GABARITO Matemática E Intensivo V. Exercícios 0) 5 0) 5 Seja o termo geral = 3n, então: Par =, temos: a = 3. = 3 = Par =, temos: a = 3. = 6 = 5 Par = 3, temos: a 3 = 3. 3 = 9 = 8 Então a + a + a 3 = + 5 + 8 = 5 Sabemos que para uma sequência ser denominada P.A. a diferença entre dois termos consecutivos é constante, então: x x + x x = 3 multiplicar toda equação por 3 3x (x + ) = 3x 6 x = 3x 6 + 6 = 3x x x = 5 03) 97 04) C n = 50 a = 3 r = 6 + (n ). r a 50 = 3 + (50 ). 6 a 50 = 3 + 49. 6 a 50 = 3 + 94 a 50 = 97 a = 50 = 300 r = 30 4 = 7,5 Note que os termos da P.A. estão em milhões e a razão inicial é 30 para cada 4 anos, então a cada um ano a razão é de 7,5. Assim: + (n ). r 300 = 50 + (n ). 7,5 300 = 50 + 7,5n 7,5 300 = 4,5 + 7,5n 300 4,5 = 7,5 57,5 = 7,5n 57, 5 = n n = 75, Ou seja, a = 300, se passaram 0 anos. Então o mundo terá 300 milhões de pessoas com diabetes em 04. 05) 374 Primeiro vamos descobrir a razão da P.A. = a k + (n k). r a 58 = a 53 + (58 53). r 300 = 30 + 5r 300 30 = 5r 0 = 5r 0 5 = r r = Agora vamos calcular o º termo: a 53 + (53 ). r 30 + 3. ( ) 30 64 30 + 64 a = 374 06) 6 anos Podemos representar as idades dos irmãos da seguinte maneira: (a, a, a 3, a 4 ), sendo a o mais velho e a 4 o mais novo. Sabemos que a = 3a 4 ; Sn = 48 e n = 4. Então S n = ( a a ). n + n 48 = 3 4 ( a4 + a4). 48 = 4a 4. 48 = 8a 4 48 a a = 6 8 = 4 4 Logo podemos afirmar que o irmão mais novo tem 6 anos. 07) D = 0 km = 0 000 m a = 3 km = 3000 m r = 500 m + (n ). r 0 000 = 3000 + (n ). 500 0 000 = 3000 + 500 n 500 0 000 = 500 + 500 n 0 000 500 = 500 n 7500 = 500 n n = 7500 500 n = 5 Matemática E
GABARITO 08) C Primeiro vamos calcular o valor de y. 4+ 5 + y = 4 y = 4 y = 4 y = 5. y = 5 4 8 Agora vamos calcular o valor de x. x = y substituir o valor de y x = 5 multiplicar por 8 8 8 8x = 5 8 8 + 3 = 8x = 8x x = 8 Agora vamos calcular o z z 4 = 4 5 multiplicar por 8 8 8z = 5 8z = 3 + 8z = z = 8 Então x + y + z = 8 + 5 8 8 = 5 8 09) C Note que a figura forma uma P.A. (, 4, 7...). Então: a = n = 60 r = 3 + (n ). r a 60 = + (60 ). 3 a 60 = + 59. 3 a 60 = + 77 a 60 = 78 0) 85 30 a = f() = 69,8 + 0,. a = f() = 69,8 + 0,. a = 69,8 + 0, a = 69,8 +,4 a = 70 a = 7, 6 S = ( a a + ). S = (70 + 7,). 6 S = 4,. 6 S = 853, ) E ) B Note que as perfurações formam uma P.A. (, 4, 7,0,...). Então a 4 seria a quantidade de perfurações na etapa 4, logo: + (n ). r a 4 = + (4 ). 3 a 4 = + 3. 3 a 4 = + 39 a 4 = 40 Agora vamos calcular a área dos triângulos. 40. A Δ = 40 3. l = 0.. 3 = 4 = 0 3 = 0.,7 = 7 cm Então, por regra de três, vamos calcular a porcentagem da placa que foi perfurada. 70 cm 00% 7 cm x 7. 00 x = x = 0% 70 Logo o percentual que restará da chapa original é 90%. Sabemos que para ser múltiplo de 3 e 4 ao mesmo tempo o número deve ser múltiplo de. Porém, o primeiro múltiplo de depois do 50 é 60, e o último antes de 00 é 96. Então: a = 60 = 96 r = + (n ). r 96 = 60 + (n ). 96 = 48 + n 96 48 = n 48 = n n = 4 3) 96,5 m Primeiramente vamos calcular quanto vale o último termo. h 50 = h + (n ). r h 50 = 0,70 + (50 ). 0,05 h 50 = 0,70 + 49. 0,05 h 50 = 0,70 +,45 h 50 = 3,5 Matemática E
GABARITO Para calcular a altura do reservatório em relação à represa basta calcular a soma dos 50 termos da P.A. S 50 = ( a+ a50). n ( S 50 = 070, + 35, ). 50 S 50 = 3,85. 5 S 50 = 96,5 4) Primeiramente vamos calcular quantas bolas há na caixº 0. a 0 + (n ). r a 0 = 3 + (0 ). 3 a 0 = 3 + 9. 3 = 3 + 57 a 0 = 60 Porém n é a quantidade total de bolas, ou seja, é a soma dos 0 termos da P.A. Então: S 0 = ( a+ a0). n 3 60 0 = ( + ). = (3 + 60). 0 S 0 = 63. 0 = 630 0. Verdadeiro. 630 = 05. 6, logo 630 é múltiplo de 6. 0. Verdadeiro. 630 > 600. 04. Falso. 630 = (57. 4) +, logo 630 não é múltiplo de 4. 08. Verdadeiro. 630 < 650. 5) 080 Para calcular a soma das 7 primeiros termos devemos calcular primeiramente a razão, a e a 7. Então: a = a 7 + ( 7). r 6 = 9 + 4. r 6 9 = 4 r 4 = 4 r r = 3 a + (n ). r 6 + 0. 3 6 + 60 6 60 a = a 7 + (n ). r a 7 = + 6. 3 a 7 = + 78 a 7 = 79 Logo: ( S 7 = a + 7). 79 7 80 7 = ( + ). =. S 7 = 40. 7 = 080 6) a) 3 cm, 4 cm e 5 cm b) V = 3. 4. 5 = 60 cm 3 e S = 94 cm 7) 06 G C H D a) AB, AD e AE formaram uma P.A., então podemos escrever essa sequência da seguinte maneira: (x r, x, x + r). Sabemos que a soma desses 3 termos é, então: x r + x + x + r = 3x = x = 4 Volume da pirâmide é: V =. AC. BC. BF 3 0 = 3. ( x r). x. (x + r) ( )..( ) 0 = x r x x+ r 6 0. 6 = (4 r). 4. (4 + r) 60 = (6 r ). 4 60 = 6 r 4 5 = 6 r r = 6 5 r = r = Então: AB = 3, AD = 4 e AE = 5 b) Sendo V o volume, em cm³, e Sl a área total. Então: V = 3. 4. 5 = 60 cm 3 Sl = (3. 4 + 3. 5 + 4. 5) Sl = ( + 5 + 0) Sl =. 47 Sl = 94 cm Se a sequência (x, x x + ) é uma PG, então a = a a a3 F B E A Matemática E 3
GABARITO x x x = + 4 x x = (x 4)(x + ) x = x + x 4x 48 0 = 8x 48 48 = 8x x = 6 8) 3 768 Primeiro vamos calcular a razão, então: q = a = 8 6 6 =. = = a 8 8 6 Agora vamos calcular o 0º termo a 0. q 0 a 0 = 6. 9 a 0 = 4. 9 a 0 = 5 a 0 = 3768 9) 3 Como a PG é oscilante então q < 0, calculando a razão temos: = a k. q n k a = a 7. q 7 6 =. q 4 6 = q4 8 = q 4 4 q = 8 q = 3 Porém como visto anteriormente a razão tem que ser negativa, então q = 3 0) m. Se as dimensões estão em PG, então: (L, C h) = x q, x, x. q Sabendo que o volume é 6 m 3, temos: V = 6 m 3 x q x. x. q = 6 m 3 x 3 = 6 x = 6 Sabendo que a altura é m a mais que o comprimento temos: h = + C x. q = + x substituindo o valor de x 6q = + 6 ) E 6q = 8 q = 3 Logo a largura será: L = x q = 6 3 = m Primeiro vamos calcular o quinto termo da PG oscilante (97, 34, 08,...) *q = 3 a 5. q 5 a 5 = 97. ( 3 )4 a 5 = 97. 8 a 5 = Agora calculando o º termo da PA ( 5, 44, 37,...) *r = 7 a + ( ). r a = 5 +. 7 a = 5 + 47 a = 96 Por último vamos calcular o segundo termo da PG ( 4, x, 9, 54,...) *q = 6 a. q a = 4. 6 a = 6 4 3 Então temos a seguinte progressão (a, a 5, a ) = = ( 3,, 96), com isso podemos afirmar que a sequência é uma PG de razão 8. ) 05 0. Verdadeiro. Primeiro vamos calcular a quantidade de termos: + (n ). r x = 3 + (n ). x = 3 + n x = + n x = n x = n 4 Matemática E
GABARITO Agora vamos calcular a soma dos n termos S n = ( a a ) + n. n 440 = ( 3 + x ) x. 440 = ( 3 + x )( x ) 4 760 = 3x 3x 3 + x x x + x 3 760 = 0 x + x 763 = 0 Calculando as raízes da equação x + x 763 = 0 x = ± 4+ 705 x' = 43 x" = 4 = ± 84 Note que x é o termo de uma PA crescente, ou seja, r > 0. Então x não é um valor negativo, logo x = 4 0. Falso. Note que a PG apresentada é finita e com a razão igual a. Então calculando a soma dos 6 termos temos: 6 64 S 6 = = = 63 63 64 S 6 = = 8 = S 6 = 63 8 = S 6 = 63 64 Note que a soma é diferente de. 04. Verdadeiro. Primeiro vamos calcular a razão, então: = a k. q n k a 6 = a 3. q 6 3 5 = 5. q3 9 5 3. = q 9 5 9. 3 = q3 q 3 = 7 q = 7 q = 3 Então calculando o primeiro termo:. q n a 3. q 3 5. 3 5. 9 5. 9 35 08. Falso. Primeiro vamos calcular o a 50 das duas PA: *PA(4, 7, 0,...) r = 3 + (n ). r a 50 + (50 ). 3 a 50 = 4 + 49. 3 a 50 = 5 3) 8 *PA = (5, 0, 5,...) r = 5 a 50 = 5 + 49. 3 a 50 = 48 Então para estar nas duas ao mesmo tempo a razão tem que ser 5. Logo: a = 0 = 45 r = 5 n =? + (n ). r 45 = 0 + (n ). 5 45 = 0 + 5n 5 45 = 5 + 5n 45 + 5 = 5n 50 = 5n n = 0 0. Falso. Temos que a quantidade forma uma PG. Então: a = 8 a 5 =? n = 5 q = 8. q n a 5 = 8. 8 5 a 5 = 8. 8 4 a 5 = 8. 4096 a 5 = 3768 0. Verdadeiro. Note que as preciptações são representadas pelas barras dos climogramas. Então podemos afirmar que em São Grabriel as chuvas são regulares, já em Cuiabá a chuivão é regular. 04. Falso. temos PA com: a 5 = 460 e a = 80, então calculando a razão: a 5 + (5 ). r 460 = 80 + 4r 460 80 = 4r 640 = 4r r = 60 Matemática E 5
GABARITO 4) 3 Agora calculando o oitavo termo: a 8 + (8 ). r a 8 = 80 + 7. 60 a 8 = 80 + 0 a 8 = 940 08. Falso. Suponha o valor do produto igual a R$00,00. Então com o primeiro desconto temos: R$ % 00 00 x 70 x = 70 reais Agora suponha um único desconto de 50% num produto que vale R$00,00. R$ % 00 00 x 50 x = 50 reais Note que com os descontos sucessivos de 30% e 0% o produto passa de R$00,00 para R$56,00 e com o desconto único de 50% o produto passa de R$00,00 para R$50,00. 6. Verdadeiro. Calculando f(0), temos: f(x 3) = 3f(x) 6 f(0 3) = 3f(0) 6 f( 3) = 3f(0) 6 5 = 3f(0) 6 5 + 6 = 3f(0) = 3f(0) f(0) = 7 0. Verdadeiro. Primeirovamos calcular o valor de x note que a sequência é uma PA então: a a = a 3 a x + 0 x = x (x + 0) 0 = x x 0 x x 0 = 0 x = ( ) ± ( ) 4..( 0 ) = ± 9 =. x = 5 x = 4 Então x = 4, do enunciado x < 0, logo ( 4, 6, 6,...). Calculando o a 0 temos: a 0 + (0 ). r a 0 = 4 + 9. 0 a 0 = 4 + 90 a 0 = 86 0. Falso. Note que os números ímpares, formam a sequinte PA (, 3, 5,..., n ). Então somando os n primeiros termos temos: a = = n n = n Logo: S n = ( a ann ) + = S n = ( ) ( ) + n n nn n = = = n 04. Verdadeiro. = 04 ; a = ; q = = q. q n 04 =. n = n.. 0 0 =. n. 0 = n. + 0 = n + 0 = n + n = + 0 n = 08. Verdadeiro. * P.A. (x, y, 0) r > 0 * P.G. (x, y, 8) q > 0 y = x +0 y 0 = x (I) y = x. 8 substituindo (I) y = (y 0). 8 y = 36y 80 y 36y + 80 = 0 Calculando as raízes, temos: 36 ± 96 70 36 ± 4 y = 30 y = = y = 6 Note que tanto a P.G. quanto a P.A. são crescentes, logo y = 30. Não serve. Substituindo y = 6 em (I) temos:. 6 0 = x x = Portanto x. y =. 6 = a 6. Falso. 900 = q x = = x 3 3 = 3 x x =. 3 x = 4. = 8 5) 4 0. Falso. Com as raias temos a sequência: (R, R, R 3,...) q = R R Com as áreas temos: 6 Matemática E
GABARITO πr R R ( πr, πr, πr3,... ) q = = = πr R R = q 0. Verdadeiro. * Receita (P.G. de razão 6 4 ) novembro de 00 = 300 mil dezembro de 00 = 300 mil. 6 = 360 mil 5 janeiro de 003 = 360 mil. 6 = 43 mil 5 fevereiro de 003 = 43 mil. 6 = 58. 4 mil 5 * Despesa (P.A. de razão 55 mil) novembro de 00 = 350 mil dezembro de 00 = 350 + 55 = 405 mil janeiro de 003 = 405 + 55 = 460 mil fevereiro de 003 = 460 + 55 = 55 mil ou seja, em fevereiro a receita é maior que a despesa. 04. Verdadeiro. (60, 64, 66, 67,...). 4 Note que o peso cresce conforme a P.G. (4,,,...) de razão. Somando os termos da P.G. temos: 4 4 S = = = 4. = 8 Note que a fórmula a da soma de uma P.G. infinita, ou seja, o jovem chegará a 68 kg. 08. Verdadeiro. P.A. (x, 5, y) 5 x = y 5 y = 0 x (I) P.G. (x, 4, y) 4 = xy substituindo I temos: 6 = x(0 x) 6 = 0x x x 0x + 6 = 0 Calculando a raiz temos: x = 0 ± 00 64 x = 0 6 8 ± x = x = Como a P.A. é crescente, então x =. Substituindo esse valor em I temos: y = 0 = 8. Logo P.A. (, 5, 8,...). Calculando o a 0 da P.A. temos: a 0 + (n ). r a 0 = + 9. 3 a 0 = + 7 a 0 = 9 Portanto a soma dos 0 primeiras termos é: ( S 0 = + 9). 0 = 3. 5 = 55 6) D P.G. (x, x + 3, 3x + ) (x + 3) = (x ) (3x + ) x + 6x + 9 = 3x + x 3x 3x x x 6x 9 = 0 x 8x 0 = 0 5 8± 64+ 80 8 x = = ± x = 4 4 x = Para x = temos P.G. (,, ) logo teríamos o produto com preço negativo o que não ocorre. Para x = 5 temos P.G. (4, 8, 6) logo a razão dessa sequência é. 7) a) 3 b) 53 8) C a) Da P.A temos que: a 7 = a + 5r a 7 = a + 5r Sabendo que a P.G é formada pelo a, a 7 e a 7 da P.A temos, para a = a P.G. (a, a + 5r, a + 5r) (a + 5r) = a(a + 5r) a + 0ar + 5r = a + 5ar 5r = 5ar 0ar 5r = 5ar r 5a = r = 3 a r 5 5 Para que r N* temos que o menor valor de a possível é 5. Logo r = 3. 5 = 3 5 b) Para a = 5 e r = 3 temos: = a k + (n k)r a 8 = a + (8 ). r a 8 = 5 + 6. 3 a 8 = 5 + 48 a 8 = 53 S n = a q n ( ) substituindo a =, q = q e n = 0 0. S 0 = pela propriedade de potência 0 0 0 0 0 = = S 0 = S = 0 0 = 0 Matemática E 7
GABARITO 9) C P.G. (lado, altura, área) = l 3 l 3 l,, 4 l 3 l l 3 3 l l 3 3 =. 4 4 = 4 3 3 l 3 3 = = l 3 l 3 l = 3 Calculando a soma temos: S n = a q n ( ) A ij = a q n ( ) 63 = d ( 6 ) q q 63 = 63d d = Portanto P.G. (,, 4, 8, 6, 3) então a maior distância entre duas árvores consecutivas é 3. 30) B Calculando a altura do triângulo temos: l 3 3. 3 3 h = = = Sabendo que o raio da circunferência em relação a altura é: 3. h 3 r = = = = 3 3 3 Calculando a área da circunferência temos: A = π. r A = π. A = π P.A. ( PP, PP 3, Pi Pi), como r = 3, então P.A. (3, 6,..., P P ) i i Calculando o último termo da P.A. temos: + (n ). r Pi P = 3 + (n ). 3 i Pi P = 3 + 3n 3 i Pi P = 3n i Agora calculando a soma S n = ( a ann ) + 3 3n n PP n = ( + ). 63 = 3 3 n+ n 6 = 3n + 3n 3n + 3n 6 = 0 Calculando as raízes temos: n n = ± + ± = 3 9 5 3 39 6 6 6 n = 7 (não serve, pois n é quantidade de termo) Logo Pi P = 3. 6 = 8. i Portanto a P.A. (3, 6, 9,, 5, 8), ou seja i = 7 P.G. ( AA, AA 3,... Aj Aj), seja a distância d, a razão, e j = 7 então P.G. (d, d,..., 3d) 8 Matemática E