4. Ache uma equação da reta normal à curva y = -5). 10 no ponto (4, 14 x2 5. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 3x 2 4x e paralela à reta 2x y + 3 = 0. 6. Ache uma equação da reta tangente à curva y = x 4 6x que seja perpendicular à reta x 2y + 6 = 0. 7. Ache uma equação de cada uma das retas normais à curva y = x 3 4x que sejam paralelas à reta x + 8y 8 = 0. 8. Ache uma equação de cada uma das retas que passam pelo ponto (4, 13), que sejam tangentes à curva y = 2x 2 1. Apostila Derivada 38

1.7 Derivadas das Funções Trigonométricas Teorema 10. a D x (sen x) = cos x. Teorema 11. b D x (cos x) = sen x. Teorema 12. c D x (tan x) = sec 2 x. Teorema 13. D x (cotan x) = cosec 2 x. Teorema 14. d D x (sec x) = sec x tan x. Teorema 15. D x (cosec x) = cosec x cotan x. a ver prova na página 173, Livro: O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. b ver prova na página 174, Livro: O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. c ver prova na página 175, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. d ver prova na página 175, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. As derivadas das funções tangente, cotangente, secante e cossecante são obtidas de identidades trigonométricas envolvendo o seno e o cosseno, bem como suas derivadas e teoremas sobre derivação. Para a derivada da tangente aplicamos as identidades tan x = sen x cos x sec x = 1 cos x sen 2 x + cos 2 x = 1. Apostila Derivada 39

Exemplo 22. Ache f (x) se f(x) = x 2 sen x. Encontramos a derivada do produto de duas funções aplicando o Teorema 7 (derivada do produto) 1. f (x) = x 2 D x (sen x) + D x (x 2 ) sen x = x 2 cos x + 2x sen x. Exemplo 23. Ache dy dx se y = sen x 1 2 cos x. Aplicando o Teorema 8 (derivada de um quociente) 2, dy dx = (1 2 cos x)d x(sen x) sen x. D x (1 2 cos x) (1 2 cos x) 2 (1 2 cos x)(cos x) sen x(2 sen x) = (1 2 cos x) 2 = cos x 2(cos2 x + sen 2 x) (1 2 cos x) 2 cos x 2 = (1 2 cos x). 2 Exemplo 24. Calcule d (tan x sec x). dx d dx (tan x sec x) = tan x. d d (sec x) + (tan x). sec x dx dx = tan x(sec x tan x) + sec 2 x(sec x) = sec x tan 2 x + sec 3 x. 1 ver página 34. 2 ver página 35. Apostila Derivada 40

1.8 Exercícios 1. Prove: D x (cotan x) = cosec 2 x. 2. Prove: D x (cosec x) = cosec x cotan x. 3. Ache a derivada da função dada. (a) f(x) = 3 sen x. (b) g(x) = sen x + cos x. (c) g(x) = tan x + cotan x. (d) f(x) = 4 sec x 2 cosec x. (e) f(t) = 2t cos t. (f) f(x) = 4x 2 cos x. (g) g(y) = 3 sen y y cos y. (h) h(x) = 4 sen x cos x. (i) f(x) = x 2 sen x + 2x cos x. (j) f(x) = x 2 cos x 2x sen x 2 cos x. (k) h(y) = y 3 y 2 cos y + 2y sen y + 2 cos y. (l) f(x) = 3 sec x tan x. (m) f(t) = sen t tan t. 4. Calcule a derivada indicada. (a) D y (cotan y cosec y). (b) D x (cos x cotan x). ( ) 2 cos z (c) D z. z + 1 ( ) sen t (d) D t. t ( ) d sen x (e). dx 1 cos x Apostila Derivada 41

( ) d x + 4 (f). dx cos x ( d tan t (g) dt cos t 4 ( d cotan y (h) dy 1 sen y ( d 1 + sen y (i) dy 1 sen y ( d sen x 1 (j) dx cos x + 1 Cálculo Diferencial e Integral I ). ). ). ). (k) D x [(x sen x)(x + cos x)]. (l) D z [(z 2 + cos z)(2z sen z)]. ( ) 2 cosec t 1 (m) D t. cosec t + 2 ( ) tan y + 1 (n) D y. tan y 1 5. Ache f (a) para o valor de a dado. (a) f(x) = x cos x, a = 0. (b) f(x) = x sen x, a = 3π. 2 (c) f(x) = cos x x, a = 1π. 2 (d) f(x) = sec x x, 2 a = π. (e) f(x) = x 2 tan x, a = π. (f) f(x) = x 2 cos x sen x, a = 0. (g) f(x) = sen x(cos x 1), a = π. (h) f(x) = (cos x + 1)(x sen x 1), 1 2 π. (i) f(x) = x cos x + x sen x, a = 1 4 π. (j) f(x) = tan x + sec x, a = 1 6 π. (k) f(x) = 2 cotan x cosec x, a = 2 3 π. (l) f(x) = 1 cotan x 1, a = 3 4 π. 6. Ache uma equação da reta tangente ao gráfico da função seno no ponto (a) x = 0; (b) x = π ; (c) x = π. 3 Apostila Derivada 42

7. Ache uma equação da reta tangente ao gráfico da função cosseno no ponto (a) x = π 2 ; (b) x = π 2 ; (c) x = π 6. 8. Ache uma equação da reta tangente ao gráfico da função tangente no ponto (a) x = 0; (b) x = π 4 ; (c) x = π 4. 9. Ache uma equação da reta tangente ao gráfico da função secante no ponto (a) x = π 4 ; (b) x = π 4 ; (c) x = 3 4 π. Apostila Derivada 43

1.9 A Derivada de uma Função Composta e a Regra da Cadeia Para encontrar a derivada de uma função composta usamos um dos importantes teoremas do Cálculo chamado regra da cadeia. Teorema 16. A Regra da Cadeia a : Se a função g for derivável em x e a função f for derivável em g(x), então a função composta f g será derivável em x, e (f g) (x) = f (g(x))g (x). (10) a ver demonstração na página 187, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Exemplo 25. Sejam f(x) = x 10 e g(x) = 2x 3 5x 2 + 4. Calcule (f g) (x). A função composta f g é definida por (f g)(x) = f(g(x)) = (2x 3 5x 2 + 4) 10. Para aplicar (10), precisamos calcular f (g(x)) e g (x). Como f(x) = x 10, f (x) = 10x 9 ; então f (g(x)) = 10[g(x)] 9 f (g(x)) = 10(2x 3 5x 2 + 4) 9. (11) Além disso, como g(x) = 2x 3 5x 2 + 4, então Logo, de (10), (11), (12), temos g (x) = 6x 2 10x. (12) (f g) (x) = f (g(x))g (x) = 10(2x 3 5x 2 + 4) 9 (6x 2 10x). Apostila Derivada 44

Exemplo 26. Sejam f(x) = sen x e g(x) = x 2 + 3. Calcule (f g) (x). A função composta f g será definida por (f g)(x) = f(g(x)) = sen(x 2 + 3). Calculamos f (g(x)) e g (x). Como f(x) = sen x, f (x) = cos x. Logo, f (g(x)) = cos[g(x)] f (g(x)) = cos(x 2 + 3). (13) Como g(x) = x 2 + 3, g (x) = 2x. (14) Assim, de (10), (13) e (14), obtemos (f g) (x) = f (g(x))g (x) = [cos(x 2 + 3)](2x) = 2x cos(x 2 + 3). ( ) 2 Exemplo 27. Suponha que h(x) =. Seja f(x) = x 5 e g(x) = x 1 2 x 1. Sabendo que h(x) = f(g(x)), determine h (x) utilizando a regra da cadeia. Como temos f(x) e g(x), podemos obter f (x) = 5x 4 e g 2 (x) = (x 1). 2 De acordo com a regra da cadeia, h (x) = f (g(x)). g (x) ( ) 4 [ 2 = 5. x 1 = 160 (x 1) 6. 2 (x 1) 2 ] Apostila Derivada 45

Exemplo 28. Encontre f (x) pela regra da cadeia, se f(x) = 1 4x 3 + 5x 2 7x + 8 Escrevendo f(x) = (4x 3 + 5x 2 7x + 8) 1 e aplicando a regra da cadeia, iremos obter f (x) = 1(4x 3 + 5x 2 7x + 8) 2. D x (4x 3 + 5x 2 7x + 8) = 1(4x 3 + 5x 2 7x + 8) 2 (12x 2 + 10x 7) 12x 2 10x + 7 = (4x 3 + 5x 2 7x + 8). 2 Exemplo 29. Calcule d dx [ (2x ) ] 4 + 1. 3x 1 Da regra da cadeia, [ (2x ) ] 4 d + 1 dx 3x 1 ( ) 3 ( ) 2x + 1 d 2x + 1 = 4. 3x 1 dx 3x 1 ( ) 3 [ ] 2x + 1 (3x 1)(2) (2x + 1)(3) = 4 3x 1 (3x 1) 2 = 4(2x + 1)3 ( 5) (3x 1) 5 20(2x + 1)3 = (3x 1). 5 Utilizando a notação de Leibniz para a derivada, a regra da cadeia poderá ser enunciada da seguinte forma: Apostila Derivada 46

Se y for uma função de u, definida por y = f(u) e dy existir, e se u for du uma função de x, definida por u = g(x) e du existir, então y será uma função dx de x e dy existirá e será dada por dx dy dx = dy du. du dx. (15) Outra maneira de escrever a regra da cadeia é fazer a substituição u = g(x). Então (f g)(x) = f(u), (f g) (x) = D x f(u), com essas substituições (10) torna-se, f (g(x)) = f (u), g (x) = D x u, D x [f(u)] = f (u)d x u. Será usada essa forma da regra da cadeia para enunciar fórmulas importantes de derivação. Se u for uma função derivável de x, as derivadas das funções trigonométricas podem ser reescritas como segue: D x (sen u) = cos ud x u, D x (tan u) = sec 2 ud x u, D x (sec u) = sec u tan ud x u, D x (cos u) = sen ud x u, D x (cotan u) = cosec 2 ud x u, D x (cosec u) = cosec u cotan ud x u. Exemplo 30. Encontre F (t) se F (t) = tan(3t 2 + 2t). Aplicando a regra da cadeia, F (t) = sec 2 (3t 2 + 2t). D t (3t 2 + 2t) = sec 2 (3t 2 + 2t). (6t + 2) = 2(3t + 1) sec 2 (3t 2 + 2t). Apostila Derivada 47

Exemplo 31. Encontre dy dx Aplicando a regra da cadeia, se y = sen(cos x). dy dx = cos(cos x)[d x(cos x)] = cos(cos x)[ sen x] = sen x[cos(cos x)]. Exemplo 32. Encontre f (x) se f(x) = (3x 2 + 2) 2 (x 2 5x) 3. Consideremos f como o produto de duas funções g e h, onde g(x) = (3x 2 + 2) 2, h(x) = (x 2 5x) 3. Do Teorema 7 para a derivada do produto de duas funções, f (x) = g(x)h (x) + h(x)g (x). Encontramos h (x) e g (x) pela regra da cadeia. f (x) = (3x 2 + 2) 2 [3(x 2 5x) 2 (2x 5)] + (x 2 5x) 3 [2(3x 2 + 2)(6x)] = 3(3x 2 + 2)(x 2 5x) 2 [(3x 2 + 2)(2x 5) + 4x(x 2 5x)] = 3(3x 2 + 2)(x 2 5x) 2 [6x 3 15x 2 + 4x 10 + 4x 3 20x 2 ] = 3(3x 2 + 2)(x 2 5x) 2 (10x 3 35x 2 + 4x 10). Apostila Derivada 48

Exemplo 33. Se f(x) = sec 4 2x 2, calcule f (x). Usamos a regra da cadeia duas vezes. f (x) = 4 sec 3 2x 2 [D x (sec 2x 2 )] = 4 sec 3 2x 2 [(sec 2x 2 tan 2x 2 )D x (2x 2 )] = (4 sec 4 2x 2 tan 2x 2 )(4x) = 16x sec 4 2x 2 tan 2x 2. 1.10 Exercícios 1. Ache a derivada da função dada. (a) f(x) = (2x + 1) 3. (b) f(x) = (10 5x) 4. (c) f(x) = (x 2 + 4x 5) 4. (d) g(r) = (2r 4 + 8r 2 + 1) 5. (e) f(t) = (2t 4 7t 3 + 2t 1) 2. (f) H(z) = (z 3 3z 2 + 1) 3. (g) f(x) = (x 2 + 4) 2. (h) g(x) = sen x 2. (i) f(x) = 4 cos 3x 3 sen 4x. (j) G(x) = sec 2 x. (k) h(t) = 1 3 sec3 2t sec 2t. (l) f(x) = cos(3x 2 + 1). 2. Calcule a derivada indicada. Apostila Derivada 49

(a) d dx (sec2 x tan 2 x). (b) d dt (2 sen3 t cos 2 t). (c) d dt (cotan4 t cosec 4 t). (d) d dx [(4x2 + 7) 2 (2x 3 + 1) 4 ]. (e) D u [(3u 2 + 5) 3 (3u 1) 2 ]. (f) D x [(x 2 4x 2 ) 2 (x 2 + 1) 1 ]. (g) D x [(2x 5) 1 (4x + 3) 2 ]. (h) D r [(r 2 + 1) 3 (2r 2 + 5r 3) 2 ]. (i) D y [(y + 3) 3 (5y + 1) 2 (3y 2 4)]. [ (y ) ] 2 d 7 (j). dy y + 2 [ (2t ) ] d 2 2 + 1 (k). dt 3t 3 + 1 3. Ache a derivada da função dada. ( ) 3 2x 1 (a) f(x) =. 3x 2 + x 2 (b) F (x) = (x2 + 3) 3 (5x 8) 2. (c) f(z) = (x2 5) 3 (z 2 + 4) 2. (d) G(x) = (4x 1)3 (x 2 + 2) 4 (3x 2 + 5) 2. (e) g(t) = sen 2 (3t 2 1). (f) f(x) = tan 2 x 2. (g) f(x) = (tan 2 x x 2 ) 3. (h) G(x) = (2 sen x 3 cos x) 3. 3 sen 2y (i) f(y) = cos 2 2y + 1. (j) g(x) = cotan2 2x 1 + x 2. Apostila Derivada 50

(k) F (x) = 4 cos(sen 3x). (l) f(x) = sen 2 (cos 2x). Apostila Derivada 51

1.11 A Derivada da Função Potência para Expoentes Racionais Teorema 17. a Se f for a função potência definida por f(x) = x r, onde r é qualquer número racional, então f será derivável e f (x) = rx r 1. Para que essa fórmula tenha validade para f (0), r deve ser tal que x r 1 esteja definida em algum intervalo aberto contendo 0. a ver demonstração na página 190, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Exemplo 34. Encontre f (x) se f(x) = 4 3 x 2. f(x) = 4x 2 3.Do Teorema 17, f (x) = 4. 2 3 (x 2 3 1 ) = 8 3 x 1 3 = 8 = 3x 1 3 8 3 3 x. O Teorema 18 é uma consequência imediata do Teorema 17 e da regra da cadeia. Teorema 18. Se f e g forem funções tais que f(x) = [g(x)] r, onde r é qualquer número racional e se g (x) existir, então f será derivável e f (x) = r[g(x)] r 1 g (x). Apostila Derivada 52

Exemplo 35. Calcule D x ( 2x 3 4x + 5). Escrevemos 2x 3 4x + 5 como (2x 3 4x + 5) 1 2 e aplicamos o Teorema 18. D x [(2x 3 4x + 5) 1 1 2 ] = 2 (2x3 4x + 5) 1 2. Dx (2x 3 4x + 5) = 1 2 (2x3 4x + 5) 1 2 (6x 2 4) = 3x 2 2 2x3 4x + 5. Exemplo 36. Encontre g (x) se g(x) = x 3 3 3x2 1. A fração dada pode ser escrita como um produto: Dos Teoremas 7 e 18, g(x) = x 3 (3x 2 1) 1 3. g (x) = 3x 2 (3x 2 1) 1 1 3 3 (3x2 1) 4 3 (6x)(x 3 ) = x 2 (3x 2 1) 4 3 [3(3x 2 1) 2x 2 ] = x2 (7x 2 3). (3x 2 1) 4 3 Apostila Derivada 53

Exemplo 37. Encontre f (r) se f(r) = 4 sen 2 r + 9 cos 2 r. f(r) = (4 sen 2 r + 9 cos 2 r) 1 2. Aplicamos o Teorema 18. f (r) = 1 2 (4 sen2 r + 9 cos 2 r) 1 2. Dr (4 sen 2 r + 9 cos 2 r) = 8 sen r. D r(sen r) + 18 cos r. D r (cos r) 2 4 sen 2 r + 9 cos 2 r 8 sen r. cos r + 18 cos r. ( sen r) = 2 4 sen 2 r + 9 cos 2 r 10 sen r cos r = 2 4 sen 2 r + 9 cos 2 r 5 sen r cos r = 4 sen2 r + 9 cos 2 r. 1.12 Exercícios 1. Ache a derivada da função dada. (a) f(x) = 4x 1 2 + 5x 1 2. (b) f(x) = 3x 2 3 6x 1 3 + x 1 3. (c) g(x) = 1 + 4x 2. (d) f(x) = (5 3x) 2 3. (e) g(x) = 3 4x 2 1. 1 (f) g(y) =. 25 y 2 (g) h(t) = 2 cos t. (h) f(x) = 4 sec x. (i) g(r) = cotan 3r. Apostila Derivada 54

(j) g(x) = 3 sen x. (k) f(x) = (sen 3x) 1 2. (l) f(y) = 1 + cosec 2 y. (m) f(x) = tan x 2 + 1. (n) f(y) = 3 cos 3 2y 2. 2x 5 (o) g(x) = 3x + 1. t 1 (p) h(t) =. t + 1 (q) F (x) = 3 2x 3 5x 2 + x. (r) a(t) = 2 2t + t. (s) f(x) = (5 x 2 ) 1 2 (x 3 + 1) 1 4. 2. Calcule a derivada indicada. ( ) d x2 1 (a). dx x d (b) dx ( x 2 5 3 x 2 + 3). ( ) d sen t + 1 (c). dt 1 sen t d (d) dz (sen 3 z cos 3 z). d (e) dy (tan y sec y). ( ) d cos x 1 (f). dx sen x ( ) x 1 (g) D x 3 x + 1 (h) D x ( 9 + 9 x. ( ) 4 y 3 + 1 (i) D y. y 3 1 ( ) 1 (j) D z. 1 + cos2 2z Apostila Derivada 55

( ) x 1 (k) D x tan. x Cálculo Diferencial e Integral I 3. Ache uma equação da reta tangente à curva y = x 2 + 9, no ponto (4, 5). 4. Ache uma equação da reta tangente à curva y = (7x 6) 1 3 que seja perpendicular à reta 12x 7y + 2 = 0. 5. Ache uma equação da reta normal à curva y = x 16 + x 2 na origem. 6. Ache uma equação da reta tangente à curva y = sen x + cos x no ponto onde x = π 4. Apostila Derivada 56

1.13 Derivação Implícita Se f = {(x, y) y = 3x 2 + 5x + 1}, então a equação y = 3x 2 + 5x + 1, define a função f explicitamente. Mas, nem todas as funções estão definidas dessa forma. Por exemplo, se tivermos a equação x 6 2x = 3y 6 + y 5 y 2, (16) não poderemos resolver y em termos de x. Além disso, podem existir uma ou mais funções f, para as quais se y = f(x), a equação (16) estará satisfeita, isto é, tais que a equação x 6 2x = 3[f(x)] 6 + [f(x)] 5 [f(x)] 2, seja válida para todos os valores de x no domínio de f. Nesse caso, a função f está definida implicitamente pela equação dada. Com a hipótese de que (16) define y como uma função derivável de x, a derivada de y em relação a x pode ser encontrada por derivação implícita. A equação (16) é um tipo especial de equação envolvendo x e y, pois pode ser escrita de tal forma que todos os termos envolvendo x estejam de um lado da equação, enquanto que no outro lado ficarão todos os termos envolvendo y. Ela serve como um primeiro exemplo do processo de derivação implícita. O lado esquerdo de (16) é uma função de x e o lado direito é uma função de y. Seja F a função definida pelo lado esquerdo e seja G a função definida pelo lado direito. Assim, F (x) = x 6 2x e G(y) = 3y 6 + y 5 y 2, onde y é uma função de x, digamos y = f(x). Dessa forma, (16) pode ser escrita como F (x) = G(f(x)). Essa equação está satisfeita por todos os valores de x no domínio de f para os quais G(f(x)) existe. Então, para todos os valores de x para os quais f é derivável, D x (x 6 2x) = D x (3y 6 + y 5 y 2 ). (17) A derivada do primeiro membro de (17) é facilmente encontrada e D x (x 6 2x) = 6x 5 2. (18) Apostila Derivada 57

Encontramos a derivada do segundo membro de (17) pela regra da cadeia. D x (3y 6 + y 5 y 2 ) = 18y 5. dy dx + 5y4. dy dy 2y. dx dx. (19) Substituindo os valores de (18) e (19) em (17), obtemos 6x 5 2 = (18y 5 + 5y 4 2y) dy dx dy dx = 6x 5 2 18y 5 + 5y 4 2y. Observe que ao usarmos a derivação implícita, obtivemos uma expressão que envolve ambas as variáveis, x e y. para dy dx Exemplo 38. Utilize o método da derivação implícita para encontrar dy dx. Considere a equação 3x 4 y 2 7xy 3 = 4 8y, (20) e suponha que exista pelo menos uma função derivável f, tal que se y = f(x). Derivando-se ambos os membros de (20) (tendo em mente que y é uma função derivável de x) e aplicando os teoremas para derivada de um produto, a de uma potência e a regra da cadeia, obtemos 12x 3 y 2 + 3x 4 ( 2y dy dx ) 7y 3 7x ( 3y 2 dy dx ) = 0 8 dy dx dy dx (6x4 y 21xy 2 + 8) = 7y 3 12x 3 y 2 dy dx = 7y 3 12x 3 y 2 6x 4 y 21xy 2 + 8. Estamos supondo que ambas (16) e (20) definam y como pelo menos uma função derivável de x. Pode acontecer que uma equação em x e y não implique a existência de nenhuma função com valores reais, como é o caso da equação x 2 + y 2 + 4 = 0, que não está satisfeita por nenhum valor real de x e y. Além disso, é possível que uma equação em x e y possa estar satisfeita por várias funções, algumas das quais são deriváveis, enquanto que outras não são. Nas discussões Apostila Derivada 58

subsequentes, quando afirmarmos que uma equação em x e y define y como uma função implícita de x, suporemos que uma ou mais dessas funções seja derivável. Exemplo 39. Dada (x + y) 2 (x y) 2 = x 4 + y 4, ache dy dx. Derivando implicitamente em relação a x, teremos ( 2(x + y) 1 + dy ) ( 2(x y) 1 dy ) dx dx 2x + 2y + (2x + 2y) dy 2x + 2y + (2x 2y)dy dx = 4x 3 + 4y 3 dy dx dx = 4x3 + 4y 3 dy dx dy dx (4x 4y3 ) = 4x 3 4y dy dx = x3 y x y. 3 Exemplo 40. Ache uma equação da reta tangente à curva x 3 + y 3 = 9, no ponto (1, 2). Vamos derivar implicitamente em relação a x. 3x 2 + 3y 2 dy dx = 0 dy dx = x2 y. 2 Logo, no ponto (1, 2), dy dx = 1. Uma equação da reta tangente é, então, 4 y 2 = 1 (x 1) 4 x + 4y 9 = 0. Apostila Derivada 59

Exemplo 41. Dada x cos x + y cos x = 1, ache dy dx. Derivando implicitamente em relação a x, obteremos 1. cos y + x( sen y) dy dx + dy (cos x) + y( sen x) = 0 dx dy (cos x x sen y) = y sen x cos y dx dy dx = y sen x cos y cos x x sen y. Exemplo 42. Dada a equação x 2 + y 2 = 9, ache (a) dy por derivação dx implícita; (b) as duas funções definidas pela equação; (c) a derivada de cada função obtida na parte (b) por derivação explícita; (d) comprove que o resultado obtido na parte (a) está de acordo com os resultados obtidos na parte (c). (a) Derivando implicitamente, (b) Resolvendo a equação dada em y, 2x + 2y dy dx = 0 dy dx = x y. y = 9 x 2 e y = 9 x 2. Sejam f 1 e f 2 as duas funções para as quais f 1 (x) = 9 x 2 e f 2 (x) = 9 x 2. (c) Como f 1 (x) = (9 x 2 ) 1 2 obtemos e f 2 (x) = (9 x 2 ) 1 2, pela regra da cadeia Apostila Derivada 60