Sumário e Objectivos Sumário: Vigas Hiperestáticas Objectivos da Aula: Apreender a forma como se pode superar a hiperestaticidade por aplicação do Princípio da Sobreposição de Efeitos 1
Satélite 2
Tecto 3
Considere a viga representada na figura pkn/m Viga Hiperestática Eemplo 21.1 L Determine as reacções de Apoio, Trace os diagramas de Esforços e Determine a Flecha Máima 4
Aplicação do Princípio da Sobreposição de Efeitos O número de Equações da Estática de Equilíbrio de Forças e Momentos é insuficiente para efeitos de cálculo das Reacções de Apoio. A y B A + A B (2) RB B 5
Aplicação do Princípio da Sobreposição de Efeitos Compatibilidade dos Deslocamentos Obriga a que o Deslocamento em B seja nulo fornecendo a equação necessária para efeitos de Cálculo da Reacção R B. Estuda-se primeiro o caso e determina-se o deslocamento em B v B. Estuda-se seguidamente o caso (2) e determina-se o deslocamento em B v B (2). A soma de v B com v B (2) tem de ser igual a zero. 6
Caso Aplicação do Princípio da Sobreposição de Efeitos Reacções de Apoio R A = = pl M A = -pl 2 /2 Esforço Transverso e Momento Flector Deslocamento em B T = p M = -p 2 /2 2 2 3 4 v p dv p p = 2 M = = + C1 = + C1 + C2 d EI EI EIv d 2 d 6 24 =L => dv/d=0 e v=0 consequentemente v B 4 =- pl 8EI 7
Caso (2) Aplicação do Princípio da Sobreposição de Efeitos Reacções de Apoio R A (2) = -R B e M A (2) = R B L Esforço Transverso e Momento Flector Deslocamento em B T (2) =-R B M (2) = R B 2 2 3 v (2) dv 2 M RB RB C1 RB C1 C2 d EI EI EIv d = = d = 2 + = 6 + + =L => dv/d=0 e v=0 consequentemente v R L 3EI (2) B B = 3 8
Compatibilidade dos Deslocamentos em B v B 4 3 (2) pl RBL =vb + vb =0 - + = 0 RB = 8EI 3EI 3pL 8 As Reacções de Apoio na Viga AB são de acordo com o Princípio de Sobreposição de Efeitos: R A = R A +R A (2) = pl R B = pl-3pl/8= 5pL/8 M A = M A + M A (2) = -pl 2 /2 + 3pL 2 /8 = -pl 2 /8 R B = 3pL/8 9
Aplicação do Princípio da Sobreposição de Efeitos Esforços Transversos e Momentos Flectores na Viga AB T = T +T (2) = p R B = p- 3pL/8 M = M + M (2) = - p 2 /2 + R B = -p 2 /2 + 3pL/8 A B A B + A B 10
Deformada Por Aplicação do Princípio da Sobreposição de Efeitos a Inclinação e a Deformada são: EIdv/d= -p 3 /6+pL 3 /6+3pL 2 /16-3pL 3 /16 EIv=-p 4 /24+pL 3 /6+pL 3 /16-3pL 3 /16 A inclinação é nula para: 1 33 1 33 = L, ( + ) L, ( - ) L 16 16 16 16 O Valor a azul corresponde ao valor de para um máimo da deformada que é = 0,4215L. 11
Considere a viga representada na figura Viga Hiperestática Eemplo 21.2 pkn/m A B C L L Determine as reacções de Apoio, Trace os diagramas de Esforços e Determine a Flecha Máima 12
Aplicação do Princípio da Sobreposição de Efeitos O número de Equações da Estática de Equilíbrio de Forças e Momentos é insuficiente para efeitos de cálculo das Reacções de Apoio. pkn/m A B C pkn/m + A C A B C (2) R B 13
Aplicação do Princípio da Sobreposição de Efeitos Compatibilidade dos Deslocamentos Obriga a que o Deslocamento em B seja nulo fornecendo a equação necessária para efeitos de Cálculo da Reacção R B. Estuda-se primeiro o caso e determina-se o deslocamento em B v B. Estuda-se seguidamente o caso (2) e determina-se o deslocamento em B v B (2). A soma de v B com v B (2) tem de ser igual a zero. 14
Aplicação do Princípio da Sobreposição de Efeitos Caso y A pkn/m C 2L Reacções de Apoio: R A = pl R C = pl Esforço Transverso: T = R A p= p (L-) 15
Caso cont. Diagrama de Esforços Transversos pl P(L-) Momento Flector: M = pl-p 2 /2 -pl Diagrama de Momentos Flectores pl 2 /2 pl-p 2 /2 16
Caso cont. Deformada: 2 2 3 v 2 dv 2 d EI = pl-p /2 EI = pl p + C d d 2 6 3 4 EIv = pl p + C + C 6 24 3 4 3 p EIv = pl p L 6 24 3 1 2 1 Para = L 4 v = 5pL 24EI 17
Caso (2) A B C (2) R B Reacções de Apoio: R A (2) = -R B /2 R C (2) = -R B /2 Esforço Transverso: Para <L T (2) = -R B /2 Para >L T (2) = R B /2 18
Caso (2) Diagrama de Esforços Transversos R B /2 -R B /2 Momento Flector Para <L M (2) = -R B /2 Para >L M (2) = R B /2-R B L Diagrama de Momentos Flectores -R B L/2 19
Caso (2) Deformada 3 2 2 v - B dv 2 R B 1 d Para L EI = R EI = - + C d 2 d 4 EIv = R + C + C 12 B 1 2 EIv 3 2 = L RB + RB 12 4 20