Olá! Antes de começarmos o assunto desta aula, vamos resolver algumas questões da FGV referentes aos assuntos da aula passada. 01. (Pref. de Osasco 2014/FGV) Marcos afirmou: Todos os medicamentos que estão nesta gaveta são antibióticos. Sabe-se que a afirmativa de Marcos é falsa. Assim, é correto concluir que a) algum medicamento que está na gaveta não é antibiótico. b) todos os medicamentos que estão na gaveta não são antibióticos. c) dois dos medicamentos que estão na gaveta não são antibióticos. d) algum medicamento que está na gaveta é analgésico e) todos os medicamentos que estão na gaveta são anti-inflamatórios. A afirmativa de Marcos é falsa e queremos tirar uma conclusão sobre ela. Devemos negar a proposição dada. A afirmação de Marcos é uma proposição UNIVERSAL AFIRMATIVA, porque foi utilizado o quantificador Todos e o verbo é afirmativo. A negação deverá ser a proposição PARTICULAR NEGATIVA correspondente. Devemos trocar o quantificador universal todos pelo particular (algum, existe, pelo menos um...) e modificar o verbo. Letra A 02. (TCE-BA 2013/FGV) Considere a sentença: Gosto de jiló e não gosto de quiabo. Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é (A) Não gosto de jiló e gosto de quiabo. (B) Não gosto de jiló e não gosto de quiabo. (C) Se gosto de jiló, então gosto de quiabo. (D) Se não gosto de jiló, então gosto de quiabo. (E) Se não gosto de quiabo, então gosto de jiló. Esta questão foi muito bem elaborada. Queremos uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença Gosto de jiló e não gosto de quiabo. Ora, sabemos que para negar esta proposição devemos utilizar as leis de De Morgan. Vamos negar os dois componentes e trocar o conectivo e pelo conectivo ou. www.pontodosconcursos.com.br 1
Afirmação Gosto de jiló e não gosto de quiabo. Negação Não gosto de jiló ou gosto de quiabo. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA IBGE Pois bem. A questão pede uma proposição que seja logicamente equivalente a esta negação que obtivemos. Ou seja, queremos assinalar uma proposição que seja equivalente a Não gosto de jiló ou gosto de quiabo. Aprendemos que para transformar uma proposição composta pelo conectivo ou para o conectivo se..., então..., devemos negar o primeiro componente e repetir o segundo. Assim, são as seguintes proposições são equivalentes. Letra C Não gosto de jiló ou gosto de quiabo Se gosto de jiló, então gosto de quiabo. 03. (CONDER 2013/FGV) Solange afirmou: Se é domingo e faz sol então eu vou à praia. O cenário para o qual a afirmativa de Solange é falsa é (A) sábado, chove e Solange foi à praia. (B) domingo, chove e Solange foi à praia. (C) sábado, faz sol e Solange foi à praia. (D) domingo, faz sol e Solange não foi à praia. (E) sábado, faz sol e Solange não foi à praia. Uma proposição do tipo Se p, então q é falsa somente quando p é verdadeira e q é falsa. Se é domingo e faz sol então eu vou à praia Nesta proposição, p é a proposição é domingo e faz sol e q é a proposição eu vou à praia. Queremos que p seja verdadeira e q seja falsa. Portanto, é domingo e faz sol e não vou à praia. Letra D 04. (CONDER 2013/FGV) A negação lógica da sentença Se como demais e não faço exercícios físicos então engordo é www.pontodosconcursos.com.br 2
(A) Se não como demais e faço exercícios físicos então não engordo. (B) Se como demais e não faço exercícios físicos então não engordo. (C) Como demais e não faço exercícios físicos e não engordo. (D) Se não engordo então não como demais ou faço exercícios físicos. (E) Não como demais ou faço exercícios físicos ou não engordo. A negação da proposição Se p, então q é p e não q. Ou seja, para negar uma proposição composta pelo se..., então..., devemos afirmar o antecedente p, colocar o conectivo e e negar o consequente q. Assim, a negação de Se como demais e não faço exercícios físicos então engordo é Como demais e não faço exercícios físicos e não engordo. Letra C Diagramas de Euler-Venn O estudo das proposições categóricas pode ser feito utilizando os diagramas de Euler-Venn. É habitual representar um conjunto por uma linha fechada e não entrelaçada. A Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das proposições categóricas. Todo A é B Todo elemento de A também é elemento de B. Nenhum A é B A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos comuns. Algum A é B Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em comum. Algum A não é B O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é elemento de B. Vejamos como representar cada uma das proposições categóricas utilizando os diagramas de Euler-Venn. www.pontodosconcursos.com.br 3
Todo A é B A proposição categórica Todo A é B é equivalente a: A é subconjunto de B. A é parte de B. A está contido em B. B contém A. B é universo de A. B é superconjunto de A. Se sabemos que a proposição Todo A é B é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Algum A é B é necessariamente verdadeira. Nenhum A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente falsa. Algum A é B A proposição categórica Algum A é B equivale a Algum B é A. Se algum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Nenhum A é B é necessariamente falsa. Todo A é B e Algum A não é B são indeterminadas. Observe que quando afirmamos que Algum A é B estamos dizendo que existe pelo menos um elemento de A que também é elemento de B. Nenhum A é B www.pontodosconcursos.com.br 4
A proposição categórica Nenhum A é B equivale a: Nenhum B é A. Todo A não é B. Todo B não é A. A e B são conjuntos disjuntos. Se nenhum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Todo A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente verdadeira. Algum A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B Observe que Algum A não é B não equivale a Algum B não é A. Por exemplo, dizer que Algum brasileiro não é pernambucano não equivale a dizer que Algum pernambucano não é brasileiro. Se algum A não é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Nenhum A é B é indeterminada, pois poderia haver elementos na interseção dos conjuntos A e B. Algum A é B é indeterminada, pois pode haver ou não elementos na interseção dos conjuntos A e B. Todo A é B é necessariamente falsa. Representação dos argumentos www.pontodosconcursos.com.br 5
Alguns argumentos podem ser representados por meio dos Diagramas de Venn ferramenta muito útil, pois permite saber rapidamente se um argumento é válido ou não. Os argumentos válidos são evidentes; os inválidos, em geral, são ambíguos. Vejam alguns exemplos. Exemplo 1 P 1 : Todo recifense é pernambucano. P 2 : Todo pernambucano é brasileiro. Conclusão: Todo recifense é brasileiro. Pelo diagrama, temos: A conclusão é bastante evidente. Trata-se, portanto, de um argumento válido. Exemplo 2 Todo recifense é pernambucano. Todo recifense é brasileiro. Portanto, todo pernambucano é brasileiro. Vamos começar desenhando a primeira premissa. Agora vamos desenhar a segunda premissa (por cima do desenho anterior). Queremos desenhar a proposição todo recifense é brasileiro. Perceba que agora estamos encrencados. A extensão do conjunto dos brasileiros pode ser feita de várias maneiras. Veja: www.pontodosconcursos.com.br 6
Há, portanto, ambiguidade. Assim, concluímos que o argumento é inválido. Observe que, apesar de a conclusão ser uma proposição verdadeira, o nosso argumento é inválido. Isto porque não podemos inferir a conclusão a partir das premissas. Imagine que você não conhecesse a estrutura organizacional do Brasil você não teria condições de afirmar a conclusão baseando-se apenas nas premissas. Sempre que surgir ambiguidade ao se traçar o diagrama de Venn, isto é, uma determinada premissa puder ser representada por um conjunto com diversas extensões, estando prejudicada a conclusão, deduzimos que o argumento é inválido, mesmo que ainda não saibamos qual regra está sendo infringida. Vejamos agora importantes regras para testar esses silogismos. Regra nº 1 De duas premissas negativas nada se conclui. Exemplo: Nenhum pernambucano é carioca. Nenhum recifense é carioca. www.pontodosconcursos.com.br 7
Portanto, nenhum pernambucano é recifense. A primeira premissa pode ser representada por dois conjuntos distintos, pernambucanos e cariocas sem ponto de contato. A segunda premissa tem representação semelhante, porém, o conjunto dos recifenses pode estar em qualquer lugar fora do conjunto carioca. O conjunto dos recifenses pode englobar só uma parte dos pernambucanos, pode não ter contato com os pernambucanos, mas também pode estar totalmente contido no conjunto dos pernambucanos. Diante desta ambiguidade, o argumento é inválido. Regra nº 2 De duas premissas afirmativas não se pode tirar uma conclusão negativa. Exemplo: Todas cobras são répteis. Algumas cobras são animais perigosos. Portanto, alguns animais perigosos não são répteis. Coloquei uma parte do diagrama dos animais perigosos em tracejado (justamente a parte que ficamos em dúvida). www.pontodosconcursos.com.br 8
De acordo com as frases que compõem o silogismo, seria perfeitamente possível que o conjunto dos animais perigosos estivesse completamente dentro do conjunto dos répteis. Outra conclusão igualmente falsa poderia ser: Nenhum animal perigoso é réptil. Regra nº 3 De duas premissas particulares (algum, existe, etc) nada se conclui. Algum brasileiro é pernambucano. Algum recifense é pernambucano. Portanto, algum recifense é brasileiro. Vou fazer um desenho mostrando que este argumento pode gerar incertezas. Observe que mesmo as premissas sendo verdadeira e a conclusão também verdadeira, o argumento é inválido. Para testar silogismos, não devemos ficar www.pontodosconcursos.com.br 9
presos aos fatos do mundo real. Você deve, simplesmente, desenhar os conjuntos e verificar se existe alguma possibilidade de tornar a conclusão falsa. A lógica não traz conhecimento, mas serve apenas para facilitar a verificação dos conhecimentos já adquiridos, confrontando-os com os princípios que os fundamentam, para ver se não os contradizem. Para avaliarmos o valor do silogismo é necessário compreender as suas limitações. Vejamos um exemplo de silogismo: Se todos os homens são mortais e se todos os brasileiros são homens, então todos os brasileiros são mortais A condição que é posta antes das premissas é significativa: SE as premissas forem verdadeiras, a conclusão sê-lo-á também. Necessariamente, pois se trata de um argumento válido. O silogismo não estabelece a verdade das premissas. Estabelece que SE as premissas forem verdadeiras, a conclusão também seria (quando o argumento é válido). Todavia, o silogismo é uma forma, uma organização dada ao pensamento e, que põe em evidência a coerência e o rigor desse pensamento. Permite o estabelecimento de uma hierarquia entre os conceitos, contribuindo para a sua melhor compreensão. Sob uma forma completa ou incompleta, velada ou expressa, está presente em todo o discurso. www.pontodosconcursos.com.br 10
05. (AL-BA 2014/FGV) Afirma-se que: Toda pessoa gorda come muito. É correto concluir que a) se uma pessoa come muito, então é gorda. b) se uma pessoa não é gorda, então não come muito. c) se uma pessoa não come muito, então não é gorda. d) existe uma pessoa gorda que não come muito. e) não existe pessoa que coma muito e não seja gorda. Eis a representação desta proposição. Coloquei 3 letras em vermelho, para que possa facilitar a visualização dos três tipos possíveis de pessoas, de acordo com a proposição dada. As pessoas do tipo A são as pessoas gordas e que comem muito. As pessoas do tipo B são pessoas que não são gordas, mas que comem muito. As pessoas do tipo C são pessoas que não são gordas e que não comem muito. Vamos analisar cada uma das alternativas. a) se uma pessoa come muito, então é gorda. Esta proposição é falsa. Basta tomar a pessoa B, que come muito e não é gorda. b) se uma pessoa não é gorda, então não come muito. Esta frase também é falsa e também podemos tomar a pessoa B como contraexemplo. B é uma pessoa que não é gorda e come muito. c) se uma pessoa não come muito, então não é gorda. Esta frase é verdadeira. Se uma pessoa não come muito, ela automaticamente www.pontodosconcursos.com.br 11
é uma pessoa do tipo C e, consequentemente, não é gorda. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA IBGE d) existe uma pessoa gorda que não come muito. Falsa. O enunciado afirmou que toda pessoa gorda come muito. Aí vem uma pessoa e diz: Ahh!! Que é isso?? Eu sou gordo e não como muito. Eu sou um contraexemplo!!. Não interessa!! O que interessa é a informação dada no enunciado, que devemos tomar como verdade absoluta. e) não existe pessoa que coma muito e não seja gorda. Frase falsa, pois B come muito e não é gordo. Gabarito: C 06. (FNDE/2007/FGV) Considere a afirmação Todo corintiano é feliz. A partir dessa afirmação, pode-se concluir que: a) todo homem feliz é corintiano. b) todo palmeirense é infeliz. c) toda pessoa que não é corintiana não é feliz. d) um infeliz certamente não é corintiano. e) existem infelizes que são corintianos. A expressão Todo corintiano é feliz pode assim ser representada: A alternativa A é falsa, pois podem existir pessoas felizes que não são corintianas. A alternativa B é falsa, pois nada podemos afirmar sobre os palmeirenses. www.pontodosconcursos.com.br 12
A alternativa C é falsa, pois podem existir pessoas que não são corintianas e são felizes. A alternativa D é verdadeira, pois o infelizes estão fora do conjunto das pessoas felizes. E como todo corintiano é feliz, podemos afirmar que os infelizes não são corintianos. A alternativa E é falsa, pois os infelizes não são corintianos. Letra D 07. (SAD/PE/2008/FGV) Considere a afirmação: Toda cobra venenosa é listrada. Podemos concluir que: a) Toda cobra listrada é venenosa. b) Toda cobra que não é listrada não é venenosa. c) Toda cobra que não é venenosa não é listrada. d) Algumas cobras venenosas não são listradas. e) Algumas cobras que não são listradas podem ser venenosas. Questões idênticas! Mesma banca e anos consecutivos. A expressão Toda cobra venenosa é listrada pode assim ser representada: Desenhei algumas cobras. Obviamente as cobras que não são listradas estão fora do conjunto das cobras listradas. Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. a) Toda cobra listrada é venenosa. www.pontodosconcursos.com.br 13
A alternativa A é falsa, pois podem existir cobras listradas que não são venenosas (por exemplo, a cobra 2). b) Toda cobra que não é listrada não é venenosa. A alternativa B é verdadeira. Por exemplo, as cobras 3 e 4. c) Toda cobra que não é venenosa não é listrada. A alternativa C é falsa, pois existem cobras que não são venenosas e que são listradas (por exemplo, a cobra 2). d) Algumas cobras venenosas não são listradas. Esta alternativa é falsa, já que todas as cobras venenosas são listradas. e) Algumas cobras que não são listradas podem ser venenosas. Esta alternativa é falsa, já que nenhuma cobra não-listrada pode ser venenosa. Letra B 08. (TRF 3 a Região 2014/FCC) Diante, apenas, das premissas Existem juízes, Todos os juízes fizeram Direito e Alguns economistas são juízes, é correto afirmar que (A) todos aqueles que fizeram Direito são juízes. (B) todos aqueles que não são economistas também não são juízes. (C) ao menos um economista fez Direito. (D) ser juiz é condição para ser economista. (E) alguns economistas que fizeram Direito não são juízes. Nesta questão nem precisamos construir diagramas. Sabemos que Todos os juízes fizeram Direito. Sabemos também que alguns economistas são juízes. Ora, para que um economista seja juiz, ele tem que ter cursado Direito Portanto, ao menos um economista fez Direito. Gabarito: C 09. (TRF 3 a Região 2014/FCC) Diante, apenas, das premissas Nenhum piloto é médico, Nenhum poeta é médico e Todos os astronautas são pilotos, então é correto afirmar que www.pontodosconcursos.com.br 14
(A) algum astronauta é médico. (B) todo poeta é astronauta. (C) nenhum astronauta é médico. (D) algum poeta não é astronauta. (E) algum poeta é astronauta e algum piloto não é médico. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA IBGE Vamos começar construindo os diagramas das seguintes proposições: Todos os astronautas são pilotos e Nenhum piloto é médico. Não temos como desenhar com precisão o diagrama da proposição Nenhum poeta é médico. Pelo diagrama, percebemos que nenhum astronauta é médico. Gabarito: C 10. (PGE-BA 2013/FCC) Se é verdade que algum X é Y e que nenhum Z é Y, então é necessariamente verdadeiro que: (A) algum X não é Z. (B) algum X é Z. (C) nenhum X é Z. (D) algum Z é X. (E) nenhum Z é X. Sempre damos preferência à construção de diagramas que envolvam quantificadores universais (todo ou nenhum). Comecemos com a proposição nenhum Z é Y. Vamos construir o diagrama de Algum X é Y. Sabemos que existe uma interseção entre os conjuntos X e Y, mas não sabemos a relação de X e Z. Por esta razão, não deixarei completo o diagrama de X. www.pontodosconcursos.com.br 15
Observe que os elementos da interseção de X e Y, não são Z. Portanto, existe elemento de X que não é elemento de Z. Gabarito: A (A) algum X não é Z. 11. (PGE-BA 2013/FCC) Considere como verdadeiras as seguintes afirmações: Algum pândego é trôpego. Todo pândego é nefelibata. Deste modo, a assertiva necessariamente verdadeira é: (A) Todo pândego trôpego não é nefelibata. (B) Algum pândego trôpego não é nefelibata. (C) Algum pândego é nefelibata. (D) Todo pândego nefelibata é trôpego. (E) Algum pândego que não é trôpego não é nefelibata. Não se preocupe com os nomes envolvidos na questão. A lógica que estudamos é a lógica formal, a lógica da forma. Não é uma lógica de conteúdo. Estamos simplesmente interessados na estrutura das proposições. Comecemos pela proposição Todo pândego é nefelibata. Vamos agora à proposição Algum pândego é trôpego. Sabemos que existe uma interseção entre o conjunto dos Pândegos e o conjunto dos Trôpegos, mas não sabemos qual a relação entre os trôpegos e os nefelibatas. Vamos deixar incompleto o desenho deste diagrama. www.pontodosconcursos.com.br 16
Na verdade, poderíamos ter respondido esta questão sem nem ter construído os diagramas. Pois se sabemos que todo pândego é nefelibata, já podemos garantir que algum pândego é nefelibata. Gabarito: C (C) Algum pândego é nefelibata. 12. (ATA-MF 2012/ESAF) Em uma cidade as seguintes premissas são verdadeiras: Nenhum professor é rico. Alguns políticos são ricos. Então, podese afirmar que: a) Nenhum professor é político. b) Alguns professores são políticos. c) Alguns políticos são professores. d) Alguns políticos não são professores. e) Nenhum político é professor. Começamos pela proposição Nenhum professor é rico. Agora vamos à proposição Alguns políticos são ricos. Sabemos que existe uma interseção entre o conjunto dos políticos e o conjunto dos ricos, mas não sabemos qual é a relação entre o conjunto dos políticos e o conjunto dos professores. www.pontodosconcursos.com.br 17
A região vermelha contém políticos que não são professores, porque eles são ricos. Gabarito: D 13. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere o diagrama a seguir, em que U é o conjunto de todos os professores universitários que só lecionam em faculdades da cidade X, A é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade A, B é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade B e M é o conjunto de todos os médicos que trabalham na cidade X. Em todas as regiões do diagrama, é correto representar pelo menos um habitante da cidade X. A respeito do diagrama, foram feitas quatro afirmações: I. Todos os médicos que trabalham na cidade X e são professores universitários lecionam na faculdade A. II. Todo professor que leciona na faculdade A e não leciona na faculdade B é médico. III. Nenhum professor universitário que só lecione em faculdades da cidade X, mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é médico. IV. Algum professor universitário que trabalha na cidade X leciona, simultaneamente, nas faculdades A e B, mas não é médico. www.pontodosconcursos.com.br 18
Está correto o que se afirma APENAS em (A) I. (B) I e III. (C) I, III e IV. (D) II e IV. (E) IV. Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. I. Todos os médicos que trabalham na cidade X e são professores universitários lecionam na faculdade A. O item I é falso, como pode bem ser visto no diagrama acima. A região pintada de vermelho possui pelo menos um elemento que é médico que trabalha na cidade X (pois é elemento de M), é professor universitário que só leciona em faculdades da cidade X e não leciona na faculdade A. II. Todo professor que leciona na faculdade A e não leciona na faculdade B é médico. www.pontodosconcursos.com.br 19
O item II é falso, como pode ser visto no diagrama acima. A região pintada de vermelho possui pelo menos um elemento que leciona na faculdade A, não leciona na faculdade B e não é médico. III. Nenhum professor universitário que só lecione em faculdades da cidade X, mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é médico. A região pintada de vermelho indica o conjunto das pessoas que só lecionam em faculdades da cidade X (elementos de U), não leciona nem na faculdade A e nem na faculdade B e não são médicos. O item III é falso. IV. Algum professor universitário que trabalha na cidade X leciona, simultaneamente, nas faculdades A e B, mas não é médico. www.pontodosconcursos.com.br 20
De acordo com a região pintada de vermelho, percebemos que todos os professores universitários que trabalham na cidade X e que lecionam simultaneamente nas faculdades A e B não são médicos. O item IV é verdadeiro. Letra E www.pontodosconcursos.com.br 21