PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 010 1 a Fase Profa Maria Antônia Gouveia QUESTÃO 01 Sobre números reais, é correto afirmar: (01) Se m é um número inteiro divisível por e n é um número inteiro divisível por 5, então m + n é divisível por 15 (0) O quadrado de um inteiro divisível por 7 é também por 7 (0) Se o resto da divisão de um inteiro n por é ímpar, então n é ímpar (08) Se x e y são números reais positivos, então existe um número natural n tal que n > x y (16) Se x é um número real positivo, então x > x () O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional (01) FALSA Contra-exemplo: considere-se m =, n = 5 e m + n = 8, que não é múltiplo de 15 (0) VERDADEIRA Seja m = 7a, com a inteiro, m = 7²a², então, m é um múltiplo de 7 (0) FALSA Numa divisão inexata por, os restos só podem ser 1 ou Contra-exemplo: 16 = 5 + 1 O resto 1 é ímpar, porém o dividendo 16, é par (08) VERDADEIRA Seja, por exemplo, x = 9 e y = 16 Tem-se números naturais maiores que x y y 16 1,7777 existem infinitos x 9 (16) FALSA Se x é um número real positivo, com 0 < x < 1, x < x Exemplo: Se x = 1 então, x = 1 x < x () FALSA Contra-exemplo: Sejam os números irracionais e números é 5 9 10 7 0 que é um número racional 5 9 O produto desses 1
QUESTÃO 0 n n Considerando-se as seqüências (a n ) e (b n ) definidas por a ( 1) e n n 1 b 1 1 n, para n = 1,,,, é correto afirmar: n bn1 b n 1 (01) O produto de dois termos consecutivos quaisquer da sequência (a n ) é um número negativo (0) Para qualquer n, tem-se 1 < a n < 1 (0) A sequência (b n ) é crescente (08) Existe n tal que a n = 1 (16) A sequência (b n ) é uma progressão aritmética () A sequência (a n ) é uma progressão geométrica de razão negativa Desenvolvendo cada uma das sequências: n n 1 1 1) a ( 1) n a 1 = ( 1) ; a ( 1) ; n 1 11 1 5 9 16 a ( 1) ; a ( 1) ; 1 10 1 17 1 9 16 (a n ) =,,,, 5 10 17 b1 1 5 5 ) n b 1 = 1; b = ; b = ; b = ; b n1 bn n 1 6 5 b 5 = ; 5 5 7 (b n ) = 1,,,,,,, (01) VERDADEIRA Dois termos consecutivos quaisquer da sequência (a n ) são números com sinais opostos (0) VERDADEIRA Para qualquer número natural n, tem-se n < n + 1 e então, sempre se verifica a desigualdade 1 < a n < 1 (0) VERDADEIRA 1 < < < 5 < <
(08) FALSA 1 9 16 Analisando os termos da sequência (a n ) =,,,, 5 10 17 (16) VERDADEIRA A sequência (b n ) é uma progressão aritmética de razão 1 () FALSA 1 9 Na sequência (a n ) tem-se, 10 5 Questão 0 Sendo f: R R, g: R R, h: R ] 0, + [ e q: ] 0, + [ R as funções definidas por f(x)=x 5x, g(x)=x 1, h(x)= x e q(x)= log x, é correto afirmar: (01) A função h é a inversa da função q (0) A função q é crescente (0) O conjunto imagem da função gοh é ], 1[ (08) Os gráficos das funções f e g se intersectam em exatamente dois pontos (16) Para qualquer x > 5, tem-se q(f(x)) = q(x) + q(x 5) () O perímetro do triângulo cujos vértices são a origem do plano cartesiano e os pontos de interseção do gráfico da função g com os eixos coordenados é igual a 10 uc (01) VERDADEIRA Se q(x)= log x, então q(x) = r(x)= log x Nessa função trocando x por y e y por x: x = log y y = x ( q(x)) 1 = h(x) (0) FALSA Ao tem-se lado, o gráfico de q(x)= log x Pela análise do gráfico conclui-se que q(x) é uma função decrescente
(0) FALSA gοh(x) = ( x ) 1 ( x ) 1 = 0 ( x ) = 1 ( x ) = 1/ x log 1 Analisando o gráfico abaixo, conclui-se que o conjunto imagem da função gοh é ] 1, [ e não ], 1[ (08) VERDADEIRA Os gráficos das funções f e g se intersectam no(s) ponto(s) onde f(x) = g(x) x 5x=x 1 x 8 6 8x + 1= 0 x = 8 60 151 11 15 0,ou x x 15 y 151 11 15 0 Os pontos de intersecção são: 15, 11 15 e 15, 11 15 Graficamente: Sendo f: R R, g: R R, h: R ] 0, + [ e q: ] 0, + [ R as funções definidas por f(x)=x 5x, g(x)=x 1, h(x)= x e q(x)= log x, é correto afirmar: (16) VERDADEIRA Sendo f(x)=x 5x, q(x)= log x e q(f(x)) = q(x) + q(x 5), tem-se q(f(x)) = log (x 5x) e q(f(x)) = q(x) + q(x 5)= log x log (x 5) log (x 5x) = log x log (x 5) (I) A condição de existência dessa igualdade é dada por x 5x > 0 e x 5 > 0 x > 5 Desenvolvendo o segundo membro da igualdade (I): log (x 5x) = log x log (x 5) log (x 5x) = [log x +log (x 5)] log (x 5x) = log (x 5x) Logo, a igualdade q(f(x)) = q(x) + q(x 5) é verdadeira para todo x > 5
() VERDADEIRA O gráfico de g(x)=x 1 é a reta BC representada no gráfico ao lado 1 1 10 1 1, AB = e AC = 9 Sendo BC = 0 0 1 1, o perímetro do triângulo ABC é: 10 1 10 1 uc Questão 0 Uma empresa observou que a quantidade Q, em toneladas, de carne que ela exporta em uma semana é dada por Q(x) = ax + bx + c, sendo a, b e c constantes, e x o preço do produto, em reais, por quilograma, praticado na referida semana, sendo x 8 Sabe-se que para o preço de R$,00, a quantidade é de 7,5 toneladas, que para R$,00, a quantidade é máxima e que para R$8,00, a quantidade é zero Com base nessas informações, pode-se afirmar: (01) A quantidade Q(x) diminui à medida que o preço x aumenta (0) Para o preço de R$5,00, a quantidade é de 7,5 toneladas (0) A constante a b é igual a 8 (08) Existe um único preço x, x 8, tal que Q(x) =,5 (16) Para cada preço x, x 8, tem-se Q(x) = x + 8x Como para x = R$,00 a quantidade de toneladas de carne exportada é máxima, tem-se: b x v b 8a que a função Q(x) = ax + bx + c tem a forma: a Q(x) ax 8ax c Nesta última equação, substituindo as variáveis pelas coordenadas dos pares ordenados (; 7,5) e (8; 0): 9a a c 7,5 15a c 7,5 15a 7,5 Q(x) 0,5x x 6a 6a c 0 c 0 a 0,5 5
(01) FALSA Analisando o gráfico ao lado, verificase que a função Q(x) é crescente quando o valor de x cresce no intervalo [,] e é decrescente quando o valor de x cresce no intervalo ], 8] (0) VERDADEIRA A reta x = é o eixo de simetria da parábola e as retas x = e x = 5 são simétricas em relação a esse eixo, logo interceptam a parábola em pontos simétricos e de mesma ordenada Assim como para o preço de R$,00, a quantidade é de 7,5 toneladas, também o é para o preço de R$5,00 O que pode ser confirmado fazendo Q(5) = 0,55 +0,5 = 1,5 + 0 = 7,5 (0) VERDADEIRA b b 8 a a b a 8 (08) VERDADEIRA Resolvendo a equação 0,5x + x =,5 5x² 0x 5 = 0 x² 8x 7 = x = 1 ( não pertencente ao domínio) e x = 7 Pela análise do gráfico, percebe-se que somente o valor de R$7,00 pertencente ao domínio da função (16) FALSA Para cada preço x, x 8, tem-se Q(x) = 0,5x + x Questão 05 Considerando-se operações de empréstimo com taxa de juros compostos de 5% ao mês e operações de desconto simples com taxa de % ao mês, é correto afirmar: (01) Contraindo-se um empréstimo de R$1000,00, o montante a ser pago, ao final de 0 dias, será R$1500,00 (0) Para um empréstimo a ser pago no prazo de 10 meses, o total de juros será igual à metade do valor do empréstimo (0) O montante de um empréstimo a ser pago ao final de n meses é igual ao valor do empréstimo multiplicado por 1,05 n (08) Para uma operação de desconto simples, o valor atual de um título, com valor nominal R$000,00 e vencimento em três meses, é igual a R$1880,00 6
(16) Em uma operação de desconto simples, o valor atual de um título, com vencimento em um mês, é igual a 98% do seu valor nominal (01) FALSA M = C(1 + i) n = 1000 (1 + 0,05) = 1050 (0) FALSA j = C(1 +0,05) 10 C = 1,6C C = 0,6C > 0,5C (0) VERDADEIRA M = C(1 + i) n = C(1+0,05) n = C 1,05 n (08) VERDADEIRA A = 000 0,0 000 = 000 10 = 1880 (16) VERDADEIRA A = N 0,0N = 0,98N Questão 06 Os dados a seguir referem-se aos alunos matriculados nas três turmas de um curso de Inglês Turma A Turma B Turma C Número de meninos 17 18 15 Número de meninas 5 Com base nesses dados, é correto afirmar: (01) Em cada turma, a razão entre o número de meninos e o número de meninas é menor que (0) O número de meninos do curso é igual a 0% do total de alunos matriculados (0) A média do número de meninas por turma é menor que (08) O número de duplas que podem ser formadas apenas com meninas é igual a 15 (16) Sorteando-se um estudante do curso, a probabilidade de ser uma menina da turma A é igual a 10 () Sorteando-se um estudante do curso, a probabilidade de ser uma menina ou 87 ser da turma A é igual a 10 (01) FALSA Reduzindo as quatro frações à forma de número decimal, tem-se a constatação de que a afirmativa é falsa 17 18 15 0,791; 0,8181; 0,60 e 5 0,75 (0) FALSA Para verificar a validade da afirmação basta determinar a razão entre o número de meninos matriculados no curso e o total de alunos: 17 18 15 50 0,167 1,67% 17 18 15 5 10 15 5 17 18 7
(0) FALSA 5 70 É falsa porque a média é: m =, > (08) VERDADEIRA 70 69 O total de meninas é 70, e C 70, 5 69 15 (16) VERDADEIRA n(alunas da A) p = n(total de alunos) 10 () VERDADEIRA p(m A) = p(m) + p(a) p(am) = 70 10 0 87 10 10 10 Questão 07 Na figura, considere os pontos A(, 0), B(, ), C(, ) e D(, ) e a reta r que passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto B Com base nessa informação, pode-se afirmar: (01) O triângulo BCD é equilátero (0) A área do setor circular hachurado é π igual a ua (0) A equação y = x representa a reta r (08) O ângulo entre o eixo Ox, no sentido positivo, e a reta r mede 0 (16) A imagem do ponto C pela reflexão em relação à reta r é o ponto de coordenadas (, 1) () A imagem do triângulo OAB pela homotetia de razão 1 é um triângulo de área (6) A imagem do ponto D pela rotação de 5 em torno da origem do sistema, no sentido positivo, é o ponto de coordenadas (0, ) (01) FALSA O triângulo BCD é retângulo e isósceles (0) VERDADEIRA A área do setor circular, hachurado, é igual a S círculo π ua (0) VERDADEIRA Considerando como O a origem dos eixos, no 1 triângulo retângulo ABO, a tg(aôb) =, 8
assim a equação y = x representa a reta r (08) FALSA O ângulo do triângulo retângulo ABO, tem tangente igual a 1 tg0 (16) FALSA O ponto C é a imagem do ponto C pela reflexão em relação à reta r Pela figura vêse que a abscissa x, do ponto C, é maior que () FALSA A área do triângulo OAB é: S = ua O triângulo obtido do triângulo OAB, por uma homotetia de qualquer razão, é semelhante a ele No caso em questão, considerando O, o centro da homotetia e 1, a razão de semelhança, temse: S' 1 S S' 1 9 S' ua 9 (6) FALSA O ponto D é vértice do quadrado OEDF de lado OD é diagonal desse quadrado, logo sua medida é uc Como a imagem do ponto D pela rotação de 5 em torno da origem do sistema, no sentido positivo, é o ponto D, então as coordenadas desse ponto são dadas pelo par ordenado ( 0, ) Questão 08 Os dados do quadro referem-se ao número de derrotas, empates e vitórias dos três times que obtiveram as maiores pontuações ao final de um torneio de futebol, em que todos os times jogaram o mesmo número de partidas Sabe-se que a pontuação final de cada time é obtida subtraindo-se um ponto por cada derrota, somando-se um ponto por empate, e dois pontos por vitória Número de derrotas Número de empates Número de vitórias Time A 5 Time B 1 5 Time C x 0 z Com base nessas informações, pode-se afirmar: (01) Sabendo-se que o time C não perdeu todas as partidas, sua pontuação final é um número inteiro pertencente ao intervalo [ 7, 0] (0) Se o time C obteve pontuação final menor que a dos times A e B, então ele venceu, no máximo, 6 partidas (0) Se o time C venceu 7 partidas, sua pontuação final é igual à do time B 9
(08) Caso o time C tenha perdido uma partida para o time A e outra para o time B, é impossível que ele tenha a maior pontuação final entre os três times 5 1 (16) Sendo M = 1 5 e N = 1 então o produto MN é uma matriz da forma x 0 z a b tal que a, b e c representam, respectivamente, as pontuações finais dos times c A, B e C O número de partidas de cada time foi 10, x + z = 10 Número de derrotas Número de empates Número de vitórias Total de pontos Time A 5 5 + 1 1 = 11 Time B 1 5 + 15 11 = 1 Time C x 0 z z + 10 x1 = z x (01) VERDADEIRA Como não perdeu todas as partidas, o número máximo de partidas que C poderia ter perdido é 9 Nesse caso, o seu total de pontos teria sido: 1 19 = 7 Poderia ter ganho todas as partidas e seu total de pontos, nesse caso, seria 0 Logo, sua pontuação final é um número inteiro, pertencente ao intervalo [ 7, 0] (0) VERDADEIRA x z 10 x 10 z z 1 z 6,5,,,,1,0 z x 11 z (10 z) 11 z 7 Então o time C venceu, no máximo, 6 partidas (0) FALSA Se o time C venceu 7 partidas, empatou partidas e sua pontuação final é igual 7 1 = 11, logo não é igual à pontuação do time B (08) FALSA Caso o time C tenha perdido uma partida para o time A e outra para o time B, e ganho as outras 8 partidas, o seu total de pontos será: 8 1 = 1 (16) VERDADEIRA 5 1 1 5 1 x 0 z = 11 1 z x 10
Questão 09 Sendo θ o ângulo formado entre uma diagonal e uma face de um mesmo cubo, 1 determine sen θ Na figura ao lado, o triângulo retângulo ABC tem como hipotenusa AC, diagonal do cubo, que forma com a face ABD o ângulo, oposto ao cateto BC a 1 1 1 Logo o sen = a sen θ 1 RESPOSTA: 0 Questão 10 Considere a proposta, elaborada por um cidadão interessado em melhorar o sistema penitenciário: Durante o período da pena, o presidiário tem a opção de trabalhar, no próprio presídio, nos dias em que ele escolher, exceto aos sábados e domingos, e cada três dias de trabalho reduz um dia da sua pena De acordo com essa proposta, se um presidiário, condenado a 6 dias de detenção, resolver trabalhar todos os dias possíveis desde o seu ingresso no presídio, terá direito à liberdade t dias antes de completar a pena Determine t Considerando como n o número total de dias do período durante o qual o presidiário deverá trabalhar, tem-se n + t = 6 O período de n dias é formado de 7 n semanas Então o número de sábados e n domingos, nesse período de n dias, é 7 O número total de dias durante os quais o presidiário deverá trabalhar será: n 7n n 5n n 7 7 7 Como a cada três dias trabalhados, o presidiário tem sua pena reduzida em um dia, subtende-se que o número total de dias a ser reduzido, na pena, será : 1 5n 5n t t 7 1 5n 5n t n 6 6n 76 t 6 9 Tem-se então o sistema 1 1 n 9 t 70 n t 6 1n 5n 76 RESPOSTA: t = 70 11