Álgebra Linear Aula
Determinante
Para aproveitar 1% dessa aula vocês precisam saber: ü Matrizes ü Equação do 1º grau ü Equação do º grau
Como representamos o determinante de uma matriz? Colocando os elementos de uma matriz entre duas barras verticais. Exemplos: A B 1 Det A 4 1 4 1 DetB 5 5 1 4 5 1 4 1 5
Como calculamos o determinante de uma matriz quadrada? à Se for uma matriz de ordem 1, então o determinante é o próprio elemento da matriz. Exemplo: ( 4) det 4 4 A A
à Se for uma matriz de ordem, então o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo: A det A 1..1 1
Exercício x 1 x y (UF-PI) Sejam A e B y 1 1 Se det A 4 e det B, então, x + y é igual a: a) b) c) 4 d) 5 e) 6
Solução x 6 x 4 4 ) ( 4 1 det + y x y x y x A 1 1 det y x y x B + + 4 4 y x y x y x y x x - y - y y Logo, x + y + Resposta: letra A.
à Se for uma matriz de ordem, então o determinante é calculado através da Regra de Sarrus.
Exemplo: det A 1 4 + + 6 + 1 det A
Exercício (Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que 1 x x 1 8 é (ou são): x a) -1 b) 1 c) d) -1 e 1 e) -1 e
Solução 1 x x x 1 1 x 1 x 1 x 8 8 x x - - 6x -x -x - + 6x -x -x -8 -x + 4x +6 As raízes são -1 e. Resposta: letra E.
Propriedades dos Determinantes
Casos em que um determinante é igual a ZERO: 1 5 Ex: 1) 9 8 1 5 ) 8 5 16 Quando todos os elementos de uma fila são nulos Uma fila pode ser uma linha ou uma coluna
Casos em que um determinante é igual a ZERO: ) 1 8 1 1 9 9 L 1 L π 8 1 9 9 6 4) 1 4 8 8.C 1 C Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
Casos em que um determinante é igual a ZERO: 5) 1 4 6 5 11 9 9 L 1 + L L 1 5 6) 1 7 7 7 9 8.C 1 + C C 7 5 9 Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.
Outras propriedades: Ex: 1) 4 9 4 18 1 6 18 1 6 9 ) a b c Se x y z 1, r s t a x r então b y s 1 c z t det(a)det(a t )
Outras propriedades: Ex: 1) 5..7 4 7 9 7 7 8 ) 5 8 6 5.5.. 6 O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal
Outras propriedades: Ex: 1) 5 9 5 18 15 15 18 9 a b c ) Se x y z 5, r s t r s t então x y z 5 a b c Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal
Outras propriedades: Ex: 1) 4 9 5. 6 5.6 5.4 9 ) a b c Se x y z 1, r s t a b c então 7. x 7. y 7. z 7.1 r s t 7 Se uma fila for multiplicada por um n o, então o determinante também fica multiplicado por esse n o
Outras propriedades: Ex: 1) 4 9 6 5. 5.4 5.6 15 5. 5.9 ) Se A é x com det(a) det(.a).det(a) 5, 8.5 então 4 det(k.a)k n. det(a), onde n é a ordem de A
Outras propriedades: 4 1 Ex: Sejam A e B. 5 7 Quanto valedet(a.b)? deta 11 detb 1 det(a.b) 11.1 11 det(a.b)deta.detb
Consequênc ia : A.A -1 I det(a.a -1 ) det(i) det(a).det(a -1 ) 1 det(a -1 ) 1/detA Ex: O determinanteda inversa de A 5 9 é : det(a -1 ) 1/detA 1/ det(a -1 )1/detA
Para calcular determinantes de ordem superior a... u Método de Laplace ou u Desenvolvimento de um Determinante por uma Linha ou por uma Coluna. +! +!! +! + +! +!! +! +
Teorema de Laplace Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o determinante da matriz A será o número real que se obtém somando-se os produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus respectivos cofatores. Esse teorema nos permite calcular o determinante de matrizes de ordem maior que. Porém, antes vamos aprender os conceitos de Cofator.
O que é Cofator de uma matriz? É o produto de (-1) i+j (sendo i e j o índice de um elemento) pelo determinante da matriz obtida quando eliminamos a linha e a coluna desse elemento. Exemplo: Considerando a matriz 4 6 1 5 A
Vamos calcular os cofator c 11. 4 6 1 5 A C 11 (-1) 1+1. C 11 1.[-.(-) - (-1). 4] 6 + 4 1 4 1 C c 11 c 1 c 1 c 1 c c c 1 c c! " # # # $ % & & & Matriz dos Cofatores
Vamos calcular os cofator c. 4 6 1 5 A C (-1) +. C -1.[.4 5. 6] -1. (8 - ) -1(-) 4 6 5 C c 11 c 1 c 1 c 1 c c c 1 c c! " # # # $ % & & & Matriz dos Cofatores
Teorema de Laplace Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o determinante da matriz A será o número real que se obtém somando-se os produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus respectivos cofatores. Exemplo: Considerando a matriz 5 A 1 6 4
4 6 1 5 A C 1 (-1) +1. -1.[5.(-). 4] 7 C (-1) +. 1.[.(-) - (. 6)] -4 C (-1) +. -1.[. 4-5. 6)] 4 5 6 4 6 5 Vamos calcular o determinante usando a segunda linha.
Pelo Teorema de Laplace é: det A 7. + (-4).(-) +.(-1) det A + 48 - det A 6. 4 6 1 5 A Então, o cálculo do determinante da matriz
Inversão de Matrizes
Inversão de Matrizes Se A é uma matriz quadrada de ordem n, dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B B.A I n. Dada uma matriz M inversível (não-singular), chama-se inversa de A, a matriz M -1, que é única, tal que M. M -1 M -1.M I n. Quando uma matriz M não é inversível, ela é dita matriz singular, cujo determinante é nulo. Logo, a matriz singular não tem inversa.
I ) (A + B) -1 A -1 + B -1 II ) (A -1 ) -1 A III ) I -1 I inversa) (A matriz unidade é a sua própria IV) (α.a) -1 (1/α). A -1, onde α IR e α V ) (A.B) -1 B -1.A -1
Como calcular a Matriz Inversa? Há processos:
Lembrando que M. M -1 I n. Por meio de determinantes, temos: M M-1 é a matriz M invertida. 1 1 det M ( ) t. M' det M é o determinante da matriz M a inverter. (M ) t é a matriz de cofatores transposta de M. Por meio de operações elementares. A I è I A -1
EXEMPLO 1 Obtenha a matriz inversa das matrizes abaixo, pelos processos. 1 1 a)a c)c 1 4 1 b)b 6 4 1 4 7 d)d 5 8 6 9
SOLUÇÃO I 1.A I 4 1 A.A I 1 x x x A 1 x z y w 1 x z 1. 4 y w 1 x+ y z+ w 1 x + 4y z + 4w 1 AGORA É SÓ RESOLVER OS SISTEMAS
1 x z 1 x+ y z+ w 1. 4 y w 1 x + 4y z + 4w 1 x+ y 1 z+ w x + 4y z + 4w 1 y / x - w -1/ z 1 A 1 x z 1 y w / 1/
M 1 A 4 11 SOLUÇÃO II.( M' ) t A. ( A' ) t 1 1 det M A ( 1).4 4 A ( 1). 1 1 1 det A 1 ;det A 1.4. 4 1+ 1 1 + 1 4 4 t A' (A') 1 1 4 1 1 1 A. 1 / 1/ 1+ A ( 1). + A ( 1).1 1
A I è I A -1 SOLUÇÃO III A 1 4 1 1 4 1 L1.L1 - L 1 1 4 1 L L +.L1 1 1 4 6 L1 - L1 L4 L4 : 4 1 1 1 / 1/ A -1 PERCEBERAM QUE OS RESULTADOS NOS PROCESSOS SÃO OS MESMOS?
Bibliografias u u u u STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo, 1987; BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia, Wetzler, Henry G. Álgebra linear a edição Ed. Harbra São Paulo SP - 1989. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Introdução a Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo; KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 6.