Lsta de Exercícos - Probabldade INE 700 GABARITO LISTA DE EXERÍIOS PROBABILIDADE ) Vamos medr o tempo de duração da lâmpada. Ao lgarmos a lâmpada ela pode não funconar, ou durar um tempo ndetermnado. a) = {tempo, tempo 0). b) E = {8h tempo 70h} E = {tempo < 00h} E 3 = {tempo > 00h} E E = {8h tempo < 00h} E E 3 = {00h < tempo 70h} ) omo há tpos de peso, e estamos avalando peças, o espaço amostral será uma matrz x : (, ) (, 0) (, ) (, 0) (, ) (, ) 0) ) 0) ) (, ) (, 0) (, ) (, 0) (, ) (, ( 0, ) ( 0, 0) ( 0, ) ( 0, 0) ( 0, ) ( 0, (, ) (, 0) (, ) (, 0) (, ) (, ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( ) ( a) X = Y: { (,) (0,0) (,) (0,0) (, ) ( } b) (, 0) (, ) (, 0) (, ) (, ) 0) ) (, 0) (, ) (, Y X ( 0, ) ( 0, (, c) Y = X : { (, 0) (0, 0) (, } d) X = Y 0 : { (, ) (0, 0) (, ) (0, } e) [(X + Y)/] < 0 : { (,) (,0) (,) (,0) (,) (, (0,) (0,0) (0,) (0,0) (0,) (,) (,0) (,0) (,0) (0,) (0,0) (0,) (,) (,0) () } A = aberto B = aberto = aberto A = fechado B = fechado = fechado Há 3 semáforos, o espaço amostral precsa nclur todas as combnações possíves: A B A B A B A B A B A B A B A B ) Dos eventos são mutuamente exclusvos quando não podem ocorrer smultaneamente. Os eventos das letras a, b, c, f e h são mutuamente exclusvos. ) Neste caso temos nteresse na SOMA das faces. a) = {, 3,,,, 7, 8, 9, 0,, } b) b. E = {, 3,, } b. E = {,,, 8, 0, } b.3 E 3 = {3,, 7, 9, } b. E = {, 7, 8, 9, 0,, } b. E E = {, 8, 0, } b. E = c) Não. As somas, 7, e 8 têm maor probabldade de ocorrer por haver maor número de combnações de faces. ) a) = {0,,,...} Se não conhecemos o número total de peças produzdas o espaço amostral é nfnto numerável. b) b. E = {0} b. E = {3,,...} b.3 E 3 = {,, 3,...} b E = E = {,, 3,...}
b. E = E E 3 = {3,,...} = E b. E = E = {0,, } b.7 E 7 = E E E E = {, } Lsta de Exercícos - Probabldade 7) a) = {(Fgura Vermelha), (Fgura Preta), (Número Vermelha), (Número Preta)} b) Ganhar = {[(Fgura Vermelha) (Fgura Vermelha)], [(Fgura Preta) (Fgura Preta)] 8) Nos 3 casos cada resultado dos respectvos espaços amostras tem a mesma probabldade de ocorrênca. a) Em um baralho de cartas há ases, então: P( ás) = n ases /n = / = /3 = 0,077 (7,7%). b) Supondo um dado comum, de faces, não vcado. Há 3 faces pares: P(face par) = n faces pares / n = 3/ = ½ = 0, (0%). c) A moeda será lançada 3 vezes, e queremos que o prmero resultado seja cara E o segundo E o tercero. P(3 caras) = P(cara ª cara ª cara 3ª ) Se a moeda é honesta, cada resultado é INDEPENDENTE dos demas, resultando: P(3 caras) = P(cara ª) P(cara ª) P(cara 3ª ) Novamente, se a moeda é honesta, cara e coroa têm a mesma probabldade de ocorrer nos 3 lançamentos: P(3 caras) = (/) (/) (/) = (/8) = 0, (,%). 9) Há 3 resultados possíves: (, ) (, ) (, (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, (, ) (, ) (, ) ( 3, ) ( 3, ) ( 3, ( 3, ) ( 3, ) ( 3, ) (, ) (, ) (, (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, (, ) (, ) (, ) a) Soma dos dados = múltplo de 3 = {3 9 } Estes resultados são mutuamente exclusvos: não há ntersecção entre eles: a probabldade de ocorrênca da unão deles é apenas a soma das probabldades ndvduas: P{3 9 } = P( + P() + P(9) + P() Há resultados em que a soma é 3, há em que a soma é, há em que a soma é 9, e há em que a soma é : P{3 9 } = (/ + (/ + (/ + (/ = /3 = /3 = 0,3333 (33,33%). b) É o complementar do evento descrto em a): P{ 3 9} P{ 39} = - /3 = /3 = 0,7 (,7%). c) Soma < = { 3 }. Novamente os eventos são mutuamente exclusvos. P{ 3 } = P() + P( + P(). Há resultado em que a soma é, há em que a soma é 3, e há 3 em que a soma é. P{ 3 } = /3 + /3 + 3/3 = /3 = / = 0,7 (,7%). d) É o complementar do evento descrto em c): P{ 3 } P{ 3 } = -/ = / = 0,833 (83,3%). e) Soma par: há 8 resultados em que a soma é par. P(soma par) = 8/3 = / = 0, (0%). f) aso de probabldade condconal. Supõe-se que a soma é par, e queremos saber a probabldade de que a soma seja menor do que : P(soma soma par) P(soma soma par) P(soma par) Soma < soma par = {(,) (, (, ) (3, )} => Há resultados. Da letra e sabemos que o evento soma par tem 8 resultados. P(soma < soma par) = (/ / (8/ = /8 = /9 = 0, (,%). g) aso de probabldade condconal, o nverso da letra f. Supõe-se que a soma é menor do que, e
Lsta de Exercícos - Probabldade 3 queremos saber a probabldade de que seja par. P(soma par soma ) P(soma par soma ) P(soma ) omo a ntersecção é comutatva podemos usar a probabldade obtda em f, e P(soma <) vem da letra c: P(soma par soma <) = (// (/ = / = /3 = 0,7 (,7%) h) Soma menor do que E par: ntersecção de eventos. A probabldade fo calculada em f. P(soma < soma par) = /3 = /9 = 0, (,%). ) Soma menor do que OU par: unão de eventos. Observe que os dos eventos PODEM ocorrer smultaneamente, o que exge descontar a ntersecção: pode haver soma de faces menor do que E par, conforme vsto na letra h: P(soma < soma par) = P(soma < ) + P(soma par) P(soma < soma par) = /3 + 8/3 /3 = 0/3 = /9 = 0, (,%). 0) Use as freqüêncas para obter o número de resultados assocado a cada evento. Mulheres = 0 Homens = 0 Mestrado = 7 Doutorado = 33 Mulheres Mestrado = Mulheres Doutorado = 8 Homens Mestrado = Homens Doutorado = Total = 00 a) P(Mestre) = 7/00 = 0,7 b) P(Homem) = 0/00 = 0, c) d) P (Homem Mestre) P (Mestre Homem) P(Homem Mestre) / 00 P(Mestre) 7 / 00 7 P(Mestre Homem) / 00 P(Homem) 0 / 00 0 e) P(Mestre Homem) = /00 = 0,. f) P(Mestre Homem) = P(Mestre) + P(Homem) P(Mestre Homem) = 7/00 + 0/00 /00 = 8/00 = 0,8 g) P(Mestre Homem) P(Doutor Homem) / 00 0, h) P(Mestre Mulher) P(Doutor Mulher) P(Doutor) P(Mulher) P(Doutor Mulher) = 33/00 + 0/00-8/00 = /00 = 0, ) a) = {,, 3,,,, 7, 8, 9, 0} ada evento tem a mesma probabldade = /0. b) b. E = {,,, 8, 0} b. E = {, 3,, 7, 9} b.3 E 3 = {, } b. E = {E E } = b. E = E E 3 = {} b. E = E E 3 = {}. ) a) = {A, B, Branco-Nulo} P(A) = 0,30 P(B) = 0,0 P(Branco-Nulo) = 0,0 b) P(A B), sendo que A e B são mutuamente exclusvos. P(A B) = P(A) + P(B) = 0,3 + 0, = 0,8 Procedmento semelhante ao do exercíco 0. a) P(usa programa) = 78/0 b) P(º grau) = /0 c) P( ograu) P( ograu ) 7/0 d) P(usa programa º grau) = /0 e) P(usa programa ograu) 3/ 0 / 0 f) P(usa programa º grau) = P(usa programa º grau)/ P(º grau) = (/0)/(/0) = / g) P(º grau usa programa) = P(º grau usa programa)/ P(usa programa) = (/0)/(78/0) = /78 ) a) P(verde) = n verde /n = /0 b) P(azul) = n azul /n = 0/0 c) P(azul verde) = P(azul) + P(verde) = 0/0 + /0 = /0 (azul e verde são mutuamente exclusvos). d) P (vermelha ) = P(vermelha) = /0 = 3/0 e) P(vermelha verde) = P(vermelha) + P(verde) = /0 + /0 = 0/0 (vermelha e verde são
Lsta de Exercícos - Probabldade mutuamente exclusvos). f) P(amarela) = zero (pos não há bola amarela na urna). g) P (amarela) P(amarela ) 0 h) P(verde vermelha) P(verde) / 0 ) P (verde amarela) P(verde) P(amarela) P(verde amarela) P(verde) P(amarela) P(verde) ) a) a. P(ambas = ) = nfaces /n = /3 a. P(ambas pares) = nfaces pares/n = 9/3 = ¼ a.3 P(ambas= ambas pares)= P(ambas= ambas pares)/ P(ambas pares) = (// (9/ = /9 b) b. P(todas = ) = nfaces/n = / / / = / b. P(todas pares) = P(par par par) = 3/ 3/ 3/ = 7/ (eventos ndependentes) b.3 P(todas = todas pares) = P(todas = todas pares)/ P(todas pares) = (/)/(7/) = /7 ) a) P(Falha Falha Falha3 Falha) = P(Falha) P(Falha) P(Falha P(Falha) = 0,0 0,0 0,0 0, = 0,00000 (os eventos são ndependentes). b) P(nenhuma falha) = P(Opera Opera Opera3 Opera) = (os eventos são ndependentes) P(Opera) P(Opera) P(Opera P(Opera) = (-0,0) (-0,0) (-0,0) (-0,) = 0,89 7) a)há cartas vermelhas P(V V) = P(V) P(V V) = (/) (/) = 0, b) Há 3 cartas de paus, P(Paus Paus) = P(Paus) P(Paus Paus) = (3/) (/) = 0,08 c) Há fguras, P(Fgura Fgura) = P(Fgura) P(Fgura Fgura) = (/) (/) = 0,090 d) P[(Paus opas) (opas Paus)] = P(Paus opas) + P(opas Paus) (eventos Mutuamente exclusvos.) = P(Paus) P(opas Paus) + P(opas) P(Paus opas) = (3/) (3/) + (3/) (3/) = 0,7 8) Onde está o valor substtur por, pos há reposção. 9) P(lnha da normal) = 0,7 P(lnha da chuva) = 0, P(ocupado lnha) = / P(da chuva) = 0, a) Lgação completa = [( da normal lnha ocupado) (da chuva lnha ocupado)] Os eventos acma são mutuamente exclusvos: P(da normal) P(lnha da normal) P(ocupado lnha) P(lgação completa) P(da chuva) P(lnha da chuva) P(ocupado lnha) P(lgação completa) = 0,9 0,7 (0/) + 0, 0, (0/) = 0,333 b) P(da chuva lgação completa) = P(da chuva lgação completa) / P(lgação completa) = [0, 0, (0/)] / 0,333 = 0,037 0) Procedmento semelhante ao do problema 0. a) P(conhecdo furto) = (0/000) / (0/000) = 0/0 b) P(conhecdo furto) = 0/000 c) P(furto conhecdo) = P(furto) + P(conhecdo) P(furto conhecdo) = 0/000 + 787/000 0/000 = 8/000 d) P(furto furto) = (0/000) (0/000) = 0,037 (eventos ndependentes). e) P(estranho homcído) = P(estranho homcído) / P(homcído) = (/000) / (9/000) = /9 f) P(gnorado gnorado) = (9/000) (9/000) = 0,0 (eventos ndependentes). ) P(HIV rsco) = 0, P(HIV normal) = 0,003 P(rsco) = 0,0 P(normal) = 0,9 P(detecta HIV) 0,9 P(não detecta HIV) = 0,0
P(não detecta não HIV) = 0,9 P(não detecta HIV) = 0,0 onstrundo a árvore de probabldades: Iníco 0,9 0,0 Normal Rsco 0,003 0,997 0, 0,9 Lsta de Exercícos - Probabldade a) P(detecta HIV normal) = P[(normal HIV detecta) (normal não HIV detecta)] os dos eventos são mutuamente exclusvos. = 0,9 0,003 0,9 + 0,9 0,997 0,0 = 0,009 b) P(detecta HIV rsco) = P[(rsco HIV detecta) (rsco não HIV detecta)] os dos eventos são mutuamente exclusvos. = 0,0 0, 0,9 + 0,0 0,9 0,0 c) P[(normal não HIV detecta) (normal HIV não detecta) (rsco não HIV detecta) (rsco HIV não detecta)] = 0,9 0,997 0,0 + 0,9 0,003 0,0 + 0,0 0,9 0,0 + 0,0 0, 0,0 = 0,0 os quatro eventos são mutuamente exclusvos. d) P[HIV (detecta rsco)] = P(HIV detecta rsco)/ P[(rsco HIV detecta) (rsco não HIV detecta)] = (0,0 0, 0,9) / 0,0 = 0,78 e) P[não HIV (não detecta normal) = P(não HIV não detecta normal)/ P[(normal não HIV não detecta) (normal HIV detecta)] = 0,9 0,997 0,9/ (0,9 0,997 0,9 + 0,9 0,003 0,0) = 0,9998. Nos problemas a é precso usar análse combnatóra para calcular o número de resultados assocados a cada evento. Em TODOS os casos há mportânca apenas da natureza dos elementos, devendo ser usadas combnações. 0,9 0,0 0,0 0,9 0,9 0,0 0,0 0,9 ) a) P( mesmo grupo) = P[( ª ) ( ª - ª) ( ª - 7ª)] Os 3 eventos são mutuamente exclusvos, não havendo ntersecção entre eles: P( mesmo grupo) = 0, /, + 0, /, +, /, b) P( cada grupo) = P[( ª) ( ª - ª) ( ª - 7ª)]= 0,, ) /, HIV Não HIV HIV Não HIV Detecta Não detecta Detecta Não detecta Detecta Não detecta Detecta Não detecta
c) P[( ª) ( ª - ª) ( ª - 7ª)] = 0,, ) /, d) P( ª - ª mesmo grupo) = P( ª - ª)/ P( mesmo grupo) = ( 0, /, ) / /, + 0, /, +, /, ) Lsta de Exercícos - Probabldade a) P(3 ) = P( + P() + P() (pos os eventos são mutuamente exclusvos) 0, 3 0, 0, 0, 0, 0, b) P(3 ) = P( + P() + P() c) P(3 ) = P( + P() + P() 0,, 3, 3 0, 9,, 90, 0,,, 0, 9,, 90, ) a) P(Você Amgo ) = (, 8, )/ 00, b) P(Você ) =, / 00, c) P(Amgo ) = 8, / 00, d) P(Nenhum prêmo) = 87, / 00, e) P[(Você Amgo 0) (Você 0 Amgo )] = P (Você Amgo 0) + P (Você 0 Amgo ) Pos os eventos são mutuamente exclusvos., 8, 0 87, 3, 0 8, 87, 3 P[(Você Amgo 0) (Você 0 Amgo )] ) a) 0 homens, 30 mulheres, vagas - P(apenas homens) = 0, / - P(apenas mulheres) = / - P(maora homens) = P (3 homens homens homens) eventos mutuamente exclusvos 0, 3 0, 0, P(maora homens) = - P(maora mulheres) = P (3 mulheres mulheres mulheres) eventos mutuamente exclusvos 3 0, 0, P(maora mulheres) = - P( homens mesmo sexo) = P( homens)/ P( homens mulheres) eventos mutuamente exclusvos no denomnador. 0, / 70, P( homens mesmo sexo) = / / 00, 0, b) 0 homens, 30 mulheres, vagas - P(apenas homens) = 0, / - P(apenas mulheres) = / - P(maora homens) = P ( homens homens homens) eventos mutuamente exclusvos 0, 0, 0, P(maora homens) = - P(maora mulheres) = P ( mulheres mulheres mulheres) eventos mutuamente exclusvos 0, 0, P(maora mulheres) = - P(3 mulheres) = ( 3 0,3 ) /, 0,, 9, 00,
Lsta de Exercícos - Probabldade 7 - P( mulheres mesmo sexo) = P( mulheres)/ P( homens mulheres) eventos mutuamente exclusvos no denomnador. / 70, P( mulheres mesmo sexo) = / / 0, ) a) Sm, a soma das respostas é gual a,0. b) Méda = x p(x ) = (0 0,0) + ( 0,) + ( 0,37) + (3 0,) + ( 0,0) =,0 Varânca = x p(x ) x p(x ) = 0, Desvo padrão = varânca 0, 0, 33 7) a) Sm, a soma das probabldades é gual a. b) Méda = x p(x ) Desvo padrão = varânca, 3, =,8 Varânca = x p(x ) x p(x ) =,3 8) P(A em TGA) = 0,8 P(Não A em TGA) = 0, P(A em Mat.) = 0, P(Não A em Mat.) = 0, a) P(A em TGA A em Mat.) = P(A em TGA) P(A em Mat.) = 0,8 0, = 0,3 (eventos ndependentes) b) P(Não A em TGA Não A em Mat.) = P(Não A em TGA) P(Não A em Mat.) = 0, 0, = 0, (novamente, os eventos são ndependentes). c) P(A em TGA Não A em Mat.) = P(A em TGA) P(Não A em Mat.) = 0,8 0, = 0,8 (novamente os eventos são ndependentes). 9) Podemos construr uma árvore probabldades:
Lsta de Exercícos - Probabldade 8 X = {0,,, 3} Basta calcular as probabldades para cada valor (3,,, 0). ada aluno é ndependente dos outros. P(X = = P(A resolve B resolve resolve) = P(A resolve) P(B resolve) P( resolve) = / /3 3/7 = 0,8 P(X = ) = P[(A resolve B resolve não resolve) (A resolve B não resolve resolve) (A não resolve B resolve resolve)] eventos mutuamente exclusvos: = / /3 /7 + / /3 3/7 + / /3 3/7 = 0,7 P(X = ) = P[(A resolve B não resolve não resolve) (A não resolve B resolve não resolve) (A não resolve B não resolve resolve)] eventos mutuamente exclusvos: = / /3 /7 + / /3 /7 + / /3 3/7 = 0,7 P(X = 0) = P(A não resolve B não resolve não resolve) = / /3 /7 = 0,038 X 0 3 p 0,038 0,7 0,7 0,8 b) Procedmento semelhante ao dos problemas e 7.
Lsta de Exercícos - Probabldade 9 Procedmento semelhante ao do problema 9. ) = (0 0, + ( 0,) + ( 0,) =7 das (centro de massa) a) E(X) = x p(x b) V(X) = x p(x ) x p(x ) Desvo padrão = = (0 0, + ( 0,) + ( 0,) 7 V(X) Podemos defnr a varável aleatóra X = número de recém-nascdos homens, que pode assumr os valores: 0,,, 3,,,, 7, 8. omo não há nenhuma nformação préva podemos consderar que a probabldade de que o recém-nascdo seja homem é 0,, e de que seja mulher é o seu valor complementar, também 0,. Podemos também consderar que os sexos dos recém-nascdos são ndependentes. a) P(X = 8) = P(8 homens) = P(º H º H 3º H º H º H º H 7º H 8º H) = = 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, = 0, 8 = 0,0039 b) P(pelo menos uma mulher) = P(X 7) = - P(X > 7) = - P(X = 8) = - 0,0039 = 0,99 c) P(exatamente 3 homens). Então 3 serão homens e serão mulheres: de quantas maneras dferentes podemos ter uma seqüênca de 8 recém-nascdos em que 3 são homens? Podemos resolver por combnações: 8,3. Este valor será multplcado pelas probabldades de que 3 sejam homens e sejam mulheres: P(X = = 8,3 P(º H º H 3º H º M º M º M 7º M 8º M) (esta é apenas uma das combnações possíves, e lembre-se que os eventos são ndependentes):
Lsta de Exercícos - Probabldade 0 P(X = = 8,3 0, 3 0, = 0,87. d) P(ao menos 3 homens) = P(X = P(X < = - P(X = 0) P(X = ) P(X = ). Para encontrar P(X = ) e P(X = ) precsamos usar um racocíno semelhante ao vsto na letra c: precsamos encontrar 8, e 8,. Posterormente, obter as probabldades assocadas às seqüêncas com ou homens. P(X = ) = 8, P(º H º M 3º M º M º M º M 7º M 8º M) (esta é apenas uma das combnações possíves, e lembre-se que os eventos são ndependentes): P(X = ) = 8, 0, 0, 7 P(X = ) = 8, P(º H º H 3º M º M º M º M 7º M 8º M) (esta é apenas uma das combnações possíves, e lembre-se que os eventos são ndependentes): P(X = ) = 8, 0, 0, 7 P(X = 0) = P(8 mulheres) = P(º M º M 3º M º M º M º M 7º M 8º M) = 0, 8 Então: P(X = - 0, 8-8, 0, 0, 7-8, 0, 0, 7 = 0,88 e) Para calcular a méda (valor esperado) é precso obter as probabldades assocadas a cada valor de X, e então usar a expressão do problema 3, letra a. Vamos obter que a méda vale. f) O valor de X que apresentará a maor probabldade será, que será o valor mas provável. Neste caso, valor mas provável e méda concdram, mas sso NEM SEMPRE ocorre. Uma árvore de probabldades completa sera gual a: 3 a) ontínua, medda em metros, pode assumr números valores. b) Dscreta, vara de 0 a 30. c) Dscreta, podemos ter 0,,,... carros. d) ontínua, medda em toneladas, pode assumr números valores. e) ontínua, meddo em undades monetáras (com centavos) pode assumr números valores. Se varáves aleatóras X e Y são ndependentes então: E(X + Y) = E(X) + E(Y) e V(X + Y) = V(X) + V(Y) a) Lucro esperado total = 000 + 000 + 0000 + 0000 = 39000 Desvo padrão total = varânca total 00 00 300 00 = 7,7 b) Não, porque para calcular a varânca total é precso haver ndependênca entre as varáves, para que possamos somar suas varâncas ndvduas.