Este guia é uma adaptação 1 de atividades utilizadas por professores, alunos, ex-alunos e ex-professores da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) em oficinas, laboratórios de ensino, estágios de docência ou em aulas regulares no Colégio de Aplicação da UFRGS. 1 Adaptado pelo GRUPO MDMAT-UFRGS (http://mdmat.mat.ufrgs.br).
Título: Desafio geométrico. Autor: Bruno Marques Collares. Orientador: Elisabete Zardo Búrigo. Objetivos: Contribuir para o aprendizado de geometria plana através de desafios geométricos. Descrição: O objeto apresenta um desafio geométrico, incluindo sua resolução e sugere a sua construção em softwares de geometria dinâmica (Geogebra, por exemplo). Observações: Sugere-se que as construções sejam feitas no software de geometria dinâmica Geogebra, disponível em: http://www.geogebra.org/cms/pt_br. - Caso as imagens apareçam retorcidas, aumente o zoom do arquivo para 125%.
Símbolos utilizados: ABC: triângulo com vértices definidos pelos pontos A, B e C. AB: segmento com extremidades nos pontos A e B. r // AB: reta r PARALELA ao segmento AB. s r: reta s PERPENDICULAR à reta r. ri AB = {P4}: reta r INTERSECÇÃO com segmento AB é igual ao ponto P4.
Desafio: Determine o lugar geométrico dos centros dos retângulos inscritos num triângulo ABC qualquer. Seja ABC um triângulo qualquer 1ª parte Construção - Traça-se uma reta r paralela ao lado ABdo triângulo, passando por P1. Daqui temos que r // AB. - Traça-se uma reta s perpendicular a r, passando por P1. Daqui temos que s r
- Traça-se uma reta t perpendicular a r, passando por P2: Obs.: ri AB = {P4} ti AB = {P3} ri BC = {P2}
- Como AB// r e r s, então s AB - Analogamente AB// r e r t, então t AB Construímos assim um retângulo P1P2P3P 4 inscrito num ABC com base sobre AB Obs.: Movimentando P1 sobre AC obtivemos todos os retângulos inscritos num ABC com base sobre AB Para acharmos o centro desses retângulos, traça-se a mediatriz de seus lados; o encontro delas é o centro.
2ª parte Achar lugar geométrico Ao fim da construção teremos o lugar geométrico como sendo um segmento de extremidades no ponto médio da base AB e no ponto médio da altura. h Obs.: Em nem todos os triângulos podemos construir um retângulo inscrito e obter o mesmo resultado. Vejamos os casos. 1º Caso: Triângulo Acutângulo
O lugar geométrico dos centros dos retângulos inscritos num triangulo acutângulo é um segmento com uma extremidade no ponto médio da base e a outra no ponto médio da altura. 2º Caso: Triângulo Obtusângulo (no caso particular do eqüilátero o lugar geométrico é a metade da altura) Note que não podemos construir um retângulo inscrito num triângulo obtusângulo com base sobre ABou AC; somente podemos construir um retângulo inscrito num triângulo obtusângulo mudando a base ( girando o triângulo ) como mostra a figura abaixo:
Ao fim teremos o mesmo resultado do triângulo acutângulo. (segmento com uma extremidade no centro da base AB e a outra na metade da altura) 3º Caso: Triângulo Retângulo. Podemos notar que, ao escolhermos uma base do triângulo retângulo, selecionamos dentre as possibilidades duas nas quais dois lados do retângulo irão sobrepor estes lados, como na figura abaixo (base sobre AB ou sobre AC).
Ao fim teremos (caso particular do triângulo retângulo: segmento com uma extremidade no centro da base ABe outra na metade do lado AC) Obs.: Se girarmos o triângulo, isto é, utilizarmos outra base (hipotenusa) para ser sobreposta pela base do retângulo, obteremos o mesmo resultado que obtivemos no triângulo acutângulo.
(segmento com uma extremidade no centro da base AB e outra na metade da altura) Conclusão: Nos casos em que podemos construir um retângulo inscrito num triângulo, o lugar geométrico é um segmento de extremidades no ponto médio da base e no ponto médio da altura do triângulo em questão. Se ele for eqüilátero, o segmento (lugar geométrico) será igual à metade da altura.