Utilização das Equações de London paa a Modelagem de upecondutoes Guilheme Gonçalves otelo, Raphael ata Kasal, Antonio Calos Feeia Univesidade Fedeal do Rio de Janeio COPPE/Pogama de Engenhaia Elética - Cidade Univesitáia, Rio de Janeio Rubens de Andade J. Univesidade Fedeal do Rio de Janeio Escola Politécnica/DEE - Cidade Univesitáia, Rio de Janeio Resumo Esse atigo apesenta a modelagem de supecondutoes no estado Meissne, utilizando o modelo fenomenológico de London fomulado em temos do potencial veto magnético. Os cálculos foam ealizados atavés do Método de Elementos Finitos, paa váias geometias. Paa algumas geometias mais simples estes esultados foam compaados com soluções analíticas, apesentando boa concodância. A pati do potencial veto foam calculados o campo magnético e as coentes de blindagem na camada supeficial do supeconduto. Palavas-chaves Modelo de London, upecondutividade, Método de Elementos Finitos. I. INTRODUÇÃO A tansição paa um estado de esistividade nula e diamagnetismo pefeito, abaixo de uma deteminada tempeatua e campo magnético cíticos, caacteizam eletomagneticamente os supecondutoes. Este estado de exclusão do fluxo magnético do inteio dos supecondutoes é chamado de estado Meissne. O sugimento de coentes pesistentes abaixo da tempeatua de tansição (T c ), mesmo na pesença de campos magnéticos constantes, em uma camada da supefície do supeconduto blinda o inteio do supeconduto do campo magnético exteno. Os supecondutoes são classificados em tipo I e tipo II. No supeconduto do tipo I esta coente de blindagem aumenta de intensidade com o aumento do campo até que atinja o campo cítico (B c ) e o supeconduto volte ao estado nomal. Em supecondutoes do tipo II esta coente aumenta de intensidade até um deteminado campo (B c ) a pati do qual o fluxo magnético peneta no supeconduto na foma de linhas de fluxo quantizadas, estado misto, que se odenam e inteagem com a estutua cistalina do mateial até um deteminado campo cítico (B c ) no qual o supeconduto volta ao seu estado nomal. O modelo de London é uma foma simples de substitui a lei de Ohm, que é uma equação constitutiva paa condutoes, po uma elação ente as coentes de blindagem e o potencial vetoial magnético. O modelo de London foi o pimeio modelo eletomagnético desenvolvido paa os supecondutoes, poém modelos mais complexos se eduzem Guilheme Gonçalves otelo sotelo@coe.ufj.b 55--56-8633, Raphael ata Kasal aphael_kasal@yahoo.com, Antonio Calos Feeia 55-- 56-867, feeia@ufj.b, Rubens de Andade J. andade@dee.ufj.b 55- -56888, Fax +55--5687 Este tabalho foi pacialmente financiado pelo CNPq. Poj. Flywheel poc. nº 47/-3. a ele no caso de supecondutoes do tipo II no estado Meissne e alguns supecondutoes do tipo I. No caso de supecondutoes do tipo II no estado misto as elações envolvendo as coentes de blindagem são não lineaes e o tatamento mais simples é feito atavés do modelo de estado cítico. Contudo, o modelo de London fonece um limitante supeio paa a exclusão de fluxo magnético e conseqüente o diamagnetismo destes mateiais. Como o diamagnetismo é o esponsável pela levitação magnética de supecondutoes na pesença de campos magnéticos inomogêneos, estes esultados seão utilizados no futuo paa o calculo da foça máxima de levitação magnética em mancais magnéticos supecondutoes. O objetivo deste tabalho é analisa o compotamento de supecondutoes no estado Meissne, na pesença de um campo magnético homogêneo. Paa a ealização dessa taefa deivou-se uma equação difeencial de segunda odem paa o potencial vetoial magnético, a pati das equações de London. Esta equação difeencial, que é um caso paticula da equação de Helmholtz, foi esolvida paa difeentes geometias utilizando o Método de Elementos Finitos (MEF). Os esultados paa geometias mais simples foam compaados com soluções analíticas desta equação, mostando uma ótima concodância. A pati da solução paa o potencial vetoial magnético pode-se obte o campo magnético que peneta na camada supeficial do supeconduto e as coentes de blindagem. II. MODELAGEM DO UPERCONDUTOR A. Modelo de London O modelo de London, paa campos que vaiam lentamente no tempo, pode se esumido nas equações de London []: J = B () L J = E () t L onde Js é a densidade de coente no supeconduto, é a pemeabilidade magnética no vácuo, L é a pofundidade de penetação de London, B é a indução magnética e E o campo elético. Consideando-se que o campo magnético pode se obtido do potencial vetoial po B = A, a pimeia equação de London () pode se eescita como:
J = L A ou seja, uma elação ente a supecoente e o potencial vetoial A. Deivando-se a equação (3) no tempo e substituindo E = da dt, obtém-se também (). Consideando-se a lei de Ampèe paa campos vaiando lentamente no tempo ( H = J ), ou seja com uma coente de deslocamento despezível, pode-se eesceve a equação (3) como: B = A = A (4) L Utilizando agoa a identidade vetoial A = ( A) A no calibe de Coulomb ( A = ), chega-se a seguinte equação difeencial: A = A (5) Essa equação desceve de foma geal o fenômeno da supecondutividade nos supecondutoes no estado Meissne. ua aplicação não se estinge apenas a modelagem de supecondutoes do tipo-i, mas pode se também utilizada em supecondutoes do tipo II em campos infeioes a B C. B. Modelagem po MEF Paa efetua a modelagem do supeconduto confome a poposição feita na seção anteio, deve-se calcula a solução de (5). Essa fomulação pode se escita como um caso especial da equação vetoial inhomogênea de Helmholtz []. Comumente a equação de Helmholtz é encontada nos módulos eletomagnéticos paa a análise hamônica de pogamas comeciais de MEF [3], sendo apesentada da seguinte foma: j A + A M v A = J (6) ωσ L ( ) σ ( ) a onde ω é a feqüência angula, σ é a condutividade, Μ é a magnetização, v é a velocidade e J a é a densidade de coente elética aplicada. A equação (6) eduz-se à equação (5) consideando-se J a =, v=, M= e jωσ=/. Como no caso das simulações em questão existem 3 domínios difeentes (o supeconduto, o vácuo e a bobina), é necessáio ajusta o valo das constantes da equação (6) paa cada um desses domínios. Isso deve se feito de foma que se tenha a modelagem coeta. Então, é peciso anula os temos de (6) que não existem na modelagem de um dado domínio e ajusta o valo dos demais temos nesse domínio. Po exemplo, no inteio do supeconduto L deve te um valo conhecido, enquanto que na egião extena ao supeconduto deve apesenta um valo infinito. Pocedendo dessa foma o pogama esolveá a equação (5) paa o inteio do (3) supeconduto, a equação de Laplace paa a egião do vácuo e a equação de Poisson paa o domínio da bobina. III. CAO ETUDADO A. Placa Infinita upecondutoa O pimeio caso analisado é uma situação clássica de uma placa supecondutoa infinita, bastante discutida na liteatua didática [4] (Fig.). Um campo magnético homogêneo poduzido po uma fonte extena é aplicado paalelamente às supefícies da placa, cuja espessua é a. Considea-se na análise que o meio exteno é o vácuo e que o mateial supeconduto é isotópico. Desta foma, as supecoentes só podem flui na dieção z. As coentes aplicadas à bobina pecoem os planos infinitos, paalelos à dieção z e são sepaados pela distância D. A extensão de D é muito supeio a de a, paa que os efeitos de boda possam se despezados. A densidade de coente aplicada na bobina deve possui um deteminado valo paa que a indução magnética na egião extena à placa seja igual a B a. Aplicando a equação (5) ao caso estudado, obtemos a seguinte equação difeencial: Az ( x) = A ( x) z (7) x L A solução pode se obtida abitando-se, inicialmente, valoes paa o potencial veto nas fonteias ente o supeconduto e o meio exteno. Em seguida, deve-se iguala a expessão da densidade de fluxo a B a que, po hipótese, é conhecida. Assim, paa o inteio da placa (-a x a) podese chega a seguinte expessão paa a densidade de fluxo: B( x) = B a a x sech cosh â L L tomando-se o otacional do potencial veto magnético. Na Fig. são apesentados os esultados paa a indução magnética, consideando-se: a=,5mm, L =3,mm e B a =,T. A pofundidade de penetação L depende fotemente da tempeatua [4], vaiando de um valo (da odem de m) em baixas tempeatuas até o infinito na Fig. : Placa infinita supecondutoa imesa num campo magnético homogêneo. y (8)
tempeatua cítica. Esse valo L foi escolhido paa que se pudesse visualiza as coentes de blindagem. Como pode se obsevado na Fig., os esultados calculados pelo MEF encontam-se em acodo com os obtidos pelo modelo analítico. A única divegência obsevada nesses esultados é a indução magnética na fonteia supeconduto-vácuo, que pode se justificada pela quantidade limitada do númeo de nós nessa egião. No limite que a quantidade de nós tende a um valo infinito, esses esultados na fonteia ião convegi. A Fig. 3 mosta os esultados de densidade de coente de blindagem (na dieção z) na supefície do supeconduto. Como ea espeado, essa coente elética (supecoente) flui no inteio do supeconduto de foma que tenda a anula o campo magnético no inteio desse mateial. B. Cilindo Infinito upeconduto O segundo caso estudado consiste em um cilindo infinito supeconduto, que também se enconta imeso em um campo magnético homogêneo paalelo à supefície e é poduzido po uma fonte extena. O cilindo possui diâmeto d=5,mm. Da mesma foma que paa o caso anteio, Indução magnética (T)..8.6.4. Analítico MEF Vácuo upeconduto Vácuo -.3 -. -....3 x(m) Fig. : Indução magnética B y (x) numa placa supecondutoa infinita imesa num campo homogêneo constante, obtida pelo MEF e pela expessão (9). consideamos que o meio exteno é o vácuo e que o mateial supeconduto é isotópico. A densidade de fluxo aplicada é constante e igual a B a. Essa situação é ilustada pela Fig. 4. Devido à simetia do poblema, é adequada a utilização de um sistema de coodenadas cilíndicas paa a solução da equação (5). Então, tem-se apenas a componente φ do potencial veto com dependência unicamente na coodena ρ. Neste caso a equação (5) eduz-se a: Aφ ( ρ) Aφ ( ρ) + Aφ ( ρ) = Aφ ( ρ )(9) ρ ρ ρ ρ L Paa uma solução coeta de (9) é necessáio estipula como condição de contono que a efeência do potencial veto magnético se enconta no cento da seção tansvesal do cilindo. Como a solução do poblema envolve funções BesselK, que vão paa o infinito quando a vaiável se anula, considea-se que essa efeência enconta-se num aio de,m do cento do cilindo. Com o auxílio de um pogama de manipulação simbólica, obtivemos a seguinte expessão paa o potencial veto magnético no inteio do supeconduto ( < ρ d/): ρ ρ A( ρ) = A BesselI, A BesselK âφ +, L () L onde as constantes A e A são extensas combinações lineaes de funções de Bessel modificadas de odens, e. A densidade de fluxo magnético é obtida tomando-se o otacional de (), com o auxílio do mesmo pogama. A expessão final envolve um gande númeo de temos de funções de Bessel (I e K) de odem, e. Paa a simulação do cilindo infinito pelo MEF, novamente a pofundidade de penetação de London seá de 3mm e a densidade de coente aplicada na bobina seá tal que a indução magnética na egião extena seja de,t. Os esultados obtidos pelo MEF foam compaados com as pevisões analíticas obtidas pelo otacional da expessão (), confome apesentado na Fig. 5. Novamente os esultados obtidos pelo MEF encontam-se em acodo com aqueles pevistos pelo modelo analítico. A justificativa paa a divegência dos esultados na fonteia supeconduto-vácuo Fig. 3: Resultados pelo MEF de densidade de coente de blindagem numa placa supecondutoa infinita (degadê), linhas de fluxo magnético e indução magnética B y (x) paa a situação da Fig.. Fig. 4: Cilindo infinito supeconduto imeso num campo magnético homogêneo constante.
.. Modelo analítico MEF Indução magnética (T).8.6.4 upeconduto Vácuo..5..5..5 x(m) Fig. 5: Indução magnética B z (ρ) num cilindo infinito supeconduto imeso num campo homogêneo constante.obtida pelo MEF e pelo otacional expessão (). Fig. 7: Resultados pelo MEF de densidade de coente de blindagem num cilindo supeconduto (degadê), linhas de fluxo magnético e indução magnética paa L =3,mm. Fig. 6: Resultados pelo MEF da densidade de coente de blindagem num cilindo infinito supeconduto (degadê), linhas de fluxo magnético e indução magnética B z (ρ) paa a situação da Fig. 5. é a mesma apesentada na seção anteio paa a placa infinita. A Fig. 6 mosta os esultados de densidade de coente de blindagem (na dieção azimutal) no inteio do cilindo supeconduto, onde obseva-se novamente o efeito da supecoente atenuando o campo magnético no inteio do cilindo. C. Cilindo Finito Uma gande vantagem de métodos numéicos é a possibilidade de simula casos em que uma solução analítica tona-se extemamente tabalhosa, ou ainda inviável. Nessa situação enquadam-se as póximas geometias analisadas (cilindo finito e esfea), que utilizam a mesma fomulação pelo MEF que os casos estudados anteiomente. Na simulação do cilindo finito estuda-se um caso de inteesse pático. As Fig. 7 e 9 mostam os esultados da densidade de coente de blindagem, das linhas de fluxo magnético e da indução magnética (em foma de setas) paa o cilindo finito e dois valoes de L (3,mm e,3mm). As dimensões do Fig. 8: Resultados pelo MEF de densidade de coente de blindagem num cilindo supeconduto (degadê), linhas de fluxo magnético e indução magnética paa L =,3mm. cilindo supeconduto são: 5mm de diâmeto e mm de altua. É possível obseva a distoção do campo magnético exteno devido à popiedade diamagnética apesentada pelo supeconduto. Na situação da Fig. 7, em que L apesenta um valo típico paa tempeatuas da odem de T c, obseva-se uma gande penetação do campo no inteio do supeconduto, enquanto na Fig. 8 tem-se uma fina camada de coente de blindagem, esponsável po anula quase que completamente o campo no inteio do supeconduto. Os esultados da densidade de fluxo magnético, na egião cental desses cilindos (paa esses dois casos de L ), são apesentados na Fig. 9. Como ea espeado, na simulação onde L possuía um valo meno, obsevou-se um decaimento muito supeio do valo da indução magnética no inteio do supeconduto. Outa obsevação impotante é a concentação do fluxo magnético na egião extena ao supeconduto, cujo valo da densidade de fluxo nessa egião tona-se supeio a,t aplicado.
maioia das demais simulações. Pode-se obseva na Fig. e, uma compessão de fluxo magnético na egião equatoial da esfea, ainda mais acentuado que no caso do cilindo eto. Fig. 9: Densidade de fluxo magnético no inteio do cilindo finito paa dois valoes de L IV. CONCLUÕE Modelou-se o estado Meissne em supecondutoes utilizando-se uma equação difeencial de segunda odem paa o potencial vetoial magnético, deivada das equações de London. A solução desta equação utilizando o MEF foneceu o potencial vetoial dento e foa do supeconduto. A pati do potencial vetoial pode-se calcula o campo magnético que peneta na camada supeficial do supeconduto assim como as coentes de blindagem. O calculo analítico ealizado paa as geometias mais simples confimou a abodagem utilizada. Este pocedimento está sendo desenvolvido paa obte-se a foça de levitação máxima em um mancal magnético supeconduto. REFERÊNCIA [] Olando, T. P., Delin, K.A.: Foundations of Applied upeconductivity, Addison-Wesley Publishing Company, 99, UA. [] ilveste, P. P. and Feai, R. L.: Finite elements fo electical enginees, nd ed., Cambidge Univesity pess, 99, Cambidge, U.K. [3] ANY Refeence Manual, 3. [4] Rose-Innes, A. C., and Rhodeick, E. H.: Intoduction to upeconductivity, evised nd ed., Pegamo Pess, 978, Oxfod, U.K. Fig. : Resultados pelo MEF de densidade de coente de blindagem numa esfea supecondutoa (degadê), linhas de fluxo magnético e indução magnética paa L =3,mm. Fig. : Densidade de fluxo magnético no inteio da esfea supecondutoa paa L =3,mm, tomado na egião do equado. D. Esfea upecondutoa A última situação analisada nesse tabalho é o caso de uma esfea supecondutoa de aio igual a,5mm. Paa essa simulação utiliza-se também L =3,mm, como adotado na