Estatístca I Lcencatura MAEG 006/07 AMOSTRAGEM. DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM.. Em determnada unversdade verfca-se que 30% dos alunos têm carro. Seleccona-se uma amostra casual smples de 0 alunos. a) Qual a probabldade do prmero aluno escolhdo ter carro e os outros não? b) Qual a probabldade de, no máxmo, 0 alunos terem carro? c) Calcule o valor esperado e a varânca da proporção de alunos, na amostra, com carro.. O número de gralhas por págna, em certo tpo de publcações, é uma varável aleatóra com dstrbução de Posson cuja méda está estmada em 0.3. a) Numa amostra de cnco págnas, qual a probabldade das duas prmeras terem uma gralha cada e as restantes não terem gralhas? b) Se a amostra casual for de 0 págnas, calcule a probabldade do número total de gralhas encontrado ser de pelo menos 8. c) Para uma amostra de 50 págnas, obtenha o valor esperado e a varânca do número médo de gralhas por págna. d) Voltando às amostras da alínea a), calcule e nterprete P[ max( ) ]. 3. Consdere que o tempo de execução de uma peça é uma varável aleatóra com dstrbução exponencal, de méda 5 mnutos. a) Escreva a expressão da função densdade de uma amostra aleatóra de dmensão 5. b) Calcule a probabldade dos tempos de execução das duas prmeras peças da amostra serem nferores a 8 mnutos e nas outras superor. c) Tomadas cnco peças ao acaso, calcule a probabldade de duas delas terem tdo um tempo de execução máxmo de 8 mnutos. Compare com a alínea anteror. d) Para amostras de dmensão 00, obtenha a dstrbução da soma e da méda da amostra e ndque as respectvas médas e varâncas. e) Anda com amostras de dmensão 00, comente a segunte frase: Em 90% dos casos o tempo médo de execução é nferor a 0 mnutos. f x = x = Determne 3 a dstrbução do máxmo e do mínmo da amostra, se esta tver dmensão 3. 4. Consdere uma população dscreta com f. p. ( ) 0,,.
5. Com destno à cdade B realzam-se daramente, a partr da cdade A, 5 vôos. O atraso na partda dos vôos, em mnutos, tem dstrbução normal de méda 5 e desvo padrão 3. Nos vôos de um da, qual a probabldade do menor atraso ser nferor a 0 mnutos? 6. A vda de uma lâmpada tem dstrbução exponencal de méda gual a 00 horas. Se 0 lâmpadas forem lgadas ao mesmo tempo, qual a dstrbução da vda da lâmpada que, em prmero lugar, dexe de funconar. 7. Consdere uma amostra de 5 observações retrada de uma população de dstrbução de probabldade é dada por f ( x) = 3x 0 < x <. a) Determne a probabldade do valor máxmo dessa amostra ultrapassar 0.9. b) Calcule a mesma probabldade mas para o ª maor valor da amostra. 8. Prove que, tendo dstrbução unforme no ntervalo ( θ,θ ), θ + θ P[ mn{ } > k] = P[ max{ } < k] k =. 9. De um unverso de méda µ e varânca σ recolheu-se uma amostra casual smples (,,, ) L. Qual o valor de cov(, )? E do coefcente de n correlação entre e? 0. Recolheu-se uma amostra aleatóra de dmensão 5 de uma população normal. Determne a probabldade de o desvo padrão da amostra ser nferor ao desvo padrão da população. De uma população normal de méda e varânca desconhecdas retrou-se uma amostra aleatóra. a) Determne a percentagem de amostras em que a sua méda dfere da méda da população, por valores superores ao desvo padrão da população, consderando que a amostra tem 4 observações. b) Determne a percentagem de amostras aleatóras de 5 observações em que a sua méda dfere da méda da população, por valores superores ao do desvo padrão corrgdo da amostra.. De uma população normal de desvo padrão gual a 4, recolheu-se uma amostra casual de dmensão 00. a) Qual a probabldade da méda da amostra dferr da méda da população por mas de 0.5? b) Se não conhecesse a dstrbução da população, como aproxmara essa probabldade? c) Ilustre a qualdade da aproxmação utlzada supondo que a população tem dstrbução exponencal com desvo padrão gual a 4. 3. Seja uma população normal de méda 0 e varânca 5. Calcule a dmensão da amostra mínma de modo a que seja pelo menos gual a 0.9 a probabldade da méda da amostra se stuar entre 8 e.
4. De uma população normal de méda desconhecda e varânca 4 retrou-se uma amostra casual de dmensão n. a) Qual deve ser a dmensão da amostra para que seja, pelo menos gual a 0.8, a probabldade da méda da amostra dferr da méda da população por valores nferores a 0.55? b) Consdere agora que a população tem méda nula e que dspõe de uma amostra casual smples de dmensão 00. Qual a probabldade de exceder 576. 5. De uma população normal de varânca 64, tomou-se uma amostra de dmensão 3. a) Qual a probabldade da varânca da amostra exceder 78? b) Responda à mesma questão para uma amostra de dmensão6. 6. Um comercante pretende adqurr frutos de um dos pomares A e B. Como o peso dos frutos é factor preferencal, o comercante recolheu duas amostras ndependentes de 36 frutos de cada um dos pomares e escolhe o pomar a que corresponde a amostra com maor peso médo. Com que probabldade escolherá o comercante o pomar B se o peso dos frutos fôr normalmente dstrbuído de parâmetros respectvamente; Pomar Méda (grs) Desvo Padrão (grs) A 0 B 8 5 Relacone esta probabldade com a dmensão das amostras. 7. Admta a exstênca de duas populações e Y normalmente dstrbuídas com parâmetros µ = 0, µ Y =, σ = σ Y = 6. Recolheram-se duas amostras ndependentes de cada uma delas respectvamente com 9 e 6 elementos. a) Qual a probabldade de a méda da ª amostra exceder a méda da ª em mas de 3 undades? b) Qual a probabldade de o desvo padrão corrgdo da ª amostra ultrapassar o dobro do desvo padrão corrgdo da ª amostra? 8. De duas populações normas com médas guas e varâncas σ = 50 e σ = 40, recolheram-se, ndependentemente, amostras de 00 elementos. Qual a probabldade do valor absoluto da dferença entre as médas das amostras exceder? 9. De duas populações normas ndependentes, com varâncas guas, foram extraídas duas amostras casuas com dmensões 0 e 5, respectvamente. Determne dos valores tas que entre eles esteja, com 95% de probabldade, a razão das varâncas corrgdas das amostras. 0. Seja uma amostra aleatóra de dmensão 5 de uma população exponencal. Calcule a probabldade da méda da amostra exceder o dobro da méda da população. 3
. Seja (,,..., 8) uma amostra casual de uma população com dstrbução exponencal de parâmetro θ. a) Obtenha a dstrbução da méda da amostra. b) Calcule P ( > / θ ). c) Encontre uma expressão para a P( c, c,..., 8 c) e relacone esse resultado com as dstrbuções dos extremos da amostra.. Suponha que está em presença de duas populações de Bernoull com parâmetros respectvamente guas a 0.6 e 0.5. Se retrarmos da prmera população uma amostra com 50 observações e da segunda uma outra, ndependente da prmera, com 40 observações, qual é aproxmadamente a probabldade de que o desvo entre as duas proporções amostras seja, em valor absoluto, superor a 0.. 3. Admta que a proporção de estudantes com opnão favorável às aulas teórcas é de 0%. a) Numa amostra casual de 50 alunos, qual a probabldade aproxmada de se observarem mas de com opnão favorável? b) Quantos alunos devem ser nqurdos de modo a que a dvergênca entre a frequênca relatva da amostra e a verdadera proporção seja nferor a %, com probabldade de 95%? 4. Admtndo que um em cada cnco alunos usam óculos, qual a probabldade de se observar mas de 30% de alunos com óculos, numa amostra de dmensão 0 e, numa amostra de dmensão 50? 5. Um dstrbudor de Whsky sabe, por experênca, que a probabldade de exstrem no mercado garrafas falsfcadas é de 0.05. Regularmente são verfcadas ml garrafas, nos postos de venda. Com pelo menos 0.975 de probabldade, qual o desvo máxmo a admtr entre a frequênca relatva das garrafas não falsfcadas e a verdadera proporção? 6. Seja uma população com dstrbução unforme no ntervalo ( θ, θ ), θ > 0. Determne a probabldade de a méda de uma amostra casual de 00 observações dessa população se stuar entre θ / 8 e 3θ / 8. 7. De uma população unforme no ntervalo ( 0, θ ), θ > 0, fo retrada uma amostra casual smples de dmensão n. a) A partr de que dmensão da amostra a probabldade de todas as observações serem maores que a méda da população é nferor a 0.00? Justfque. b) Consderando n=00, qual a probabldade aproxmada da méda da θ amostra dferr da méda da população por valores superores a? 300 4
Soluções. a) 0.00034 b) 0.989 c) 0.3 ; 0.005. a) 0.00 b) 0.56 c) 0.3 ; 0.006 d) 0.886 3. a) 0. 5 exp( 0. x ) b) 0.0054 c) 0.054 d) 500 ; 500; 5 ; 0.5 4. Máxmo g ( 0) = / 7 g() = 7 / 7 g() = 9/ 7 Mínmo h ( 0) = 9/ 7 h() = 7 / 7 h() = / 7 5. 0.7 6. Exponencal de méda 0 horas 7. a) 0.794 b) 0.44 8. -- 9. σ / n / n 0. 0.77. 0.0455 0.089. a) 0. b) 0. c) 0.0 3. 7 4. a) b) 0.006 5. a) 0.607 b) 0.9 6. 0.09 7. a) 0.743 b) 0.0 8. 0.0350 9. Por exemplo 0. e 8.905 ou 0 e 5.9988 0. 0.4405. Gama de parâmetros n e n θ b) 0.0 c) --. 0.733 3. a) 0.894 b) 537 4. n=0 0.0867 n=50 0.0308 (ECEL) ou 0.06 (TLC) 5. 0.054 6. 0.999985 7. a) 0 b) 0.0455 5