Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/
Tipos de Modelos Determinístico Sistema Real Probabilístico
Modelo determinístico Causas Efeito
Exemplos Gravitação F GM 1 M /r Aceleração clássica v at Aceleração relativística v 1 + at a c t
Modelo probabilístico X Causas Efeito
Exemplos Binomial n. p f ( x) x 0 x.(1 p) n x x { 0,1,..., n} c. c. Poisson f ( x) x λ. e x! 0 λ x N c. c. Normal f ( x) 1. e π. σ 1 x µ. σ, x R
Experimento Aleatório Experiência para o qual o modelo probabilístico é adequado.
Exemplos E 1 : Joga-se um dado e observa-se o número da face superior. E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas;
E 3 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas; E 4 : Uma lâmpada nova é ligada e contase o tempo gasto até queimar;
E 5 : Joga-se uma moeda até que uma cara seja obtida. Conta-se o número de lançamentos necessários; E 6 : Uma carta de um baralho comum de 5 cartas é retirada e seu naipe registrado; E 7 : Jogam-se dois dados e par de valores obtido; observa-se o
Espaço amostra(l) É o conjunto de resultados de uma experiência aleatória.
Exemplos S 1 {1,, 3, 4, 5, 6} S {0, 1,, 3, 4}
S 3 { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc, kkck, kckk, ckkk, kkkk} S 4 { t R / t 0 }
S 5 {1,, 3,...} S 6 {,,, }
S 7 { (1, 1), (1, ),(1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (, 1), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6) (3, 1), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, ), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
Eventos Um evento é um subconjunto de um espaço amostra.
Exemplo Se S { 1,, 3, 4, 5, 6 } é um espaço amostra, então são eventos: A { 1, 3, 5} B { 6 } C { 4, 5, 6} D E S
Ocorrência de um evento Seja E um experimento com espaço amostra associado S. Diremos que o evento A ocorre se realizado E o resultado é um elemento de A.
Combinação de eventos Se A e B são eventos de um mesmo espaço amostra S. Diremos que ocorre o evento:
A união B, A soma B ou A mais B, se e só se A ocorre ou B ocorre. A B
A produto B, A vezes B ou A interseção B, se e só se A ocorre e B ocorre. A B
A menos B, A diferença B, se e só se A ocorre e B não ocorre. A B
Complementar de A (não A) se e só se A não ocorre. A A C A
Eventos mutuamente excludentes (exclusivos) Dois eventos A e B são mutuamente excludentes se não puderem ocorrer juntos.
Conceitos de probabilidade CLÁSSICO FREQÜENCIAL AXIOMÁTICO
Clássico (número de casos favoráveis) P(A) ------------------------------------ (número de casos possíveis)
Exemplo: Qual a probabilidade de ganhar na Loto Fácil?
Solução: Casos favoráveis 1 Casos possíveis: 5 15 368760
P(Loto Fácil) Número de favoráveis Número de possíveis 1 5 15 1 368760 0,000031%
Frequência relativa de um evento (número de vezes que A ocorre) fr A ------------------------------------------ (número de vezes que E é repetido)
Exemplo: Um dado é lançado 10 vezes e apresenta FACE SEIS 18 vezes. seis é: Então, a freqüência relativa de face
fr6 númerode vezesque"f_seis"ocorre númerode vezesqueodadoé jogado 18 0,15 15%. 10
Conceito frequencial de probabilidade A probabilidade de um evento A é o limite para o qual tende a frequência relativa de A, quando o número de repetições do experimento tende ao infinito, isto é: P(A) lim fr n A
Conceito axiomático P(A) é um número real que deve satisfazer as seguintes propriedades: (1) 0 P(A) 1 () P(S) 1 (3) P(AUB) P(A) + P(B) se A B
Consequências dos axiomas (Propriedades)
(1) P( ) 0 A () P( ) 1 - P(A) (3) P(A - B) P(A) - P(A B)
(4) P(AUB) P(A) + P(B) - P(A B) (5) P(AUBUC) P(A) + P(B) + P(C)- - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)
Probabilidade condicionada
Motivação Considere uma urna com 50 fichas, onde 40 são pretas e 10 são brancas. Suponha que desta urna são retiradas duas fichas, ao acaso e sem reposição:
Sejam os eventos: A {a primeira ficha é branca} B {a segunda ficha é branca} Então: P(A) 10/50 0,0 0% P(B)?/49
Neste caso, não se pode avaliar P(B), pois para isso é necessário saber se A ocorreu ou não, isto é, se saiu ficha branca na primeira retirada.
Se for informado que A ocorreu, então a probabilidade de B, será: P(B A) 9/49 0,1837 18,37%. Observe a notação.
Esta representação é lida: P de B dado A; P de B dado que A ocorreu; P de B condicionada a A.
Definição: P(A B) P(A B) / P(B)
Mas: Se P(A B) P(A B) / P(B) então: P(A B) P(A B).P(B) E também: Se P(B A) P(A B) / P(A) então: P(A B) P(A).P(B A)
Assim: P(A B).P(B) P(A B) P(A).P(B A) Esse resultado é conhecido como teorema da multiplicação.
Independência Dois eventos A e B são ditos independentes se a probabilidade de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é:
Se: (1) P(A B) P(A) ou () P(B A) P(B) ou ainda (3) P(A B) P(A).P(B)
s KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X 0 1 3 R x X(s) X(S)
Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real x X(s) é denominada variável aleatória.
O conjunto de valores O conjunto formado por todos os valores x, isto é, a imagem da variável aleatória X, é denominado de conjunto de valores de X. X(S) { x R X(s) x }
Tipos de variáveis Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua.
Variável Discreta (VAD) Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enumerável a variável é dita discreta.
Variável Contínua (VAC) Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua.
A função de probabilidade (fp) A função de probabilidade (fp) de uma VAD é a função que associa a cada x i X(S) o número f(x i ) P(X x i ) que satisfaz as seguintes propriedades: f(x i ) 0, para todo i f(x i ) 1
A distribuição de probabilidade A coleção dos pares [x i, f(x i )] para i 1,, 3,... é denominada de distribuição de probabilidade da VAD X.
Exemplo: Suponha que uma moeda equilibrada é lançada três vezes. Seja X número de caras. Então a distribuição de probabilidade de X é:
KKK X f CKK 0 0 KKC KCK CCK CKC 1 3 0 0 1 KCC CCC S x(s) R f (x) [0;1]
X f KKK CKK KKC KCK CCK CKC 0 1 3 1/8 3/8 3/8 1/8 KCC CCC x(s) R f (x) [0;1] S
Exemplo: Suponha que um par de dados é lançado. Então X soma do par é uma variável aleatória discreta com o seguinte conjunto de valores:
Como X((a, b)) a + b, o conjunto de valores de X é dado por: X(S) {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1}
A função de probabilidade f(x) P(X x), associa a cada x X(S), um número no intervalo [0; 1] dado por: f(x) P(X x) P(X(s) x) P([x X(S) / X(s) x})
Desta forma: f() P(X ) P{(1,1)} 1/36 f(3) P(X 3) P{(1,), (, 1)} /36... f(11) P(X11) P{(6, 5), (5, 6)} /36 f(1) P(X 1) P{(6, 6)} 1/36 A distribuição de probabilidade será:
A distribuição de probabilidade de X será então: x 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Σ 1 f(x) 3 4 5 6 5 4 3 1 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
Representação de uma distribuição de probabilidade: Poderá ser feita por meio de: uma tabela uma expressão analítica (fórmula) um diagrama
Tabela Seja X número de caras, obtidas no lançamento de 4 moedas honestas. Então a distribuição de X é a da tabela ao lado. x f(x) 0 1/16 1 4/16 6/16 3 4/16 4 1/16 Σ 1
Expressão analítica Considere X soma do par, no lançamento de dois dados equilibrados, então: f : X(S) R x (x - 1)/36 se x 7 (1 - x + 1)/36 se x > 7
Diagrama 0,18 0,16 0,14 0,1 0,10 0,08 0,06 0,04 0,0 0,00 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
VAD - Caracterização (a) Expectância, valor esperado (Expectation) µ E(X) x.f(x) x.p(x x) (b) Variância (Variance) σ f(x) (x µ ) x f(x) µ E( X )-E(X)
(iii) Desvio Padrão (Standard Deviation) σ f (x)(x µ ) x f (x) µ E( X )-E(X) (iv) O Coeficiente de Variação (Variation Coeficient) γ σ/µ
Exemplo Calcular o valor esperado, a variabilidade da variável X número de caras no lançamento de quatro moedas honestas.
Cálculos x f(x) x.f(x) x f(x) 0 1/16 0 0 1 4/16 4/16 4/16 6/16 1/16 4/16 3 4/16 1/16 36/16 4 1/16 4/16 16/16 Σ 1 5
Tem-se: Assim: (i) E(X) caras (ii) σ 5 4 1 cara (iii) γ /1 00%
A Função de Distribuição (FD) Seja X uma variável aleatória (discreta ou contínua). A função de distribuição (acumulada) ou simplesmente função de repartição é definida por: F(x) P(X x).
Determinação de probabilidades a partir da FD (i) P(a < X b) F(b) F(a); (ii) P(X < a) F(a) e (iii) P(X > a) 1 - F(a)
Bernoulli Binomial Poisson
Experimento Qualquer um que corresponda a apenas dois resultados. Estes resultados são anotados por 0 ou fracasso e 1 ou sucesso. A probabilidade de ocorrência de sucesso é representada por p e a de insucesso por q 1 p.
Conjunto de Valores X(S) {0, 1} A Função de Probabilidade (fp) f (x) P(X x) 1 p p se se x 0 x 1
A Função de Probabilidade (fp) 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0 1
Características Expectância ou Valor Esperado E(X) x.f (x) 0.q + 1.p p Variância V(X) E(X ) - E(X) (0.q + 1.p) p p p p(1 p) pq
Suponha que um circuito é testado e que ele seja rejeitado com probabilidade 0,10. Seja X o número de circuitos rejeitados em um teste. Determine a distribuição de X.
Como se trata de um único teste, a variável X é Bernoulli com p 10%, assim a distribuição é: f (x) P(X x) 0,9 0,1 se se x 0 x 1
Experimento Como existem apenas duas situações: A ocorre ou não, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q 1 p. A VAD definida por X número de vezes que A ocorreu nas n repetições de E é denominada BINOMIAL.
Conjunto de Valores X(S) {0, 1,, 3,..., n} A Função de Probabilidade (fp) f (x) P(X x) n x p x q n x
A Função de Probabilidade (fp) 0,18 0,16 0,14 0,1 0,10 0,08 0,06 0,04 0,0 0,00 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 4
Características Expectância ou Valor Esperado E(X) x.f (x) Variância n x n x x. p q x np V(X) E(X ) - E(X) n x n x E(X ) x. p q n(n -1) p + x np
V(X) E(X ) - E(X) n(n 1) p + np (np) n p + np np(1 p) npq Assim: E (X) np σx npq
Exemplo: Uma fábrica recebe um lote de 100 peças das quais cinco são defeituosas. Suponhamos que a fábrica aceite todas as 100 peças se não houver nenhuma defeituosa em uma amostra aleatória de 10 peças selecionadas para inspeção. Determinar a probabilidade de o lote ser aceito.
Tem-se: n 10 e p 5/100 0,05 f (0) P(X 0) 10 0,05 0 59,87% 0 0,95 10
Então: Tem-se: n 10 e p 5/100 5% f (0) P(X 0) 59,87% 10.(0,5) 0 0.(0,95) 10
Seja X uma variável aleatória com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua.
A Função Densidade de Probabilidade É a função que associa a cada x X(S) um número f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades: f(x) 0 f(x)dx 1
A Distribuição de Probabilidade A coleção dos pares (x, f(x)) é denominada de distribuição de probabilidade da VAC X.
Exemplo Seja X uma VAC. Determine o valor de c para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade (fdp). f (x) c.x 0 se 1 c. c. x 1
Para determinar o valor de c, devemos igualar a área total a um, isto é, devemos fazer: 1-1 f(x)dx 1 1-1 c.x dx 1
Tem-se: 1-1 c.x dx 1-1 c x dx 3 1 x c 3-1 c 1 3 c c 3 1 3 3-1 3 3 1-1
Representação Gráfica 1,5 1,0 0,5 0,0 f (x) 3x -1,5-1,3-1,0-0,8-0,5-0, 0,0 0,3 0,5 0,8 1,0 1,3 1,5-1 X 1
Cálculo da Probabilidade P(a < X < b) b a f (x) dx y a b x a < X < b
P(a < X < b) b a f (x) dx Isto é, a probabilidade de que X assuma valores entre os números a e b é a área sob o gráfico de f(x) entre os pontos x a e x b.
Observações: Se X é uma VAC, então: P(X P(a < a) X < a a b) f (x)dx P(a P(a P(a < X X X 0 < b) b) b).
Exemplo Seja X uma VAC. Determine a probabilidade de X assumir valores no intervalo [-0,5; 0,5]. f (x) 3x 0 se 1 c. c. x 1
A probabilidade solicitada é dada por: P( 0,5 < X < 0,5) 0,5-0,5 3 3x 0,5-0,5 dx x dx 1 [(0,5) 1,50% 3 3 (-0,5) x 3 3 ] 3 0,5-05
VAC Caracterização (a) Expectância, valor esperado µ E(X) xf (x) dx (b) Variância σ V(X) x x f (x)dx f (x)dx (x µ) µ f (x)dx ( xf (x)dx) E(X ) E(X)
(iii) Desvio Padrão σ (x µ) f (x)dx x f (x)dx µ E(X ) E(X) (iv) O Coeficiente de Variação γ σ/µ
Exemplo : Determinar a expectância e o desvio padrão da variável X dada por: f (x) 3x 0 se 1 c. c. x 1
µ E(X) 1-1 3 x. 3x 4 1 4 x.f(x)dx 1-1.dx -1 4 4 1-1 1-1 3x 3 3 dx 1 4 1 4 1 3-1 0 4 x 4 1-1
σ E(X ) E(X ) 1. 3x x dx -1 3 3 x 5 1 5 5 E(X) + 1-1 1 5 3 1 5 3 5 5 3 1-1 4 x dx -1 5 5 0,60 1-1
O desvio padrão de X será, então: σ E(X ) E(X) 0,60 0 0,77
A Função de Distribuição É a função F(x) definida por: F(x) P(X x) x f (u)du A F(x) é a integral da f(x) até um ponto genérico x.
Exemplo Considerando a função abaixo como a fdp de uma VAC X, determinar a F(x). f (x) 3x 0 se 1 c. c. x 1
A F(x) é uma função definida em todo o intervalo real da seguinte forma: F(x) 0 x 3u 1 1 du se x < se 1 se x > 1-1 x 1
Vamos determinar o valor da integral em u : F(x) x 3 3u du x 3 u du 3 u 1 3 x x [u 3 + ] 3 1 1 x 1 1
Assim a Função de Distribuição Acumulada (FDA) é: F(x) 0 3 x + 1 1 se se se x < -1 1 x x > 1 1
Representação Gráfica F(x) x 3 + 1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
Cálculo de Probabilidade com a FDA O uso da FDA é bastante prático no cálculo das probabilidades, pois não é necessário integrar, já que ela é uma função Integral.
Usando a FDA, teremos sempre três casos possíveis: P(X x) F(x) P(X > x) 1 F(x) P(x < X < x ) F(x ) 1 F(x 1 )
Normal t (de Student) χ (Qui-Quadrado) F de Snedecor
A distribuição normal Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: f (x) 1.e 1. x µ σ, x R π. σ com - < µ < e σ > 0
Representação gráfica 0,8 0,6 N(0; 1) N(0; 0,5) N(0; ) N(; 1) 0,4 0, 0,0-6 -5-4 -3 - -1 0 1 3 4 5 6
Cálculo de probabilidades P(X x) x 1 π. σ.e 1. u µ σ du? A normal não é integrável por meio do TFC, isto é, não existe uma F(x) tal que F (x) f(x).
Solução: Utilizar integração numérica. Como não é possível fazer isto com todas as curvas, escolheu-se uma para ser tabelada (integrada numericamente).
A normal padrão A curva escolhida é a N(0, 1), isto é, com µ 0 e σ 1. Se X é uma N(µ, σ), então: Z X µ σ Será uma N(0; 1).
A fdp da variável Z é dada por: ϕ(z) 1 π.e z., z R uma vez que µ 0 e σ 1.
A distribuição N(0, 1) 0,4 0,3 0, 0,1 0,0-4,0-3,0 -,0-1,0 0,0 1,0,0 3,0 4,0
Tabela (ou planilha): O que é tabelado ou obtido na planilha é a FDA da variável Z, isto é: P(Z z) z - ϕ(u)du u 1 z..e du - π Φ(z)
A FDA da N(0; 1) 1,0 0,9 0,8 0,7 Φ(z) 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 z 0,0-4,0-3,0 -,0-1,0 0,0 1,0,0 3,0 4,0
Uso da tabela ou Planilha Área à esquerda (abaixo) de z P(Z z) Φ(z) Leitura direta Área à direita (acima) de z P(Z > z) 1- P(Z z) 1- Φ(z) Φ( z) Área entre dois valores de z P( z < Z < z ) Φ(z ) Φ(z ) 1 1
Exemplo: Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X 40) (b) P(X > 65) (c) P(45 < X < 6)
(a) P(X 40) P(X 40) P( X µ σ 40 8 50 ) P(Z 1,5) 10,56%
(b) P(X > 65) P(X > 65) P( X µ σ > 65 8 50 ) P(Z > 1,88) 1 P(Z < 1,88) 1 Φ(1,88) Φ( 1,88) 3,01%
(c) P(45 < X < 6) P(45 < X < 6) 45 50 P( 8 P( 0,6 < < Z X µ 6 < σ < 1,50) 8 50 ) Φ(1,50) Φ( 0,6) 93,3% 7,67% 65,65%
A função inversa: Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X x) 5% (b) P(X > x) 1%
Para resolver este tipo de exercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito utilizando a função Invnorm da planilha.
Graficamente 0,05 0,04 0,03 0,0 5% 0,01 P(X x) 5% x 0,00 6 34 4 50 58 66 74
Em (a) temos P(X x) 5% P(X x) P( X µ σ x 50 ) 8 P(Z z) Φ(z) 5% onde z x 8 50
SeΦ(z) 5%, então Φ 1 z [Φ(z)] Φ 1 Φ (0,05) 1 (5%) O valor acima pode ser obtido diretamente da planilha.
Assim z 1,645 x 50 Como z, tem 8 x 50 1,645 z 8 x 50 1,645.8 36,84 se:
Em (b) temos P(X > x) 1% P(X > x) X µ P( σ P(Z > z) > x 50 ) 8 1 Φ(z) 1% 0,01 Mas 1 Φ(z) Φ( z) Logo z Φ 1 (0,01)
0,05 0,05 0,04 0,04 0,03 0,03 0,0 0,0 0,01 0,01 P(X > x) 1% 1% 0,00 0,00 6 34 4 50 58 66 74 x
Uma variável aleatória X tem uma distribuição t ou de Student se sua fdp for do tipo: f (x) υ + 1 Γ 1+ x υ υ πυ. Γ para x υ+ 1 R
0,40 0,30 0,0 fdp de t(1) t(5) t(5) 0,10 0,00-6 -5-4 -3 - -1 0 1 3 4 5 6
Expectância ou Valor esperado µ E (X) 0 Variância Var(X) υ υ - O valor υ é denominado de Grau de liberdade
A planilha fornece a função direta e inversa (percentis), em relação a área à direita (unilateral) ou da soma das caudas (bilateral) de cada curva, isto é, a tabela retorna um valor t tal que P(Τ t) α (unilateral) ou P( T t) α.
Uma variável aleatória X tem uma distribuição Qui-Quadrado se sua fdp for do tipo: x υ f (x) 0 υ 1 e υ Γ x se x sex > 0 0
Expectância ou Valor esperado E (X) υ Variância Var(X) υ O valor υ é denominado de Grau de liberdade
1,00 0,80 Q(1) Q() Q(3) 0,60 0,40 0,0 0,00 0,0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
A planilha fornece a função direta e inversa, em relação a área à direita de cada curva (uma para cada linha), isto é, dado um valor de área na cauda direita (α), a tabela retorna um valor x tal que P(χ x) α
Uma variável aleatória X tem uma distribuição F ou de Snedecor se sua fdp for do tipo: ( ) 0 sex 0 0 x se n Γ m Γ mx n x n m n m Γ (x) f n m 1 m n m > + + +
Expectância ou Valor esperado m E(X) m Variância m é o grau de liberdade do numerador e n do denominador Var(X) (m + n - ) m(n - )(n - m 4)
1,0 0,8 0,6 fdp de F(1, 3) F(, 5) F(5, 10) F(0, 0) 0,4 0, 0,0 0 3 6 9 1 15
A planilha fornece a função direta e inversa da área à direita de cada curva (uma para cada par de valores numerador, denominador).