MAT146 - Cálculo I - Integração de Funções Trigonométricas Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira
Até o momento, somos capazes de resolver algumas integrais trigonométricas relativamente simples. As integrais sen xdx, cos xdx, sec xdx são exemplos de integrais imediatas. Já as integrais sen(x)dx, tg xdx, sen(x) cos(x)dx são exemplos de integrais que são resolvidas utilizando o método de substituição.
Nosso intuito agora é resolver integrais envolvendo produtos e potências de algumas funções trigonométricas. Para isso, necessitaremos das seguintes relações trigonométricas sen x + cos x = 1 cos x = 1 + cos(x) sen x = 1 cos(x) sen a sen b = 1 [cos(a b) cos(a + b)] cos a cos b = 1 [cos(a b) + cos(a + b)] sen a cos b = 1 [sen(a b) + sen(a + b)].
Primeiramente abordaremos integrais com produto de senos e cossenos com argumentos distintos. Neste caso, utilizaremos as três últimas identidades anteriores. Exemplo Calcule a seguinte integral sen(x) cos(3x)dx. Primeiramente, devemos transformar o produto em soma, utilizando as identidades acima. Utilizando as relações trigonométricas apresentadas acima, sen(x) cos(3x)dx = 1 (sen(x + 3x) + sen(x 3x)) = 1 (sen(5x) + sen( x)) = 1 (sen(5x) sen(x)).
Portanto sen(x) cos(3x)dx = 1 = 1 = ( sen 5xdx ( cos 5x 5 cos 5x 10 + cos x + cos x + C. ) sen xdx ) + C
Exemplo Calcule sen(3x) sen(5x)dx. Note que sen(3x) sen(5x)dx = 1 (cos(3x 5x) cos(3x + 5x)) = 1 (cos( x) cos(8x)) = 1 (cos(x) cos(8x)).
Portanto sen(3x) sen(5x)dx = 1 ( cos(x)dx = 1 ( sen(x) = sen(x) 4 sen 8x 8 sen(8x) 16 ) cos(8x)dx ) + C + C.
Exemplo Resolva cos(3x) cos(5x)dx. Observe que cos(3x) cos(5x)dx = 1 [cos(3x + 5x) + cos(3x 5x)] = cos(8x) + cos( x) = cos(8x) + cos(x)
Portanto cos(8x) cos(x) cos(3x) cos(5x)dx = dx + dx = sen(8x) + sen(x) + C. 16 4
Agora abordaremos integrais da forma sen n x cos m xdx, onde n, m Z, n, m 0.
Existem dois casos a serem considerados para resolver este tipo de integral: Pelo menos um dos expoentes é impar, ou seja, m é ímpar ou n é ímpar. Neste caso utilizaremos a relação sen x + cos x = 1 e a integral é resolvida facilmente por uma substituição. Ambos os expoente são pares, ou seja, m é par e n é par. Neste caso, deveremos utilizar as identidades cos x = 1 + cos x e sen x = 1 cos x.
Exemplo Resolver a integral sen 3 xdx. Como o expoente do seno é impar, o procedimento passará por uso da identidade citada no primeiro item e uma substituição. Podemos reescrever a integral da seguinte forma sen 3 xdx = sen x sen xdx = (1 cos x) sen xdx
Feito isso, a integral é facilmente resolvida pela ubstituição u = cos x. Daí du = sen xdx, e sen 3 xdx = (1 cos x) sen xdx = (1 u )du = (u 1)du = u3 3 u + C = cos3 x 3 cos x + C.
Exemplo Resolver a integral cos 6 x sen 7 xdx. O procedimento é o mesmo descrito anteriormente. Manipularemos o expoente ímpar. Assim, cos 6 x sen 7 xdx = cos 6 x sen 6 x sen xdx = cos 6 x(1 cos x) 3 sen xdx
Fazendo a substituição u = cos x, temos du = sen xdx e desta forma, cos 6 x sen 7 xdx = cos 6 x(1 cos x) 3 sen xdx = u 6 (1 u ) 3 du = u 6 (1 3u + 3u 4 u 6 )du = (u 6 3u 8 + 3u 10 u 1 )du = ( u 7 7 1 3 u9 + 3 11 u11 1 ) 13 u13 + C = 1 7 cos7 x + 1 3 cos9 x 3 11 cos11 x + 1 13 cos13 x + C.
Exemplo Resolver a integral sen 4 x cos xdx. Neste caso, ambos os expoente são pares e o procedimento para se resolver é como descrito no segundo caso. Utilizaremos as identidades descritas no segundo caso e desta forma, podemos escrever e cos x = ( 1 cos x sen 4 x = 1 + cos x = 1 (1 + cos x) ) = 1 4 (1 cos x + cos x)
Assim, sen 4 x cos xdx = 1 (1 + cos x)(1 cos x + cos x)dx 8 = 1 (1 cos x cos x + cos 3 x)dx 8 = 1 (x 1 ) 8 sen x I 1 + I, onde I 1 = cos xdx e I = cos 3 xdx.
Vamos resolver cada uma delas separadamente utilizando os mesmos procedimentos anteriores. I 1 = cos xdx = 1 + cos 4x dx = 1 x + 1 sen 8x + C 8
I = = = cos 3 xdx cos x cos xdx (1 sen x) cos xdx Utilizando a mudança u = sen x, temos du = cos x e desta forma, I = 1 (1 u )du = 1 u 1 6 u3 + C = 1 sen x 1 6 sen3 x + C
Logo, sen 4 x cos xdx = 1 16 x 1 1 sen 8x 64 48 sen3 x + C