Funções de Green Prof. Rodrigo M. S. de Oliveira UFPA / PPGEE
Funções de Green Suponha que queremos resolver a equação não-homogênea no intervalo a x b, onde f (x) é uma função conhecida. As condições satisfeitas por y são as mesmas satisfeitas pelas autofunções y n, relativas aos problemas de Sturm-Liouville quando considerada a equação Observar que Como visto anteriormente, é conveniente trabalhar com autofunções normalizadas. Dessa forma, podemos definir de forma que Como f n, ou seja, é um conjunto ortonormal, y(x) pode ser expressa em termos de 2
Funções de Green teríamos Substituindo esta equação na equação diferencial não-homogênea, temos Como então Multiplicando ambos os lados por e integrando (para usar ortogonalidade), temos
Funções de Green Dada a ortogonalidade das funções f, temos, portanto, apenas uma parcela para a soma, ou seja a qual pode ser reescrita da seguinte forma Portanto, a solução y(x) é dada por: Como a função f(x) é conhecida, podemos calcular y(x) usando a expressão acima. Porém, podemos introduzir agora uma função conceitualmente importante escrevendo a equação acima de uma forma um pouco diferente: como a integral e o somatório podem ser reposicionados, podemos escrever
Funções de Green que podemos escrever assim: Define-se então que é conhecida por função de Green. Significado da função de Green Para entendermos o significado da função de Green, vamos substituí-la na equação diferencial não-homogênea e verificar que, quando, temos A função, chamada função Delta de Dirac, é definida pela relação
então Funções de Green Realizando a substituição da função de Green na equação diferencial, temos Fazendo a expansão da função de Dirac, temos Então: Com: Notar que:
Funções de Green A função de Green pode ser entendida da seguinte forma: - Uma equação linear pode ser usada para representar um sistema físico. A função f(x) representa a força ou a fonte aplicada ao sistema (entrada do sistema). A solução y(x) representa a saída ou resposta do sistema a f(x). -A função de Green G(x,x) descreve a resposta do sistema físico à função delta de Dirac, que representa um impulso aplicado no ponto x (magnitude unitária). - Podemos representar a entrada f(x) pela soma de um conjunto de entradas. Matematicamente, temos - O valor de f(x ) é simplesmente a amplitude da função delta em x. Como G(x,x) é a resposta a um delta unitário, se a amplitude da função delta é f(x ) vezes maior, a resposta do sistema será f(x ) vezes amplificada, dada a linearidade da equação. Então a resposta será f(x )G(x,x). Como o sistema é linear, podemos somar as respostas obtidas em cada ponto. Assim, temos
Funções de Green Exemplo: (a) determine a expansão em autofunções da função de Green G(x,x) para o problema (b) Encontre também a solução y(x) da equação não-homogênea dada. Utilize a relação Solução: Inicialmente, vamos tratar do problema de autovalores de Sturm-Liouville relativo ao nosso caso. O problema é dado por que é um problema regular de Sturm-Liouville, pois A solução da equação é A condição de contorno requer que de forma que
Funções de Green Então os autovalores são E as autofunções são As autofunções normalizadas são dadas por: Portanto, a função de Green é dada por (b) A solução y(x) é dada por Então, temos
Funções de Green Como Temos: Exemplo: Resolva o problema dado no exemplo anterior usando a função de Green, sabendo que ela é a resposta do sistema a uma entrada dada pela função Delta de Dirac unitária. Solução: como a função de Green é resposta do sistema a uma função Delta de Dirac unitária, a mesma precisa ser limitada e contínua no intervalo de interesse. Para x x, considerando-se o presente problema, a função de Green satisfaz a equação
Funções de Green cuja solução é dada por Aqui, x é a variável independente e A(x ) e B(x ) são constantes arbitrárias, de forma que estas constantes não necessariamente assumem valores iguais para x < x e x > x. Então, podemos escrever Como em, e como x > 0, então, para o primeiro caso, temos Considerando o caso, de forma que Então:
Funções de Green Realizando as devidas substituições, para o caso em que temos portanto Dessa forma, temos duas constantes a serem determinadas, mesmo após a aplicação das condições de contorno. Para determinar b e c, lembramos da condição de continuidade G(x,x) em x = x. Então Então
Funções de Green Substituindo a função de Green na equação pequeno intervalo, temos, e integrando em um A integral do lado direito é unitária por definição. Na medida em que Esta integral é aproximadamente 2e vezes o valor de G(x,x) em x = x. Como G é limitada, a integral se anula quando. Para a outra integral, temos Logo:
Funções de Green Como, então ou Como Então e a função de Green é dada por
Funções de Green Cálculo de y Como Então
Funções de Green Notar que. Isto pode ser mostrado utilizando a série de Fourier. Fica o exercício!
Funções de Green Forma integral Sabe-se que a equação é relacionada a valores discretos de autovalores l. Em certos problemas, os autovalores de um dado problema são separados por um infinitésimo (caso contínuo). No limite, a soma dada acima se torna uma integral. Considere a equação de Helmholtz para o espaço aberto, sujeita às condições de contorno (radiação). O conjunto ortonormal completo de autofunções é obtido. a partir de Como temos um problema de radiação de ondas, usamos a solução de ondas propagantes, ou seja ( x ) ( x )
Funções de Green Forma integral Considerando que o sinal de interesse se propaga para na direção +x, temos em que representa a amplitude da referida onda. A função de Green associada pode ser representada pela integral de Fourier onde. A transformada do impulso é Então, o impulso pode ser escrito da seguinte forma
Funções de Green Forma integral Substituindo as equações e em temos Dessa forma, temos e Então: Isto é uma integral complexa com singularidade em b = b 0!
Revisão Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos 1. Considere que C é um contorno fechado e que é analítica em C e na região interna a C. Nestas condições, pode-se mostrar que que é conhecido como teorema de Cauchy. 2. Considere a situação ilustrada pelas figuras abaixo. Temos z 0 é um ponto de singularidade do integrando.
Revisão Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos z Em C 0, temos Então Como Temos Fazendo Então
Revisão Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos Portanto Integral de Cauchy. Diferenciação Exemplo: Então é fácil ver que
Revisão Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos Exemplo: calcule a integral em torno do círculo O ponto de singularidade z 0 = ½ está contido no círculo. Então Exemplo: repetir o problema acima para a integral O ponto de singularidade z 0 = 2 não está contido no círculo z = 1. Então, é imediato que
Revisão Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos Exemplo: calcule a integral em torno do círculo. O ponto de singularidade z 0 = 2 está contido no círculo. Então, usando a regra da diferenciação onde: e Logo Regra da diferenciação: Ilustração para os dois últimos exemplos.
Revisão Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos Série Geométrica Elementar Considere Multiplicando por z Subtraindo Isolando S: Quando e, então Para
Revisão Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos Série de Laurent Anel Considere o cálculo da integral fechada considerando o caminho estabelecido na Fig. (b). A idéia é criar uma série válida no anel indicado na Fig. (a). Assim: onde t está na linha C e z está na região interna a C. Deixe agora o gap entre C 2 e C 4 ir a zero. Então as integrais ao longo de C 2 e C 4 se cancelam, devido às orientações opostas. Nesta situação, C 1 se torna C 0 e C 3 é idêntico a C i (invertendo-se a orientação). Assim, com C 0 e C i possuindo a mesma orientação (daí o sinal de menos).
Revisão Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos Z 0 pode ser introduzido na primeira integral se fizermos onde ( veja a Figura (a) ): Podemos então expandir em termos da série geométrica elementar. Assim 2 3 4 Para t em C 0
Para a segunda integral, onde z está entre C 0 e C i, temos Como, podemos novamente usar a série elementar. Assim, temos Dessa forma, temos, onde
e Então, podemos ver como a soma das seguintes séries: com Uma forma alternativa da série (mais compacta) é onde
Revisão Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos Definição de resíduo Viu-se que Se integrarmos ambos os lados da equação acima em um contorno circular, temos Utilizando-se a forma polar dos números complexos, temos Realizando as seguintes substituições, verifica-se que: Então, por ser o único termo não nulo, é chamado resíduo de z 0.
Exemplo: Determinar o resíduo de relativo a. A função já está na forma da série de Laurent. Observe que com Dessa forma, Exemplo: Para,, determinar: e.
Exemplo: Neste caso, devemos observar o seguinte. Como então multiplicando ambos os lados por, temos Aproximando de, temos que o resíduo de é. Então e
Uso da derivada do denominador: Se p(z) e q(z) são funções analíticas, e q(z) tem um zero simples em z 0, e p(z 0 ) 0, então: tem um pólo simples em z = z 0. Como q(z) é analítico, pode ser expresso em termos da série de Taylor em torno de z 0. Dessa forma, Como q(z 0 ) = 0, temos Além disso, como f(z) tem um pólo simples em z 0, seu resíduo em z 0 é
Exemplo: Levando o denominador a zero, temos Cujas raízes são Então, temos
Integrais impróprias: fechando o contorno com um semi-círculo no infinito. Considere a integral imprópria Sob certas condições, tal integral pode ser calculada com o teorema dos resíduos. A idéia é fechar o contorno de integração utilizando linhas nas quais a integral é zero (ou um múltiplo da integral original ao longo do eixo real). Se f(x) é uma relação entre dois polinômios, sem singularidades no eixo real e então pode ser mostrado que a integral ao longo do eixo real (de - a + ) é igual a integral calculada no caminho, ilustrado na figura abaixo (de R a R e no contorno C R ). Observe que se fizermos então
Integrais impróprias: fechando o contorno com um semi-círculo no infinito. Isto ocorre porque no infinito). ou seja a função f não tem contribuição Segue-se que Obs: u.h.p = upper half plane. Quando R, todos os poloz de f(z) estarão contidos no semi-plano superior. (u.h.p). Então,. (soma dos resíduos de f(z) no u.h.p.). Podemos fechar o caminho usando o semi-plano inferior (l.h.f). Assim: Obs: l.h.p = lower half plane. (soma dos resíduos de f(z) no l.h.p.).
Exemplo: Calcule a integral Como Então podemos calcular a integral dada da seguinte forma: Como os pólos da função dada são +i contido no u.h.p. Dessa forma, e i, então nota-se que +i é o pólo que está Se fecharmos o caminho pelo l.h.p., temos (usando o pólo i ):
Exemplo: Mostrar que Os pontos singulares de são Apenas os pontos estão no u.h.p. Então Como então
Funções de Green Forma Fechada Método Geral de Solução Considere a equação diferencial que pode ser posta da seguinte forma: Sabe-se que e que a função de Green G é solução de. Em um ponto x x, sabe-se que d (x,x ) = 0. Assim, tem-se que:
Funções de Green Forma Fechada Método Geral de Solução Integrando-se a penúltima equação em relação a x em torno de x, temos ou seja, integrando-se a primeira parcela e aplicando a definição de d (x,x ), tem-se Dada a continuidade de q(x), r(x) e G(x,x ), verifica-se que a segunda parcela do lado esquerdo se anula. Então
Funções de Green Forma Fechada Método Geral de Solução Então, observa-se que a derivada de G é descontínua em x = x. Ou seja, Como em um ponto x x, sabe-se que d (x,x ) = 0. Assim, tem-se que: Considere que y 1 (x) é solução da equação homogênea acima e que ela satisfaz a condição de contorno em x = a. Considere que y 2 (x) é solução da equação acima e satisfaz a condição de contorno imposta em x = b. As soluções y 1 (x) e y 2 (x) são não triviais. Então e.
Funções de Green Forma Fechada Método Geral de Solução Como a função de Green deve ser contínua em x = x, temos: Descontinuidade da derivada em x Resolvendo o sistema acima, tem-se: onde Então (Wronskiano) Notar que y 1 e y 2 devem ser L.I.
Funções de Green em problemas 2D Considerar a equação de Poisson para o potencial elétrico V (0,b) (a,b) sujeita às condições de contorno (0,0) (V = 0 na borda da caixa), V = 0 (a,0) y x O objetivo aqui é calcular a função de Green G(x, y ; x,y ) associada ao problema e, posteriormente o potencial V. Então, neste caso, sabe-se que onde Obtida a função G(x, y ; x,y ), o potencial será dado por.
Forma fechada para G(x, y ; x,y ). Pode ser obtida a partir de funções que satisfazem as condições de contorno ao longo de x=0 e x=a, ou ao longo de y=0 e y=b. Considerando os contornos ao longo de x, podemos representar G em série de Fourier de forma a satisfazer as condições de contorno para x=0 e x=a. Dessa forma, Substituindo G na equação diferencial, temos. Multiplicando ambos os lados por e integrando em relação a x de 0 a a, temos Notar que
Forma fechada para G(x, y ; x,y ). Equação homogênea: Para a satisfazer a equação acima e as condições de contorno em y = 0 e em y = b, podemos fazer a escolha para para Então, o Wronskiano W = y 1 y 2 y 2 y 1 fica da seguinte forma:
Forma fechada para G(x, y ; x,y ). Como: então
Forma fechada para G(x, y ; x,y ). Como: então
Exemplo Há carga elétrica uniformemente distribuída ao longo de um fio condutor posicionado em r = r, f = f. O fio é envolvido por um cilindro condutor de raio a, o qual possui comprimento infinito e está aterrado (V = 0). Encontre a função de Green e a distribuição de potencial. Considere que entre o fio e o cilindro há vácuo. Parte-se da equação de Poisson (devido às cargas). Devido ao cilindro metálico aterrado, tem-se a seguinte condição de contorno: Como o fio e o cilindro têm comprimentos infinitos, V independe de z. Logo: de forma que a função de Green G deve satisfazer à excitação impulsiva, ou seja Vista superior
Exemplo Para se obter a função de Green em forma de série, o conjunto de autofunções {y m n(r, f)} pode ser obtido considerando-se o seguinte problema: com Notar que: Aplicando-se o método de separação de variáveis, tem-se que Realizando as substituições, tem-se e, dividindo-se a equação acima por fg, encontra-se
Exemplo Multiplicando-se a equação por r 2, chega-se a Dessa forma, vê-se que se então e temos as seguintes soluções gerais para f e g : Deve ser observado que B = 0, pois y = fg deve ser limitada r e que m = 0, 1, 2, 3... Temos, portanto, duas possibilidades de solução:
Exemplo Aplicando-se a condição de contorno em r = a, os autovalores l mn podem obtidos. Então, teríamos: Portanto, sendo os zeros da função de Bessel. # Tabela 9-2 (Balanis) #
Exemplo O conjunto de autofunções deve ser normalizado se obter V. Então ou Como e como Então...
Exemplo Então temos ou onde Dessa forma, o conjunto completo de autofunções pode ser escrito assim ou assim Considerando que Com então, encontra-se por substituição direta:
Exemplo com e Por fim