CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 02: Funções Objetivos da Aula Denir e reconhecer funções; Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes; Reconhecer funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras; Determinar a função inversa de uma função bijetora. 1 Funções Consideremos A e B dois conjuntos. Uma função f é uma lei que associa cada elemento x A a um único elemento y B. O conjunto A é chamado domínio da função f e o conjunto B é chamado contradomínio da função f. Costuma-se representar função pela seguinte notação: f : A B Para armarmos que um determinado x A está associado a certo y B através da função f, costumamos utilizar a notação: y = f(x) Denimos também o seguinte subconjunto do contradomínio, chamado conjunto imagem da função f Im f = {y B y = f(x), x A} Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de echas, como ilustrado a seguir Figura 1: Representação de uma função por um diagrama de echas 1
Por exemplo, sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e considere que f(1) = 2 f(2) = 3 f(3) = 4 f(4) = 5 f(5) = 6 Note que Im f = {2, 3, 4, 5, 6}. A representação dessa função pelo diagrama de echas é feita da seguinte forma: Figura 2: Exemplo de uma função representada por um diagrama de echas Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a seguinte tabela: Dia Valor da Compra 02 2, 8942 03 2, 9260 04 2, 9787 05 3, 0100 06 3, 0550 09 3, 1285 10 3, 1015 11 3, 1266 12 3, 1590 13 3, 2460 Embora não tenhamos uma regra explícita, a tabela acima é função do conjunto D = {02, 03, 04, 05, 06, 09, 10, 11, 12, 13} em R, uma vez que para cada dia t D, existe um único valor correspondente de V (t) = valor do dólar no dia t. Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os elementos do domínio e contradomínio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usando técnicas apropriadas é possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela. Contudo, tanto o diagrama de echas quanto a tabela de valores, não são ecientes para representar uma função cujo domínio é um conjunto innito. Por isso, a representação gráca de uma função é a melhor forma de visualizá-la e entender o seu comportamento. E para entendermos melhor esse tipo de representação, segue a denição de gráco de uma função. Denição 1. Seja f : A B uma função. O gráco de f, denotado por G f, é o seguinte subconjunto do produto cartesiano A B: G f = {(x, f(x)) A B x A} O gráco de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função, pois uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) sobre o gráco, é da forma y = f(x), podemos ler o valor f(x) como sendo a altura do ponto no gráco acima de x. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2
Figura 3: Entendendo f(x) como uma altura do ponto x no gráco de f. O gráco também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função f sobre o eixo y. Figura 4: Determinando a imagem e o domínio de um função através do seu gráco. Assim como no diagrama de echas, podemos determinar se uma curva desenhada no plano cartesiano xy é o gráco de uma função ou não. Para isso, utilizamos o teste da reta vertical, descrito abaixo: Uma curva no plano xy é o gráco de uma função de x se, e somente se, nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez. Como exemplo, temos que o gráco abaixo é de uma função. Note que toda reta vertical (paralela ao eixo y) intersecta a curva em exatamente um ponto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3
Figura 5: Ilustração 1 do Teste da Reta Vertical. A seguinte curva não é gráco de uma função, pois pelo menos uma reta vertical intersecta mais de um ponto da curva. Figura 6: Ilustração 2 do Teste da Reta Vertical. 1.1 Restrições no domínio Quando não especicado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A R tal que a função esteja denida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações, pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Por exemplo, Exemplo 1. Considere a função dada por f(x) = 1 x 2. Determine o seu domínio. 1 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4
Devemos determinar o maior subconjunto dos números reais, onde a função f esteja denida. Mas para isso, note que a função é dada por um quociente de funções. Com isso, note que a função no denominador não pode ser 0, pois seria uma indeterminação. Logo, os pontos onde a função não está denida são os valores que zeram a função x 2 1. Dessa forma, fazemos x 2 1 0 x 2 1 x 1 e x 1 Logo, o domínio de f é o conjunto A = {x R x 1 e x 1} Exemplo 2. Seja g(x) = 4 x 2 2x. Determine o conjunto domínio de g. Para isso, devemos notar que nenhum radical de índice par admite radicando negativo. Logo, o domínio de g devem ser os números reais tais que x 2 2x 0. Logo, x 2 2x 0 x(x 2) 0 Estudando o sinal desse produto de polinômios, obtemos que Figura 7: Estudo do Sinal de x(x 2). Logo, o domínio de g é o conjunto A = {x R x 0 ou x 2} = (, 0] [2, + ) Exemplo 3. Determine o domínio da função h(x) = 2x 4 x 3 8. Note que no denominador, agora temos uma função raiz quadrada, logo, os valores reais que anulam ou que tornam a função x 3 8 negativa não podem estar no domínio de h. Desse modo, calculamos x 3 8 > 0 x 3 > 8 x > 3 8 x > 2 Assim, o domínio de h é o conjunto A = {x R x > 2}. Em algumas situações, denotaremos A = D f e B = CD f. 2 Tipos de Funções Apresentaremos agora alguns tipos de funções que serão utilizadas ao longo do nosso estudo. 2.1 Funções Pares e Ímpares Seja f : R R uma função. Dizemos que f é uma função par se f( x) = f(x). Por exemplo, a função f(x) = x 2 é par, pois f( x) = ( x) 2 = x 2 = f(x) Gracamente, uma função par é reconhecida por que o seu gráco é simétrico em relação ao eixo y. Isso pode ser notado no gráco de f Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5
Figura 8: Exemplo de uma função par. Dizemos também que g é uma função ímpar se g( x) = g(x). Podemos citar como exemplo a função g(x) = x 3, pois g( x) = ( x) 3 = x 3 = g(x) Gracamente, uma função ímpar pode ser reconhecida por que seu gráco é simpetrico em relação à origem, e esse fato pode ser observado no gráco de g. Figura 9: Exemplo de uma função ímpar. Observe que existem funções que não são nem pares, nem ímpares, como por exemplo a função f(x) = x + 1, pois f( x) = x + 1 f(x) e f( x) = x + 1 f(x) 2.2 Funções Crescentes e Decrescentes Segue a denição abaixo: Denição 2. Sejam f : A B uma função e x 1, x 2 D f. Denimos que f é uma Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6
(i) função crescente se x 1 < x 2 então f(x 1 ) f(x 2 ); (iii) função decrescente se x 1 < x 2 então f(x 1 ) f(x 2 ); Segue abaixo alguns exemplos. Figura 10: Exemplo de uma função crescente. Figura 11: Exemplo de uma função decrescente. Observe que existem funções que não são crescentes e nem decrescentes em todo o seu domínio, ou seja, uma mesma função pode ser crescente em uma parte do seu domínio e decrescente em outra parte. Um exemplo de função com essa propriedade é a função quadrática, dada por f(x) = x 2 + 1, pois note que 2 para x < 0 a função é decrescente e para x > 0 a função é crescente, como podemos ver no gráco de f. Figura 12: Exemplo de uma função crescente e decrescente. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7
Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora Uma função f : A B é chamada injetora se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é, para x 1, x 2 A, Se x 1 x 2, então f(x 1 ) f(x 2 ) Analogamente, temos que Exibiremos a seguir um exemplo de função injetora. Se f(x 1 ) = f(x 2 ), então x 1 = x 2 Exemplo 4. Considere a função f : R R, dada por f(x) = x 3. f é injetora? Solução: cubo. Sim, pois se x 1 x 2 então x 3 1 x3 2, uma vez que dois números reais não possuem o mesmo Note que existem funções que não são injetoras. Um exemplo será abordado a seguir Exemplo 5. Considere a função f : R R, dada por f(x) = x 2. f é injetora? Solução: Não, pois f( 1) = 1 = f(1). Logo, dois números reais possuem a mesma imagem por f. Portanto, f não é injetora. Uma forma de vericarmos gracamente se uma função é injetora ou não é o chamado teste da reta horizontal: Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráco em mais de um ponto Aplicando esse teste às funções dos exemplos anteriores, notamos que Figura 13: Exemplo 4. Figura 14: Exemplo 5. Dizemos que uma função f : A B é sobrejetora se Im f = B. Equivalentemente, para todo elemento y B, existe um x A tal que y = f(x). Um exemplo de função sobrejetora é a função exibida no seguinte exemplo. Exemplo 6. Considere f : R R, denida por f(x) = x 3. f é sobrejetora? Solução: Sim, pois para cada número real y R podemos tomar o número x = 3 y R e observar que y = ( 3 y) 3 = x 3 = f(x) Desse modo, Im f = R, e portanto, f é sobrejetora. Assim como foi estudado para funções injetoras, existem funções que não são sobrejetoras. observar o seguinte exemplo. Basta Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8
Exemplo 7. Considere f : R R, denida por f(x) = x 2. f é sobrejetora? Solução: Não, pois se tomarmos o número real y = 2, não existe nenhum número real x R tal que f(x) = 2 Dessa forma, Im f R, e portanto, f não é sobrejetora. Observação 1. Note que se denirmos f : R [0, + ) então f é sobrejetora, pois Im f = [0, + ). Denição 3. Seja f : A B uma função. Dizemos que f é bijetora, se f é injetora e sobrejetora. Mediante essa denição, podemos armar baseado nos exemplos 4, 5, 6 e 7 que f(x) = x 3 é bijetora, enquanto que f(x) = x 2 não é. Função Inversa Seja f : A B uma função bijetora. Denimos a função inversa de f e denotaremos por f 1 como sendo a função f 1 : B A, tal que y = f(x) x = f 1 (y) (1) Um exemplo simples da relação 1 pode ser dada pelo diagrama de echas no exemplo a seguir: Exemplo 8. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 4, 5} e uma função f : A B, dada por Determine a função f 1. f(1) = 4 f(2) = 5 f(3) = 0 Solução: Para determinarmos a função f 1, vamos representar f por um diagrama de echas. Dessa forma, obtemos Figura 15: Diagrama de echas de f. Agora, basta inverter o sentido das echas e obtemos a função f 1, desse modo Figura 16: Diagrama de echas de f 1. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 9
Assim, a função inversa de f é a função f 1 : B A, dada por f 1 (4) = 1, f 1 (5) = 2 e f 1 (0) = 3. Exemplo 9. Dadas as funções abaixo, determine as suas inversas. (i) f : R R, dada por f(x) = x 3 ; (ii) g : [0, 1] [0, 1], dada por g(x) = 1 x 2 ; (i) Solução: Note que f é bijetora. Logo, existe uma função f 1 : R R tal que y = f(x) x = f 1 (y) Para determinar a função f 1, devemos isolar a variável x em função de y. Desse modo, obtemos que y = x 3 x = 3 y Assim, obtemos que a função inversa de f é f 1 : R R, dada por f 1 (y) = 3 y. (ii) Solução: Como zemos anteriormente, isolaremos a variável x em função de y. Logo, y = 1 x 2 y 2 = 1 x 2 x 2 = 1 y 2 x = 1 y 2 Desse modo, obtemos que a inversa de g é g 1 : [0, 1] [0, 1], dada por g(y) = 1 y 2 Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 10 18 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas 19 22 do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 10