Matemática E Etensivo V. 8 Eercícios ) 5 Sejam r, r e r 3 as raizes da equação 3 + 3 7 =. Logo r + r + r 3 = b a = ( ) = 5 ) Sejam r, r, r 3 e r as raizes da equação 3 5 3 + 8 = Logo r. r. r = c a = 3 = 3) soma = zero; produto = 5 As raizes da equação são r, r, r 3, r e r 5. Logo r + r + r 3 + r + r 5 = b = a 5 = r. r. r. r 5 = f = a 5 ) 6 5) D Temos r, r, r 3 as raizes da equação. r 3 V = r. r r r V = d ( 6) = = 6 m 3 a Sejam a, b, c raizes da equação e que estão em uma P.A (a, b, c) (b r, b, b + r). b r + b, + b + r = 3 3b = 3 b = Como, uma das raizes é, então: 3 3. + k = 3 + k = 3 + k = k = 3 6) C Temos que 5, a e b são raizes de 3 6 + 3 = Logo 5 + a + b = ( 6) = 6 a + b = 6 5 a + b = 7) C 8) A Log m + Log p + Log q = Log (m. p. q) =? Como m, p e q são raizes de 3 7 + 8 =, Logo m. p. q = d a = ( 8) = 8 Logo log 8 = y y = 8 y = 3 + y+ z = 7 Temos: y + z + yz =. y. z = 8 Temos: b = 7 b = 7a b = 7a a c = c = a a d = 8 d = 8a d = 8a a a 3 + b + c + d = a 3 + ( 7a) + + ( 9a) = 3 7 + 8 = 9) {,, } Temos que as raizes a, b, c estão em uma P.A., ou seja, (a, b, c) (b r, b, b + r), onde r é a razão da P.A. Sabemos que a + b + c = e a. b. c = 9 b r + b + b + r = 3b = b = (b r). b. (b + r) = 9 (b br). (b + r) = 9 b 3 + b r b r br = 9 b 3 br = 9 3 r = 9 r = 8 Logo (a, b, c) ( 8,, + 8) (,, ) Matemática E
) As raizes da equação a, b, c, formam uma P.F (a, b, c) ( b, b, b. q). q Sabemos que a + b + c = 7 e a. b. c = 8. b q. b. b. q = 8 b q + b + bq = 7 b 3 = 8 + + q = 7 q b = + q+ q q = 7 + q + q = 7q q = q 5q + = q = ) C Observe que, se q = então (,, ) e se que = então (,, ). Logo as raizes a, b, c são {,, } Sabemos que a. b + a. c + b. c = k. +. +. = k + + 8 = k k = Sabemos que P() = 3 + a + b + c e Q() = P() + P( ) Q() = P() + P( ) = = ( 3 + a. + b. + c) + (( ) 3 + a ( ) + b. ( ) + c) = 8 + a + b + c 8 + a b + c = = 8a + c = (I) Q() = P() + P( ) = = ( 3 + a. + b. + c) + (( ) 3 + a ( ) + b. ( ) + c) = + a + b + c + a b + c = = a + a = (II) De I e II, temos 8a+ c= a= c= a+ c= 3 3 ) C Logo, se r, r e r 3 são raizes de P(), então: r. r = c a = 3 Temos que a soma das raizes de P() é ( a 5 ) e a a soma de q() é ( 3). Como as raizes são as mesmas, logo ( a 5 ) = ( 3) a + 5 = 3 a + 3 = 3a a a a = 6 Da mesma forma, o produto das raizes de P() é a e de Q() é b. Logo a = b a = b 6 = b b = 3 Temos assim a + b = 6 + 3 = 9 3) a) q = b), 3i e + 3i Sejam a, b, e c raizes da equação e elas estão em P.A (a, b, c) (b r, b + b + r). Temos que b r + b + b + r = 3 3b = 3 b = a) 3 3 + q = 3 3 +. q = 3 + q = q = b) Rebaiando a equação: 3 Q() = +, cujas raizes são + i e i, pela fórmula de Bráskana. Logo as raizes da equação são: {, + i, i} ) 78 3 3 + c = (3 + i) 3 3. (3 + i) + c = 9 + 6i 69 6i + c = 78 + c = c = 78 5) 7 Nesta questão de somatória, temos que as proposições corretas são 6 e. 6) 5, i, + i Esta questão fica impossibilitada de resolução, pois a equação é do segundo grau, possuindo, no máimo, duas raizes. Matemática E
7) V F V V F. Verdadeiro. Pelo Teorema das raizes nacionais. Falso. Temos que S = 8 = e P = 9 9 Logo P + 95 = 9 + 9. ( ) = 9 8. Verdadeiro. S = e P = 9, logo 9p + s = 9. + = = 8 = 8. p Verdadeiro. S =, que é um número inteiro. Falso. P =, que não é um número inteiro. 9 8) D Sabemos que, se r, r, r 3 e r são raizes de 7 3 + 8 =, então: r. r. r = = Como i i é raiz da equação, então + i também é raiz da equação (teorema das raiízes compleas). Logo ( + i). ( i). r = ( + i). r =. r = r = 9) 3 ) C Nesta questão de somatória, temos que as proposições corretas são,,, 8 e 6. Sabemos que a + b + c = 5 (I) e a. b. c = 8 (II) Como a = bc, logo bc = a. Em (II): a. a = 8 a = 6 a = Temos também, em (I): + b + c = 5 b + c = Como queremos a b + a c, então ac + ab ab ( + c) a.. = = = = = bc bc a ) Falso. Pois log. Temos que log + + a b c = log bc + ac + ab, mas abc.. bc + ac + ab = 5 abc= ( 5) Relações de Girard.. Temos log 5 5 = log. ) Verdadeiro. 3) B + c = α + β = α. β = c b + = (α + ) + (β + ) = b β + = b (α + ). (β + ) = α. β + α + β + = α. β + + = α. β = Temos assim que, b = b = 3 e c =. Logo b + c = 3 + = 3. Temos que p + q + r = e pq + pr + qr = Logo (p + q + r). (p + q + r) = = p + pq + pr + qp + q + qr + rr + rq + r = = p + q + r +. (pq + pr + qr). Temos assim: (p + q + r) = p + q + r +. ( pq + pr + qr ) = p + q + r +. = p + q + r = ) a) A = 3, B = 7 e C = 9 b) d = cm Temos a, b e c as raizes da equação. Matemática E 3
5) A Tiramos dos dados do enunciado: a. b. c = 9 (ab + ac + bc) = 7 (a + b + c) = 6 a) Sabemos que a b + c = ( A) = A. Logo A = 3 ab + ac + bc = B = B. Logo B = 7 a. b. c = ( c) = c. Logo C = 9 b) A diagonal de um paralelo é medida por D = a + b + c Temos que (a + b + c) = 3 a + b + c +. 7 = 69 a + b + c = 69 7 a + b + c = 6 6 D = D = 6 cm Vamos obter uma das raizes de P(): 75 + 5 =. ( 3 75 + 5) = Temos que uma das raizes de P() é r =. De 3 75 + 5 =, pelas relações de Girara, temos: r + r 3 + r = r + r. r + r 3. r = 75 r. r = 5 Como sabemos qu possuimos uma raiz dupla, então r = r 3. Logo: r + r = r +. r. r = 75 r + r = 5 Resolvendo o sistema: r = r = 5 (raiz dupla) 6) D Como m, N, p são raizes da equação, temos: 3 m m + m = 3 N N + N = 3 p p + p = Somando estas equações temos: (m 3 + n 3 + p 3 ) (m + n + p ) + (m + n + p) 6 = (I) Das relações de Girara é feito em eercícios anteriores: (m + n + p) = m + n + p +. (mp + Np + mn) onde m + N + p = e mp + Np + mn = (Giraro) Logo = m + n + p +. m + N + p = (II) Substituindo (II) em (I) temos: m 3 + n 3 + p 3 ( ) + 6 = m 3 + n 3 + p 3 = 7) V V V F Verdadeiro. P() = 5. + = Verdadeiro. P() = 5. + = Verdadeiro. Como P(). () <, logo admite número ímpar de raizes no intervalo (, ). Falsa. Devido a alternativa de cima ser verdadeira. 8) Verdadeiro. Pois P(). P() <. P() = 3. + 3. = 8 + 6 = 5 P() = 3. + 3. = 6 76 + = 9 Logo P(). P() <. Possuindo uma quantidade ímpar de raizes. 9) a) p( ) =, p() =, p() = e p() = 3 b) Três raizes reais e nenhuma raiz imaginária. a) p( ) = ( ) 3 3. ( ) + = 8 + 6 + = p() = 3 3. + = p() = 3 3. + = p() = 3 3. + = 8 6 + = 3 Veja o gráfico a seguir: p() (,) (, 3) Logo as raizes (r, r, r 3, r ) são (, 5, 5 ). Temos apenas uma de suas raizes negativas. (, ) (, ) Matemática E
b) Observe, através do gráfico, que a função possui três raizes reais (intersecção com o eio ). Como o polinômio é de grau 3, logo não possui raiz além destas três, sendo assim, não possuindo raizes compleas. 3) k < Observe que P() = k. 3. + 5. + = P() = k. 3. + 5. + = k + Como deve admitir quantidade ímpar de raizes, P() e P() devem possuir sinais opostos; Como P() >, logo P() < k + < k < 3) 5 < m < 3 P( ) =. ( ) 3 + ( ) + m P( ) = + + m = 3 + m P() =. 3 + +. + m P() = + + + m = 5 + m Para que P() admite um número ímpar de raizes, P( ) e P() devem ter sinais opostos. Logo: 3) A 35) E positiva) P() =.. 3 + 5 = 5 P( ) =. ( ). ( ) 3 + ( ) 5 P( ) = 8 + 5 = Como P(). P( ) <, temos que nesse intervalo possuímos uma quantidade ímpar de raizes. Essa questão requer raciocínio lógico e visual. Observe que f() = m ou f() m =. Para que f() m = possua 3 raizes, o gráfico precisa deslocam-se m casas para cima, ou seja, o gráfico precisa interceptar o eio em três pontos. Isso acontece se o gráfico se deslocar até o ponto (, ). Após isso o gráfico volta a interceptar somente em dois pontos. Logo < m <. Observando o gráfico, temos que a função intercepta o eio em cinco pontos. Logo ela possui, no mínimo, 5 raizes reais. Portanto a função possui grau maior ou igual a 5. 3 + m > e 5 + m < m > 3 e m < 5 m 5 3 Absurdo. 3 + m < e 5 + m > m < 3 e m > 5 m 36) a = e p = Temos, através dos pontos dados, que p = e a =, pois as raizes são P(de duplicidade ) e. Pelas relações de Giraro, temos: p + p + = a p. p + p. +. p = a 5 m 3 Logo 5 < m < 3 3) zero, duas, quatro ou seis. P( ) = ( ) 6 6. ( ) 3 = + 6 3 = P() = 6 6. 3 = 6 3 = 9 Como P( ). P() >, logo, nesse intervalo, possuímos uma quantidade par de raizes. Podemos ter então,, ou 6 raizes. 33) Como P(). P( ) <, pelo teorema de Bolzano o número de raízes dentro do intervalo (, ) é ímpar Como gostaríamos de mostrar que 3 + 5 = admite uma raiz positiva menor que, basta verificar quantas raizes há no intervalo [, ] (zero pois a raiz é p = a p = a Logo p = p p + p = p = ou p = Como P, logo p = Se p =, = a a = a 37) a) y 6 6 b) Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila. Matemática E 5
c) Pelo gráfico podemos observar que é raiz de multiplicidade, ou ainda, f() = = = S = {} d) f() é uma função par, pois f() = f( ) e seu gráfico é simétrico ao eio y. 38) Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila. 39) Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila. ) Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila. ) F V F V V Falso. Pois o gráfico intercepta o eio em 7 pontos. Verdadeiro. Pela justificativa acima. Falso. Pois P() = possui {,,,,, 3, } como raizes reais Verdadeiro. Pois. ( + ). ( ) = ( ). ( + ). ( ) e como,, são raizes de p() então P() é divisível por. ( + ). ( ) Falso. Por causa do do quadrado no primeiro fator do divisor. ) a) 3 b) { R / < < ou > 3} a) B = 3 3. + 3 = 8 + 3 = 3 B = 3 b) Podemos observar que é raiz do polinômio, pois P() = 3 3. + 3 = Rebaiando o polinômio, temos: 3 3 Q() = 3 Onde as raizes de Q() são e 3. Logo: 3 3 3) E Observe que f() = P(). Q(). Se fizemos f(6) temos f(6) = P(6). Q(6), onde P(6) > e Q(6) <, ou seja, multiplicação de valores opostos raizes em quantidade ímpar (descartamos assim as alternativas a, b e c). Notamos também que f(6) é um valor negativo, pois P(6). Q(6) é negativo. Logo, conseguimos destacar a letra d, pois f() para qualquer. ) a) S = { 9, 3}. 5) E b) f() para R / 9 a) Podemos observar que 3 é raiz da função, pelo gráfico apresentado. Rebaiando a equação: 3 3 3 36 7 8 3 7 =, onde as raizes são = 3 e = 9. Logo, as raizes de 3 3 36 + 8 = são: S = {3, 3, 9 } ou {3, 9 } a) Observando o gráfico, temos que f() quando 9. Temos que a função é P() = a 3 b c + d. Com os dados informados temos: a+ b c+ d= a+ b+ c+ d= 7a+ 9b 3c+ d= e ainda, P() =, logo a. + b. + c. + d =, d = 3 a+ b c = a+ b+ c = 7a+ 9b+ 3c = Resolvendo o sistema (por Cramer escalonamento) temos: a = 3, b =, c = 3 Logo P() = 3 3 3 +. 8 Observe que 3 3 + 3 > no intervalo ], [ e ]3, [. Logo { R / < < ou > 3} Temos assim, P(5) = 3. 5. 5 3. 5 + = 3 6 Matemática E
6) C Temos P() = a 3 b c + d. Com os dados informados temos: a+ b c+ d= a+ b+ c+ d= 8a+ b+ c+ d= a+ b c = a+ b+ c = 8a+ b+ c = Temos ainda que P() =. Logo a. + b. + c. + d =, d = Resolvendo o sistema por Cramer ou escalonamento, obtemos: a =, b =, c = Logo P() = 3 +. Pelo Teorema do resto: P( ) = ( ) 3. ( ) ( ) + P( ) = 8 8 + + = 7) 8 Temos como afirmações verdadeiras, as alternativas e 6, totalizando a soma em 8. 8) C Para que P(). Q() <, temos: P() < e Q() > ou P() > e Q() < 8 P() + + + + + + P() + + + + + + + + Logo < < Q() Q() 8 Logo < Temos assim < ou < < 9) D Observe que o gráfico intercepta o eio em três pontos. Logo o grau de f() deve ser maior ou ideal a 3, destacando assim alternativas a, b e c. Observe também o descante da alternativa e, pois. ( ) =, = (multiplicidade ) e = ; O que diverge do gráfico, pois nenhuma raiz é de multiplicidade. 5) a) {,, } b) {3,, 5} a) Segundo o gráfico, as raízes de P são {,, } b) Substituir por 3 é trasladar o gráfico 3 unidades para a oincita, pois a = 3 <. Logo: A raiz iria somar 3 unidades = 5. A raiz iria somar 3 unidades = 3. A raiz iria somar 3 unidades =. Logo as raizes f( 3) são {, 3, 5} Matemática E 7
5) D Para que P() <, temos f() > e g() < ou f() < e g() >. f() > e g() < f() < e Q() > / + + + + + + + + + f() / f() g() + + + + + + + + + g() Logo > Logo < < Temos < < ou > 5) 53) D Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila. I. Verdadeira. II. Falsa. III. Verdadeira. IV. Verdadeira. 5) a) q () = a. ( + ). ( 3) e q () = a. ( ). ( ). Logo, q() = a. a. ( + ). ( 3). ( ). ( 3). Como q() < para < e >, um possível gráfico para a função será: b) h() = a. a.. ( + ). ( 3). ( ). ( 3) Dividindo h() por ( + ) temos o quociente a. ( ). ( 3). ( ) e suas raizes são,, 3,,. 55) A 56) C 57) A Basta analisar os gráficos. Pelo Teorema do resto, temos: P( ) =. ( ) 9 + 7. ( ) 8 +. ( ) 3 + 3 P( ) = + 7 + 3 = Pelo Teorema do resto, temos: P() = 5. 6 + b. 5 + = 5 + b + = b = 6 58) C 59) E 3 3 + + + + + / 3 + + 3 + / + + + O outro divisor é, ou seja, ( + ). ( ). Não possui esta alternativa. + + dividido por +. 3 + + + + + 3 + + + 5 / 3 + + + 3 + 6) a) a = b) V = {,, } 6) D / 5 + 5 + 5 8 A B ( + )( + ) = + + + 8 Matemática E
A( ) B ( ) ( + )( + ) = + + + + + = A + A + B + B (A + B) + (B + A) = A+ B= A = A+ B= 3 6) B 63) D 6) A 65) C 66) A Logo A + B = 3 3 = 3 B = 3 Se gn(p) = m e gn(q) = N, então gn(p. Q) = m + n Assim, N + + 3N = 7N + f() = g(). P() + n() f() = ( ). ( + ) + (k 9) f() = 3 + + k 9 f() = 3 + + (k ) Pelo Teorema do resto, temos: f() =. 3 + + (k ). = 6 + + k = k + 6 = k = 6 k = 3 Do enunciado temos: P() = ( ). q() + e P() = ( 3). q'() + Do Teorema do resto, queremos saber o valor de q(3). P(3) =. q(3) + e P(3) = (3 3). q'(3) + =. q(3) + P(3) =. q(3) = 5 Pelas ralações de Girard: r + r + r 3 = b a = ( 6) = 6 r + r + r 3 = d a = 3 = 3 3 5 8 + 5 = ( ). ( + 3). ( k) 3 5 8 + 5 = ( + 6 3). ( k) 3 5 8 + 5 = 3 k + 6 6k + k 3 + 3k 3 5 8 + 5 = 3 + (5 k) + ( 5k 3) + + 3k Temos 3k = 5 k = 5 67) B 68) B Rebaiando a equação: 3 5 8 Temos assim 5 +. Sejam a, b, c as raizes as raizes da equação 3 + 8 =. Sabemos que a, b e c formam uma P.A, ou ainda, (b r, b, b + r). Pelas relações de Girano, temos: b r + b + b + r = (b r). b, (b + r) = 8 3b = ( r)., ( + r) = 8 b = r = ± Logo as raizes são (,, 6). 69) 57 Temos que as proposições corretas são, 8, 6 e 3, totalizando 57. 7) a) S = {,, 8} b) k = 56 7) C a) Sejam a, b, c raizes da equação. Como estão em P.G, temos ( b, b, b. q). Pelas relações de q Girard temos: b q. b. b. q = 6 + b + b. q = q b 3 = 6 + + q = q b = q' = q" = Logo as raizes são (,, 8). b) Como, e 8 são raizes da equação 3 + k 6 =, temos: 3. + k. 6 = 8 56 + k 6 = k = 56 Temos A( ) = B( ) + 3. ( ) + ( ) + A( ) = B( ) 3 + + = B( ) B( ) = Matemática E 9
7) A 73) B 7) C A(3) = B(3) + 3. 3 3 +. 3 + 3 + A(3) = + 8 + 8 + 3 + A(3) = 3 Logo 3 = Podemos observar que é raiz da equação e que é raiz de multiplicidade dois da equação. 5 = 8 5 8 = 5 = 8 e. ( 3 8) = = = = Rebaiando três vezes a equação, temos: 8 Logo temos + + =, onde as raizes são + 3 e 3 Temos assim + 3 + ( ) 3 = + ( ) =. Rebaiando duas vezes a equação: 7 3 8 3 3 Logo temos + =, cujas raizes são ' = e " = Temos + = =,5 Rebaiando a equação duas vezes: a b +a +a+b 6+a Temos que 6 + a = a = 6 Temos também + a + b = b = a b 3 = 36 6 = 8 75) D 76) D 77) A 78) A 79) C Rebaiando a equação: 3 5 6 Logo temos + =, cuja raizes são ' = + 3 e " = 3 Logo a + b = + 3 + ( ) 3 = ( ) + ( ) =. 3 6 9 3+ 7 + + 3 6 3 3 3 5 3 / 3 + 7 3 + + + / + 7 + + 5+ 5 / + Logo q() = 3 5, cujas raizes são ' = 5 e " =. 3 Temos também r () = +, cuja raiz é = 3. Logo 5. ( ). ( 3) = +5 3 P() = 3 + a + b Pelo Teorema do resto, temos: P() = 3 + a. + b. = P() = a + b = 6 P() = 3 + a. + b. = P() = + a + b = P() = a + b = 3 Montando um sistema temos: a+ b= 6 a 6 = a+ b= 3 b = 9 Temos + 6 =. Pelo método de substituição de variável, temos: y + 6 = y = 6 y = ± i Matemática E
Temos então ' = i e " = i, onde ' = i "' = i " = i "" = i 8) E P() = q(). ( ). ( + ) + (A + B) Pelo Teorema do resto: P() = q().. 3 + A + B = A + B = P( ) = q( ). ( 3). + ( A) + B = 3 A + B = 3 A+ B= Montando um sistema, temos: A+ B= 3 Logo o resto é 8 7. A = 8 B = 7 8) quociente: Q() = 98 + 96 +... + + 99 98 + + +... + + + 98 98 96 + + +... + + Temos q() = 98 + 96 +... + + R() = + 8) a) 3 cm b) 5 cm 98 97 96 / / + + +... + + + 98 96 96 3 / / +... + + + + + 3 + + + + + / / + + + + 6 3 3 6 a). [(3 ). + (6 ). ] = 3 + 6 = + 6 = + 3 5 =, Onde as raizes são ' = 7 e " = 3. b) (3 ). (6 ). = 6 3 9 + 8 = 6 3 3 + 5 = Cujas raizes são = 5, = + 5 e = 5. Observe que = 7 Logo = 3. não pode ser, pois senão 6 seria negativo. Temos assim que = 5. Matemática E
83) D No gráfico, temos o pontos (, ), (, ), (, ) e (, 8). Logo: 6a+ 6b c+ d= Como temos (, ), 8a+ b+ c+ d= Logo d =. 8a+ b c+ d= 8 8) D Essa questão pode-se resolver por eliminação, pois é fácil observar que as afirmações a), b) e c) são verdadeiras. 6a+ 6b c = 8a+ 6b+ c = 8a+ b c = Resolvendo o sistema pela regra de Cramer ou por escalonamento, temos: a =, b =, c = 3 Matemática E