Aalisado o Risco de uma Carteira de Crédito via Simulações de Mote Carlo Resumo Neste trabalho, aalisamos a utiliação da metodologia CreditRis+ do Credit Suisse e sua adequação ao mercado brasileiro, com o obetivo de calcular o risco de uma carteira de crédito. Certas hipóteses assumidas a formulação do modelo CreditRis+ ão valem para o mercado brasileiro, caracteriado, por exemplo, por uma elevada probabilidade de default. Desevolvemos, etão, uma metodologia para cálculo da distribuição de perdas através do método de Simulação de Mote Carlo, alterado algumas hipóteses origiais do modelo com o obetivo de adaptá-lo ao osso mercado. A utiliação de simulações também oferece resultados mais precisos em situações ode as carteiras possuem uma pequea população de cotratos, além de elimiar possíveis problemas de covergêcia do método aalítico, mesmo cosiderado as hipóteses do modelo origial. Verifica-se aida que o tempo computacioal pode ser meor que o da metodologia origial, pricipalmete em carteiras com elevado úmero de devedores de perfis distitos e com alocações em diversos setores da ecoomia. Tedo em vista as restrições acima, acreditamos que a metodologia proposta sea uma alterativa para a forma aalítica do modelo CreditRis+. Apresetamos exemplos de utiliação e resultados providos por estas simulações. O poto cetral deste trabalho é realçar a importâcia da utiliação de metodologias alterativas de medição de risco de crédito que icorporem as particularidades do mercado brasileiro.
INTRODUÇÃO...3 2 O MODELO CREDITRISK+...6 2. EVENTOS DE DEFAULT COM TAXAS FIXAS...6 2.2 DISTRIBUIÇÃO DE PERDAS COM TAXAS FIXAS...8 2.3 EXEMPLO DE UMA CARTEIRA DE CRÉDITO...9 2.4 INCERTEZA DAS TAXAS DE DEFAULT... 2.5 ANÁLISE SETORIAL E CORRELAÇÕES... 2.6 EVENTOS DE DEFAULT COM TAXAS VARIÁVEIS... 2.6. A distribuição gama... 2 2.6.2 Distribuição de defaults... 2 2.6.3 Distribuição de perdas com taxas variáveis... 3 2.7 EXEMPLO DE UMA CARTEIRA DE CRÉDITO COM TAXAS DE DEFAULTS VARIÁVEIS...4 2.8 RESUMO DA METODOLOGIA DE CÁLCULO...5 3 MÉTODO VIA SIMULAÇÕES DE MONTE CARLO... 6 3. METODOLOGIA DA SIMULAÇÃO...6 3.2 VANTAGENS DA SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO...7 4 EXEMPLOS... 9 4. SIMULAÇÃO VERSUS CREDITRISK+...9 4.2 COMPARAÇÃO ENTRE A UTILIZAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON E GAMA...9 4.3 PROBLEMAS COMPUTACIONAIS EM CARTEIRA DE VAREJO...2 4.4 EFEITO DA ESCOLHA DO TAMANHO DA FAIXA...2 5 CONCLUSÃO... 2 APÊNDICE PRINCIPAIS CONCEITOS DE RIS CO DE CRÉDITO... 33 2
Itrodução O risco fiaceiro pode ser defiido como uma medida da icertea em relação ao valor de ativos e passivos. De maeira geral, estas fotes de icertea podem ser classificadas como risco de mercado, de crédito, operacioal e legal (Prado, Bastos e Duarte, 2. O risco de mercado surge das flutuações os preços de ativos fiaceiros. Ele pode ser medido através de modelos que depedem basicamete das exposições a determiados fatores de risco, das volatilidades e correlações etre os retoros de diferetes ativos que compõem uma carteira. Existem diversas metodologias para sua mesuração de uma forma agregada, em particular a metodologia RisMetrics (J.P. Morga, 995. O risco de crédito surge quado a cotraparte de um empréstimo ou operação fiaceira ão desea ou ão é capa de cumprir suas obrigações cotratuais. A perda pode ocorrer de duas maeiras distitas. A primeira é quado a cotraparte deixa de horar o cotrato, acarretado uma perda do valor de face do empréstimo meos uma taxa de recuperação. Esta modalidade é cohecida como risco de default. A seguda ocorre quado, devido a alterações a classificação de risco da cotraparte, o valor de mercado do empréstimo sofre alterações, sedo cohecida como risco de spread. Os sistemas de avaliação da capacidade de crédito de cotraparte são tradicioalmete de caráter qualitativo. Etretato, grades avaços foram realiados os últimos aos com o ituito de tratar o risco de crédito de forma agregada, como o risco de mercado. Com isso, surgiram algumas metodologias que atualmete são utiliadas pelo mercado, cada qual com um efoque, além de, aturalmete, vatages e desvatages. Etre as pricipais metodologias de aálise de risco de crédito utiliadas atualmete o mercado, podemos citar os modelos KMV (Vasice, 987, CreditMetrics (J.P. Morga, 997, CreditRis+ (Credit Suisse First Bosto, 997 e o modelo de fatores (McKisey, 997. Apresetamos a seguir um resumo destas metodologias. Para maiores detalhes sobre esses modelos, ver Sauders (999. Modelo KMV O modelo KMV baseia-se a hipótese de que o mercado é a fote mais eficiete de iformações acerca da saúde fiaceira de uma empresa. Por esta hipótese, assume-se que o preço das ações de empresas egociadas em mercado aberto reflete as expectativas do mercado acerca da empresa. A fução de pagameto de um empréstimo está diretamete relacioada com o valor de mercado da empresa devedora. Se o valor de mercado de seus ativos superar o valor do empréstimo, os proprietários da empresa têm um icetivo para pagar ao credor e reter o valor residual como lucro. Caso cotrário, a empresa devedora poderá tomar a decisão de etregar os seus ativos. Esse mecaismo é aálogo à subscrição de 3
um cotrato de opção de veda sobre uma ação. Se o preço da ação exceder o preço de exercício, o subscritor da opção reterá o prêmio da veda. Se o preço da ação cair abaixo do preço de exercício, a opção será exercida e o subscritor perderá motates progressivamete maiores. O valor do empréstimo pode ser etão determiado através do modelo Blac- Scholes-Merto como a subscrição de uma opção de veda sobre os ativos da empresa devedora. Etretato, esse valor depederá do valor de mercado desses ativos e suas volatilidades, parâmetros que ão podem ser diretamete observados. Para cotorar este problema, costuma-se extrair implicitamete do modelo, utiliado dados sobre o valor da dívida, o valor de mercado da firma e sua volatilidade. O modelo KMV iverte o problema, cosiderado o icetivo de pagameto por parte dos detetores do capital da empresa devedora. Com isso, tora-se possível determiar uma medida de freqüêcia esperada de iadimplêcia. O pricipal motivo que iviabilia a sua utiliação o mercado brasileiro é a ecessidade de mercados líquidos de ações e opções egociados em bolsa, cotemplado todos os ativos da carteira de crédito. CreditMetrics O modelo CreditMetrics é baseado a abordagem de risco de spread. Ele exige a marcação a mercado da carteira de crédito, de forma semelhate ao modelo utiliado pelo Rismetrics para avaliação de risco de mercado. O modelo CreditMetrics procura estabelecer qual será a perda de uma carteira de crédito devido a alterações a classificação de crédito dos devedores e evetuais ocorrêcias de default. Este cálculo exige o cohecimeto do valor de mercado do empréstimo e de sua volatilidade. No etato, estes valores ão são diretamete observáveis o mercado. A fim de cotorar este problema, utiliam-se dados dispoíveis sobre a classificação de crédito do devedor, as probabilidades de que esta classificação mude ao logo do tempo (mapeadas em uma matri de alteração de ratig, os ídices de recuperação de cada faixa de classificação e os spreads do mercado secudário. A partir desses dados, obtém-se estimativas do valor de mercado e de sua volatilidade, possibilitado o cálculo do valor em risco (VaR de um devedor ou da carteira de crédito. No Brasil ão temos mercado secudário de crédito, ou sea, as operações são levadas ao vecimeto. Além disso, ão existe uma agêcia idepedete que sea provedora de ratigs de crédito, bem como a matri de trasição. Desta maeira, ão obtivemos raões que motivassem sua utiliação. Modelo de Fatores O modelo de fatores da McKisey é baseado a relação etre as probabilidades de default dos devedores e fatores macroecoômicos. Assim como o modelo CreditMetrics, parte-se de uma matri de alteração de ratigs. Etretato as Esta equação calcula o preço de uma opção de compra ou veda sobre uma ação. A opção dá ao detetor o direito de comprar/veder a ação a um preço pré-estabelecido em uma data futura (ver, por exemplo, Hull, 997. 4
probabilidades podem variar ao logo do tempo de acordo com o estado da ecoomia. Por exemplo, em um período de recessão essas probabilidades são mais elevadas e, como coseqüêcia, as probabilidades de melhora a classificação do tomador serão meores. As probabilidades de alteração de ratig são modeladas como fução de variáveis macroecoômicas defasadas, de um fator de choque ecoômico geral e de fatores de choque para cada uma das variáveis. A distribuição de valores dos empréstimos obtida com base a matri codicioal pode ser usada o cálculo do VaR da carteira. Dados macroecoômicos sem quebras estruturais são praticamete iexistetes o mercado brasileiro, resultado das iúmeras mudaças de regime ecoômico que passamos ao logo dos últimos aos (ver, por exemplo, Rocha e Beder, 2. Por este motivo ão acreditamos ser este o modelo mais adequado à realidade brasileira. CreditRis+ Este modelo trata o risco de default, ou sea, o risco do devedor ão cumprir suas obrigações. Os devedores são classificados em faixas, cada qual associada a uma probabilidade de ocorrêcia de default. O modelo assume que todos os cotratos de empréstimo são levados ao vecimeto, ou sea, o pagameto ou o default ocorre apeas a data de vecimeto do cotrato. Evetos de default acarretam em uma perda equivalete ao valor itegral do empréstimo, excluída a taxa de recuperação. O procedimeto evolve aida a estimação da distribuição de perdas da carteira de cotratos de empréstimo. A partir desta distribuição, é possível calcular as perdas esperadas, as ão esperadas, o valor em risco (VaR e o capital ecoômico da empresa detetora dos cotratos. 2 O capital ecoômico é defiido como o valor estimado para cobrir qualquer perda etre a esperada (motate de empréstimos poderado pelas probabilidades de ocorrêcia de default e o percetual deseado para a taxa de solvêcia do detetor. O modelo também permite realiar aálises de ceários e diversas medidas de sesibilidade. O fato da maioria das operações de empréstimo serem levadas até o vecimeto e, pricipalmete, a iexistêcia de mercado secudário para cotratos de crédito, sugere a utiliação deste modelo para a mesuração do risco de uma carteira de crédito o mercado brasileiro. Por exemplo, a iexistêcia de mercado secudário dificulta a estimação dos spreads aplicados sobre estes cotratos, dificultado a utiliação do modelo CreditMetrics. Neste trabalho, aalisamos a utiliação da metodologia CreditRis+ (Credit Suisse First Bosto, 997 e sua adequação ao mercado brasileiro. As limitações da forma aalítica proposta por esta metodologia são ivestigadas para a realidade do ceário acioal, ressaltado-se algumas restrições a aplicação direta deste modelo. Argumetamos que simulações de Mote Carlo podem ser exploradas para reduir estas restrições, servido de alterativa para a forma aalítica do modelo CreditRis+. Apresetamos exemplos de utiliação e resultados providos por estas simulações. 2 Os pricipais coceitos evolvidos o cálculo de risco de uma carteira de crédito estão descritos o Apêdice. 5
O restate do trabalho está orgaiado da seguite forma. Na seção 2, discutimos o modelo CreditRis+, ressaltado suas características e limitações. Na seção 3, apresetamos como simulações de Mote Carlo podem ser utiliadas para reduir as limitações do modelo origial. Apresetamos aida uma aálise comparado o custo computacioal de realiação destas simulações com o custo computacioal do modelo aalítico, além de possíveis problemas de covergêcia o método origial. Na seção 4, apresetamos exemplos da utiliação do modelo CreditRis+ e das simulações de Mote Carlo. A seção 5 apreseta algumas coclusões e perspectivas de trabalhos futuros. 2 O Modelo CreditRis+ CreditRis+ é um modelo de risco de default, ode cada devedor tem apeas dois possíveis estados: iadimplete ou ão. A medição das perdas esperadas e ão esperadas do valor da carteira é o pricipal obeto de aálise deste modelo. A iadimplêcia é modelada como uma variável cotíua com uma distribuição de probabilidade caracteriada por uma parametriação específica da média e variâcia. No caso de default, a perda é de tamaho fixo, equivalete a sua exposição (líquida da taxa de recuperação. O modelo assume a hipótese de que ão existem relações causais etre evetos de default. No etato, existem fatores exteros que podem afetar de maeira semelhate aos devedores dado origem às correlações etre evetos. Este processo será visto em maiores detalhes adiate. Os empréstimos compoetes de uma carteira de crédito são agrupados por faixas de exposição, de modo que a distribuição de evetos de default pode ser aproximada por uma distribuição de Poisso com média µ (ão ecessariamete costate. Etretato, é importate ressaltar que tal aproximação só é válida supodo-se que as probabilidades p de default idividuais são pequeas e o úmero N de devedores a carteira é alto. Como veremos adiate, a forma mais correta de modelar estes evetos seria através de uma distribuição biomial. 2. Evetos de default com taxas fixas Em primeiro lugar, precisamos defiir a Fução Geradora de Probabilidade (FGP. Cosiderado X uma variável aleatória discreta com valores ão egativos, defiimos sua FGP como G X ( p E(, ode p P(X,,, 2,... Para esta seqüêcia, existe um úmero r tal que a série coverge se < r. Note que como G X (, a série coverge se <. Cosiderado uma carteira com N devedores, vamos defiir p i como a probabilidade do i-ésimo devedor ão horar seus compromissos. 6
Para aalisarmos a distribuição de perdas da carteira, cosideramos a seguite FGP em fução da variável auxiliar : represeta a probabilidade de ocorrêcia de defaults. p( ND, ode p(nd F ( Como um devedor idividual pode ou ão etrar em default, sua fução segue a seguite regra: F( p i + p i + p i (-. Assumido idepedêcia etre os evetos de default, a FGP é o produto das fuções de probabilidade iiciais. Etão, para N devedores temos: N N F( Fi( ( + pi(. i i Aplicado uma trasformação logarítmica em ambos os lados da equação: log N i ( F( log( + (. p i Se as probabilidades de default forem pequeas, vale a aproximação: (, log + p i ( p i ( portato, N ( exp p i ( i N ode µ pi. i F ou, equivaletemete, F( exp( ( µ, Esta é a primeira grade simplificação do modelo, que pode gerar resultados icosistetes para o mercado brasileiro, uma ve que as taxas de default o Brasil são bem mais elevadas do que as do mercado americao. Expadido F( em séries de potêcia: e µ µ F(,! µ e µ e, portato, p( ND. Esta é a fução de distribuição de probabilidade de! Poisso, ou sea, se a taxa de default é pequea, a probabilidade de ocorrer defaults segue a fórmula acima. A forma mais correta de modelar estes evetos é através da distribuição biomial com devedores com probabilidade de default p, que coverge para a de Poisso com média µ p somete quado as hipóteses de grade e p pequeo são observadas (Koyluoglu e Hicma, 999. Aida, a distribuição de Poisso permite que o úmero de evetos de default sea maior que o úmero de empréstimos em carteira, podedo gerar outras distorções. 7
2.2 Distribuição de perdas com taxas fixas Como observado a seção aterior, os evetos de default seguem aproximadamete uma distribuição de Poisso. Etretato, o obetivo é calcular a distribuição de perdas da carteira. Como as exposições dos empréstimos ão têm tamaho fixo, a distribuição de perdas da carteira é substacialmete diferete da distribuição de Poisso. Para etedermos isso, basta imagiar que a probabilidade de um default de R$. é diferete de de defaults de R$, aida que a perda sea a mesma. Para resolver o problema das difereças de exposição, utiliamos badas de exposição para agruparmos diversos devedores em faixas. Chega-se etão a uma seguda aproximação o modelo, tedo em vista que dois devedores com exposições semelhates devem ser alocados a mesma faixa, além das perdas serem de tamaho L. Por exemplo, se L, as perdas possíveis são,, 2, 3, Uma maeira de miimiar este problema é escolher faixas de amplitude relativamete pequea em relação ao tamaho das exposições. Desta maeira, aumetamos o úmero de faixas, o que pode causar problemas de tempo computacioal, pricipalmete quado as probabilidades de default ão forem fixas e os devedores são alocados em diversos setores da ecoomia (ver seção 2.5. Para prosseguirmos, precisamos defiir algumas otações: L i deota a exposição, p i a probabilidade de default e λ i a perda esperada do i-ésimo devedor. Defiimos, etão, o tamaho padrão de exposição como sedo igual a L, de forma que L i Lν i e λ i Lε i, ode ν i é a exposição do i-ésimo devedor e ε i é a sua perda esperada, ambos múltiplos de L. Um poto importate a ser discutido é a escolha de L, pois pode iflueciar fortemete o parâmetro ν i, que sedo um úmero iteiro, tora L i uma aproximação para a exposição real do i-ésimo devedor. Cosiderado m faixas de exposição, podemos defiir como o ídice de cada uma das faixas. Sedo µ o úmero esperado de defaults a faixa, ε ν µ. Defiido G( como a fução geradora das probabilidades de perdas em múltiplos de L, temos G ( A, ode A é defiido com a probabilidade de perda de tamaho L. G( Escrevedo esta fução como um produto etre as fuções das faixas, temos que m G (, ode ν e G ( p( ND de modo que G ( m µ µ! ν exp( µ + µ ν m m ν exp( µ + µ exp µ + µ. ν, 8
Por expasão de Taylor, temos: d G( A!, d que, pela fórmula de Leibit, pode ser expresso como A Portato, ν! ( +! (! µ A. A : ν µ ν A ν : ν ε A ν. Cosiderado a recursividade da fórmula acima, precisamos defiir A. Em particular, adotamos m ε A G( exp. ν 2.3 Exemplo de uma carteira de crédito Neste exemplo, com fis didáticos, vamos cosiderar a seguite carteira de crédito: i 5 empréstimos com exposição de R$2 e probabilidade de default de 4%. ii empréstimos com exposição de R$3 e probabilidade de default de %. Escolhedo L, temos m 2, ν 2, ν 2 3, µ 2, µ 2, ε 4 e ε 2 3. Substituido os valores as duas últimas equações da seção aterior, obtemos os valores dos cico primeiros termos a Tabela. O resultado completo é visualiado a Figura. Aumetado as probabilidades de default, a Figura 2 explicita a difereça a utiliação da hipótese da distribuição de Poisso a aproximação da biomial. Aalisado o efeito da escolha do tamaho da faixa, verificamos que o resultado correto é obtido cosiderado L. A ituição para este resultado é a seguite. Como temos exposições de R$2 e R$3, as primeiras combiações possíveis de default coutas geram resultados de R$ (ehum default em ambas as faixas, R$2 (um default da primeira faixa e ehum da seguda, R$3 (ehum default da primeira faixa e um da seguda, R$4 (dois defaults da primeira faixa e ehum da seguda, R$5 (um default da primeira faixa e um da seguda, R$6 (três defaults da primeira faixa e ehum da seguda ou ehum default da primeira faixa e dois da seguda e assim por diate. 9
Como as perdas são represetadas em múltiplos de L, com L todas as combiações de default são percorridas. Porém, com L 2, as perdas seriam de R$, R$2, R$4, R$6, R$8, e portato ão haveria a correta represetação das perdas reais de R$3, R$5, R$7 e assim por diate. Se L 3, teríamos perdas em R3, R$6, R$9,, implicado resultados aida mais distates da realidade. A difereça o capital ecoômico, dado um ível de cofiaça de 5%, para cada uma das faixas está represetada a Tabela 2. A Figura 3 ressalta as difereças as distribuições de perda em fução do tamaho da faixa escolhida. 2.4 Icertea das taxas de default Até a seção aterior, cosideramos as taxas de default como fixas. Aalisaremos agora a ifluêcia da icertea as taxas. As taxas podem ser modeladas através da média histórica codicioada aos fatores macroecoômicos. Uma recessão ecoômica presumivelmete aumeta as taxas de default das empresas, por exemplo. Itroduido estocasticidade as taxas de default através de uma distribuição gama com média µ e volatilidade σ, 3 observa-se a Figura 4 que a variâcia da distribuição de perdas aumeta, equato a perda esperada permaece a mesma. Assim, a distribuição de perdas das carteiras terá caudas mais largas. Esse aumeto deve-se às correlações implícitas das exposições. É importate otar que quado temos volatilidades iguais a ero, estas correlações são ulas. Estas correlações observadas etre dois devedores devem-se úica e exclusivamete aos fatores exteros, ão sedo modelada qualquer tipo de relação causal etre evetos de default. Como exemplo, em um período de recessão ecoômica, observamos um aumeto o ível das taxas de default, ocorredo uma maior icidêcia de evetos de default. 2.5 Aálise setorial e correlações Além do efeito das volatilidades, pode-se cosiderar o efeito da distribuição das empresas por setores, que fa com que dois devedores em setores distitos seam afetados de maeira diferete devido a fatores exteros. Como coseqüêcia, temos uma diversificação do risco ao alocarmos exposições em setores diferetes. Pode-se ver claramete o efeito da diversificação a Figura 5. Para efeito de simplificação, cosideramos pesos iguais para cada setor. À medida que se aumeta o úmero de setores, maior será o grau de diversificação da carteira, isto é, meor a variâcia da distribuição de perdas. O risco de cocetração ocorre quado temos muitas exposições em um mesmo setor, ou sea, exposições afetadas pelos mesmos fatores. Um exemplo seria termos 3 Hipótese assumida pelo CreditRis + (Credit Suisse First Bosto, 997. A seção 2.6 discute a sua motivação.
muitos devedores com domicílio em um mesmo país. Uma empresa ão precisa pertecer ecessariamete % a um úico setor, podedo ser dividida em dois ou mais setores. Isso mostra que sua taxa de default sofre ifluêcia de mais de um fator. Para a modelagem matemática, cosideramos uma carteira ode: N úmero de devedores; K úmero de setores; µ i taxa de default do devedor i; σ i volatilidade da taxa de default de cada devedor; e i exposição de cada devedor; θ i ifluêcia do setor os devedores i. O setor possui respectivamete média e volatilidade: N N µ θi µ i e σ θiσi. i i O modelo supõe, aida, que a probabilidade de default é uma variável aleatória com distribuição gama. Porém, o caso da simulação, podemos escolher qualquer outra distribuição que se adapte melhor à realidade. Defiido x como a probabilidade de default do setor, temos: x ~ Γ(,β, K ode µ 2 /σ 2 e β σ 2 /µ. Para cada devedor, temos x x i θ i µ i. µ 2.6 Evetos de default com taxas variáveis Sedo as probabilidades de default modeladas como variáveis aleatórias com distribuição gama, itroduimos uma volatilidade que produ o efeito de correlação o modelo. Como veremos adiate, a covolução etre distribuições gama e Poisso implica uma fórmula aalítica fechada para a distribuição de perdas da carteira. Possivelmete, esta é a raão da escolha destas distribuições a formulação origial do modelo. Da mesma maeira que a seção 2., defiimos a fução geradora de probabilidade como F ( p( d, que pode ser escrita como K F( F (, dado que os setores são idepedetes.
2 Como visto acima, a taxa de default é modelada como uma variável aleatória x com média µ e desvio padrão σ. Codicioado em x, podemos escrever a fução geradora de probabilidade como ] ( exp[ ( x F. A fução geradora de probabilidade pode ser etedida como a média da fução acima para todos valores possíveis da taxa de default, poderada pela possibilidade de ocorrêcia daquele estado da aturea: ( ( ( ( ( ( x x x dx x f e dx x f x ND p ND p F. 2.6. A distribuição gama A distribuição gama tem a seguite fução desidade de probabilidade:,,, (, ; ( > Γ β β β β x e x x f x, ode Γ( á a fução gama defiida como dy e y y. A distribuição gama é completamete descrita por apeas dois parâmetros, e β, tedo média β e variâcia β 2. O modelo CreditRis+ supõe que as taxas de default tem distribuição gama, resultado em µ 2 /σ 2 e β σ 2 /µ, ode deota o ídice do setor. 2.6.2 Distribuição de defaults Escolhida a distribuição gama para a fução f(x, podemos escrever F ( como: dx x e x x( e ( x dx ( f x( e F ( β Γ β. A partir da mudaça de variável y ( - + /βx, chega-se à seguite expressão: ( + dy y y e ( F ( β Γ β. Portato, β β Γ β Γ β + + ( ( F (. Assumido que ( p β β + resulta em p p F ( ( p p + +
após expasão em séries de Taylor. Portato, + p ND ( p p + (, demostrado que a covolução etre distribuições gama e Poisso gera uma distribuição biomial egativa. 2.6.3 Distribuição de perdas com taxas variáveis Essa seção aalisa a distribuição das perdas de default com as taxas variáveis. O obetivo é calcular uma fórmula fechada para G ( A. Como K G( G (, ode G ( é a fução geradora de probabilidade para o setor, podemos escrever, como a seção 2.2, que G ( p(d p( A x x f ( x dx N exp x ν i x i i f dx ( x. Logo, m ε x ( W ( ν G ( e f ( x dx, ode W (, de modo que µ x ν K K p G ( G ( m ( ( p ε. ( v ( µ ν Vamos calcular a distribuição de perdas através de um algoritmo umérico. Lembrado que G ( A, ode A é a probabilidade de perda do motate L, temos G ( A e d(log G( dg( A(, ode A e B são d G( d B( poliômios de ordem r e s, respectivamete. Credit Suisse First Bosto (997 demostra que os termos da expasão a equação acima podem ser calculados a partir de 3
mi( r, mi( s, A + ai A i b + ( A +. b ( i m( ( p ( ν ε K K µ G' ( Por outro lado, G' (, G( m( ( G ( ε ( p ν µ ( ν implicado que m( ( p ( ν ε K µ A(. B( m( ( ε ( p ν µ ( ν O algoritmo procura, etão, ecotrar os coeficietes de A( e B(. Um poto importate é a escolha do parâmetro L, que vai determiar o ν. Estes úmeros represetam os graus dos poliômios do umerador e do deomiador. Se forem elevados, o gasto computacioal pode ser iteso, iviabiliado a solução através de algoritmos uméricos. Observado que o ídice represeta a faixa, em uma primeira aálise, podemos verificar que, quato maior o úmero de faixas, maior o tempo computacioal. 2.7 Exemplo de uma carteira de crédito com taxas de defaults variáveis Para etedimeto do algoritmo da seção aterior, usaremos o mesmo exemplo da seção 2.3 com a iclusão das volatilidades das taxas de defaults. A carteira é composta de: i 5 empréstimos com exposição de R$2, probabilidade de default de 4% e volatilidade igual a 2%. ii empréstimos com exposição de R$3, probabilidade de default de % e volatilidade igual a.5%. Escolhedo L, temos que ν 2, ν 2 3, µ 2, µ 2, ε 4 e ε 2 3. Substituido os valores as fórmulas das seções 2.5 e 2.6.2, e cosiderado um úico setor, obtemos µ 3, σ.5, 4, β.52/3.75 e p.42857. Neste exercício, cosiderado que: 4
+ a + 2 a2 A( a B( + b + 2 + b3 3 b b2 p µ p µ ( ε ( ε ν 2 ( + ε 2 ( ε 2 + ν 2 2 3, obtemos os coeficietes da Tabela 4. Logo, A( B( 2.286 +.74 2..286 2.43 3 Lembrado que: A mi( r, ai A i b ( + i mi( s +, b + ( A, e cosiderado os dados do exemplo, ecotramos os valores da Tabela 5 e a distribuição de perdas a Figura 6. É importate observar que esta metodologia vale mesmo quado as taxas de default forem costates, como o exemplo da seção 2.3. 2.8 Resumo da Metodologia de Cálculo O obetivo do modelo CreditRis+ é calcular a distribuição de perdas da carteira de crédito. Para tato, é realiada a divisão das empresas por faixas de acordo com sua exposição. Cosideremos uma carteira com N devedores, cada qual caracteriado por: uma exposição; uma probabilidade de default; uma volatilidade da probabilidade de default; distribuição das empresas detro de setores. Defie-se, etão, uma uidade de exposição L. A exposição de cada devedor deve ser arredodada para um múltiplo iteiro de L, de modo a agrupá-los por faixas de exposição. Temos etão: exposição comum de cada faixa, expressa em uidades de L; perda esperada em cada faixa, expressa em uidades de L; 5
úmero esperado de evetos de default em cada faixa. Para cada faixa de exposição, teremos devedores. A distribuição de evetos de default desta faixa pode ser modelada por uma distribuição de Poisso com parâmetro λ. Ao icluirmos a volatilidade, esta distribuição segue uma Poisso codicioal à λ, ode λ tem distribuição gama. A covolução das distribuições Poisso e gama fa com que os evetos de default sigam uma distribuição biomial egativa, sedo possível chegar a uma fórmula fechada para a ocorrêcia de um determiado úmero de evetos. Posteriormete, veremos que através do método de simulação ão precisaremos mais os restrigir a estas distribuições de probabilidade, podedo modelar os evetos de default e suas volatilidades com quaisquer distribuições de probabilidade. De posse de uma fórmula fechada para estimar a probabilidade de ocorrêcia de um determiado úmero de evetos de default, podemos determiar a distribuição de perdas da carteira de empréstimos. A partir desta distribuição, podemos calcular o valor em risco da carteira da empresa detetora dos empréstimos, assim como o capital ecoômico ecessário para que esta ateda a um determiado ível de solvêcia. 3 Método via Simulações de Mote Carlo Cosiderado que certas hipóteses assumidas a formulação do modelo CreditRis+ ão valem para o mercado brasileiro, desevolvemos uma metodologia para cálculo da distribuição de perdas através de métodos de simulação. 3. Metodologia da Simulação Neste modelo de risco de crédito, utiliaremos um gerador de úmeros pseudoaleatórios porque ão ecotramos evidêcia da superioridade das seqüêcias quasealeatórias, dado o ível de cofiaça dos resultados. Simulamos os úmeros seguido quatro distribuições: ormal, gama, Poisso e biomial. Cosideremos uma carteira com N devedores. Cada um deles pode ser represetado por taxas µ i de default, volatilidade σ i da taxa de default, exposição e i e ifluêcia θ i de cada setor o devedor i. N A cada setor associamos aida uma média µ iµ e uma volatilidade θ i i N σ θiσi. Como explicado a seção 2.6, o modelo origial supõe que a i probabilidade de default é uma variável aleatória com distribuição gama: x ~ Γ(,β, ode µ 2 /σ 2 e β σ 2 /µ. É fudametal ressaltar que, este poto da simulação, 6
temos a opção de escolher qualquer distribuição para a probabilidade de default, e ão ecessariamete uma distribuição gama. Simulamos a distribuição para determiar um valor de x para cada setor e a seguir K calculamos x i para cada devedor: x x i θ i µ i. µ A cada um deles (ou couto de devedores associamos uma probabilidade de default calculada a partir das realiações de x. Simula-se a distribuição, biomial ou Poisso, para cada devedor (ou couto e calcula-se a perda isoladamete e para toda a carteira. A realiação dessa variável é multiplicada pela exposição característica do devedor e pelo úmero deles. Obtém-se o histograma e calcula-se etão quatidades demadadas: por exemplo, medidas de risco, perdas esperadas e iesperadas, capital ecoômico, etc. 3.2 Vatages da Simulação de Mote Carlo A seguir descreveremos as pricipais vatages da utiliação de simulações de Mote Carlo. Primeiro, ão é ecessário utiliar a aproximação da distribuição de Poisso. Cosidera-se a distribuição biomial por ser válida mesmo para taxas de default elevadas, como explicamos a seção 2.. O mesmo observa-se a modelagem da distribuição da taxas, ão sedo ecessário utiliar a distribuição gama. Segudo, ão se utilia a aproximação de agrupameto por faixas, que é ecessária o cálculo do método aalítico. Como vimos a seção 2.3, a escolha de L pode iflueciar substacialmete os resultados obtidos para as medidas de risco. Terceiro, o fato de ão utiliar uma fórmula recursiva evita a propagação de erros uméricos. Este problema tora-se extremamete importate quado temos muitos devedores em uma mesma faixa. Todas as fórmulas desevolvidas a seção 2, que servem de base para o modelo origial, são recursivas, depededo do cálculo do primeiro termo. O primeiro termo da fórmula A, que é a probabilidade de perda de uidades de L, pode ser escrito como A m exp ε / ν, ode ν é a exposição do devedor da faixa, ε é a perda esperada (ambos em múltiplos de L e m é o úmero de faixas. A fórmula para o cálculo de A é recursiva, ou sea, A é fução de A, A 2 é fução de A e assim sucessivamete. No caso de taxas fixas, 4 o fator pode ser iterpretado como o valor esperado de defaults. m ε Quarto, em determiadas codições, observa-se que a simulação de Mote Carlo cosome meos recursos computacioais que o método aalítico. Na maioria dos / ν 4 O mesmo resultado é obtido cosiderado taxas variáveis. 7
casos, a difereça de cosumo de memória etre os dois métodos é despreível. Assim, o pricipal recurso computacioal em questão a avaliação da distribuição de perdas de uma carteira de crédito é o tempo ecessário para realiar esta estimativa. Aalisado-se o método aalítico com setores, observamos que sua complexidade ciclomática 5 é quadrática em relação ao produto do úmero de setores com o úmero de faixas deseadas o histograma que descreve a distribuição de perdas da carteira. Assim, para que o resultado da avaliação aalítica sea preciso (valores pequeos para L e um grade úmero de faixas o histograma resultate, o tempo de processameto ecessário é bastate elevado. Defia NS como o úmero de setores, NF o úmero de faixas, NSIM o úmero de simulações de Mote Carlo e NC o úmero de cotratos a carteira. O método aalítico exige tempo de processameto a ordem de (NS NF 2. Cosiderado as simulações de Mote Carlo, observamos que a complexidade ciclomática de uma iteração da simulação é liear em relação ao úmero de cotratos de empréstimos a carteira. Etretato, são ecessários milhares de simulações para obtermos um histograma preciso. O método de simulações de Mote Carlo apreseta tempo de processameto da ordem de NSIM NC. Assim, observamos que, à medida que aumetamos o úmero de faixas deseadas e, pricipalmete, o úmero de setores do modelo, o tempo de processameto ecessário para realiar as simulações passa a ser iferior ao tempo ecessário para a resolução do método aalítico. Quito, ão é ecessário cosiderar que as taxas de recuperação são costates, como o modelo origial do CreditRis+. As taxas de recuperação podem ter qualquer distribuição, sedo isto á possível o CreditMetrics, o modelo da McKisey e do KMV. A ovidade é sua utiliação detro do cotexto do CreditRis+. As taxas de recuperação podem ser modeladas com uma correlação com as probabilidades de default. Como esta correlação geralmete é egativa, implica em caudas mais largas a distribuição de perdas, e portato, aumeta o capital ecoômico requerido pela istituição. Fialmete, é importate ressaltar que, sob todas as hipóteses iiciais do CreditRis+, o resultado da simulação umérica coverge para o resultado aalítico. Em resumo, a maior flexibilidade, simplicidade e precisão do método baseado em simulações de Mote Carlo o tora uma alterativa, o míimo, iteressate ao método aalítico. 5 A complexidade ciclomática é uma medida de custo de execução de programas, baseada o úmero de iterações presetes as repetições que perfaem seus algoritmos. 8
4 Exemplos Nesta seção, apresetamos exemplos da utiliação da simulação de Mote Carlo aplicada a carteiras de crédito hipotéticas, mas que procuram represetar a realidade de muitas istituições fiaceiras de vareo e atacado o mercado brasileiro. Destacamos aida a covergêcia da ossa proposta de simulação para o modelo origial do CreditRis+, a dificuldade da utiliação da distribuição de Poisso o Brasil, as coseqüêcias da itrodução da volatilidade as taxas de default, os problemas computacioais decorretes da recursividade da fórmula do CreditRis+ e o efeito da escolha do tamaho da faixa (L. 4. Simulação versus CreditRis+ Utiliamos uma carteira com 25 empresas, 6 cada uma com uma exposição e um ratig. A cada ratig é associada uma probabilidade de default e sua volatilidade. Neste exemplo, mostramos que a simulação coverge para o modelo origial quado suas hipóteses são válidas: otadamete, as distribuições Poisso e gama e um úmero raoável de faixas. Como o obetivo é testar aderêcia da simulação, escolhemos um tamaho da faixa ótimo para que o método aalítico apresete resultados corretos. Na Figura 7, comparamos o método origial do CreditRis+, cosiderado uma distribuição Poisso para as perdas e sem a iclusão das volatilidades das taxas, com a simulação de Mote Carlo a partir de uma distribuição Poisso. A Figura 8 realia uma comparação semelhate, mas cosiderado uma distribuição gama para modelar a volatilidade das taxas. Os resultados observados as Figuras 7 e 8 permitem algumas observações. Cosiderado-se todas as hipóteses iiciais do CreditRis+, o resultado da simulação umérica coverge para o obtido através do método aalítico idepedetemete da iclusão ou ão da volatilidade das taxas. Os resultados para o capital ecoômico são muito semelhates coforme documetado a Tabela 6. Etretato, percebemos um aumeto de capital a ordem de 23,5% quado cosideramos a volatilidade das taxas. 4.2 Comparação etre a utiliação da distribuição de Poisso e gama Com a fialidade de mostrar a difereça etre as hipóteses distribuicioais, utiliamos uma carteira com 9 faixas de exposição e dois ratigs. A Figura 9 mostra a distribuição de perdas desta carteira. O gráfico da Figura 9 e a Tabela 7 permitem algumas observações. Primeiro, o decréscimo de 2% do capital ecoômico idica que a aproximação calcada a distribuição de Poisso é coservadora, superestimado o risco. Segudo, a distribuição de perdas apreseta resultados diferetes. Basta observar que a 6 Este exemplo baseia-se o documeto técico do CreditRis + (Credit Suisse First Bosto, 997. 9
probabilidade de ehuma perda utiliado Poisso é 2.%, equato que o valor exato dado pela distribuição biomial é 8%. Outra difereça sigificativa ocorre a perda de R$6, cuas probabilidades aproximada e exata são 2.5% e 4.3%, respectivamete. Terceiro, a cauda da distribuição de perdas aproximada pela Poisso é mais pesada que a cauda real advida da biomial. Portato, o resultado da Tabela 7 vale aparetemete para outros íveis de cofiaça do capital ecoômico. 4.3 Problemas Computacioais em Carteira de Vareo Vamos cosiderar um exemplo ode existam 33. devedores, cico ratigs e cico exposições diferetes. A exposição total desta carteira é R$28.., com perda esperada de R$5.33.. Podemos observar a Tabela 8 e as Figuras e que, para esta carteira, ão é possível utiliar o método aalítico devido ao erro computacioal o cálculo do primeiro termo. É importate ressaltar que o método via simulações ão apreseta problemas deste tipo. Para etedermos o problema, basta observar que A é igual a exp(-5., que a maioria dos computadores etede como ero por questões de arredodameto umérico. Como o cálculo é recursivo, teríamos A A 2 A, impedido o cálculo da distribuição de perdas da carteira. Ademais, a iclusão da volatilidade das taxas gera um capital ecoômico aproximadamete 7 vees maior. 4.4 Efeito da escolha do tamaho da faixa No exemplo das Figuras 2 e 3, mostramos como a escolha do parâmetro L, o cotexto do algoritmo umérico do CreditRis+, pode iflueciar muito a distribuição de perdas da carteira. O exercício realiado cosiste em percorrer diversos valores para o parâmetro L, com o obetivo de explicitar o problema discutido a seção 2.3. Os resultados obtidos este exemplo levam as seguites cosiderações. Quato ao método aalítico, se escolhermos o tamaho da faixa L igual a 4. temos uma distribuição de perdas bastate diferete da realidade, coforme a Figura 2. Observase a covergêcia do método aalítico para o resultado obtido por simulação quado o tamaho faixa varia de R$4. a R$4. Com L 4., o capital ecoômico alocado é de R$247. e R$56. depededo da iclusão ou ão da volatilidade. Os valores corretos são, etretato, R$32.2 e R$.8, respectivamete. Os resultados são muito superiores quado L 4. Na simulação, a distribuição de perdas ão é alterada em fução do tamaho da faixa coforme ilustrado a Figuras 2 e 3. 2
5 Coclusão Neste trabalho, propomos a utiliação de simulações de Mote Carlo para a aálise de uma carteira de crédito baseada a metodologia CreditRis+. Tal procedimeto possui iúmeras vatages. Em primeiro lugar, ão é ecessário utiliar a aproximação da distribuição de Poisso. Cosidera-se, etão, uma distribuição biomial por ser válida mesmo com taxas de default elevadas, como o caso brasileiro. Segudo, mostramos como a escolha do parâmetro L, o cotexto do algoritmo umérico do CreditRis+, pode iflueciar a distribuição de perdas da carteira, o que ão ocorre a simulação (ão se utilia a aproximação de agrupameto por faixas. Terceiro, o erro umérico, resultado da recursividade da fórmula do CreditRis+, ão é propagado. Este problema tora-se importate quado temos muitos devedores uma mesma faixa. Observamos aida que, à medida que aumetamos o úmero de faixas deseadas e, pricipalmete, o úmero de setores do modelo, o tempo de processameto ecessário para realiar as simulações passa a ser iferior ao tempo ecessário para a resolução do método aalítico. Ademais, mostramos como os resultados obtidos através do algoritmo proposto de simulação de Mote Carlo podem diferir dos resultados do modelo CreditRis+. Outra vatagem é que as taxas de recuperação podem ser modeladas com uma correlação (geralmete egativa com as probabilidades de default, o que implica em caudas mais largas a distribuição de perdas e aumeto o capital ecoômico estimado para a istituição. Esta característica só é possível de ser implemetada o cotexto do CreditRis+ através de simulações. Fialmete, destacamos a covergêcia da ossa proposta de simulação para o modelo origial do CreditRis+ e as coseqüêcias da itrodução da volatilidade as taxas de default. O poto cetral deste trabalho é realçar a importâcia da utiliação de metodologias alterativas de mesuração de risco de crédito que icorporem as particularidades do mercado brasileiro. A pricipal proposta de extesão a este trabalho é modelar precisamete os dados de etrada do modelo, pricipalmete as taxas de recuperação, as probabilidades de default, a distribuição destas probabilidades com seus parâmetros e a alocação das empresas os setores. Por exemplo, o mercado brasileiro, as taxas de recuperação apresetam um comportameto estocástico e verifica-se que sua correlação é egativa com as taxas de default, o que ituitivamete tora a distribuição de perdas mais pesada as caudas. O método proposto este trabalho para iferir o risco de uma carteira de crédito via simulações de Mote Carlo surge como uma ferrameta poderosa para este tipo de aálise. 2
Referêcias Bibliográficas Credit Suisse First Bosto, CreditRis+ A Credit Ris Maagemet Framewor, 997. Jorio, P., Value at Ris, McGrawHill, New Yor, 997. J. P. Morga, CreditMetrics Techical Documet, 997. J. P. Morga, RisMetrics Techical Documet, 995. Hull, J. C., Optios, Futures ad Other Derivatives, Pretice Hall, 997. Koyluoglu, H.U e Hicma, A., A Geeralied Framewor for Credit Ris Portfolio Models, 999. McKisey, Measurig Credit Portfolio Ris: Icorporatig Macroecoomic Migratio Aalysis, Techical Report, 997. Prado, R. G. A., Bastos, N. T. e Duarte, A. M. Jr., Gereciameto de Riscos de Crédito em Bacos de Vareo o Brasil, Tecologia de Crédito Serasa, 2. Rocha, F. e Beder S., Preset Value Test of the Brailia Curret Accout, Ecoomia Aplicada 4, úmero 2, 2, págias 23-222. Sauders, A., Medido o Risco de Crédito, QualityMar, 999. Vasice, O., Probability of Loss o Loa Portfolio, KMV Corporatio, 987. 22
Tabela - Distribuição de perdas Tabela 2 Efeito de L sobre o capital ecoômico (5% Tabela 3 - Exemplo de distribuição de empresas em setores Desmembrameto em Setores Setor Setor 2 Setor 3 Empresa(s A % % % Empresa(s B 5% 25% 25% Empresa(s C 3% 4% 3% Empresa(s D % % % Tabela 4- Distribuição de perdas com taxas de defaults variáveis Tabela 5- Distribuição de perdas com taxas de defaults variáveis 23
Tabela 6 Capital ecoômico (5% para o método aalítico e o método via simulação. Tabela 7 - Capital ecoômico (5% utiliado a distribuição de Poisso e biomial Tabela 8 Capital ecoômico (5% para o método aalítico e o método via simulação. 24
Figura - Distribuição de perdas 2 Distribuição de perdas Probabilidade 8 6 4 2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 22 24 26 28 Perda (R$ Figura 2 - Distribuição de perdas cosiderado a distribuição biomial e Poisso 4 Distribuição de perdas 3.5 Pro 3 ba2.5 bili da 2 de.5 Poisso Biomial.5 Perda (R$ 25
Figura 3 - Distribuição de perdas cosiderado diferetes tamahos de faixa Distribuição de perdas 2 L Probabilidade 8 5 2 9 6 L2 L3 3 2 4 6 8 2 4 6 8 2 22 24 26 28 Perda (R$ Figura 4 - Distribuição de perdas com e sem volatilidade.6.5.4 com volatilidade sem volatilidade.3.2. 6 3 46 6 76 9 6 2 36 5 66 26
Figura 5 - Distribuição de perdas da carteira com diversos setores.3.25 4 setores.2.5 3 setores 2 setores setor..5 5 29 43 57 7 85 99 3 27 4 55 69 83 Figura 6 - Distribuição de perdas com e sem volatilidade 4 Distribuição de perdas Probabilidade 2 8 6 4 2 Aalítico sem Volatilidades Aalítico com Volatilidades 2 4 6 8 2 4 6 8 Perda (R$ 2 22 24 26 28 27
Figura 7 - Aalítico x Simulação sem volatilidade as taxas Probabilidade 4.5 4 3.5 3 2.5 2.5.5 Distribuição de perdas Aalítico sem Volatilidades SMC com Poisso 28 56 84 2 4 68 96 224 Perda (R$ 252 28 38 336 364 Figura 8 - Aalítico x Simulação com volatilidade as taxas Probabilidade 9 8 7 6 5 4 3 2 Distribuição de perdas Aalítico com Volatilidades SMC com Poisso e Gamma 24 48 72 96 2 44 68 92 26 Perda (R$ 24 264 288 32 336 36 28
Figura 9 Comparação da distribuição de perdas utiliado Poisso e biomial Probabilidade 4 2 8 6 4 2 Distribuição de perdas SMC com Poisso SMC com Biomial 8 6 24 32 4 48 56 64 72 8 88 Perda (R$ 96 4 2 2 28 36 44 Figura - Aalítico x Simulação sem volatilidade as taxas Probabilidade 45 4 35 3 25 2 5 5 Distribuição de perdas Aalítico sem Volatilidades SMC com Poisso 48 49 5 5 52 53 54 Perda (R$ 55 56 57 58 59 29
Figura - Aalítico x Simulação com volatilidade as taxas Probabilidade 2.5 2.5.5 Distribuição de perdas Aalítico com Volatilidades SMC com Poisso e Gamma 4 2 2 28 36 44 52 6 68 76 84 Perda (R$ 92 8 6 E+7 3
Figura 2 Covergêcia da distribuição de perdas do método aalítico para a simulação com a mudaça o L. 3
Figura 3 Covergêcia do capital ecoômico do método aalítico para a simulação com a mudaça o L. 32
Apêdice Pricipais Coceitos de Risco de Crédito Neste apêdice, discutiremos os pricipais coceitos utiliados o gereciameto de risco de uma carteira de crédito. Um resultado importate destes modelos cosiste a estimação da distribuição de perdas da carteira, de maeira semelhate ao cálculo de VaR (Value at Ris em modelos de risco de mercado. Esta estimação pode ser utiliada para efeito de cálculo de capital regulatório e/ou ecoômico ou, alterativamete, como medida do risco de cocetração da carteira. As pricipais defiições utiliadas em risco de uma carteira de crédito são listadas a seguir. Perda esperada: Motate esperado de perda a operação de crédito. Pode ser cosiderado o custo da cocessão do crédito. Para o seu cálculo, multiplicamos a exposição (líquida da taxa de devolução do empréstimo pela probabilidade de iadimplêcia deste devedor. Perda ão esperada: São perdas associadas à icertea da cocessão de crédito. São as perdas maiores do que as esperadas e advidas da variação da taxa de iadimplêcia ao logo do tempo. Seu cálculo exige hipóteses sobre o comportameto desta taxa assim como sua distribuição de probabilidade. Ao logo deste trabalho, discutiremos em detalhes o seu cálculo. Capital ecoômico: Valor estimado (capital do acioista para cobrir qualquer perda etre a esperada e o percetual deseado para a taxa de isolvêcia. Distribuição de Perdas Capital Ecoômico Perdas iesperadas Perda Esperada VaR (% 33