Lista de Exercícios º Semestre 07 Curso Pré-Vestibular POLIEDRO Prof. Kátia Regina Yabiku Logaritmos. (Fuvest 07) Considere as funções f(x) x 4 g(x) log x, em que o e domínio de f é o conjunto dos números reais e o domínio de g é o conjunto dos números reais maiores do que 0. Seja h(x) f(g(x)) g(f(x)), em que x 0. Então, h() é igual a a) 4 b) 8 c) d) 6 e) 0. (Fgv 07) Estima-se que, daqui a t semanas, o número de pessoas de uma cidade que ficam conhecendo um novo 0.000 produto seja dado por N. t 9(0,5) Daqui a quantas semanas o número de pessoas que ficam conhecendo o produto quintuplica em relação ao número dos que o conhecem hoje? log 9 log 7 a) log 5 b) c) d) e) log 9 log 6 log 5 log 9 log 5 log 5 log 9 log 4 log 5 log 9 log log 5. (Enem 06) Em 0, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 0, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por E M log, E0 sendo E a energia, em kwh, liberada pelo terremoto e E 0 uma constante real positiva. Considere que E e E representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente. Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 5 ago. 0 (adaptado). Qual a relação entre E e E? a) E E b) E 0 E c) E 0 E 9 d) E 7 0 E 9 e) E E 7 4. (Fuvest 06) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão S log 06 5 log 06 0 log 7 06 O valor de S é a) b) c) 5 d) 7 e) 0
5. (Fac. Albert Einstein - Medicin 06) Uma pesquisa foi desenvolvida a partir de 50 bactérias de uma cultura. Estimou-se então, de maneira aproximada, que, durante certo tempo, o aumento percentual do número de bactérias na cultura poderia ser obtido pela expressão B(t) 0 log (t ) 50, em que t é o tempo decorrido, em minutos, após o início da pesquisa, Nessas condições, ao fim da primeira hora da pesquisa, quantas bactérias havia em tal cultura? a) 5 b) 400 c) 450 d) 55 PA e PG. (Unicamp 07) Seja x um número real, 0 x π, tal que a sequência (tan x, sec x, ) é uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a a). b) 5 4. c) 4. d). TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Leia o texto publicado em maio de 0 para responder à(s) questão(ões) a seguir. Os Estados Unidos se preparam para uma invasão de insetos após 7 anos Elas vivem a pelo menos 0 centímetros sob o solo há 7 anos. E neste segundo trimestre, bilhões de cigarras (Magicicada septendecim) emergirão para invadir partes da Costa Leste, enchendo os céus e as árvores, e fazendo muito barulho. Há mais de 70 espécies de cigarras na América do Norte, e mais de mil espécies ao redor do mundo. A maioria aparece todos os anos, mas alguns tipos surgem a cada ou 7 anos. Os visitantes deste ano, conhecidos como Brood II (Ninhada II, em tradução livre) foram vistos pela última vez em 996. Os moradores da Carolina do Norte e de Connecticut talvez tenham de usar rastelos e pás para retirá-las do caminho, já que as estimativas do número de insetos são de 0 bilhões a trilhão. Um estudo brasileiro descobriu que intervalos baseados em números primos ofereciam a melhor estratégia de sobrevivência para as cigarras. <http://tinyurl.com/zh8daj6> Acesso em: 0.08.06. Adaptado.. (Fatec 07) Com relação à Ninhada II, e adotando o ano de 996 como o º termo (a ) de uma Progressão Aritmética, a expressão algébrica que melhor representa o termo geral (a n) da sequência de anos em que essas cigarras sairão à superfície, com n *, é dada por a) an 7 n 979 b) an 7 n 998 c) an 7 n 0 d) an 996 n 7 e) an 979 n 7. (Enem 06) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares,, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares, 4, 7, 0, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 0 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício? a) 40 b) 60 c) 00 d) 5 e) 0
4. (Puccamp 06) Um jogo de boliche é jogado com 0 pinos dispostos em quatro linhas, como mostra a figura abaixo. Se fosse inventado um outro jogo, semelhante ao boliche, no qual houvesse um número maior de pinos, dispostos da mesma forma, e ao todo com 50 linhas, o número de pinos necessários seria igual a a).5. b).55. c).550. d).65. e).75. 5. (Espcex (Aman) 06) Considere o seguinte procedimento: em uma circunferência de diâmetro R, inscreve-se um hexágono regular para, em seguida, inscrever neste polígono uma segunda circunferência. Tomando esta nova circunferência, o processo é repetido gerando uma terceira circunferência. Caso este procedimento seja repetido infinitas vezes, a soma dos raios de todas as circunferências envolvidas nesse processo é igual a: b) c) 4R 4R 4 d) R e) R 4 6. (Enem 06) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de.000 C e diminui % de sua temperatura a cada 0 min. Use 0,477 como aproximação para log 0() e,04 como aproximação para log (). 0 O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 0 C é mais próximo de a). b) 50. c) 00. d) 00. e) 400. 7. (Espm 06) A partir do quadrado ABCD, de lado 4, constrói-se uma sequência infinita de novos quadrados, cada um com vértices nos pontos médios dos lados do anterior, como mostrado abaixo: a) R O comprimento da poligonal infinita destacada na figura por linhas mais grossas é igual a: a) 4 b) 4 c) 8 d) 4 e) 8
Funções. (Epcar (Afa) 07) No plano cartesiano abaixo estão representados o gráfico da função real f definida por f(x) x x e o polígono ABCDE. a) R$.80,00 b) R$.400,00 c) R$.50,00 d) R$.0,00 e) R$.40,00. (Unicamp 07) Considere o quadrado de lado a 0 exibido na figura abaixo. Seja A(x) a função que associa a cada 0 x a a área da região indicada pela cor cinza. Considere que: - o ponto C é vértice da função f. - os pontos B e D possuem ordenadas iguais. - as abscissas dos pontos A e E são raízes da função f. O gráfico da função y cartesiano é dado por a) A(x) no plano Pode-se afirmar que a área do polígono ABCDE, em unidades de área, é a) b) 8 6 4 8 c) d) 4 4 8 b). (Espm 07) O lucro de uma pequena empresa é dado por uma função quadrática cujo gráfico está representado na figura abaixo: c) Podemos concluir que o lucro máximo é de:
d) 4. (Epcar (Afa) 07) A função real f x definida por f(x) a b, sendo a e b constantes reais, está graficamente representada abaixo. a) 8 b) 9 c) 0 d) e). (Espcex (Aman) 07) Um grupo é formado por oito homens e cinco mulheres. Deseja-se dispor essas oito pessoas em uma fila, conforme figura abaixo, de modo que as cinco mulheres ocupem sempre as posições,,, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e 8. Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas obedecendo a essas restrições? a) 56 b) 456 c) 40.0 d) 7.07 e) 8.648.640 Pode-se afirmar que o produto (a b) pertence ao intervalo real a) [ 4, [ b) [, [ c) [, 5[ d) [5, 8] 5. (Unicamp 07) Seja f(x) uma função tal que para todo número real x temos que x f(x ) ( x )f(x). Então, f() é igual a a) 0. b). c). d). Análise Combinatória e Probabilidade. (Fac. Albert Einstein - Medicin 07) Um patrão tem 6 tarefas diferentes para serem distribuídas entre empregados. Ele pode delegar todas elas a um só empregado, ou delegar apenas para alguns, ou ainda garantir que cada empregado receba pelo menos uma tarefa. O número de maneiras distintas de distribuir essas tarefas é a) 69 b) 74 c) 79 d) 864 4. (Fgv 07) O total de números de cinco algarismos que possuem pelo menos dois dígitos consecutivos iguais em sua composição é igual a a) 6.58. b) 9.590. c) 8.6. d) 7.90. e) 0.95.. (Espm 07) Em uma competição de vôlei de praia participaram n duplas. Ao final, todos os adversários se cumprimentaram uma única vez com apertos de mãos. Sabendo-se que foram contados 80 apertos de mãos, podemos concluir que n é igual a:
5. (Unicamp 07) Um dado não tendencioso de seis faces será lançado duas vezes. A probabilidade de que o maior valor obtido nos lançamentos seja menor do que é igual a a). b) 5. c) 7. d) 9. 6. (Fgv 07) Uma fração, definida como a razão entre dois inteiros, chama-se imprópria quando o numerador é maior ou igual ao denominador e chama-se decimal quando o denominador é uma potência de dez. Dois dados convencionais, de seis faces equiprováveis, possuem cores diferentes: um deles é branco, e o outro preto. Em um lançamento aleatório desses dois dados, o número obtido no dado branco será o numerador de uma fração, e o obtido no dado preto será o denominador. A probabilidade de que a fração formada seja imprópria e equivalente a uma fração decimal é igual a a) 7. 6 b). c) 9. 6 d) 5. 9 e) 7. 8. (Unesp 07) Em um jogo de tabuleiro, o jogador desloca seu peão nas casas por meio dos pontos obtidos no lançamento de um par de dados convencionais e não viciados. Se o jogador obtém números diferentes nos dados, ele avança um total de casas igual à soma dos pontos obtidos nos dados, encerrando-se a jogada. Por outro lado, se o jogador obtém números iguais nos dados, ele lança novamente o par de dados e avança seu peão pela soma dos pontos obtidos nos dois lançamentos, encerrando-se a jogada. A figura a seguir indica a posição do peão no tabuleiro desse jogo antes do início de uma jogada. Iniciada a jogada, a probabilidade de que o peão encerre a jogada na casa indicada na figura com a bomba é igual a a) 7 4 b) 49 4 c) 44 d) 5 e) 6 7. (Espcex (Aman) 07) A probabilidade de um casal ter um filho de olhos azuis é igual a. Se o casal pretende ter 4 filhos, a probabilidade de que no máximo dois tenham olhos azuis é a) 9 b) 7 9 c) 8 9 d) e) Gabarito:
Logaritmos [E] Resposta da questão : [B] Lembrando que logb a, loga b c logba c logba e f(g()) f log f( ) f(0) 4 log ca b logc a logc b, com a, b e c reais positivos diferentes de, temos g(f()) g 4 g(8) log 8 S h() f(g()) g(f()) 4 ( ) h() 8 log 06 5 log 06 0 log 7 06 (5 log 06 log 06 log 06 7) 0 Resposta da questão : 5 [E] log 06 7 0 Calculando: log 06 06 0.000 0 N0 N 0 0 000 9 (0,5). 0 0.000 4 t Nt 5 000 (0,5) t t 9 (0,5) 9 (0,5) 9 Resposta da questão 5: log0 9 [A] log log9 log9 log t log 0,5 t 9 5 log5 log5 log Determinando o aumento percentual depois 0 0 de 60 minutos ( hora), temos: B(60) 0 log (60 ) 50 0 4 50 0 Resposta da questão : Tem-se que E E M M log log E E 0 0 M E E 0 0 0 M E E 0. Daí, como M 9 e M 7, vem 7 E E0 0 e E E0 0. Portanto, segue que Portanto, o número de bactérias após uma hora será dado por: 0 50 50, 5 00 E E 0 0 0 7 6 E 0 0 0 E. Resposta da questão 4: Gabarito: PA e PG Resposta da questão : Calculando:
PA a, a, a a a a sen x sec x t g x sen x cos x sen x cos x cos x cos x sen x cos x cos x cos x cos x 4 8cos x 4cos x 5cos x 8cos x 0 cos x ou cos x (não convém) 5 5 4 sec x ; tgx 5 4 PA r r Resposta da questão : [A] Aplicando a fórmula do termo geral da P.A., temos: an a (n ) r an.996 (n ) 7 an 7 n 979 Resposta da questão : É fácil ver que os andares, 7,,9,, a 0, com a 0 sendo o último andar do edifício, foram aqueles que receberam reparos de João e Pedro. Portanto, como tal sequência é uma progressão aritmética de razão 6 e primeiro termo, temos a0 9 6 5. Resposta da questão 4: [E] As quantidades de pinos de boliche em cada linha representam uma progressão aritmética de razão, escrita abaixo: (,,, 4,, 48, 49, 50) Calculando a soma dos 50 primeiros termos desta P.A., temos: 50 50 S50.75 Resposta da questão 5: [B] Estabelecendo uma relação entre o raio r da circunferência inscrita e o raio R da circunferência circunscrita num hexágono regular. r é a altura de um triângulo equilátero de raio R, portanto: R r Os raios considerados no exercício formarão uma P.G. infinita de razão q. R R (R,,,...) 4 A soma dos infinitos termos desta P.G. será dada por: R a R R S 4R q 4 Resposta da questão 6: A temperatura, T, da liga após t horas é dada por T.000 (0,99). Por conseguinte, o tempo necessário para que a temperatura da liga atinja 0 C é tal que t.000 (0,99) 0 0 00 t t t log log0 0 t ( log log log0) t ( 0,477,04 ) t 0,005 t 00.
Seja L ax bx c, com L sendo o lucro Resposta da questão 7: obtido com a venda de x unidades. É fácil ver que c 0. Ademais, como a parábola Calculando os comprimentos dos passa pelos pontos (0, 00) e segmentos destacados e sua soma: (0, 00), temos 4 seg 00a 0b 00 a 6 400a 0b 00 b 80 seg PG razão q S 4 Portanto, segue que L 6x 80x 50 6(x 5). seg O lucro máximo ocorre para x 5 e é igual a R$.50,00. Gabarito: Resposta da questão : Funções Resposta da questão : [B] b ( ) xv xv a ( ) 9 C, 9 4 yv y v 4 x f(x) x x A, 0 e E, 0 x D 0, yd f(0) 0 0 D 0, B x B, x x x x 0 B, Calculando: a a x A(x) a a a ax A(x) ax O único gráfico que apresenta uma função linear é o mostrado na alternativa. Resposta da questão 4: [A] Calculando: x f(x) a b 0 f(0) a b a b b a f() 8 a b 8 9a b 8 9a a 8 9 a 8 7 b 8,5 0,5 0,5 0,5 S S 4 8 Resposta da questão : Resposta da questão 5: [B] Calculando:
x 0 Como cada tarefa pode ser distribuída de 0 f(0 ) (0 ) f(0) f(0) três modos distintos, podemos concluir, pelo Princípio Multiplicativo, que o x resultado é 79. f( ) ( ) f() f(0) f() f () Resposta da questão 4: [E] Gabarito: Análise Combinatória e Probabilidade Resposta da questão : Se todos os atletas se cumprimentassem, então o número de apertos de mãos seria n igual a. Mas, como apenas adversários se cumprimentam, devemos descontar desse total o número de apertos de mãos trocados entre atletas de uma mesma dupla, qual seja n. Portanto, segue que o resultado é tal que n (n)! n 80 n 80!(n )! n n 90 0 n 0. Resposta da questão : Permutando as mulheres nas cinco primeiras posições, temos: P5 5! 0 Calculando todas as sequências de três homens possíveis, escolhidos em um total de 8, temos: 8 7 6 6. Portanto, o número de formas possíveis de fila que podem ser formadas e obedecendo a essas restrições são: P 0 6 40.0 Resposta da questão : Existem 9 0 0 0 0 90000 números de cinco algarismos. Destes, temos 9 9 9 9 9 59049 números que não apresentam quaisquer dígitos consecutivos. Portanto, segue que o resultado é 90000 59049 095. Resposta da questão 5: Ao se lançar um dado duas vezes há 6 possíveis resultados. Destes, apenas 4 podem ter o maior valor menor do que ( e, e, e e e ). Assim, a probabilidade será igual a 4. 6 9 Resposta da questão 6: É imediato que existem 6 6 6 resultados possíveis. Dentre esses resultados, não são favoráveis: (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, 4), (, 5), (, 6), (4, ), (4, 5), (4, 6), (5, ) e (5, 6). Portanto, segue que a resposta é 7 9. 6 6 Resposta da questão 7: Probabilidade do casal não ter filhos com os olhos azuis: 6 8 Probabilidade do casal ter apenas um filho 4 com os olhos azuis: 8 Probabilidade do casal ter exatamente dois filhos com os olhos azuis: 4 4 8
Portanto, a probabilidade pedida será dada por: 6 4 7 8 P. 8 8 8 8 9 Resposta da questão 8: [A] Lançando os dados uma única vez, os casos favoráveis são (, 5), (, 4), (4, ) e (5, ). Logo, como o espaço amostral possui 6 6 6 elementos, segue que a probabilidade de encerrar na casa desejada com apenas um lançamento é 4. 6 9 Por outro lado, também é possível encerrar na casa desejada obtendo-se (, ) no primeiro lançamento e qualquer um dos resultados (, ), (, ) ou (, ) no segundo e último lançamento. Essa probabilidade é igual a. 6 6 A última possibilidade consiste em obter (, ) no primeiro lançamento e (, ) no segundo e último lançamento. Isso ocorre com probabilidade igual a. 6 6 Portanto, o resultado é 7. 9 6 6 4