Questão A figura eibe um mapa representando países. alternativa E Inicialmente, no recipiente encontram-se 40% ( 000) = 400 m de diesel e 60% ( 000) = = 600 m de álcool. Sendo, em mililitros, a quantidade mínima de álcool que se deve adicionar à mistura para que a proporção passe para 0% de diesel e 70% de álcool, temos 600 + 000 = 0,7 = m. 000 + Questão Considerando-se como países vizinhos aqueles cujas fronteiras têm um segmento em comum, o número mínimo de cores que se pode utilizar para colori-los, de forma que dois países vizinhos não tenham a mesma cor, é: a). b). c) 4. d) 5. e) 6. No interior de uma sala, na forma de um paralelepípedo com altura h, empilham-se cubos com arestas de medidas,, 9, 7,e assim por diante, conforme mostra a figura. alternativa B Observamos que o "país central", representado por um polígono de 8 lados, tem fronteira comum com todos os "países periféricos". Utilizando cores teremos países vizinhos com cores iguais. Adotando uma cor para o "país central" e alternando outras duas para os "periféricos", nenhum país terá a mesma cor que seu vizinho. Portanto, precisamos no mínimo de cores. Questão Um recipiente contém um litro de uma mistura de diesel e álcool, na proporção de 40% de diesel e 60% de álcool. Deseja-se modificar esta proporção para 0% de diesel e 70% de álcool, sem retirar diesel. A quantidade mínima de álcool, em mililitros, que se deve adicionar à mistura original, considerando que as proporções mencionadas são sempre em volume, é de: a) 00 d) 800 b) 400 e) 000 c) 700 O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse ser feito indefinidamente, é: a). b) 5. c) 7 d). e). alternativa E Nas condições dadas, as arestas dos cubos formam uma PG com termo inicial e razão Assim, para que o empilhamento possa ser feito indefinidamente, a altura h deve ser no mínimo + + +... = =. 9
matemática 4 Questão 4 A seqüência de números naturais (a,4,a, a 4,a 5,,a 7,a 8,... ), onde a = 4 e a 6 =, tem a propriedade de que a soma de três termos consecutivos quaisquer é sempre igual a. O mmc(a 0,a 4) é: a). b) 4. c) 6. d). e) 6. alternativa C Temos: 4 + a + a4 = a = a + a4 + a5 = a4 = 6 a4 + a5 + = a5 = 4 E como a soma de três termos consecutivos é sempre igual a, concluímos que ak = 6, ak = 4 e ak =, para K N. Assim a0 = a( 4) = e a4 = a( 7 ) = 6, cujo mmc é 6. Questão 5 Dividindo-se os polinômios p() e p() por obtêm-se, respectivamente, r e r como restos. Sabendo-se que r e r são os zeros da função quadrática = a + b + c, conforme gráfico, alternativa E Do gráfico da função quadrática, sabemos que, das raízes r e r, r = e a abscissa do vértice da parábola é v = 5. Como v = r + r 5 = + r r 7 =. Como os restos da divisão de p() e p () por são, respectivamente, r e r, p() = e p () = 7. Logo o resto da divisão de p () p () por é p() p () = 7 =. Questão 6 Certo dia um professor de matemática desafiou seus alunos a descobrirem as idades,, z, em anos, de seus três filhos, dizendo ser o produto delas igual a 40. De pronto, os alunos protestaram: a informação z = 40 era insuficiente para uma resposta correta, em vista de terem encontrado 6 ternas de fatores do número40cujoprodutoé40.oprofessorconcordou e disse, apontando para um dos alunos, que a soma + + z das idades (em anos) era igual ao número que se podia ver estampado na camisa que ele estava usando. Minutos depois os alunos disseram continuar impossível responder com segurança, mesmo sabendo que a soma era um número conhecido, o que levou o professor a perceber que eles raciocinavam corretamente (chegando a um impasse, provocado por duas ternas). Satisfeito, o professor acrescentou então duas informações definitivas: seus três filhos haviam nascido no mesmo mês e, naquele eato dia, o caçula estava fazendo aniversário. Neste caso a resposta correta é: a), 5, 8. d),, 40. b),, 0. e), 4, 5. c), 4, 0. o resto da divisão do polinômio produto p() p() por é: a). b) 5. c) 8. d) 5. e). alternativa A Como, e z representam as idades, em anos, dos filhos do professor, as 6 ternas cujo produto das idades é 40 são (; 5; 8), (; ; 0), (; 4; 0), (; ; 40), (; 4; 5) e (; ; 0) e a soma das idades em cada uma delas é + 5 + 8 = 4, + + + 0 =, + 4 + 0 = 5, + + 40 = 4, + 4 + + 5 = e + + 0 = 4.
matemática 5 Como os alunos ficaram num impasse provocado por duas ternas, estas só poderiam ser as que apresentavam soma 4, a saber (; 5; 8) e (;;0). Finalmente, como o professor falou que o caçula estava fazendo aniversário, a única terna possível é (; 5; 8). Questão 7 Um engradado, como o da figura, tem capacidade para 5 garrafas. Se, de forma aleatória, forem colocadas 5 garrafas no engradado, a probabilidade de que quaisquer duas delas não recaiam numa mesma fila horizontal, nem numa mesma fila vertical, é: 5! a) 5!. b) 55!! 5!. c) 50!!. d) 550!!!. 5! 5! e) 555!!!. 0! alternativa D O número de possibilidades de 5 garrafas serem colocadas aleatoriamente no engradado é 5 5! =. 5 0!5! Para que duas garrafas não recaiam numa mesma fila horizontal, nem numa mesma fila vertical, considerando-se as filas horizontais do engradado, na ª há 5 posições para se colocar uma garrafa; na ª temos apenas 4 posições; na ª, posições; na 4ª, posições e apenas posição na 5ª fila, ou seja, 5 4 = 5! maneiras. 5! 5!5!0! Assim, a probabilidade pedida é =. 5! 5! 0!5! Questão 8 Dada a matriz,, A =, a dis- tância entre as retas r e s de equações, respectivamente, det(a) = 0 e det(a) = vale: a). b). c). d). e) 4 alternativa A Inicialmente, det(a) = =. Logo as equações de r e s são, respectivamente, = 0 = 0 e = = 0. Como as retas r e s são paralelas e (0; 0) r, a 0 0 distância entre elas é =. () + ( ) 4 Questão 9 π Considere as funções dadas por f() = sen e g() = a + b, sendo o gráfico de g fornecido na figura. 0 O valor de f(g ()) é: a) 4. b). c). d) g. e).
matemática 6 alternativa C g() Do gráfico de g(), temos + = g() = +. A função g (), inversa de g, é tal que = g () + g () =. Portanto f(g ()) = f sen π = =. 4 Questão 0 Na Figura A aparecem as circunferências α, de equação + =,eβ, de equação + = = 9. Sabendo-se que as circunferências tangentes simultaneamente a α eaβ são como λ (na Figura B) ou λ (na Figura C), : + = o lugar geométrico dos centros destas circunferências é dado: a) pelas circunferências de equações ( ) + + = 4 e ( ) + =. b) pela elipse de equação + =. c) pelas circunferências de equações + = = e + = 4. d) pela circunferência de equação + = = 4. e) pelas retas de equações = e =. : + = alternativa C Figura A Já que as circunferências como λ (figura B) são tangentes às circunferências α e β, seus centros distam unidades da origem. Assim, o lugar geométrico desses centros é uma circunferência de centro na origem e raio, cuja equação é + = 4. As circunferências como λ (figura C) tangentes a α e β têm seus centros distando unidade da origem. Logo o lugar geométrico desses centros é uma circunferência de centro na origem e raio, cuja equação é + =. Questão Considere as funções: f() =, f() = log /, f () = ( + ) ( ) e f() 4 = sen() e os gráficos G, G, G e G 4 seguintes.
matemática 7 o comprimento da diagonal AC do quadrilátero ABCD, de lados paralelos aos eios coordenados, é: a). b) 4. c) 8. d) 4 5. e)6. Das associações entre funções e gráficos, eibidas a seguir, a única inteiramente correta é: a) f G ; f G 4. b) f 4 G ; f G c) f G 4 ; f 4 G d) f G ; f G. e) f G ; f G 4. alternativa A A função f () = é crescente e seu gráfico passa pelo ponto (0; ), o que é representado por G, e f () = log é uma função decrescente, cujo gráfico passa pelo ponto (; 0), representada, portanto, porg A função f () = ( + )( ) é representada por uma parábola de concavidade para baio e raízes e. Assim, seu gráfico é representado por G 4. Por fim, f 4 () = sen(), e para = π tem valor 4 sen π π = sen =. Logo o gráfico que representa f() 4 é G. 4 A única alternativa que mostra duas associações corretas é A. alternativa D As coordenadas do ponto A ( A; A) são determinadas pelas intersecções dos gráficos = log e =, respectivamente, com o eio das abscissas e das ordenadas, ou seja: 0 = loga A = 0 A = A = O ponto C ( C; C) possui a mesma abscissa do ponto B e a mesma ordenada do ponto D, isto é: = logc C = 9 C = C = 6 Assim a diagonal AC tem comprimento igual a (9 ) + (6 ) = 4 5. Questão Imagine uma parede vertical com uma janela retangular, de lados a e b, conforme a figura, onde a é paralelo ao piso plano e horizontal. Suponhamos que a luz solar incida perpendicularmente ao lado a, com inclinação de 60 o em relação à parede. Questão Com base na figura, =. D C Se A e A representam, respectivamente, as áreas da janela e de sua imagem projetada no piso, a razão A vale: A a). b). A = log B c). d) e).
matemática 8 alternativa D Sejam m e a as medidas dos lados da imagem projetada no piso, conforme a figura. Como os retângulos de áreas a e 8 têm mesma altura, a 8 =. Analogamente, para os retângulos 9 de áreas 9 e a, a =. Logo a 9 = 8 a a = 7 a = 6. Questão 5 Supondo que os raios solares incidem perpendicularmente ao lado a e são paralelos, m e b são catetos o b de um triângulo retângulo e, assim, tg 0 = m m = b Logo a razão A a b = =. A a b Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente: Questão 4 A figura representa um retângulo subdividido em 4 outros retângulos com as respectivas áreas. a 8 9 a O valor de a é: a) 4. b) 6. c) 8. d) 0. e). alternativa B Seja a medida do lado comum aos retângulos de áreas a e9e, a do lado comum aos retângulos de áreas 8 e a, conforme a figura: a) 8 e 8. c) 6 e 8. e) 6 e 6. b) 8 e 6. d) 8 e 4. alternativa B O poliedro destacado tem o número de faces triangulares igual ao número de vértices do cubo, ou seja, 8; e o número de faces quadradas igual ao número de faces do cubo, isto é, 6. a 8 9 a