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Guias de Onda (pags 102 a 109 do Pozar) Linhas de Transmissão de placas paralelas. Modos TEM Modos TE e TM 31/05/17 2
Linha de Transmissão de Placas Paralelas Vamos considerar os campos de uma linha de transmissão de placas paralelas separadas por uma distância d e largura W (W >> d). Além disso, o espaço entre os condutores é preenchido por um dielétrico com parâmetros constitutivos ε e µ. y y z x d W ε, µ 31/05/17 3
Linha de Transmissão de Placas Paralelas Consideremos o comportamento dos modos TEM em linhas de placas paralelas. Para modos TEM temos que resolver a Eq. de Laplace 2D para encontrar E y e H x. 2 x + 2 2 y 2 E y = 0 t 2 E y (x, y) = 0 Como E z = H z = 0 para modos TEM: t! E = E y x E x y = jωµh zâz = 0 Como o campo é conservativo (por ser irrotacional para modos TEM), podemos escrever: 31/05/17 4! E(x, y) = t V (porque Ez = 0)
Linha de Transmissão de Placas Paralelas Além disso, como E é conservativo, a Equação de Laplace para o potencial pode ser usada par encontrar V: 2 t V = 2 x + 2 2 y 2 V = 0 para 0 x W, 0 y d. Se o condutor de baixo estiver aterrado e o de cima no potencial V o, as seguintes Condições de Contorno têm de ser satisfeitas: V(x, 0) = 0 e V(x, d) = V o Para W >> d, a solução da Eq. de Laplace é: V(x, y) = Ay + B Onde as ctes A e B devem ser determinadas usando as C.C. 31/05/17 5
Linha de Transmissão de Placas Paralelas A distribuição de potencial ao longo da seção transversal entre os condutores é: V(x, y) = V O d y Tendo o potencial, podemos calcular o campo elétrico na seção transversal (como?):! E(x, y) = V O d ây Incluindo a dependência em z, o campo elétrico entre os condutores na forma fasorial é:! E(x, y, z) = V O d e jβzâ y 31/05/17 6
Linha de Transmissão de Placas Paralelas Tendo E, podemos calcular H.! H(x, y, z) = 1 η âz E(x, y, z) = V 0 dη e jβzâ x Considerando o efeito de borda, o campo eletromagnético para modos TEM ao longo da seção transversal da L.T. de placas paralelas é ilustrado abaixo: H + + + + + + + y E x - - - - - - - z 31/05/17 7
Linha de Transmissão de Placas Paralelas Com as expressões para os Campos Eletromagnéticos é possível calcular V e I. A impedância característica Z 0 de uma linha de placas paralelas é: Z 0 = V I = ηd W Como k = β, velocidade de fase para modos TEM da linha de placas paralelas é: v p = ω β = 1 µε 31/05/17 8
Linha de Placas Paralelas (modos TM) Para modos TM (H z = 0, E z 0) temos que resolver a Eq. de Helmholtz 2D para encontrar E z, E y e H x. 2 x + 2 2 y + k 2 2 c 0 E z = 0 Constante de propagação transversal Considerando que W >> d, a derivada parcial com relação a x é nula. A solução da Eq de Helmholtz 2D tem a forma: E z (x, y) = A sen(k c y)+ B cos(k c y) Onde A e B são constantes determinadas usando as C.C nos condutores. 31/05/17 9
Linha de Placas Paralelas (modos TM) Qual é a condição de contorno para E z na interface dielétrico/condutor? E z (x, y) = 0 em y = 0, d Aplicando a C.C. acima em y = 0, achamos: B = 0 Aplicando a C.C. em y = d: k c = nπ d para n = 1, 2, 3... Assim a constante de propagação transversal só possui valores discretos. 31/05/17 10
Linha de Placas Paralelas (modos TM) A constante de propagação na direção de propagação (β) é: β = k 2 nπ d 2 Desta forma, a distribuição de E z na seção transversal do guia fica: E z (x, y) = A n sen( nπ d y)
Linha de Placas Paralelas (modos TM) Usando as Equações para E x, E y, H x e H y em função de E z e H z vistas na aula passada temos que os campos eletromagnético para modos TM são: E z (x, y, z) = A n sen( nπ d y)e jβz Onda estacionaria na direção transversal (y) onda propagante na direçao de z. H x (x, y, z) = jωε k c A n cos( nπ d y)e jβz E y (x, y, z) = jβ k c A n cos( nπ d y)e jβz E x = H y = 0 31/05/17 12 Obs: note que fazendo n = 0, o modo TM sería o fundamental (TEM).
Soluções Modais Considerando uma onda se propagando num guia na direção do eixo z, o campo eletromagnético tem a forma:! E(x, y, z) =! E(x, y)e jβz e! H(x, y, z) =! H(x, y)e jβz Utilizando estas soluções nas equações de Maxwell, chegamos a expressões para os campos transversais em função de Ez e Hz: E x = j k c 2 β E z x + ωµ H z y H x = j k c 2 ωε E z y β H z x E y = j k c 2 β E z y + ωµ H z x H y = j k c 2 ωε E z x + β H z y 31/05/17 13 13
Linha de Placas Paralelas (modos TM) Cada valor de n nas expressões para k c e para os campos acima corresponde a um modo diferente referido como modo TM n (TM 1, TM 2...).. Os modos TM n possuem uma frequência de corte f c, n, abaixo da qual não há propagação para o respectivo modo. f c, n = k c, n 2π µε = n 2d µε A razão para isto é que para f abaixo de f c, n, β é imaginário e se torna uma constante de atenuação. β = k 2 k 2 c = k 2 nπ d Por esta razão linhas de placas paralelas se comportam como filtros passa-alta. 2 31/05/17 14
Linha de Placas Paralelas (modos TM) O comprimento de onda guiado em linhas de placas paralelas é definido por: λ g = 2π β O comprimento de onda de corte para o modo Te n é : (λ g > λ) λ c = 2d n Além disso, como vimos, a impedância de onda para modos TM n é: Z TM = E y H x = β ωε = βη k 31/05/17 15
Linha de Placas Paralelas (modos TE) Para modos TE (E z = 0, H z 0) temos que resolver a Eq. de Helmholtz 2D para encontrar H z, H y e E x. 2 x + 2 2 y + k 2 2 c 0 H z = 0 Considerando que W >> d, a derivada parcial com relação a x é nula. A solução da Eq de Helmholtz 2D tem a forma: H z (x, y) = A sen(k c y)+ B cos(k c y) Onde A e B são constantes determinadas usando as C.C nos condutores. 31/05/17 16
Linha de Placas Paralelas (modos TE) A C. C. para E x na interface dielétrico/condutor é: E x (x, y) = 0 em y = 0, d E x pode ser calculado a partir de H z. E x (x, y) = jωµ ( A cos(k c y) B sen(k c y) ) k c Aplicando a C.C. acima em y = 0, achamos: Aplicando a C.C. em y = d: k c = nπ d A = 0 para n = 1, 2, 3... 31/05/17 17
Soluções Modais Considerando uma onda se propagando num guia na direção do eixo z, o campo eletromagnético tem a forma:! E(x, y, z) =! E(x, y)e jβz e! H(x, y, z) =! H(x, y)e jβz Utilizando estas soluções nas equações de Maxwell, chegamos a expressões para os campos transversais em função de Ez e Hz: E x = j k c 2 β E z x + ωµ H z y 31/05/17 18 18
Linha de Placas Paralelas (modos TE) A constante de propagação na direção de propagação (β) é: β = k 2 nπ d 2 Desta forma, a distribuição de E x na seção transversal do guia fica: E x (x, y) = jωµ k c B n sen( nπ d y)
Linha de Placas Paralelas (modos TE) Usando as Equações para E x, E y, H x e H y em função de E z e H z mostradas na aula passada temos que os campos eletromagnético para modos TE são: H z (x, y, z) = B n cos( nπ d jβz y)e E x (x, y, z) = jωµ k c B n sen( nπ d y)e jβz H y (x, y, z) = jβ k c B n sen( nπ d y)e jβz E y = H x = 0 31/05/17 20
Linha de Placas Paralelas (modos TE) Cada valor de n corresponde a um modo diferente referido como modo TE n.. Os modos TE n possuem uma frequência de corte f c, n : f c, n = k c, n 2π µε = n 2d µε λ c, n = ε r 2d n A razão para isto é que para f abaixo de f c, n, β é imaginário e se torna uma constante de atenuação. β = k 2 k 2 c = k 2 nπ d 2 31/05/17 21
Linha de Placas Paralelas (modos TE) O comprimento de onda guiado em linhas de placas paralelas é definido por: λ g = 2π β (λ g > λ) O comprimento de onda de corte para o modo Te n é : λ c = 2d n A impedância de onda para modos TE n é: Z TE = E x = ωµ H y β = kη β 31/05/17 22
Perdas nos condutores Pode ser mostrado (pag 82 do Pozar) que a constante de atenuação devido aos condutores pode ser calculada por: α c = P l 2P 0 (Potência dissipada nos condutores) (Potência na entrada do guia) Potência dissipada nos condutores, considerando o efeito pelicular: P l = 2 R W s J! s dx 2 = x=0 Utilizando a condição de contorno para campo magnético na superfície do condutor (considerando tratar-se de um PEC à E = H = 0 dentro*):! H s â n =! J s 31/05/17 23
Obs A potência média ao longo da linha de transmissão ou guia de onda é: P( z) = P 0 e 2αz A potência dissipada nos condutores por unidade de comprimento é: ( ) P l = P z z = 2αP ( z) Em z = 0: α l = P l z = 0 ( ) 2P 0 31/05/17 24
Perdas nos condutores Utilizando esta C.C., considerando modos TM: J z = H x = jωε k c A n cos( nπ d y)e jβz A potência dissipada nos condutores em y = 0 fica: P l = R s W ωε A potência se propagando no guia pode ser calculada usando o vetor de Poyinting: 31/05/17 25 k c A n P 0 = 1 2 Re W d!! ( E H * )dydx â z x=0 y=0 2 = Wd Re β { } ωε 4k c 2 A n 2
Perdas nos condutores Utilizando este procedimento, a atenuação pode ser calculada para as 3 classes de modos. Para modos TM: Para modos TE: α c = 2ωεR s βd = 2kR s ηβd Np / m α c = 2ωεR s βd = 2k 2 c R s ηkβd Para modos TEM: α c = 2ωεR s βd = R s ηd Np / m 31/05/17 26
Perdas nos condutores O gráfico abaixo mostra a atenuação nos condutores em função da constante de propagação normalizada pela constante de propagação de corte: Para frequências altas (acima do corte) os modos TE têm baixas perdas (por que?) Pozar, D.M., Microwave Engineering, 4 a ed., Wiley, 2011. 31/05/17 27
TM 1 H x (x, y, z) = jωεd π E y (x, y, z) = jβd π A n cos( π d y)e jβz A n cos(π d y)e jβz TEM TE 1 E x (x, y, z) = jωµd π B n sen( π d y)e jβz TM 1 H y (x, y, z) = jβd π B nsen( π d y)e jβz TE 1
Dispersão modos TM A figura abaixo mostra o gráfico de β pela frequência normalizada (com relação à freq. de corte do modo TE 1. TE 1 /TM 1 β (rad/m) TE 2 /TM 2 TE 3 /TM 3 d = 100m f c1 =1,5MHz TE 4 /TM 4 31/05/17 29 f/f c1
Linha de Placas Paralelas (modos TE) As dimensões dos guias podem nos dar uma ideia da frequência de corte. Os modos TE 1 e TM 1 possuem uma frequência de corte f c, 1 : f c, 1 = k c, 1 2π µε = (1) 2d µε λ c, n = 2d (1) Para d = 100m e considerando ar como dielétrico: λ c, n = 200m f c1 = c 200 =1, 5MHz 31/05/17 30