Miistério da Ciêcia, Tecologia e Esio Superior U.C. 21082 Matemática Fiita 8 de juho de 2016 Questões de Escolha Múltipla: Critérios de avaliação Na prova de Exame, cada questão de escolha múltipla tem a cotação de 1 valor. Por cada resposta icorrecta será descotado 1 de valor. É cosiderada errada uma questão com mais de uma resposta. A classificação míima destas 4 questões de escolha múltipla é de 0 valores. No P-fólio, cada questão de escolha múltipla tem a cotação de 1 valor. Por cada resposta icorrecta será descotado 1 de valor. É cosiderada errada uma questão com mais de uma resposta. A classificação míima destas questões de escolha múltipla é de 0 valores. Restates Questões: Para a correcção destas questões costituem critérios de primordial importâcia, além da óbvia correcção cietífica das respostas, a capacidade de escrever clara, objectiva e correctamete, de estruturar logicamete as respostas e de desevolver e de apresetar os cálculos e o raciocíio matemático correctos, utilizado otação apropriada. Todos os cálculos, raciocíios e afirmações efectuados devem estar cuidadosa e detalhadamete justificados. Não é atribuída classificação a uma resposta ão justificada. Serão pealizados raciocíios cotraditórios. De acordo com o grau de gravidade serão aida pealizadas afirmações erradas. Correcção Sumária Nas págias seguites, a sugestão de uma sequêcia de resolução para uma determiada questão deve ser iterpretada como uma das sequêcias possíveis. Será atribuída cotação aáloga se, em alterativa, for apresetada outra, igualmete correcta.
As justificações apresetadas são em geral muito mais breves do que é exigido uma prova de avaliação. Exame: Grelha de correcção das respostas de escolha múltipla: 1. 2.. 4. b) d) a) d) P-fólio: Grelha de correcção das respostas de escolha múltipla: 5. (Exame: 2.50 valores) 1. 2.. b) a) d) 5.1. (Exame: 1.0 valor) Esta questão é semelhate ao Exercício 1b) do Texto de Apoio 2. 5.2. (Exame e P-fólio 1 : 1.50 valor) Cosideremos os dois idivíduos específicos como um úico idivíduo. Há etão 6 idivíduos, que podem dispor-se ao redor da mesa de 5! maeiras possíveis, cf. alíea aterior. Mas os dois idivíduos especificados podem dispor-se etre eles de duas maeiras distitas. Assim sedo, o úmero pedido é 2 5!. 6. (Exame: 2.0 valores) Comece-se por observar que Logo, com (2)! (!) 2 (( )!) 2 = (2)! (!) 2 (( )!) 2 = ( ) 2 = cf. Exercício 19 da Actividade Formativa 1. 7. (Exame:.50 valores) ( 2 ( 2 7.1. (Exame: 1.70 valor; P-fólio 2 : 1.50 valor) Supodo que existem x, y Z tais que 1 Perguta 4 do P-fólio. 2 Perguta 5 do P-fólio. ( ) 2, ax + by = 1, )( ) ) 2. ( ) 2, 2
etão acx + bcy = c, c Z. Assim sedo, como a (ac), resulta da hipótese a (bc) que a ((ac)x + (bc)y), }{{} =c cf. Lema 1.1 alíea (i) do texto sobre Divisibilidade. 7.2. (Exame: 1.80 valor) Supohamos que p a. Etão, como p é primo, mdc(p, a) = 1. Logo, pelo Teorema 1.7 (Bachet-Bézout) existem x, y Z tais que px + ay = 1. Assim sedo, resulta da alíea aterior que p (ab) = p b. Um raciocíio semelhate aplica-se se se suposer que p b. 8. (Exame:.0 valores) 8.1. (Exame: 1.50 valor) Esta alíea é equivalete a provar que 9 é um divisor de 72684. Pelo critério de divisibilidade por 9 tem-se, com efeito, 7 + 2 + 6 + 8 + 4 = 27, com 27 divisível por 9, pelo que o úmero 72684 é divisível por 9. 8.2. (Exame e P-fólio : 1.50 valor) Como 7 é um úmero primo, 7 ão tem outros divisores além do próprio 7 e do 1. Assim sedo, se se verificar que 72684 ão é divisível por 7 podemos etão cocluir que mdc(72684, 7) = 1. Neste setido, por recurso ao critério de divisibilidade por 7 (Perguta 4 da folha de exercícios sobre Cogruêcias) tem-se 7268 2 4 = 7260 726 2 0 = 726 72 2 6 = 60 em que 60 ão é divisível por 7 (60 = 7 8 + 4). Deste modo coclui-se que 7 72684. Perguta 6 do P-fólio.
9. (Exame: 5.0 valores; P-fólio 4 : 4.50 valores) 9.1. (Exame: 1.80 valor; P-fólio: 1.50 valor) Case Base: = 0. a 0 b 0 = 4 = 1 = 0, o que prova o caso base. Hipótese de idução: Dado N, qualquer, supohamos que a b =. Tese de idução: a +1 b +1 = +1. Atededo ao modo como as sucessões a, b estão defiidas, { a + 2a 1 4b 1 = 0 (1) b + 5a 1 7b 1 = 0 (2), tem-se que a +1 b +1 = (4b 2a ) (7b 5a ) = (a b ) em que, pela hipótese de idução, a b =. Logo, a +1 b +1 = (a b ) = +1, como pretedido. Pelo método de idução matemática, podemos assim cocluir que para qualquer N tem-se a b =. 9.2. (Exame: 1.60 valor; P-fólio: 1.50 valor) Pela equação (1), b 1 = 1 4 (a + 2a 1 ) que, substituido a equação (2), coduz a ou, equivaletemete, 1 4 (a +1 + 2a ) + 5a 1 7 4 (a + 2a 1 ), a +1 5a + 6a 1 = 0, 1. O poliómio característico associado a esta última equação é p(t) = t 2 5t + 6 cujas raízes são 2 e. Assim sedo, tem-se que a = α2 + β para α + β = a 0 = 4. Mas, pela equação (1), a 1 = 4b 0 2a 0 = 4 = 2α + β = a 1 = 4. Como cosequêcia, α = 8, β = 4 e, por coseguite, 4 Grupo 7 do P-fólio. a = 8 2 4 = 2 + 4, N. 4
9.. (Exame: 1.60 valor; P-fólio: 1.50 valor) Pelas duas alíeas ateriores, b = a (a b ) = 2 + 4 = 2 + 5, N. Para cada N fixo, seja m um divisor de a e de b. Vejamos que m = 1. Por liearidade, m a m b = m (a b }{{ ) } = Como é primo, é uma factorização em úmeros primos. Logo, m = = 0, 1,..., : m = Mas por liearidade tem-se também m a m b = m (5a 4b }{{ ), } =2 + o que permite cocluir por um raciocíio semelhate que m = 2 para algum = 0, 1,..., +. Assim sedo, resulta de mdc(2, ) = 1 que = = 0, ou seja, m = 1. Cosequetemete, mdc(a, b ) = 1, o que é equivalete a a e b serem primos etre si. 5