SIMULAÇÃO DE TRANSIENTES ELÉTRICOS DURANTE PROCESSO DE SOLDA ANÓDICA

INPE-4606-TDI/86 SIMULAÇÃO DE TRANSIENTES ELÉTRICOS DURANTE PROCESSO DE SOLDA ANÓDICA Fabana Ferrera Paes Dssertação de Mestrado do Curso de Pós-Graduação em Computação Aplcada, orentada pelo Dr. Mauríco Fabbr, aprovada em 9 de outubro de 006. INPE São José dos Campos 007

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INPE-4606-TDI/86 SIMULAÇÃO DE TRANSIENTES ELÉTRICOS DURANTE PROCESSO DE SOLDA ANÓDICA Fabana Ferrera Paes Dssertação de Mestrado do Curso de Pós-Graduação em Computação Aplcada, orentada pelo Dr. Mauríco Fabbr, aprovada em 9 de outubro de 006. INPE São José dos Campos 007

59.87 : 6.79 Paes, F. F. Smulação de transentes elétrcos durante processos de solda anódca / Fabana Ferrera Paes. São José dos Campos: INPE, 006. 95p. ; (INPE-4606-TDI/86).Solda anódca..solda eletrostátca. 3.Camada de depleção. 4.Condções de contorno. 5.Método das dferenças fntas. I.Título.

O ro atnge seus objetvos porque aprendeu a contornar obstáculos. LAO-TSÉ (séc. 5 a.c.), flósofo chnês

A meus pas, SEBASTIÃO PEREIRA PAES e ANA DIVINA FERREIRA PAES.

AGRADECIMENTOS Ao nosso maravlhoso Deus pela constante presença em mnha vda, abençoando-me com momentos alegres e ensnando-me a trar provetos postvos dos momentos trstes. À Fundação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor - CAPES, pelo auxílo fnancero de dos anos de bolsa de mestrado. Ao Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas INPE, pela oportundade de estudos e utlzação de suas nstalações. Aos professores do curso de computação aplcada CAP pelos conhecmentos compartlhados. Ao meu orentador Prof. Dr. Mauríco Fabbr, pelo conhecmento passado, e pela orentação, pacênca e apoo na realzação deste trabalho. Aos meus amgos pelo apoo na realzação deste trabalho: Andrana, Joce, Joelma, José, Kellen, Renata, Rodolfo, Sávo e Wantur. A mnha famíla, que me deu todo o apoo e carnho para que eu pudesse completar mas esta etapa da mnha vda. Aos membros da banca examnadora pelas construtvas e valosas sugestões, para o aprmoramento do trabalho. Ao meu namorado e eterno amgo Júlo César pelo seu amor, amzade, pacênca, carnho, afeto e compreensão de um homem de caráter admrável. A todos que contrbuíram dreta e ndretamente para que este trabalho fosse concretzado.

RESUMO Este presente trabalho descreve um processo de dscretzação numérca da equação nãolnear do transporte ônco que rege a camada de depleção para o crescmento do óxdo de slíco durante a solda eletrostátca (solda anódca) slíco-vdro (S-G) na ausênca do transporte dfusvo com evolução no tempo. A equação da contnudade é resolvda usando uma dscretzação em dferenças fntas com frontera móvel, que toma espéces dstntas de ânons e cátons no nteror do vdro. O oxgêno que almenta a matrz do slíco, também é modelado por uma suposção convenente sobre a contnudade da carga e sua mobldade. A partr da suposção que o oxgêno necessáro para a solda é suprdo da camada de depleção no vdro, os resultados da espessura do óxdo de slíco aproxmaram-se razoavelmente dos valores observados nos processos prátcos de soldas. O esquema numérco emprega mobldades ndependentes no nteror do vdro e do óxdo, e pode tratar modelos não-lneares para o campo elétrco.

NUMERICAL SIMULATION OF OXIDE LAYER GROWTH DURING ANODIC BONDING ABSTRACT The present work descrbes a stable numerc dscretzaton of the onc non-lnear transport equatons that governs the depleton layer dynamcs for oxde growth durng electrostatc bondng (anodc bondng) glass-slcon, n the absence of carrer dffuson. The contnuty equaton s solved by a movng-boundary stable fnte-dfference dscretzaton, whch takes nto account dstnct anon and caton speces wthn the glass. Oxygen feedng nto the slcon matrx s also modeled by sutable condtons on charge contnuty and moblty drft. On the assumpton that the oxygen requred for bondng s suppled from the depleted glass layer, the resultng oxde thckness agrees to the values whch are observed n practcal bondng procedures. The numercal scheme allows for ndependent mobltes n the glass and oxde regons, and can handle hgh non-lnear models for electrc feld.

SUMÁRIO Pág. LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS LISTA DE SÍMBOLOS CAPÍTULO - INTRODUÇÃO... 3. Concetos Báscos... 3. Contexto Hstórco... 33.3 Organzação do Trabalho... 37 CAPÍTULO - MATERIAIS E METODOLOGIA... 39. Materas utlzados no processo de solda anódca... 39.. Vdro... 39.. Slíco... 40. Equações governantes para o processo de solda anódca... 4.. Equação da conservação de massa (ou da contnudade)... 4.. Equação de Gauss-Posson... 4..3 Potencal elétrco... 4.3 Modelo eletrostátco da solda anódca... 43.3. Transferênca de carga ônca no nteror do vdro... 44.3. Transferênca de carga ônca no nteror da camada de óxdo... 48 CAPÍTULO 3 - MODELAGEM COMPUTACIONAL... 49 3. Métodos Numércos... 49 3. Método das Dferenças Fntas... 5 3.. Fundamentos do Método das Dferenças Fntas... 5 3... Propredades das Fórmulas de Dferenças Fntas... 5 3.3 Formulações Explícta e Totalmente Implícta... 54 3.3. Formulação Explícta... 54 3.3. Formulação Totalmente Implícta... 56 3.3.. Método de Thomas para Sstemas Trdagonas... 6 3.4 Forma Admensonal das Equações... 63 3.5 Esquema Numérco no Procedmento da Solda Anódca... 64 3.6 Renormalzação da Malha Espacal... 66 3.7 Consstênca, Establdade e Convergênca... 67 3.7. Consstênca... 68 3.7. Establdade... 69 3.7.3 Convergênca... 7 CAPÍTULO 4 - RESULTADOS... 75 4. Fluxo de Corrente... 76 4. Campo Elétrco... 79 4.3 Densdade de Carga... 8 4.4 Camada de Óxdo... 8

4.5 Camada de Depleção... 83 CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS... 87 CAPÍTULO 6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 89 APÊNDICE A... 93

LISTA DE FIGURAS.: Esquema de um aparato para a solda anódca slíco-vdro (S-G).... 3.: Fluxo de corrente normalzado no tempo. Fonte:Albaugh, (99).... 34.3: Resultados expermentas do fluxo de corrente durante a solda anódca vdro-slíco (círculos) Albaugh, (99) e curvas calculadas no modelo de Ros et al., (000). Fonte: Albaugh, (99) e Ros et al., (000)... 35.4: Fluxo de corrente durante a solda anódca vdro-slíco, pontos expermentas (círculos) Albaugh, (99) e curvas calculadas no modelo de Fabbr & Senna, (004). Fonte: Albaugh, (99) e Fabbr & Senna, (004)..... 36.: Esquema lustratvo do fluxo de massa através das fronteras de um elemento de fludo. Fonte: Fortuna, (000)... 4.: Esquema da dsposção dos eletrodos durante a solda semcondutor-vdro (S-G). 43.3: As equações do transporte eletrostátco e ônco são resolvdas no domíno [-x 0, Γ]. O deslocamento da frente da camada de depleção Γ(t) segue o fluxo local de Na. A regão do vdro é neutra para x > Γ... 45.4: Esquema lustratvo da equação (.6)... 45.5: Esquema do campo elétrco apresentado na equação (.8)... 46.6: Esquema do potencal no nteror do vdro... 47 3.: Análses teórcas e ensaos expermentas. Fonte: Fortuna, (000)... 50 3.: Esquema da formulação explícta... 54 3.3: Ilustração do esquema utlzado no processo de deslocamento dos íons de oxgêno durante a solda anódca slíco-vdro (S-G) nos prmeros ntervalos de tempo, apenas no nteror do vdro.... 55 3.4: Esquema da formulação mplícta.... 58 3.5: Ilustração do esquema utlzado no processo de deslocamento dos íons de oxgêno durante a solda anódca slíco-vdro (S-G) no nteror do vdro e da camada de óxdo, nos prmeros ntervalos de tempo... 59 3.6: Ilustração da renormalzação da malha espacal no n-passo de tempo.... 67 4.: Fluxo de corrente admensonal em função do tempo. Os círculos são os pontos meddos por Albaugh (99). As curvas são os resultados das smulações numércas. A mobldade dos cátons é fxada no valor µ =... 77 4.: Detalhes do fluxo de corrente admensonal em função do tempo. Os círculos são os pontos meddos por Albaugh (99).... 78 4.3: Resultados numércos do campo elétrco na nterface vdro-óxdo durante o transente anódco, em função da mobldade dos ânons de oxgêno µ - e da densdade relatva do óxdo n ox, em undades dmensonas. O campo de ruptura do vdro Pyrex é aproxmadamente.0 0 7 V/cm... 80 4.4: Detalhes dos resultados numércos do campo elétrco na nterface vdro-óxdo durante o transente anódco, em função da mobldade dos ânons de oxgêno µ - e da densdade relatva do óxdo n ox, em undades dmensonas... 8 4.5: Densdade de carga dos íons de oxgêno admensonal em função das camadas de óxdo de slíco, depleção e níco da neutra no tempo 90s.... 8

4.6: Crescmento prognóstco da camada de óxdo de slíco no tempo, em undades dmensonas.... 83 4.7: Largura da camada de depleção calculada em função do tempo, em undades dmensonas.... 84 4.8: Detalhes da largura da camada de depleção calculada em função do tempo, em undades dmensonas... 85 A.: Esquema lustratvo do fluxo de massa através das fronteras de um elemento undmensonal.... 93

LISTA DE TABELAS 4.: Valores dmensonas dos parâmetros usados nas smulações numércas...65

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS S Glass Na O -- Na O SO S-G S-O G-O TEM - Slíco. - Vdro. - Íons de Sódo. - Íons de Oxgêno. - Óxdo de Sódo. - Óxdo de Slíco. - Slíco-Vdro. - Slíco-Óxdo. - Vdro-Óxdo - Mcroscopa Eletrônca de Transmssão

LISTA DE SÍMBOLOS ε T - - Constante delétrca. - Temperatura. - Densdade de carga total. - Densdade de carga dos íons de sódo. - Densdade de carga dos íons de oxgêno. 0 - Valor da densdade de carga no tempo t no ntervalo da malha (, ). n - Valor da densdade de carga no tempo t t no ntervalo da malha (, ). * - Valor da densdade de carga total admensonal em um nó qualquer da malha (, ). - Valor da densdade de carga dos íons de Na e O -- admensonal, respectvamente,, no ntervalo da malha (, ). x - Dervada espacal da densdade de carga t n,- n 0 L L * E E * - Dervada temporal da densdade de carga - Conteúdo de sódo ou oxgêno no vdro. - Conteúdo ncal de sódo no vdro. - Espessura do vdro. - Espessura do vdro admensonal. - Campo elétrco. - Campo elétrco admensonal. n E - Campo elétrco no ntervalo temporal n e espacal. J J - - Fluxo de corrente de íons de sódo. - Fluxo de corrente de íons de oxgêno.

V 0 V a V b V g V ox Ω - Potencal elétrco total. - Potencal elétrco em um ponto a qualquer. - Potencal elétrco em um ponto b qualquer. - Potencal elétrco no vdro. - Potencal elétrco na camada de óxdo. - Superfíce Q Ω - Quantdade de carga elétrca em Ω. Q sa Q fca Q tnha - Quantdade de carga elétrca que sa de um ntervalo espacal qualquer. - Quantdade de carga elétrca que fca de um ntervalo espacal qualquer. - Quantdade de carga elétrca que tnha de um ntervalo espacal qualquer. q - Densdade de carga no ponto x. ε 0 - Permssbldade no vácuo. µ - Mobldade do íon. µ - Mobldade dos íons de sódo. µ - - Mobldade dos íons de oxgêno. µ ox - Mobldade dos íons de oxgêno no óxdo. n ox Γ - Valor da relação entre a densdade de carga de oxgêno no crescmento do óxdo neutro e a densdade de carga lvre de oxgêno no vdro - Interface da camada de depleção. r - Resstvdade ônca dos íons de Na. l D τ x - Comprmento característco. - Tempo característco. - Extremdade da camada de depletada.

x 0 x * * x 0 t t * x dx 0 t α U(x) U x - Extremdade da camada de óxdo. - Extremdade da camada de depletada admensonal. - Extremdade da camada de óxdo admensonal. - Tempo. - Tempo admensonal. - Deslocamento espacal da camada depletada. - Deslocamento espacal da camada de óxdo. - Intervalo de tempo. - Varável encontrada na dscretzação. - Função no ponto genérco x - Dervada de U(x). U - Função no ponto x. u - Velocdade méda do fludo. Φ - Fluxo elétrco que passa em Ω.

CAPÍTULO INTRODUÇÃO. Concetos Báscos A mcrofabrcação abrange processos de adconar e retrar materal, além de processos para modfcação dos mesmos. Em relação à adção de materas, podemos ctar a solda. Os métodos que se destacam na solda são aqueles que conseguem unr dos materas sem fund-los e sem a utlzação de adesvo líqudo ntermedáro; ou seja, é feta por contato mecânco, e os mas efcentes para alcançar este tpo de adesão são as soldas dreta e anódca. A solda dreta ( fuson bondng ) é obtda a partr do smples contato entre duas superfíces extremamente lmpas. A lmpeza, a ausênca de rugosdade, a plancdade das superfíces são fatores determnantes no níco do processo de adesão dreta. Além da preparação das superfíces a serem aderdas, freqüentemente é usado um recozmento em altas temperaturas (por exemplo: 000 C na adesão S-S), para a obtenção da unão permanente entre os materas (Ros, 999), o que dfculta trabalhar com este processo. A solda eletrostátca ou solda anódca ocorre em temperaturas entre 00 e 500 ºC, e é baseada na mgração dos cátons de sódo (Na ) provenentes da dssocação de Na O no nteror do vdro em dreção ao pólo negatvo, formando assm uma camada de depleção de íons de sódo na vznhança da nterface metal-vdro. As superfíces são ncalmente atraídas devdo ao campo eletrostátco alto, e subsequentemente soldadas pela formação de uma camada de óxdo de slíco na nterface slíco-vdro (S-G). Neste tpo de adesão os materas mas utlzados são metas ou semcondutores, aderdos a vdros. A tensão total aplcada é alta e constante (~000V). 3

FIGURA.: Esquema de um aparato para a solda anódca slíco-vdro (S-G). O modelo numérco da solda anódca deve tratar do transporte de, pelo menos, duas espéces ôncas dstntas no nteror do vdro. Para o vdro comercal, que contém alta quantdade de sódo, os cátons Na e os ânons O, mgram em sentdos contráros no nteror do vdro, e uma zona de depleção essencalmente neutra é formada perto da nterface vdro-metal, onde os ânons de oxgêno que chegam constroem a solda através da oxdação do metal. Todo o processo leva menos do que um mnuto. O oxgêno necessáro para a formação de óxdo de slíco na nterface vdro-metal provém da umdade natural do vdro já exstente antes da solda (Ntzsche et al., 998) ou por ânons de oxgêno orundos da regão depletada do vdro (Carlson et al., 97). O trabalho de Helvoort et al., (004) descreve a mportânca da oxdação do ânodo (por exemplo: slíco), como etapa essencal da solda eletrostátca, e proporcona uma lgação permanente e forte na junção slíco-vdro. Esses autores anda observam que apesar da grande mportânca de analsar a oxdação anódca, por meo de estudos e expermentos, há poucas pesqusas com este enfoque, pos é dfícl detectar a camada de óxdo de slíco próxma ao vdro depletado de cátons. Além dsso, modelos numércos anda não foram abordados. O objetvo deste presente trabalho é desenvolver um modelo numérco detalhado para explcar o crescmento do óxdo no processo da solda slíco-vdro (S-G), onde todas as espéces ôncas provêm exclusvamente da zona de depleção do vdro. Os resultados numércos da espessura da camada de óxdo de slíco são comparados com as meddas recentes de Helvoort et al., (004). E os resultados da corrente elétrca externa são comparados com os pontos expermentas de Albaugh, (99). 3

. Contexto Hstórco O processo de solda eletrostátca também chamada solda anódca, teve níco em 969 com o trabalho ponero de G. Walls e D. I. Pomerantz que propuseram a unão de dferentes tpos de vdros em temperaturas abaxo do ponto de amolecmento (Vdro Pyrex: 8 C), como por exemplo, sílca fundda e metas como ttâno, ou semcondutores (tas como slíco, germâno,...) mpondo uma dferença de potencal entre os dos materas a serem soldados. A junção aconteceu em mnuto aproxmadamente, aplcando uma tensão total de 000 V entre o vdro e o metal. O processo proposto ganhou utldade por ser desenvolvdo em temperaturas nferores aquelas utlzadas em solda por fusão térmca e também por não ser tão dependente do processo de lmpeza e da plancdade das superfíces como o processo de solda dreta ( fuson bondng ). É, portanto um processo que pode ser adconado ao fnal de uma seqüênca de mcrofabrcação de dspostvos (Ros, 999). O trabalho de Albaugh, (99) propôs um modelo teórco para o transente de corrente durante a solda anódca slíco-vdro (S-G), e consderou a camada de vdro como um resstor e a camada de depleção anódca como um capactor. A resstênca do vdro fo determnada pela resstvdade e pela geometra expermental e a capactânca da camada de depleção em função da área, da quantdade de carga transportada e da constante delétrca do vdro. Albaugh, (99) também consderou os íons de sódo móves e os de oxgêno fxos; com sso a camada de depleção que se formava com o tempo era negatvamente carregada, e muto pequena comparada com as meddas expermentas. Nessas condções, o campo elétrco próxmo à nterface metal-vdro torna-se muto alto devdo à alta densdade de cargas negatvas, muto acma do campo de ruptura do vdro. Conseqüentemente, o fluxo de corrente decresce muto rápdo comparado com os valores expermentas (Fgura.). Assm, o modelo em questão equvale às meddas expermentas para tempos pequenos, e sugere o transporte de mutos íons. 33

FIGURA.: Fluxo de corrente normalzado no tempo. Fonte: Albaugh, (99). O trabalho de Ros et al, (000) descreveu um modelo de evolução no tempo da camada de depleção e da corrente durante a solda anódca e ntroduzu um valor crítco para o campo elétrco, que causa o transporte de oxgêno no vdro. Esse trabalho permtu a solução analítca das equações e consderou a dstrbução total da tensão apenas dentro do vdro. Os resultados desse trabalho mostraram ser coerentes com o modelo proposto por Albaugh, (99), ver Fgura (.3). 34

FIGURA.3: Resultados expermentas da solda anódca vdro-slíco (círculos) Albaugh, (99) e curvas calculadas no modelo de Ros et al., (000). Fonte: Albaugh, (99) e Ros et al., (000). Ros et al, (000) englobaram o trabalho de Albaugh, (99) para deslocar os íons de sódo e presumram um valor crítco para o campo elétrco mover os íons de oxgêno. Entretanto, consderaram como nfnta a mobldade dos íons de oxgêno, a partr do campo crítco. Assm, obtveram três regões no vdro: neutra (perto do cátodo), apenas com íons de oxgêno e sem carga (perto do ânodo). Contudo, expermentalmente a camada de íons de oxgêno não fo encontrada. O valor crítco do campo elétrco fo consderado como um parâmetro ajustável que, no entanto, excedeu o campo de ruptura encontrado expermentalmente. Deste modo, o modelo de Ros et al, (000) também não esteve de acordo com as meddas expermentas. O trabalho de Fabbr & Senna, (004) descreveu um modelo numérco e ôhmco para a solda anódca slíco-vdro (S-G) e consderou os íons de sódo e de oxgêno móves. Valores fntos para a mobldade dos íons de oxgêno foram usados para o cálculo do fluxo de corrente, densdade de carga e campo elétrco, utlzando um esquema de dferenças fntas com frontera móvel não unforme. 35

Fabbr & Senna, (004) calcularam a densdade de oxgêno utlzando a equação da contnudade, que fo dscretzada por um método numérco sem-mplícto (Crank- Ncholson). A camada de óxdo de slíco unforme fo consderada de manera muto smplfcada, ou seja, ncorporando nstantaneamente os átomos de oxgêno na matrz do semcondutor. O modelo de Fabbr & Senna, (004) aproxmou-se dos dados expermentas com o aumento da mobldade dos íons de oxgêno, ou seja, encontraram a concavdade correta na curva do fluxo de corrente, e os resultados ndcaram que o transporte de ânons no nteror do vdro ocorre no níco da etapa do processo de solda (Fgura.4). No entanto, o algortmo mplementado gastou tempo computaconal excessvo à medda que as mobldades dos ânons e dos cátons atngam valores comparáves. FIGURA.4: Fluxo de corrente durante a solda anódca vdro-slíco, pontos expermentas (círculos) Albaugh, (99) e curvas calculadas no modelo de Fabbr & Senna, (004). Fonte: Albaugh (99) e Fabbr e Senna (004). 36

O trabalho de Helvoort et al., (004) apresentou estudos expermentas durante as soldas slíco-vdro e alumíno-vdro para demonstrar a oxdação do respectvo ânodo. Temperaturas entre 300 500 ºC e potencal em torno de 00 000 V foram utlzados no ntervalo de 5 0 mnutos da solda slíco-vdro e resultou em uma camada de óxdo de 5 0ηm..3 Organzação do Trabalho Este projeto de mestrado pretende apresentar o modelo numérco para obter os transentes elétrcos durante o processo de solda anódca slíco-vdro (S-G). A pesqusa está organzada da segunte forma: Capítulo Este capítulo apresenta os materas e métodos que envolvem o processo da solda anódca, tas como: as equações governantes no processo de solda, a equação da contnudade, a equação de Gauss-Posson e a condção para o potencal elétrco; além dsso, relata o modelo eletrostátco que engloba a transferênca de íons no nteror do vdro e em seguda na camada de óxdo. Capítulo 3 Este capítulo apresenta a modelagem computaconal que envolve os métodos numércos utlzados neste trabalho, a dscretzação em dferenças fntas, a formulação explícta e totalmente mplícta, a forma admensonal das equações governantes, o esquema numérco específco para a solda anódca, a renormalzação da malha espacal e a consstênca, establdade e convergênca do sstema estudado neste trabalho. Capítulo 4 37

Com o códgo desenvolvdo neste trabalho são apresentados neste capítulo os resultados, tas como: fluxo de corrente, campo elétrco, densdade de carga, camada de óxdo e de depleção. Capítulo 5 A conclusão e os comentáros deste trabalho de mestrado, bem como sugestões a trabalhos futuros, são apresentados neste capítulo. Capítulo 6 As referêncas bblográfcas são apresentadas. 38

CAPÍTULO MATERIAIS E METODOLOGIA. Materas utlzados no processo de solda anódca.. Vdro O vdro, do latm vtrum, refere-se a um materal dos mas antgos conhecdos pela humandade (Morey, 954). No Brasl os prmeros artesãos mgrantes durante a Invasão Holandesa, em Olnda e Recfe, produzram com perfeção vdros para janelas, copos e frascos. Após a expulsão dos holandeses, a vdrara entra em declíno, retornando somente com a chegada da Corte Portuguesa em 808. Mas a ndustralzação do vdro no país agganta-se apenas no século XX, com a fundação da Companha Industral São Paulo e Ro (Csper) e da Vdrara Santa Marna. (Cebrace, 006) Devdo às suas númeras propredades, o termo vdro passou a ser genérco, e hoje se pode falar de vdros da mesma forma como comumente se fala sobre crstas, líqudos, gases... com tratamento smlar a qualquer um dos estados da matéra. Os vdros tradconas são essencalmente à base de óxdos, sendo a sílca (SO ) o elemento mas comum. Desde o século XVIII, o conhecmento das propredades dos vdros lmtava-se à adção de compostos que fornecam maor durabldade químca, resstênca mecânca, dlatação térmca, nfluênca no índce de refração, facldade de crstalzação, cor... entre outras, emprcamente. (Wkpeda, 006a) Tradconalmente os vdros são conhecdos e têm sdo utlzados como solantes elétrcos, ao menos em temperatura ambente. Mas recentemente tem sdo possível aumentar enormemente a mobldade dos cátons em vdros óxdos e em outros sstemas manpulando a estrutura anônca, de forma a facltar o transporte. Atualmente os resultados mpressonam com as pesqusas de bateras e sensores de gás, além de 39

bateras menores e compactas para equpamentos eletrôncos portátes, como marcapasso, telefones celulares, laptops, entre outros. (WIKIPEDIA, 006a) O transporte ônco em vdros tem seu prmero regstro publcado em 884, quando Warburg demonstrou a condutvdade de íons Na através de um vdro alcalno (Malcolm, 985)... Slíco O slíco é um elemento químco pertencente ao grupo do carbono, de símbolo S, descoberto pelo sueco Jöens Jacob Berzelus, em 84, e não é normalmente encontrado em estado puro na natureza. Em combnação com outros elementos, consttu 7,7% da crosta terrestre, e é o elemento mas abundante depos do oxgêno. E em estado lvre, ele é um sóldo cnza-escuro, duro, de brlho metálco e estrutura crstalna semelhante a do damante. (Wkpeda, 006b) O slíco é utlzado no ramo da metalúrga como lga metálca no aço, latão e bronze; quando altamente purfcado é usado em dspostvos fotoelétrcos, transstores, chps e outros componentes eletrôncos. (WIKIPEDIA, 006b) O slíco puro com adção de traços de outros elementos como boro, gálo,... tem propredades semcondutoras e é amplamente aplcado em componentes eletrôncos. Também é usado em lasers. Aparece na argla, granto, quartzo e area, normalmente na forma de dóxdo de slíco (SO, sílca) e város slcatos (compostos contendo slíco, oxgêno e metas). O slíco é o prncpal componente do vdro, cmento, cerâmca, da maora dos componentes semcondutores e dos slcones, que são substâncas plástcas (Wkpeda, 006b). O slíco é apresentado tanto na forma amorfa quanto na crstalna. (Ruska, 987) 40

. Equações governantes para o processo de solda anódca.. Equação da conservação de massa (ou da contnudade) O prncípo da conservação de massa é de extrema mportânca para a físca. Na ausênca de fontes ou de locas pelo qual a massa possa desaparecer (sorveduras), toda a massa que entra em um sstema deve sar e/ou se acumular no sstema. A equação da contnudade, que descreve a conservação de massa, pode ser obtda consderando-se uma regão com extremdades x e xδx, mostrada na Fgura (.). Na ausênca de fontes ou sorvedouros de massa, o balanço de massa dentro da regão pode ser escrto como: Varação temporal da quantdade de massa no elemento. = Descarga resultante através das fronteras do elemento. FIGURA.: Esquema lustratvo do fluxo de massa através das fronteras de um elemento de fludo. Fonte: Fortuna, (000). A Fgura (.) utlza o fato que uma descarga postva representa fludo entrando no elemento. Caso contráro, a descarga é negatva. A demonstração da equação da contnudade está no apêndce A e também pode ser encontrada em Jackson, (975); Fortuna, (000); Press et al, (99) e Grffths, (999). Por fm, a equação da contnudade em uma dmensão é apresentada na equação (.): 4

( u) t x = 0 (.) O prmero termo representa a varação temporal da densdade de fludo, enquanto o segundo, descreve a taxa de varação da massa por undade de comprmento na regão mostrada na Fgura (.)... Equação de Gauss-Posson Na físca, a equação de Gauss-Posson estabelece a relação entre o fluxo elétrco que passa através de uma superfíce fechada e a quantdade de carga elétrca que exste dentro dessa superfíce (Jackson, 975). Matematcamente, Φ = QΩ Ed Ω = (.) ε Ω Na forma dferencal, a equação de Gauss-Posson é apresentada como: q E = (.3) ε ou, em uma dmensão: E = x q ε (.4)..3 Potencal elétrco Potencal elétrco ou tensão é a dferença de potencal ente dos pontos, medda em volt (V) e pode ser defnda matematcamente como a ntegral de lnha do campo elétrco (Purcell, 985): b V V = Edx (.5) a b a 4

Neste trabalho a equação (.5) representa a dferença de potencal total aplcada aos dos materas: slíco e vdro..3 Modelo eletrostátco da solda anódca O modelo eletrostátco apresentado aqu consdera um esquema em que o potencal total constante é mposto entre o par vdro-semcondutor, como é mostrado na Fgura (.). A queda de potencal na camada de semcondutor é desprezada, pos possu uma resstvdade bastante nferor ao vdro. Ânodo Semcondutor Ó X I D O O -- O -- Vdro Cátodo dx 0 0 FIGURA.: Esquema da dsposção dos eletrodos durante a solda semcondutor-vdro (S-G). Em t = 0 (no momento que a tensão total é mposta sobre o par S-G), o campo elétrco é unforme ao longo do vdro E = E 0 e nulo no semcondutor e nca-se o movmento dos portadores de carga (íons de sódo no vdro e elétrons no slíco). No próxmo nstante de tempo o campo elétrco tende a arrastar os íons de sódo (Na ) para o pólo negatvo. Contudo os íons de O -- fcam estaconáros devdo à pequena mobldade, assm uma regão crescente adjacente ao ânodo, que já estava depletada de 43

íons de Na, torna-se negatvamente carregada. Conseqüentemente o campo elétrco, nesta regão terá um comportamento lnear. Denotamos no nteror do vdro e da camada de óxdo as densdades de carga admensonas do sódo (cáton) e do oxgêno (ânon) por e -, respectvamente, satsfazendo, 0,- (,- = n,- / n 0, onde n 0 é o conteúdo ncal de sódo no vdro por m 3 ), conforme Fabbr & Senna, (004). Os deslocamentos dos íons no nteror do vdro e da camada de óxdo são detalhados nas próxmas seções em cada materal (vdro e slíco) juntamente com as respectvas equações governantes..3. Transferênca de carga ônca no nteror do vdro. O modelo eletrostátco e o deslocamento do campo para o transporte de espéces ôncas foram dscutdos no trabalho Fabbr & Senna, (004) e serão novamente esquematzados nesta seção. Denotando por Γ(t) a posção da frente da camada de depleção no nteror do vdro, pode ser vsta na Fgura (.3). E o fluxo de carga de cátons de sódo por J, o deslocamento de Γ durante o ntervalo de tempo dt, na ausênca de dfusão dos portadores, como representado na Fgura (.4), será: dx = J dt. (.6) 44

FIGURA.3: As equações do transporte eletrostátco e ônco são resolvdas no domíno [-x 0, Γ]. O deslocamento da frente da camada de depleção Γ(t) segue o fluxo local de Na. A regão do vdro é neutra para x > Γ. FIGURA.4: Esquema lustratvo da equação (.6). O transporte dos ânons é governado pela equação da contnudade para densdade de carga do oxgêno -, que relacona a densdade de íons de oxgêno no nteror das camadas de depleção e de óxdo com o fluxo representado na equação (.). Na 45

equação (.7), o snal negatvo é anulado devdo os íons de O -- se deslocarem em sentdo contráro ao consderado: t J = x. (.7) O campo elétrco na camada de depleção segue a le de Gauss-Posson, que envolve a densdade de carga total, ou seja, a dferença entre e é dada por: E x = ε (.8) onde ε é a constante delétrca da camada de depleção, conforme Fgura (.5). FIGURA.5: Esquema do campo elétrco apresentado na equação (.8) A queda do potencal total através do vdro de espessura L esta apresentado na equação (.9) e lustrado na Fgura (.6): 46

L V g = Edx. (.9) 0 FIGURA.6: Esquema do potencal no nteror do vdro. O campo elétrco E é unforme na regão Γ < x < L (assume-se que não há transporte de ânons no vdro fora da camada de depleção, onde o oxgêno lvre anda está preso aos cátons de sódo, e o campo elétrco é relatvamente pequeno). As equações (.6) e (.7) são suplementares para as relações adequadas dos fluxos J e J -. Este trabalho tratará apenas os modelos ôhmcos smples, J J ( E) = µ f (.0) = ( E) µ f (.) onde µ e µ - são as mobldades dos cátons e dos ânons, respectvamente. 47

.3. Transferênca de carga ônca no nteror da camada de óxdo Durante a solda anódca forma-se uma camada de SO uncamente por oxgêno que é transportado da depleção do vdro, na nterface slíco-vdro (S-G), também lustrado na Fgura (.3). As propredades físcas da camada de solda são muto smlares as do vdro SO (exceto, naturalmente, pela ausênca de espéces ôncas adconas). Como a camada de óxdo é formada na regão de campo alto, a dfusão dos ânons de oxgêno é supostamente nsgnfcante em comparação com o transporte elétrco (lembrando que a relação de Ensten que lga a constante de dfusão com a mobldade é válda apenas para campos elétrcos baxos). O crescmento da camada de óxdo na nterface vdro-slíco (G-S) ntroduz uma queda de potencal adconal 0 V = Edx (.) ox x 0 onde x 0 é a espessura do óxdo no tempo t e x 0 (0) = 0. Os valores locas do campo elétrco devem satsfazer a equação (.8) na regão x 0 < x < Γ. Impõe-se o potencal externo fxo: V g Vox = V 0. (.3) A dnâmca do crescmento de óxdo é dada pelo fluxo de oxgêno na nterface slícoóxdo (S-O) dt dx J ( x0 t) n, 0 = (.4) ox onde n ox é o valor da relação entre a densdade de carga de oxgêno no óxdo neutro e a densdade de carga de oxgêno lvre no vdro. 48

CAPÍTULO 3 MODELAGEM COMPUTACIONAL 3. Métodos Numércos A classe dos métodos teórcos é formada pelos analítcos e os numércos, pos ambos objetvam resolver equações dferencas, mas cada método ataca a complexdade da equação de um modo dferente. Os métodos analítcos têm a desvantagem de serem, freqüentemente, aplcáves à problemas cujas hpóteses smplfcadas os desvam demasadamente do fenômeno físco real. E normalmente, eles consderam geometras e condções de contorno smples. A expermentação em laboratóro tem a grande vantagem de tratar a confguração do real. Ela é, entretanto, de altíssmo custo e mutas vezes não pode ser realzada, por questões de segurança; assm é comum a realzação de meddas em apenas alguns pontos da regão em que ocorrem os fenômenos de nteresse. Portanto, nem sempre os tratamentos teórcos e/ou expermentas são satsfatóros. Há essencalmente duas razões (Fortuna, 000) para sso: a) o fenômeno em estudo nem sempre é passível de reprodução em laboratóro, mesmo em escala reduzda; b) o custo e o tempo da montagem expermental podem ser probtvos. O uso de técncas numércas, por sua vez, pratcamente não apresenta restrções, podendo resolver problemas arbtráros e apresentando resultados com uma rapdez fantástca (Malska, 995). No entanto, o uso dos métodos numércos não mplca que as técncas expermentas e as análses teórcas estejam sdo postas de lado. É comumente às três técncas se completarem durante algum trabalho, ou em estudos de modelos teórcos, conforme Fgura (3.): 49

FIGURA 3.: Análses teórcas e ensaos expermentas. Fonte: Fortuna, (000). Nos métodos numércos há o uso de condções ncas e de contorno que devem combnar com as equações dferencas parcas e também depender da forma da regão de nteresse (Lapdus & Pnder, 98). Neste presente trabalho, a contextualzação físca do processo de solda anódca proporcona o emprego da condção ncal e de contorno. A condção ncal é devda o fato dos íons de sódo se deslocarem no nteror do vdro, dssocando os íons de oxgêno, que anda não se movem, pos sua mobldade é menor em relação ao sódo, assm, a densdade de carga dos íons de oxgêno é. 0. A condção de contorno usada é a de Drchlet, pos os valores das densdades de carga dos íons de oxgêno nos ntervalos de tempo são conhecdos fscamente, ou seja, n n = 0.0 e =. 0. = 50

3. Método das Dferenças Fntas O método das dferenças fntas está baseado na equvalênca de representações de funções por expansões em sére de Taylor e na aplcação dreta da defnção de dervada. Apesar de não ser necessáro, é comum este método usar dscretzação estruturada (construída usando um sstema coordenado) através de coordenadas ortogonas, como cartesanas, clíndrcas e esfércas. Em partcular, a malha deve ser montada de um modo estruturado, de manera que os nós da malha, em um espaço n-dmensonal, fquem localzados nas ntersecções de uma famíla de lnhas retlíneas ou curvlíneas. Os nós, que devem stuar-se apenas sobre cada uma dessas curvas, serão referencados por coordenadas numércas que melhor se adaptam à natureza da famíla de curvas. 3.. Fundamentos do Método das Dferenças Fntas A aproxmação por dferenças fntas é um dos mas antgos métodos utlzados para obter soluções numércas de equações dferencas, e sua prmera aplcação é atrbuída ao matemátco Euler em 768 (Hrsch, 994). A déa do método das dferenças fntas é realmente bastante smples, pos corresponde a uma estmatva da dervada com base na sua própra defnção. O conteúdo a segur segue a apresentação de Hrsch, (994). E também pode ser encontrado em Lapdus & Pnder, (98); Mtchell, (969); Mtchell & Grffths, (980); Thomas, (995); p.carlet, (99); Hldebrand, (968) e Smth, (978). Para uma função U(x), a sua dervada em um ponto genérco x, é defnda por: U x du dx ( x x) U ( x) U = lm. (3.) x 0 x Se x é pequeno, mas fnto, a expressão no lado dreto da equação (3.) sem o lmte torna-se uma aproxmação do valor exato de U x. A aproxmação pode ser melhorada reduzndo-se x, mas para qualquer valor fnto de x, um erro (o erro de truncamento) é ntroduzdo, o qual tende a zero sempre que x tender a zero. A potênca em x com a 5

qual este erro tende à zero é chamada de ordem de aproxmação da dferença, e pode ser obtda a partr do desenvolvmento em sére de Taylor para U(x x) em torno do ponto x. Na verdade, todo o conceto que rege as aproxmações por dferenças fntas está baseado nas propredades das expansões de Taylor. Desenvolvendo U(x x), temos: ( x) ( x) d U ( x) du U ( x x) = U ( x) x K (3.) dx! dx e então, para a menor ordem em x vem, U ( x x) U ( x) x = U x ( x) x d U! dx ( x) K (3.3) Esta aproxmação para U x (x) é dta ser de prmera ordem em x, e pode ser escrta como: U ( x x) U ( x) x ( x) = U ( x) ϑ (3.4) x ndcando que o erro de truncamento ϑ( x) para valores pequenos de x va a zero de acordo com a prmera potênca em x. Um número consderável de aproxmações de dferenças fntas para as dervadas da varável básca (dependente) presente nas equações de transporte pode ser obtdo. Um procedmento baseado em manpulações algébrcas dos operadores de dferença será dscutdo a segur: 3... Propredades das Fórmulas de Dferenças Fntas Seja um espaço undmensonal dado pelo exo x, onde uma dscretzação espacal é executada de tal modo que o espaço contínuo undmensonal é substtuído por uma malha com N pontos dscretos dados por x, = 0,,,...,N. Seja U o valor da função U(x) no ponto x, sto é, U = U(x ), e consdere que o espaçamento entre os pontos dscretos é constante e gual a x. Sem perda de generaldade, pode-se fazer x = x, e 5

este ponto também será desgnado por ponto x ou ponto, onde é um número ntero. As aproxmações de dferenças fntas que se seguem podem ser defndas para a dervada prmera ( U x ) ( du dx) x= x =. du dx U ( U ) = ϑ( x) x x= x U x (3.5) du dx U ( U ) = ϑ( x) x x= x U x. (3.6) Com respeto ao ponto x = x, a equação (3.5) é chamada de dferença progressva, enquanto a equação (3.6) é uma dferença regressva, sendo que ambas representam uma aproxmação de prmera ordem para (U x ) e também são consderadas como equações de dferenças unlateras. Uma aproxmação de segunda ordem é obtda quando se usa dferença centrada: du U U ( U ) = ( x ) x dx x= x x ϑ. (3.7) Neste presente trabalho, utlza-se no método mplícto as formulações progressva e regressva, equações (3.5) e (3.6), respectvamente e posterormente a formulação centrada, eq. (3.7), devdo ao acoplamento das equações (.7) e (.) e a meda artmétca dos em relação à. No entanto também fo tratado o método explícto para obter os transentes elétrcos, como é apresentado a segur e os resultados podem ser encontrados em Paes & Fabbr, (005). 53

3.3 Formulações Explícta e Totalmente Implícta 3.3. Formulação Explícta Na formulação explícta todos os valores vznhos ao ponto consderado são avalados no nstante anteror e, portanto, já são conhecdos. É possível explctar a ncógnta da equação tratada em função dos valores vznhos, todos conhecdos (Fgura 3.). Como há uma equação para cada ponto dscreto e, em cada uma destas equações, os valores vznhos são sempre do nstante anteror, a formulação explícta dá orgem a um conjunto de equações algébrcas que podem ser resolvdas uma a uma, obtendo-se o valor em cada ponto do espaço para o novo nível de tempo. (Malska, 995) FIGURA 3.: Esquema da formulação explícta. O trabalho de Paes & Fabbr (005) analsou o modelo eletrostátco no nteror do vdro utlzando a formulação explícta, ou seja, obteve os resultados dos transentes elétrcos: campo elétrco, fluxo de corrente, densdade de carga dos íons de oxgêno e camada de depleção. Como já fo comentada anterormente, a formulação explícta é smples de se resolver e todas as varáves são defndas no tempo anteror. No entanto apresenta problema de establdade, o que faz com que, na prátca, o tempo computaconal e o número de terações sejam bem maores quando comparado com a formulação mplícta. A Fgura (3.3) apresenta a lustração do esquema utlzado no processo de deslocamento dos íons de oxgêno apenas no nteror do vdro, pos a camada de óxdo fo tratada do 54

mesmo modo que no trabalho de Fabbr & Senna, (004), ou seja, através da ncorporação nstantânea dos átomos de oxgêno na matrz do semcondutor. E a segur os passos generalzados da formulação explícta no tempo n. FIGURA 3.3: Ilustração do esquema utlzado no processo de deslocamento dos íons de oxgêno durante a solda anódca slíco-vdro (S-G) nos prmeros ntervalos de tempo, apenas no nteror do vdro. Conforme a Fgura (3.3), o procedmento geral do deslocamento dos íons de oxgêno, apenas no nteror do vdro, utlza a formulação explícta e será exemplfcado a segur no n-passo de tempo, ou seja, os (n-)- passos de tempo já foram calculados: ) Anda não há deslocamento da quantdade de carga em x, vsto que os íons de oxgêno apenas foram dssocados dos íons de sódo, que se deslocaram para o 55

cátodo, pos a sua mobldade é maor em relação à do oxgêno, ou seja, a n condção de contorno de Drchlet é =. 0. ) Com o fluxo de íons de oxgêno do passo de tempo anteror em x - encontra-se a quantdade de carga que sa deste ntervalo espacal (Q sa ) e se desloca para x -, como segue: Q sa J x t (3.8) = Assm, Q fca = Q Q (3.9) tnha sa 3) A quantdade que sa de x - entra no ntervalo espacal x -, assm: Q (3.0) fca = Qtnha Qsa ( x ) E do mesmo modo que em x -, encontra-se a quantdade de carga que sa de x - utlzando a equação (3.8) com os respectvos índces. Por fm recalcula o campo elétrco e o fluxo de corrente em todos os nós neste ntervalo temporal (t n ) e novamente recomeça o processo. Os resultados podem ser encontrados em Paes & Fabbr, (005). 3.3. Formulação Totalmente Implícta Os trabalhos numércos que analsam os transentes elétrcos durante o processo de solda anódca usando a formulação explícta e sem-mplícta para a equação (.7), apenas no nteror do vdro foram Paes & Fabbr (005) e Fabbr & Senna (004), respectvamente. O presente trabalho utlza-se a formulação totalmente mplícta para essa mesma equação e trata o deslocamento dos íons de oxgêno no nteror do vdro e da camada de óxdo formada no slíco do segunte modo: 56

57 x J J t n n n n = (3.) Na equação (3.), o termo a esquerda do snal de gualdade esta dscretzado em dferenças fntas regressva e o termo à dreta, em dferenças fntas progressva, que posterormente a equação (.) será acoplada, devdo à densdade de carga ser tratada nos ntervalos de um nó e outro da malha. A Fgura (3.4) apresenta o esquema estudado. E a dscretzação em dferenças fntas da equação (.7) é apresentado a segur e o valor do campo elétrco em cada ponto espacal é tratado do tempo anteror, que caracterza a forma lnearzada da equação (.7): ( ) n n n n n n E E x t = µ (3.) Utlzando a méda artmétca dada por: = n n n (3.3) = n n n (3.4) Substtu as equações (3.3) e (3.4) na equação (3.), resulta: = n n n n n n n n E E x t µ (3.5) Rearranjando a equação (3.5) em função apenas das densdades de carga dos íons de oxgêno no nteror dos ntervalos ( ), obtém-se a formulação geral: n n n n n n n n E E E E α α α α = (3.6) onde x = µ t α.

FIGURA 3.4: Esquema da formulação mplícta. A formulação apresentada na equação (3.6) dá orgem a um sstema de equações, uma vez que as equações estão agora acopladas entre s. Nesta equação, as densdades de carga e n estão sendo calculadas no mesmo nível de tempo de n n, o que caracterza o acoplamento. Para essa equação, será vsto mas adante que tal formulação é ncondconalmente estável e o ntervalo de tempo é lmtado por precsão (Lapdus & Pnder, 98), (Malska, 995), (Hrsch, 994). Observe que está formulação é chamada totalmente mplícta porque os valores das densdades de carga são encontrados com o acoplamento das varáves no mesmo ntervalo de tempo. Para detalhar o processo, a Fgura (3.5) apresenta o deslocamento dos íons de oxgêno no nteror do vdro e da camada de óxdo de slíco acoplados devdo a suas composções dêntcas (exceto por espéces ôncas adconas), nos três prmeros ntervalos de tempo, onde se atrbu os índces correspondentes à equação (3.6). 58

FIGURA 3.5: Ilustração do esquema utlzado no processo de deslocamento dos íons de oxgêno durante a solda anódca slíco-vdro (S-G) no nteror do vdro e da camada de óxdo, nos prmeros ntervalos de tempo. 59

Na seqüênca é exemplfcado o tratamento da dscretzação no tercero ntervalo de tempo, com o ntuto de apresentar o esquema utlzado. º ntervalo de tempo, (ver Fgura 3.5 - a): º ntervalo espacal ( x ):.0 representa a condção ncal, pos os íons de oxgêno apenas = foram lberados pelos íons de sódo, eles anda não se deslocam. º ntervalo de tempo, (ver Fgura 3.5 - b): º ntervalo espacal ( x ): 0.0 representa a condção de contorno de Drchlet, pos os íons de = oxgêno que se deslocam do vdro penetram na matrz do slíco e reagem, assm não há acumulo de carga; º ntervalo espacal ( x ): =, índces atrbuídos à equação (3.6) ao segundo ntervalo αe espacal, onde as densdades já estão acopladas uma as outras; 3º ntervalo espacal ( x 3 ):.0 representa a condção de contorno de Drchlet, pos os íons de 3 = sódo apenas lberam os íons de oxgêno, eles anda não se deslocam em dreção ao slíco. 3º ntervalo de tempo, (ver Fgura 3.5 - c): º ntervalo espacal ( x ): 60

6 3 3 α α α = E E E, índces atrbuídos à equação (3.6) ao prmero ntervalo espacal, pos as densdades já estão acopladas uma as outras e em função do ntervalo de tempo anteror; º ntervalo espacal ( x ): 3 3 3 3 3 3 α α α α = E E E E, índces atrbuídos à equação (3.6) ao segundo ntervalo espacal; 3º ntervalo espacal ( x 3 ): 3 3 3 3 3 3 α α = E E, índces atrbuídos à equação (3.6) ao tercero ntervalo espacal; 4º ntervalo espacal ( x 4 ):.0 3 4 = representa a condção de contorno de Drchlet, pos os íons de sódo apenas lberam os íons de oxgêno, assm eles anda não se deslocam em dreção ao slíco. O sstema apresentado em (3.7) é o resultado das equações dscretzadas apresentadas acma, no tercero ntervalo temporal. = = = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 E E E E E E E E E α α α α α α α α α (3.7) E assm por dante, os n-ntervalos de tempo são construídos.

6 Deste modo, o sstema (3.7) pode ser representado na forma matrcal como: 0 0 3 3 3 3 E E E E E E E E E α α α α α α α α α 3 3 3 3 = 3 (3.8) Note que os zeros que aparecem na matrz de coefcentes não exstem explctamente no sstema de equações (3.7), pos a forma de escrever estas equações envolve apenas as densdades de carga de íons de oxgêno que estão lgadas ao ntervalo em questão. Como 3 3 não tem lgação com 3, o coefcente é, logcamente, zero. O mesmo acontece com 3 em relação à 3 3. Neste presente trabalho, o método usado para resolver a matrz trdagonal apresentada em (3.8), é denomnado Thomas (Lapdus & Pnder, 98), que será descrto na próxma seção. 3.3.. Método de Thomas para Sstemas Trdagonas O método de Thomas é um método de elmnação dos elementos das colunas (vetores) desenvolvdo para a solução de sstemas de equações algébrcas lneares que apresentam matrzes de coefcentes trdagonas. No caso de problemas não-lneares, a aproxmação numérca da equação dferencal parcal, em partcular, equação (.7), dá orgem a um sstema lnear de equações, mas a matrz conterá coefcentes dependentes da varável e assm deverá ser atualzada ao longo das terações (Malska, 995). O conteúdo a segur segue a apresentação de Lapdus & Pnder, (98) e também pode ser encontrado em Cunha, (000). O algortmo de Thomas tra partdo da estrutura matrcal apresentada, smplfcando sgnfcatvamente os cálculos no passo de elmnação de cada elemento da coluna. Este

método não nclu o passo de pvotagem, o qual destrura a estrutura trdagonal. O algortmo é apresentado no apêndce A. Por fm, uma das vantagens deste método, é a mnmzação do custo de memóra necessára, compactando os dados numa matrz de dmensão (N 4), em que a 4ª coluna corresponde ao vetor dos termos ndependentes. 3.4 Forma Admensonal das Equações Na físca, os problemas, em geral, podem ser caracterzados por grandezas específcas, como a densdade carga no processo de solda. Essas grandezas dmensonas podem ser agrupadas em parâmetros admensonas, que passam a caracterzar o fenômeno em questão. A admensonalzação das equações que governam o processo de solda anódca pode ser feta a partr das grandezas:, L x * E t, =, L =, x =, E =, t = (3.9) l l E τ 0 d d 0 em que 0 é a densdade de carga de sódo ncal no vdro, l d, E 0, τ, são respectvamente, valores de referênca de comprmento (Albaugh, 99), campo elétrco ncal e tempo (Albaugh, 99), que serão detalhadas nos resultados apresentados no capítulo 4. Substtundo-se os valores com índce ( * ) nas equações que governam o processo de solda anódca slíco-vdro (S-G), equações (.7), (.8), (.9) e (.), obtém-se respectvamente: Equação da contnudade: t J = x * (3.0) Equação de Gauss-Posson: 63

E x = ε (3.) Potencal elétrco: L * 0 E dx = L (3.) Note-se que outros parâmetros podem ser utlzados para admensonalzar as equações acma; a escolha depende das grandezas envolvdas no problema tratado. No entanto, essa smbologa não será usada no decorrer de todo trabalho, para não nterfer na notação das varáves presentes. A obtenção de todos os resultados durante o processo de solda anódca foram tratados como admensonas e posterormente, transformados em dmensonas para análse. 3.5 Esquema Numérco no Procedmento da Solda Anódca As equações (.6) a (.4) formam um problema de contorno móvel não-lnear, que se resolve numercamente por um procedmento auto-consstente apresentado na seção (3.3.), denomnado de formulação totalmente mplícta. E 0 e E Γ são os valores locas do campo elétrco na nterface vdro-slíco (S-G) e na frente da camada de depleção, respectvamente. Incalmente, E 0 aumenta e E Γ decresce no tempo, devdo a presença de carga negatva não compensada que começa a ser lberada na camada de depleção; por sso, a velocdade de avanço v ( t) = dγ / dt decresce no tempo. Neste presente trabalho é usado a dscretzação em dferenças-fntas sobre uma grade não-unforme x, que é gerada por deslocamento da frente Γ e x 0 durante os ntervalos de tempo fxo t, devdo à lenta condção da velocdade de avanço. 64

A equação da contnudade para a densdade de carga de ânon, equação (.7) e a equação de Gauss-Posson sob o potencal externo fxo, equações (.8) e (.3), são resolvdas em cada passo de tempo. A ntegração no tempo é dada abaxo. Incalmente (t = 0), o campo elétrco é unforme no ntervalo [0, L], onde a densdade de carga lvre é zero, e não há óxdo na nterface slíco-vdro (S-G). Deste modo, a seqüênca do esquema numérco é apresentada a segur: ) Do valor do campo elétrco em Γ, obtém-se o fluxo local de cátons de Na da relação consttunte, equação (.0): f ( E) J = µ ; ) Calcula o deslocamento x da frente da camada de depleção durante o ntervalo de tempo t, de acordo com a equação (.6): dx = J dt ; J 3) A equação da contnudade (.7): = para a densdade de carga de t x ânon é resolvda no domíno [0, Γ], com o segunte esquema: para o fluxo local de ânons, a equação consttunte (.) é empregada ( J f ( E) = µ ); os valores locas do campo elétrco no nteror da camada de depleção satsfaz as E equações (.8): = e (.3): ( Vg Vox = V0 ); x ε 4) Do fluxo de ânon local calculado na nterface slíco-óxdo (S-O), obtém-se a quantdade de óxdo que é formado durante o ntervalo de tempo t através da dt equação (.4): dx = ( ) 0 J x0, t. Esta nova regão de óxdo de slíco é de nox carga neutra e a atualzação nos valores locas do campo elétrco em [-x 0, L] é feta de acordo com as equações (.): 0 V ox = Edx e (.3): ( Vg Vox = V0 ) ; x 0 65