Apoio às alas MAT II 8-5-6 INSTITTO SPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA LICENCIATRA EM GESTÃO MATEMÁTICA II APOIO ÀS ALAS DE 5/6 Mael Martis Carla Martiho Aa Jorge Defiições Defie-se scessão de úmeros reais a toda a aplicação de IN emr. Aos elemetos do cotradomíio chamam-se termos da scessão. ma scessão pode ser descrita pelos ses termos (descrição impossível pela ifiidade de termos) o por m termo geérico a qe se dá o ome de termo geral da scessão. Exemplo:,,...,,,... 8-5-6 5/6
Apoio às alas MAT II 8-5-6 Scessões itadas ma scessão diz-se limitada qado: R, R: < M desiga-se como majorate dos termos da scessão; Se M é m termo da scessão, desiga-se máximo dos termos da scessão. Exemplo: A scessão é limitada pois, N 8-5-6 Mootoia ma scessão diz-se moótoa crescete se N ma scessão diz-se moótoa decrescete se N ma scessão diz-se estritamete crescete se N ma scessão diz-se estritamete decrescete se N 8-5-6 5/6
Apoio às alas MAT II 8-5-6 FNÇÕES DE MAIS DE MA VARIÁVEL REAL Mootoia Exemplo : Verifiqe qe é moótoa a scessão ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) < < Logo scessão é estritamete decrescete 8-5-6 5 Mootoia Exemplo - A scessão ( ) Não é moótoa porqe: ; ; < > 8-5-6 6 5/6
Apoio às alas MAT II 8-5-6 ites Diz-se qe a é limite da scessão qado tede para ifiito, se a se >, p IN: p a < Exemplo: Mostre por defiição qe o seja, para todo o d existe ma ordem, maior o igal a a partir do qal se verifica a codição, o seja, todos os termos da scessão estão próximo de ½. < > ( ) ( ) > >, p IN : p < > < < 8-5-6 7 ites A scessão desiga-se como m ifiitésimo o qatidade evaescete qado o limite da scessão é se >, p IN: p < Exemplo: Mostre qe >, p IN : p < < < > o seja, para todo o existe ma ordem a partir do qal todos os termos da scessão estão próximo de. 8-5-6 8 5/6
Apoio às alas MAT II 8-5-6 5/6 5 8-5-6 9 ites A scessão desiga-se como m ifiitamete grade qado o limite da scessão é, o seja, > > p IN: p, se 8-5-6 ites Algs limites cohecidos (ditos limites otáveis): Exemplo: Calcle e e l 8 e e e
Apoio às alas MAT II 8-5-6 ites Teorema da icidade do limite O limite de ma scessão, qado existe, é úico. Demostração: Fazedo a demostração por redção ao absrdo, admita-se qe scessão tem dois limites diferetes a e b Seja a b > e seja e /. Por defiição, existe ma ordem p a partir da qal: ( a < ε ) ( b <ε) Etão, ab a b a b < ε ε < logo <, absrdo, permitido coclir qe a premissa iicial ão é válida, o seja, a scessão ão pode ter dois limites diferetes. Seja ma scessão de termos de IR. Diz-se qe ma scessão v m é ma sbscessão de elemetos de qado todos os elemetos de v m são também elemetos de. ma scessão pode ter diferetes sbscessões com limites diferetes 8-5-6 ites ma scessão diz-se covergete se tem limite fiito (estas codições, todos os limites das diversas sbscessões são igais). ma scessão diz-se divergete se ão tem limite o tem limite ifiito. Teorema: Toda a scessão moótoa e limitada é covergete Teorema: Toda a scessão covergete é limitada. 8-5-6 5/6 6
Apoio às alas MAT II 8-5-6 Álgebra de ites Sejam e scessões covergetes, etão: ) ( v ) ( ) ( v ) ) ) ) ( v ) ( ) ( v ), s e v e lim v v v v ( ) ( v ), se > e lim e limv ão são ambos los 8-5-6 Cálclo de ites Exemplo: Calcle, idetermiação [ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8-5-6 5/6 7
Apoio às alas MAT II 8-5-6 5/6 8 8-5-6 5 Teorema das scessões eqadradas Seja, e scessões tais qe: i. v limw a ii. Existe ma ordempapartir da qal, Etão, diz-se scessão eqadrada elim. Exemplo: Calcle 7 5... Para eqadrar a expressão é ecessário cotar o úmero de parcelas o merador. Como as parcelas adam de em dois, a cotagem fazse do segite modo: 7 5... 8-5-6 6 Teorema das scessões eqadradas Exemplo (cotiação): agora é possível eqadrar etre o meor e o maior valor vezes o úmero de parcelas, calclado depois o limite de cada ma Pelo Teorema das Scessões eqadradas o limite é igal a 7 5... 7 5...
Apoio às alas MAT II 8-5-6 Teoremas de Apoio ao Cálclo de ites Teorema Se etão. Exemplo : Calcle......... ( ) ( )......... ( ) 8-5-6 7 Teoremas de Apoio ao Cálclo de ites Exemplo Calcle Como l [( )!] 8-5-6 8 l[ ( )!] l[ ( ( ) )!] l[ ( 5 )!] [ ] [ ] ( 5 )! l 5! l! l ( )! l ( 5 )! ( )! l l [( )!] l, etão l[ ( )!] l[ ( )!] ( 5)( )( )( ) ( )! (( 5)( )( ) )! 5/6 9
Apoio às alas MAT II 8-5-6 Teoremas de Apoio ao Cálclo de ites Teorema : Se etão,,,. Exemplo : Calcle...,,..., etão, logo... 8-5-6 9 Teoremas de Apoio ao Cálclo de ites Teorema : Se N, > ã Exemplo : Calcle ( ) ( ) ( ) 8-5-6 5/6
Apoio às alas MAT II 8-5-6 5/6 8-5-6 Teoremas de Apoio ao Cálclo de ites Teorema : Se N, > ã Exemplo : Calcle......,...,, 8-5-6 Teoremas de Apoio ao Cálclo de ites Teorema 5: Se N, é ã Exemplo : Calcle Aplicado ovamete o teorema Etão o limite e é crescete v v v ;v v v v ;v e
Apoio às alas MAT II 8-5-6 Teoremas de Apoio ao Cálclo de ites Critério Geral de Covergêcia de Scessões Teorema de Bolzao Cachy: É codição ecessária e sficiete para qe ma scessão seja covergete, o seja, teha limite fiito, qe >, p IN, IN: > p < Demostração: Codição ecessária () Se tem limite fiito, seja L esse limite; por defiição, >, p IN: > pl < Etão L L L L < 8-5-6 Teoremas de Apoio ao Cálclo de ites Demostração: Codição sficiete ( ) Por hipótese, O seja, Desta forma, p IN: > p ε ε l L l <ε < L;l L ;l L A scessão l, l, l, é moótoa e limitada, o seja, é covergete; ;... A scessãol,l,l, também é moótoa e limitada, o seja, é covergete; Como ( ε) ε ε L l ε < Etão L e l têm o mesmo limite L e, pelo teorema das scessões eqadradas, este é também o limite da scessão c.q.d 8-5-6 5/6