Capítulo 2 Controlabilidad, Obsrvabilidad Estabilidad O principal objtivo dst capítulo é dfinir Controlabilidad, Obsrvabilidad Estabilidad, suas dcorrências dirtas Ests três concitos fundamntam o projto d stabilizadors qu é part intgrant d sguidors robustos 21 Concito d Controlabilidad O concito d controlabilidad é fundamntal para o projto d stabilizadors usando ralimntação d stado Um sistma instávl, porém controlávl, pod sr stabilizado, m consqüência, sta s torna uma condição ncssária qu prmit projtar com sgurança controladors para sistmas 211 Caso Contínuo Dfinição d Controlabilidad : Sjam x i x f pontos do spaço d stado arbitrariamnt scolhidos O sistma contínuo, d ordm n,, é controlávl s somnt s xist um sinal d control u(t), dfinido no intrvalo [t,t +τ], qu transfira o stado do ponto x i = x(t ) (stado inicial) para o ponto x f = x(t +τ) (stado final), ond t τ são um númros rais τ Pod-s dmonstrar qu sta dfinição é quivalnt ao Critério d Controlabilidad, aprsntado m sguida Critério d Controlabilidad: O sistma contínuo, d ordm n,, é controlávl s somnt s a matriz d controlabilidad, é não singular C x = [ B AB A (n 1) B ], 212 Caso Discrto Dfinição d Controlabilidad: Sjam x i x f pontos do spaço d stado arbitrariamnt scolhidos O sistma discrto, d ordm n,, é controlávls somnt s xist um sinal d control u(k), dfinido m [k,k +m], qu transfira o stado do ponto x i = x(k ) (stado inicial) para o ponto x f = x(k +m) (stado final), ond k m são intiros m n 35
36 Notas d Aula Critério d Controlabilidad: O sistma discrto, d ordm n,, é controlávl s somnt s a matriz d controlabilidad, é não singular C x = [ Γ ΦΓ Φ (n 1) Γ ], 22 Concito d Obsrvabilidad Para s ralizar squmas d sguimnto robusto, é ncssário a utilização d control por ralimntação d stado Quando o stado não é mnsurávl, é impossívl a implmntação dst tipo d control Porém, é possívl obtr uma stimativa do vtor x, usando apnas os sinais d ntrada, u, d saída, y, qu são smpr mnsurávis O squma qu stima o stado a partir da ntrada da saída é dnominado d Obsrvador d Estado O concito d obsrvabilidad é important para a construção d obsrvadors d stado Esqumas d control por ralimntação d stado podm sr implmntados usando o stado stimado, x, ao invés do stado ral, x 221 Caso Contínuo Dfinição d Obsrvabilidad: O sistma contínuo, d ordm n, y = Cx+Du, é obsrvávl s somnt s xist um númro ral τ tal qu o stado x() do spaço d stado possa sr dtrminado d u(t) y(t) para t τ Critério d Obsrvabilidad: O sistma contínuo, d ordm n, y = Cx+Du, é obsrvávl s somnt s a matriz d obsrvabilidad C CA O x =, CA (n 1) é não singular 222 Caso Discrto Dfinição d Obsrvabilidad: O sistma discrto, d ordm n, y(k) = Cx(k) + Du(k), é obsrvávl s somnt s xist um númro intiro m tal qu o stado x() do spaço d stado possa sr dtrminado d u(k) y(k) para k m Critério d Obsrvabilidad: O sistma discrto, d ordm n, y(k) = Cx(k) + Du(k), é obsrvávl s somnt s a matriz d obsrvabilidad C CΦ O x =, CΦ (n 1) é não singular
Controlabilidad, Obsrvabilidad Estabilidad 37 23 Domínio Frqüência Ants d aprsntarmos o assunto, vamos rcordar três propridads d dtrminants o concito d matriz adjunta Torma: Sjam F, G H matrizs quadradas, ond H é não singular Então dt(fg) = dt(f) dt(g) dt(h)dt(h 1 ) = 1 dt(f) = dt(f T ) Dfinição: Sja F uma matriz quadrada não singular d dimnsão n A matriz, γ 11 γ 12 γ 1n γ 21 γ 22 γ 2n Γ =, γ n1 γ n2 γ nn é a matriz d cofators d F O cofator γ ij d F é dfinido por γ ij = ( 1) i+j dt(m ij ), ond a matriz mnor M ij d F, d dimnsão n 1, é a matriz F sm a i-ésima linha sm a j-ésima coluna A matriz adjunta d F é a transposta d sua matriz d cofators γ 11 γ 21 γ n1 adj(f) = Γ T γ 12 γ 22 γ n2 = γ 1n γ 2n γ nn Torma: Sja F uma matriz quadrada não singular d dimnsão n Então 231 Caso Contínuo Sja o sistma contínuo, d ordm n, A Transformada d Laplac dst sistma é Podmos scrvr qu A função d transfrência é F 1 = adj(f) dt(f) y = Cx+Du sx(s) = Ax(s) + Bu(s) y(s) = Cx(s)+Du(s) (si A)x(s) = Bu(s) x(s) = (si A) 1 Bu(s) y(s) = C(sI A) 1 Bu(s)+Du(s) = [C(sI A) 1 B+D]u(s) f(s) = C(sI A) 1 B+D
38 Notas d Aula Podmos scrvr qu f(s) = C(sI A) 1 B+D = Cadj(sI A)B +D dt(si A) = Cadj(sI A)B+dt(sI A)D dt(si A) Vê-s claramnt qu o polinômio caractrístico é qu a quação caractrística é dt(si A), dt(si A) = Algumas propridads, rlativas a polinômios caractrísticos, são importants Torma: S F G são matrizs quadradas, ntão ( [ ]) F H dt si = dt(si F)dt(sI G) G ( [ ]) F dt si = dt(si F)dt(sI G) H G Torma: dt si a 1 a 2 a n I n 1 = sn a 1 s n 1 a n dt si a 1 a 2 I n 1 a n Torma: S T é não singular F = T 1 AT, ntão 232 Caso Discrto Sja o sistma discrto, d ordm n, A Transformada Z dst sistma é A função d transfrência é Podmos scrvr qu = sn a 1 s n 1 a n dt(si F) = dt(si A) y(k) = Cx(k) + Du(k) zx(z) = Φx(z)+Γu(z) y(z) = Cx(z)+Du(z) f(z) = C(zI Φ) 1 Γ+D f(z) = Cadj(zI Φ)Γ+dt(zI Φ)D dt(zi Φ)
Controlabilidad, Obsrvabilidad Estabilidad 39 O polinômio caractrístico é qu a quação caractrística é dt(zi Φ), dt(zi Φ) = Algumas propridads, rlativas a polinômios caractrísticos, são importants Torma: S F G são matrizs quadradas, ntão ( [ ]) F H dt zi = dt(zi F)dt(zI G) G ( [ ]) F dt zi = dt(zi F)dt(zI G) H G Torma: dt zi dt zi a 1 a 2 a n a 1 a 2 I n 1 I n 1 a n = zn a 1 z n 1 a n = zn a 1 z n 1 a n Torma: S T é não singular F = T 1 AT, ntão 24 Estabilidad 241 Caso Contínuo dt(zi F) = dt(zi A) Dfinição d Estabilidad: O sistma, d ordm n, y = Cx+Du, é stávl s para toda ntrada limitada, a saída é limitada Critério d Estabilidad: A condição para qu o sistma, d ordm n, y = Cx+Du, sja stávl é qu todas as raízs da quação caractrística, dt(si A) =, tnham part ral ngativa Torma d Estabilidad: Sja o sistma, d ordm n, S todas as raízs da quação caractrística, ẋ = Ax dt(si A) =, tivrm part ral ngativa, ntão para toda condição inicial x() lim x(t) =, t
4 Notas d Aula 242 Caso Discrto Dfinição d Estabilidad: O sistma, d ordm n, y(k) = Cx(k) + Du(k), é stávl s para toda ntrada limitada, a saída é limitada Critério d Estabilidad: A condição para qu o sistma, d ordm n, y(k) = Cx(k) + Du(k), sja stávl é qu todas as raízs da quação caractrística, dt(zi Φ) =, stjam dntro do círculo unitário Torma d Estabilidad: Sja o sistma, d ordm n, S todas as raízs da quação caractrística, stivrm dntro do círculo unitário, ntão para toda condição inicial x() x(k +1) = Φx(k) dt(zi Φ) =, lim x(k) =, k 25 Torma d Kalman Est torma rlaciona controlabilidad obsrvabilidad com função d transfrência 251 Caso Contínuo Torma: Sja a função d transfrência do sistma f(s) = Cadj(sI A)B+dt(sI A)D dt(si A) = N(s) D(s) y = Cx+Du O sistma y = Cx+Du é controlávl obsrvávl s somnt s os polinômios N(s) D(s) não têm raízs comuns 252 Caso Discrto Torma: Sja a função d transfrência do sistma f(z) = Cadj(zI Φ)Γ+dt(zI Φ)D dt(zi Φ) = N(z) D(z) y(k) = Cx(k) + Du(k)
Controlabilidad, Obsrvabilidad Estabilidad 41 O sistma y(k) = Cx(k) + Du(k) é controlávl obsrvávl s somnt s os polinômios N(z) D(z) não têm raízs comuns Uma implicação prática important dst torma é qu a Forma Canônica d Controlabilidad a Forma Canônica d Obsrvabilidad, obtidas a partir d uma função d transfrência, são quaçõs d stado controlávis obsrvávis 26 Transformação d Similaridad 261 Caso Contínuo Considr o sistma contínuo, d ordm n, y = Cx+Du, uma matriz n n, não singular T S dfinirmos ntão podmos scrvr x = Tz, o qu prmit scrvr ond Torma: Prova: Obsrv qu ond i é um númro intiro Assim, T 1 ẋ = T 1 Ax+T 1 Bu ż = T 1 ATz+T 1 Bu y = CTz+Du, ż = Fz+Gu y = Hz+Du, F = T 1 AT G = T 1 B H = CT C x = TC z O z = O x T [T 1 AT] i = T 1 A i T, C x = [ B AB A (n 1) B ] = TT 1[ B ATT 1 B A (n 1) TT 1 B ] = T [ T 1 B T 1 ATT 1 B T 1 A (n 1) TT 1 B ] = T [ G T 1 ATG T 1 A (n 1) TG ] = T [ G T 1 ATG (T 1 AT) (n 1) G ] = T [ G FG F (n 1) G ] = TC z D manira similar, pod-s provar a outra part do torma
42 Notas d Aula 262 Caso Discrto Considr o sistma discrto, d ordm n, y(k) = Cx(k) + Du(k), uma matriz n n, não singular T S dfinirmos x(k) = Tz(k), ntão podmos scrvr z(k +1) = Fz(k)+Gu(k) y(k) = Hz(k) + Du(k), ond F = T 1 AT G = T 1 B H = CT Torma: C x = TC z O z = O x T 27 Forma Canônica d Controlabilidad Todo sistma controlávl, sja discrto ou contínuo, pod sr posto na forma canônica d controlabilidad Dois métodos srão aprsntados 271 Caso Contínuo Sja o sistma, d ordm n, y = Cx+Du, controlávl Exist uma matriz, n n, não singular T, tal qu x = Tz, ż = Fz+Gu y = Hz+Du, ond F = T 1 AT = G = T 1 B = Dois métodos srão usados para a dtrminação d T: Primiro Método: a 1 a 2 a n I n 1 1,
Controlabilidad, Obsrvabilidad Estabilidad 43 1 d A B, calcular a matriz d controlabilidad 2 dtrminar a última linha, r n d sua invrsa C x = [ B AB A (n 1) B ] ; C 1 x = r 1 r 2 r n ; 3 a invrsa d T é T 1 = r n A (n 1) r n A (n 2) r n Sgundo Método: 1 calcular o polinômio caractrístico associado à A dt(si A) = s n a 1 s n 1 a n ; 2 calcular F = a 1 a 2 a n I n 1 G = 1 ;, 3 d F G, calcular a matriz d controlabilidad C z = [ G FG F (n 1) G ] ; 4 d A B, calcular a matriz d controlabilidad C x = [ B AB A (n 1) B ] ; 5 a invrsa d T é T 1 = C z C x 1 272 Caso Discrto Sja o sistma, d ordm n, y(k) = Cx(k) + Du(k), controlávl Exist uma matriz, n n, não singular T, tal qu x(k) = Tz(k), z(k +1) = Fz(k)+Gu(k) y(k) = Hz(k)+Du(k),
44 Notas d Aula ond F = T 1 AT = G = T 1 B = Dois métodos srão usados para a dtrminação d T: Primiro Método: a 1 a 2 a n I n 1 1, 1 d Φ Γ, calcular a matriz d controlabilidad 2 dtrminar a última linha, r n d sua invrsa C x = [ Γ ΦΓ Φ (n 1) Γ ] ; C 1 x = r 1 r 2 r n ; 3 a invrsa d T é T 1 = r n Φ (n 1) r n Φ (n 2) r n Sgundo Método: 1 calcular o polinômio caractrístico associado à Φ dt(zi Φ) = z n a 1 z n 1 a n ; 2 calcular F = a 1 a 2 a n I n 1 G = 1 ;, 3 d F G, calcular a matriz d controlabilidad C z = [ G FG F (n 1) G ] ; 4 d Φ Γ, calcular a matriz d controlabilidad C x = [ Γ ΦΓ Φ (n 1) Γ ] ; 5 a invrsa d T é T 1 = C z C x 1
Controlabilidad, Obsrvabilidad Estabilidad 45 28 Forma Canônica d Obsrvabilidad Todo sistma obsrvávl, sja discrto ou contínuo, pod sr posto na forma canônica d obsrvabilidad Dois métodos srão aprsntados 281 Caso Contínuo Sja o sistma obsrvávl, d ordm n, y = Cx+Du Exist uma matriz, n n, não singular T, tal qu ond F = T 1 AT = x = Tz, ż = Fz+Gu y = Hz+Du, a 1 a 2 I n 1 a n H = CT = [ 1 ] Dois métodos srão usados para a dtrminação d T: Primiro Método: 1 d A C, calcular a matriz d obsrvabilidad C CA O x = ; CA (n 1) 2 dtrminar a última coluna, r n, d sua invrsa O x 1 = [ r 1 r 2 r n ] ;, 3 a matriz T é T = [ A (n 1) r n A (n 2) r n r n ] Sgundo Método: 1 calcular o polinômio caractrístico associado à A dt(si A) = s n a 1 s n 1 a n ; 2 calcular F = a 1 a 2 I n 1 a n, H = [ 1 ] ;
46 Notas d Aula 3 d F H, calcular a matriz d obsrvabilidad H HF O z = ; HF (n 1) 4 d A C, calcular a matriz d obsrvabilidad C CA O x = ; CA (n 1) 5 a matriz T é T = O x 1 O z 282 Caso Discrto Sja o sistma obsrvávl, d ordm n, Exist uma matriz, n n, não singular T, tal qu ond y(k) = Cx(k) + Du(k) x(k) = Tz(k), z(k +1) = Fz(k)+Gu(k) F = T 1 AT = y(k) = Hz(k) + Du(k), a 1 a 2 I n 1 a n H = CT = [ 1 ] Dois métodos srão usados para a dtrminação d T: Primiro Método: 1 d Φ C, calcular a matriz d obsrvabilidad C CΦ O x = ; CΦ (n 1) 2 dtrminar a última coluna, r n, d sua invrsa O x 1 = [ r 1 r 2 r n ] ;, 3 a matriz T é T = [ Φ (n 1) r n Φ (n 2) r n r n ] Sgundo Método:
Controlabilidad, Obsrvabilidad Estabilidad 47 1 calcular o polinômio caractrístico associado à Φ dt(zi Φ) = z n a 1 z n 1 a n ; 2 calcular F = a 1 a 2 I n 1 a n H = [ 1 ] ;, 3 d F H, calcular a matriz d obsrvabilidad H HF O z = ; HF (n 1) 4 d Φ C, calcular a matriz d obsrvabilidad C CΦ O x = ; CΦ (n 1) 5 a matriz T é T = O x 1 O z 29 Exmplo Sja o sistma ẋ = 6 8,8 1 x+ u 1 y = [ 2 ] x Encontrar: a) Vrificar s o sistma é controlávl; b) Encontrar a forma canônica d controlabilidad plo primiro método; c) Vrificar s o sistma é obsrvávl; d) Encontrar a forma canônica d obsrvabilidad plo primiro método; ) Achar o polinômio caractrístico dirtamnt plas propridads; f) Encontrar a forma canônica d obsrvabilidad plo sgundo método; g) Achar a função d transfrência Solução: a) Do sistma podmos scrvr qu 6 8,8 A = 1 B = 1
48 Notas d Aula C = [ 2 ] Mas Assim, 6 8,8 6 8,8 28 48 4,8 A 2 = 1 1 = 6 8,8 6 8,8 AB = 1 =,8 1 28 48 4,8 A 2 B = 6 8, 8 = 4,8,8 1 C x = [ B AB A 2 B ],8 4,8 =,8 1 Portanto, o sistma é controlávl b) Primiro passo: Vimos qu dt(c x ) =,64,8 4,8 C x =,8 1 Sgundo passo: C 1 x = 1 1,25 7,5 = 1,25 r 1 r 2 r 3 Trciro passo: r 3 = [ 1,25 ] r 3 A = [ 1,25 ] r 3 A 2 = [ 7,5 1 1 ] A matriz T 1 é T 1 = r 3A 2 r 3 A r 3 7,5 1 1 = 1, 25 1,25 T =,8,8 1 6 8 Finalmnt podmos scrvr qu
Controlabilidad, Obsrvabilidad Estabilidad 49 7,5 1 1 6 8,8 F = T 1 AT = 1, 25 1,8,8 1,25 1 6 8 6 8 = 1 1 7,5 1 1 G = T 1 B = 1, 25 1,25 1 = 1 H = CT = [ 2 ],8,8 1 6 8 = [ 1,6 ] c) Podmos scrvr qu C = [ 2 ] CA = [ 2 ] CA 2 = [ 12 16 1,6 ] Assim, C O x = CA = 2 2 CA 2 12 16 1,6 dt(o x ) = 6,4 Assim, o sistma é obsrvávl d) Primiro passo: Sgundo passo: Trciro passo: O x = O 1 x = [ r 1 r 2 r 3 ] = 2 2 12 16 1,6 r 3 =,625,5,5 5 3,75,625
5 Notas d Aula Podmos finalmnt scrvr ) Plo método dirto T = [ ] 3,5 A 2 r 3 Ar 3 r 3 =,5, 625 T 1 = 2 2 12 1,6 F = T 1 AT = 6 1 8 1 G = T 1 B = 1,6 H = CT = [ 1 ] si A = = s 6 8,8 s 1 s s+6 8,8 1 s s Assim, dt(si A) =s 3 +6s 2 +8s Plas propridads Assim, por inspção A = [ ] 6 8,8 F H = 1 G F = [ ] 6 8 1 G = Então H = [ ],8 dt(si A) = dt(si F)dt(sI G) [ ] 6 8 = dt(si )s 1 = s 3 +6s 2 +8s f) Primiro passo: dt(si A) =s 3 +6s 2 +8s+
Controlabilidad, Obsrvabilidad Estabilidad 51 Sgundo passo: Trciro passo: Quarto passo: Quinto passo: Quinto passo: g) Mas, O z = F = 6 1 8 1 H = [ 1 ] H HF HF 2 = 1 6 1 28 6 1 C O x = CA = 2 2 CA 2 12 16 1,6 O 1 x =,5,5 5 3,75,625 3,5 T = O 1 x O z =,5, 625 f(s) = Cadj(sI A)B dt(si A) dt(si A) = s 3 +6s 2 +8s = s(s 2 +6s+8) adj(si A) = = γ 11 γ 12 γ 13 γ 21 γ 22 γ 23 γ 31 γ 32 γ 33 γ 11 γ 21 γ 31 γ 12 γ 22 γ 32 γ 13 γ 23 γ 33 T Cadj(sI A)B = [ 2 ] γ 11 γ 21 γ 31 γ 12 γ 22 γ 32 γ 13 γ 23 γ 33 1 = 2γ 32 s+6 8,8 si A = 1 s s
52 Notas d Aula Mas, γ ij = ( 1) i+j dt(m ij ) γ 32 = ( 1) 3+2 dt(m 32 ) = dt(m 32 ) [ ] s+6,8 = dt( ) =,8 1 finalmnt Cadj(sI A)B = 2γ 32 = 1,6 f(s) = 1,6 s(s 2 +6s+8) 21 Exrcícios 1 Sja o sistma x(k +1) = 1 2 1 2 3 1 4 x(k)+ y(k) = [ 1 1 ] x(k) 1 u(k) a) Dtrminar a função d transfrência; b) Vrificar s o sistma é stávl; c) Vrificar s o sistma é controlávl; d) Dtrminar a Forma Canônica d Controlabilidad plo primiro método; ) Dtrminar a Forma Canônica d Controlabilidad plo sgundo método; f) Dtrminar a função d transfrência a partir da Forma Canônica d Controlabilidad 2 Sja o sistma ẋ = 1 2 1 2 3 1 4 y = [ 1 1 ] x x+ 1 u a) Vrificar s o sistma é obsrvávl; b) Dtrminar a Forma Canônica d Obsrvabilidad plo primiro método; c) Dtrminar a Forma Canônica d Obsrvabilidad plo sgundo método; d) Dtrminar a função d transfrência a partir da Forma Canônica d Obsrvabilidad
Controlabilidad, Obsrvabilidad Estabilidad 53 211 Rspostas dos Exrcícios 1 2 a) f(z) = 2z 6 z 3 7z 2 +13z 12 b) sistma instávl, pois tm um pólo igual a 4,819 qu stá fora do círculo unitário c) sistma controlávl, pois dt(c x ) = 4 d) x(k +1) = ) rsposta igual a do itm d) f) rsposta igual a do itm a) 7 13 12 1 1 y(k) = [ 2 6 ] x(k) x(k)+ 1 a) sistma obsrvávl, pois dt(o x ) = 18 b) ẋ = 7 1 13 1 x+ 2 u 12 6 y = [ 1 ] x u(k) c) rsposta igual a do itm b) d) f(s) = 2s 6 s 3 7s 2 +13s 12