TRABALHO Nº 5 ANÉIS DE NEWTON Neste trabalho vai procurar ilustrar-se u arranjo geoétrico usado para a obtenção de franjas de interferência que ficou conhecido por anéis de Newton. Pretende-se co esses anéis calcular o raio do sistea de geração de anéis a partir dos resultados da lâpada de sódio e usar o valor assi obtido para estiar o copriento de onda da risca verde do ercúrio (λ = 546.1 n). 1. Introdução: A foração de anéis de Newton é u caso particular do fenóeno geral de foração de franjas de interferência por divisão da aplitude da radiação provocada por reflexão e superfícies de files finos. Se o file for suficienteente fino para que a diferença de percurso óptico induzida pela reflexão seja enor que o copriento de coerência da radiação, tê-se duas fontes coerentes (virtuais) e fica criadas as condições para que se possa observar u padrão de interferência estável Figura 1. Figura 1: Interferência nu file fino.
Da sobreposição dos raios 1 e 2 (ou 3 e 4) na Figura 1 resulta as franjas de interferência que corresponderão a ua interferência construtiva sepre que a diferença de fase seja destrutiva se for δ = ( 2 + 1)π. δ = 2 π ou Nas condições da Figura 1, a diferença de percurso óptico da radiação que interfere é file, t a sua espessura e 2 n t cos θ onde n é o índice de refracção no t θ t o ângulo de transissão no file. Se a espessura for constante pode observar-se franjas de igual inclinação as se a espessura do file variar, a diferença de percurso óptico 2 n t cos θ varia eso que se antenha constante o t ângulo de incidência. Se se fixar a direcção de incidência da luz (por ex. na perpendicular à superfície), a ua franja brilhante ou escura vai estar associada ua espessura óptica para a qual se verifica a condição de interferência construtiva ou destrutiva, respectivaente. Coo alé disso, e geral o índice de refracção do file é constante, às franjas obtidas por reflexão e files de espessura variável chaa-se franjas de igual espessura. Mostra-se na Figura 2 u arranjo geoétrico para obter franjas de igual espessura e que o file fino é constituído pela película de ar situada entre duas superfícies de vidro. Se se colocar ua lente esférica sobre ua superfície opticaente plana as franjas de igual espessura (nestas condições chaadas anéis de Newton) perite revelar quaisquer heterogeneidades na espessura do file e, logo, detectar qualquer iperfeição na superfície da lente. Para ua superfície esférica perfeita as franjas são círculos concêntricos centrados e torno do ponto de contacto. Qualquer irregularidade na superfície da lente provoca ua distorção do padrão de anéis. 2
Figura 2: Arranjo convencional para obter anéis de Newton. 1.1. Anéis de Newton: Alé de peritir testar a qualidade óptica da lente o esquea da Figura 2 perite ainda o cálculo do raio de curvatura da lente esférica. Para ver coo há no entanto que ter e atenção não só a contribuição para a diferença de fase da diferença de percurso óptico 2 n t cos θ coo tabé a diferença de fase adicional que pode t ocorrer devido a diferentes características de reflexão. Para ângulos de incidência até cerca de 30º e, independenteente da polarização, dois feixes que sofra reflexão u interna e outro externa sofre ua diferença de fase relativa de π radianos. Quer isto então dizer que, para os anéis de Newton obtidos e reflexão (raios 1 e 2 na Figura 1), existe ua contribuição adicional para a diferença de fase devida à reflexão e as condições de áxios e ínios de interferência são: 3
t cos θ t cos θ t t 1 λ = + 2 2n λ = 2n áxios ínios (1) Para edir o raio de curvatura da lente noralente trabalha-se e condições de incidência noral para as quais θ t 0. Alé disso, repare-se na Figura 3 onde se ostra existir ua relação geoétrica entre o raio do -ésio anel, a espessura do file de ar correspondente t e o raio de curvatura da lente R: R ( R t ) 2 = r + (2) 2 2 Figura 3: Geoetria essencial na geração de anéis de Newton. Se o raio de curvatura da lente for significativaente aior que a espessura do file, pode introduzir-se a aproxiação 2 2 R >> t na expressão anterior obtendo-se finalente para o raio dos anéis claros e escuros: 4
r r ax in 1 λ = + R 2 n λ = R n 1 2 1 2 (3) Para os anéis de Newton obtidos do lado da radiação transitida (raios 3 e 4 na Figura 1) não há contribuição adicional para a diferença de fase devida à reflexão e a u áxio na equação (3) irá corresponder ua franja destrutiva e vice-versa. Diz-se então que os padrões de interferência obtidos e reflexão e transissão são copleentares. A figura 4 ostra ua iage dos anéis de Newton. Figura 4: Os anéis de Newton. 5
2. Procediento experiental: 2.1. Material: Lâpada de sódio Lâpada de ercúrio Fonte de alientação para as lâpadas Bancada óptica e respectivos suportes Sistea de lente-superfície plana para gerar os anéis Diafraga íris Lentes de cerca de 5 e 12 c de distância focal Filtro verde 2.2. Descrição do procediento experiental: Dispõe-se ua das lâpadas sobre a calha óptica seguida da lente de cerca de 12 c de distância focal de aneira a assegurar ua iluinação do sistea gerador de anéis o ais hoogénea que for possível. Co a lente de 5 c de distância focal faz-se ua focage cuidada dos anéis no alvo de odo a ter siultaneaente o aior contraste possível entre os anéis e ua focage correcta da iage da escala traçada sobre o sistea lente-superfície plana. Deverá arcar sobre o alvo a iage dos anéis de Newton obtidos para a radiação transitida e não para a radiação obtida do lado da reflexão. Deverá arcar os anéis correspondentes à interferência destrutiva e repare que é uito difícil estiar co exactidão o centro do sistea de anéis. Por essa razão, deve então arcar nua folha que colocar no alvo o diâetro de cerca de 15 anéis arcados ao longo de ua linha horizontal. Para tal, arque sobre a folha o centro aproxiado de cada anel escuro (e não o ponto e que coeça o anel). Não esqueça de arcar o eso núero de anéis para cada u dos lados e relação ao centro do alvo. O raio dos anéis escuros é dado por etade do valor do seu diâetro. Marque alé disso na vertical o valor da escala projectada no alvo correspondente a, por ex., 10 divisões da escala (cada divisão corresponde a 1 ). Deverá fazer pelo enos duas edidas 6
independentes desta quantidade pois esta edição é uito iportante visto dela depender a exactidão do valor real do raio dos anéis. Execute o procediento anterior para a radiação proveniente das lâpadas de ercúrio e de sódio não se esquecendo de arcar cerca de 15 anéis para cada lâpada. Quando utilizar a lâpada de ercúrio utilize u filtro verde para seleccionar de toda a radiação eitida pela lâpada apenas a correspondente à risca verde (546.1 n). 3. Resultados e cálculos: Repare que, por ser ais siples do ponto de vista experiental, não trabalha co os anéis de Newton e reflexão as antes e transissão ver Figura 1. Assi sendo, a partir da equação (3) obté-se para os anéis escuros: 1 2 1 λ r in = + R (4) 2 n expressão que relaciona o raio dos anéis de orde co o copriento de onda da radiação e co o raio de curvatura da lente esférica utilizada. Medindo o raio real dos anéis pode calcular-se o produto λ R. Se se souber o copriento de onda λ pode então calcular-se R e se se conhecer o raio de curvatura da lente pode estiar-se λ. A partir dos dados obtidos para a lâpada de sódio vão procurar deterinar o raio de curvatura da lente e, co este valor, calcular o copriento de onda da radiação verde do ercúrio co os dados da lâpada de ercúrio. Repare que a edida directa não é o valor real do raio dos anéis as antes o valor do diâetro da iage dos anéis projectada no alvo. Se pode obter-se por: d i for esse diâetro, o raio real dos anéis de orde 7
d E r i r in = (5) 2 Ei onde E i é o valor da escala projectada no alvo correspondente a u deterinado valor real da escala arcada sobre o sistea gerador de anéis E r - por ex. 10 divisões da escala e que cada divisão corresponde a ua distância real de 1. A equação (4) pode rearranjar-se obtendo-se finalente: 2 r 1 λ = + R 2 n (6) equação que ostra que ua representação gráfica do quadrado do raio dos anéis e função de + 1/2 deverá ser ua linha recta de declive λ R. Faça ua representação gráfica do raio do -ésio n anel escuro ao quadrado e função de + 1/2 para os dados obtidos para abas as lâpadas e diga se os seus resultados estão de acordo co o que seria de esperar. Nos gráficos deverá incluir barras de erros e, para isso, note que no cálculo da propagação de erros não se ede directaente o raio dos anéis as antes o seu diâetro (porquê?) e que o verdadeiro valor do raio está relacionado co a razão da escala real do sistea de geração co a iage dessa escala projectada no alvo através da lente equação (5). Escreva a equação que relaciona r 2 co as quantidades que ede directaente e use-a para calcular a propagação de erros sobre as estiativas de r 2. Adita coo estiadores razoáveis dos erros associados às edidas directas os seguintes valores: Parâetro diâetro dos anéis d i Copriento da escala projectada no alvo E i Estiativa do erro 1.5 1.5 8
Faça ua regressão linear dos resultados de r 2 e função de + 1/2 co os dados da lâpada de sódio. Calcule o raio do sistea gerador de anéis a partir do declive da recta e o respectivo erro associado a partir da estiativa estatística do erro do declive (dada autoaticaente pelas rotinas de regressão linear). Faça agora ua regressão linear seelhante para os resultados da lâpada de ercúrio e use o valor do declive para calcular agora o valor do copriento da risca verde do Hg (λ = 546.1 n). Note que agora o erro estiado para o copriento de onda depende quer do erro estatístico do declive quer da estiativa do erro do raio do sistea. Ao calcular quantidades a partir dos resultados das regressões lineares, não se esqueça de usar unidades coerentes entre si. Coente a concordância entre os resultados experientais obtidos e os valores teóricos do raio da lente e do copriento de onda do ercúrio. Ebora se trabalhe aqui sepre co a radiação transitida através do sistea gerador de anéis, os padrões de interferência (franjas claras e escuras) correspondentes à radiação reflectida e transitida estão relacionados Figura 4. Qual é então a relação entre esses dois padrões? E que situação será de esperar u aior contraste nas franjas de interferência. No lado da radiação reflectida ou no lado da transitida? Porquê? Dados: Radiação das lâpadas: - λ Na = 589.0 n - λ Hg = 546.1 n Sistea gerador de anéis: - R = 12 9
ÓPTICA-FÍSICA TRABALHO Nº 5 ANÉIS DE NEWTON Turno: Grupo: Autores: Data: Objectivos do trabalho: Quantidades auxiliares: Valores da escala: Escala projectada E i Escala real E r Estiativa dos erros: Parâetro diâetro dos anéis d i Copriento da escala projectada no alvo E i Estiativa do erro 10
δ Lâpada de sódio: Raio de curvatura da lente: Resultado final: Valor esperado: R ± δ R = R teor = Percentage de erro e relação ao valor esperado: Coentário: + 1/2 i d r 2 2 r r Equação teórica de r 2 vs. + 1/2: Equação obtida por regressão linear: Declive b: Estiativa de δb: Coeficiente de correlação: Coentário ao gráfico: Equações: Cálculo de R: Cálculo de δr: 11
δ Lâpada de ercúrio: Copriento de onda: Resultado final: λ ± δ λ = Valor esperado: λ teor = Percentage de erro e relação ao valor esperado: Coentário: + 1/2 i d r 2 2 r r Equação teórica de r 2 vs. + 1/2: Equação obtida por regressão linear: Declive b: Estiativa de δb: Coeficiente de correlação: Coentário ao gráfico: Equações: Cálculo de λ: Cálculo de δλ: 12
Gráficos Inclua ua folha co os gráficos pedido no ponto 3 não se esquecendo de incluir barras de erro. Para a representação das barras de erro associadas a cada valor do quadrado do raio 2 δ 2 adita coo razoável o intervalo de incerteza dado por ( ) r r 2 r ±. A partir da observação dos gráficos qual a sua conclusão final? Responda sucintaente às seguintes questões. Questões: Qual a relação entre os padrões de interferência (franjas claras e escuras) correspondentes à radiação reflectida e transitida através do sistea gerador de anéis? E que situação espera u aior contraste? Coentário final e conclusões: 13