Uiversidade Federal Flumiese INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Estatística Básica para Egeharia Prof. Mariaa Albi Material de Apoio Assuto: Aálise Combiatória Aálise Combiatória (Regras de Cotagem) (Será útil pois, de acordo com a defiição clássica de probabilidade, devemos saber cotar o o de elemetos de um cojuto/eveto; e em sempre é possível listar.) 1 Pricípio Fudametal da Adição Sejam A 1, A 2,..., A k cojutos tais que A i A j, i j, e #A i i. Neste caso, ( k ) # A i i1 k (#A i ) 1 +... + k. 2 Pricípio Fudametal da Multiplicação i1 Se temos k decisões (ou uma decisão em k etapas), d 1, d 2,..., d k, que podem ser tomadas de 1, 2,..., k maeiras, respectivamete, etão o úmero de maeiras de tomar as decisões d 1, d 2,... e d k é 2.1 Exemplos: 1 2... k. (a) Quatos úmeros iteiros múltiplos de 5 com 3 algarismos existem? 9 10 2 180 o 2 é devido aos múltiplos de 5 termiarem em 0 ou 5. (b) Teho 2 calças e 4 blusas. De quatas maeiras diferetes posso me vestir? 2 4 8 (c) Quatos úmeros pares com 2 algarismos distitos existem? 8 4 + 9 1 41 o 8 se deve ao fato de ão podermos escolher em o 0 em o segudo algarismo; o 4 correspode às possíveis escolhas {2, 4,, 8}; o 9 se deve ao fato de ão podermos escolher o zero.
3 Permutação Simples Dados objetos distitos, o o de permutações simples (ordeações) de tais objetos é dada por: P! ( 1) ( 2)... 1. 3.1 Exemplos: (a) Quatos úmeros diferetes podemos formar com os algarismos 4, 7 e 9? 3! 3 2 1 (b) Quatas filas diferetes podem ser formadas com 4 pessoas? 4! 4 3 2 1 24 (c) Se temos 2 homes e 4 mulheres, de quatas maeiras diferetes essas pessoas podem se orgaizar em uma fila? Qual a probabilidade de que a fila, todas as mulheres fiquem em posições cosecutivas? (i) o de filas diferetes! (ii) o de filas com todas as mulheres jutas 3! 4! 24 144 (iii) probabilidade * 3! - permuta a fila de mulheres com os homes * 4! - permuta as mulheres #casos favoraveis #casos possiveis 3! 4!! 3! 5 1 5 (d) 5 moças e 5 rapazes devem setar em 5 bacos de 2 lugares. Qual a probabilidade de termos um casal em cada baco? 5! 5! 2 5 10! 0, 127 2 5 represeta o úmero de maeiras diferetes que podemos trocar moças e rapazes de lugar. 4 Permutações de k detre objetos (Arrajo) Dados objetos distitos, o úmero de permutações simples de k objetos selecioados etre os é dado por: 4.1 Observação: P k ( 1)... ( k + 1). P k ( 1)... ( k + 1) ( k) ( k 1)... 1 ( k) ( k 1)... 1! ( k)! Sorteio sem reposição de elemetos de um certo grupo, ode a ordem é relevate.
4.2 Exemplos: (a) Em um campeoato com 20 times, quatas possibilidades existem para os 3 primeiros lugares? P20 3 20! 20 19 18 840 17! (b) Se 12 bolas são distribuídas em 20 caixas aleatoriamete, qual a probabilidade de que ehuma caixa receba mais de uma bola? Sorteio uma caixa para cada bola P 12 20 20 12 20! 8! 20 12 para cada bola pode-se escolher 20 caixas (c) Problema dos Aiversários Qual a probabilidade de pelo meos 2 pessoas em um grupo com k pessoas façam aiversário o mesmo dia? (Descosidere pessoas ascidas em 29 de fevereiro e gêmeos o grupo) (i) Se k > 35, etão a probabilidade é de 100%, pois há mais pessoas que dias o ao. (ii) Se 2 k 35 P(pelo meos 2 façam aiversário o mesmo dia) 1-P(todos façam aiversários em dias diferetes) 1 P k 35 35 k 1 35! (35 k)!. 1 35 k Curiosidade: com k 23, a probabilidade já chega a 0, 507. Veja a tabela outros valores para k e as respectivas probabilidades: k 10 20 30 40 50 0 P 0,117 0,411 0,70 0,891 0,970 0,994 4.3 Exercício: Uma secretária deveria madar 4 cartas, uma para cada pessoa. Ela colocou ao acaso as 4 cartas os 4 evelopes previamete edereçadas e as eviou. Qual a probabilidade (a) de que todos teham recebido a carta correta? (b) de que ao meos um teha recebido a carta correta?
5 Combiação Simples O úmero de combiações simples de elemetos distitos tomados k a k é igual a C k P k! k! ( k)!k!. k é chamado coeficiete biomial. k 5.1 Observação: Nas combiações, estamos formado subcojutos de k elemetos detre, portato a ordem dos elemetos ão importa. Por outro lado, as permutações, formamos sequêcias de k elemetos, portato a ordem é relevate. 5.2 Exemplos: *a ordem muda ARRANJO *a ordem ão muda COMBINAÇÃO (a) Queremos formar uma comissão com 8 pessoas detre um grupo com 10 homes e mulheres. Qual a probabilidade de que o grupo possua exatamete 4 homes e 4 mulheres? 10 4 4 0, 245 1 8 (b) Jogo da Mega-Sea Apostas de a 15 úmeros diferetes detre 1 a 0. 1. Qual a chace de gahar com um jogo simples ( úmeros)? 1 0 1 0, 000000019974 500380 2. Qual a chace de gahar com uma aposta de 15 úmeros? 15 5005 0 500380 0, 00009997 *Se um jogo simples custa R$ 1,50, um jogo com 15 úmeros custa 5005 R$1, 50 R$7507, 50
Coeficietes Multiomiais Supoha que queremos alocar elemetos distitos em k categorias disjutas (k 2), com j elemetos alocados a j-ésima categoria (j 1,..., k, j ). Nesta situação, os elemetos podem ser alocados as k categorias de 1,..., k maeiras diferetes..1 Exemplos:! 1!... k! ( 1 1 2 )... 1... k 1 (a) Se dados balaceados são jogados, qual a probabilidade de que o úmero j apareça exatamete j vezes? (cosidere j 1,..., e j ) 1,...,! 1!...! k (b) Supoha que 18 cotas vermelhas, 12 amarelas, 12 pretas e 8 azuis serão efiadas em uma liha para formar um colar. Quatos arrajos de cores diferetes podem ser formados? 18 + 12 + 12 + 8 50 5, 135 10 2 12, 12, 12, 8 18, 12, 12, 8