Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Conceitos ásicos de Probabilidade Camilo Daleles Rennó camilo@dpi.inpe.br http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/
Frequência Absoluta e Relativa Experimento: jogar um dado 100 vezes, observando-se os valores obtidos Sequência obtida: 1 5 6 3 4 1... 4 Suponha que o interesse nesse experimento seja avaliar o quanto este dado é honesto Valor 1 Frequência Absoluta Frequência Relativa Neste caso, a ordem dos valores não é importante e podemos reorganizar os 2 resultados na forma de uma tabela 3 4 5 6 Total 2
Frequência Absoluta e Relativa Experimento: jogar um dado 100 vezes, observando-se os valores obtidos Valor Frequência Absoluta Frequência Relativa 1 15 0,15 2 19 0,19 3 16 0,16 4 14 0,14 E se continuássemos sorteando novos valores? 5 19 0,19 6 17 0,17 Total 100 1 3
Frequência Absoluta e Relativa Experimento: jogar um dado 1000 vezes, observando-se os valores obtidos Valor Frequência Absoluta Frequência Relativa 1 158 0,158 2 168 0,168 3 166 0,166 4 146 0,146 5 178 0,178 6 184 0,184 Após 1000 sorteios... E se o experimento fosse repetido infinitamente? Total 1000 1 4
Frequência Absoluta e Relativa Experimento: jogar um dado infinitas vezes, observando-se os valores obtidos Valor Frequência Absoluta Frequência Relativa 1? 2? 3? 4? 5? 6? Total 1 Se o dado for honesto, não há motivos para pensar que um valor ocorra mais que outro Freq. Rel. Probabilidade (ver pasta exemplo1 em revisao_probabilidade.xls) 5
Experimento: jogar um dado e observar seu valor. Valor Probabilidade 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 1 2 3 4 5 6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6 1/6 Total 1 P( evento qualquer) # eventos favoráveis # eventos possíveis 0 P(evento qualquer) 1 P( eventoi) 1 i 6
Experimento: jogar um dado e observar seu valor. 1 2 3 4 5 6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} # eventos favoráveis P # eventos possíveis Qual a probabilidade de obter um valor igual a 1? P(valor igual a 1) = 1 6 Qual a probabilidade de obter um valor múltiplo 3? 2 P(valor múltiplo 3) = 6 = 1 3 7
A? Qual a probabilidade do objeto selecionado ser quadrado ou ser vermelho? A = objeto quadrado = objeto vermelho P(A ) =? 8
Diagrama de Venn O elemento escolhido... é A ou é A não é nem A nem A A A é A e simultaneamente A não é A e simultaneamente A A não é A é somente A A A 9
P( A)? P( A)? PA ( )? 10
A Exemplo: Qual a probabilidade do objeto selecionado ser quadrado ou ser vermelho? P( Quadrado Vermelho) 8 9 P( Quadrado Vermelho ) P( Quadrado ) P( Vermelho ) 5 5 10 1? 9 9 9 11
A Exemplo: Qual a probabilidade do objeto selecionado ser quadrado ou ser vermelho? P( Quadrado Vermelho) 8 9 P( Quadrado Vermelho ) P( Quadrado ) P( Vermelho ) 5 5 2 8 9 9 9 9 P( Quadrado Vermelho) 12
A ( A ) ( A ) ( A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A) P( ) P( A) P( A ) 0 P( A ) P( A) P( ) (eventos mutuamente exclusivos) 13
A Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? P( Vermelho1Vermelho2)?? 11 10.? 14
A Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? P( Vermelho1Vermelho2)? 110 6 5.? 15
A Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? P( Vermelho1Vermelho2) 30 110 6 5 1110 6.5 11.10 P( Vermelho P(?) 1) 16
A Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? P( Vermelho1Vermelho2) 30 110 6 5 1110 6.5 11.10 P( Vermelho sabendo P(?) que Vermelho ) 2 1 P( Vermelho / Vermelho ) 2 1 17
A Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? P( Vermelho1Vermelho2) 30 110 P( Vermelho Vermelho ) P( Vermelho ). P( Vermelho / Vermelho ) 1 2 1 2 1 6 5 30. 11 10 110 18
A P( A) P( A). P( / A) P( ). P( A/ ) 19
A Exemplo: Qual a probabilidade de escolher dois objetos vermelhos? P( Vermelho1Vermelho2)?? 6 6 P ( Vermelho 1 Vermelho 2 ). 11 11 (eventos independentes) P( Vermelho 1). P( Vermelho 2) 20
A P( A) P( A). P( / A) P( ). P( A/ ) Se A e são eventos independentes: P( A/ ) P( A) e P( / A) P( ) P( A ) P( A). P( ) 21
A Qual a probabilidade de escolher pelo menos 1 objeto vermelho? P( pelo menos 1 Vermelho ) P(1 Vermelho) P(2 Vermelhos) P(3 Vermelhos) 1 P(5 Azuis) 5 4 3 2 1 1.... 0,9978 11 10 9 8 7 P(4 Vermelhos) P(5 Vermelhos) P(1 Vermelho 4 Azuis) P(2 Vermelhos 3 Azuis)... P(5 Vermelhos) 22
A P( A) 1 P( A) 23
A P( A ) P( A) P( ) P( A ) P( A) P( ) P( A) eventos mutuamente exclusivos A P( A ) P( A). P( / A) P( ). P( A/ ) P( A) P( A). P( ) eventos independentes A P( A) 1 P( A) 24
Exercícios 1) Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A,, C) de acordo com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de e 300 de C. Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto: a) seja da classe A; b) corresponda a uma queimada, sabendo que o ponto é da classe A; c) corresponda a uma queimada; e d) seja da classe A, sabendo que o ponto corresponde a uma queimada. 25
Exercícios 1) Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A,, C) de acordo com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de e 300 de C. Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto: a) seja da classe A;? PA ( ) 100 1? 600 6 b) corresponda a uma queimada, sabendo que o ponto é da classe A;? P( Q / A) 10 100? 26
Exercícios 1) Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A,, C) de acordo com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de e 300 de C. Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto: c) corresponda a uma queimada; PQ ( ) 10? 10 3 23? 600 600 Probabilidade Total 27
Total A 1 A 2 A1 A2 A3 A4 A5 A A i, j i j i j A 3 A 4 A 5 conjuntos disjuntos eventos mutuamente exclusivos P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) 1 1 2 3 4 5 i1 A i i1 P( A ) 1 i 28
Total A 1 A 2 A 3 ( A ) ( A ) ( A ) 1 2 5 5 P( ) P( A ) i1 i 5 P( Ai). P( / Ai) i1 A 4 A 5 29
Exercícios 1) Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A,, C) de acordo com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de e 300 de C. Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto: c) corresponda a uma queimada; Q ( AQ) ( Q) ( C Q) P( Q) P( AQ) P( Q) P( C Q) P( Q) P( A). P( Q / A) P( ). P( Q / ) P( C). P( Q / C) 1 10 2 5 3 1 10 10 3 23 PQ ( ) 6 100 6 100 6 100 600 600 30
Exercícios 1) Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A,, C) de acordo com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de e 300 de C. Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto: d) seja da classe A, sabendo que o ponto corresponde a uma queimada.? P( A/ Q) 10? 23 Teorema de ayes 31
Teorema de ayes A 1 A 2 A 3 P( A ) P( A ). P( / A ) P( ). P( A / ) i i i i A 4 A 5 P( A / ) i P( Ai). P( / Ai) P ( ) 5 j1 P( A ). P( / A ) i P( A ). P( / A ) j i j Obs.: o termo no numerador será um dos termos do denominador 32
Exercícios 1) Num estudo sobre ocorrência de queimadas, 600 pontos foram escolhidos aleatoriamente e divididos em 3 grupos (A,, C) de acordo com sua classe de uso do solo, sendo 100 de A, 200 de e 300 de C. Suponha que a probabilidade de ocorrência de queimada em cada uma das classes seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se um ponto ao acaso, calcule a probabilidade de que esse ponto: d) seja da classe A, sabendo que o ponto corresponde a uma queimada. P ( ). ( / ) ( A / Q P A P Q A ) P ( A ). P ( Q / A ) P ( ). P ( Q / ) P ( C ). P ( Q / C ) 1 1 1 6 10 60 10 600 10 P( A/ Q) 1 10 2 5 3 1 23 600 23 23 6 100 6 100 6 100 600 33
Exercícios 2) Qual a probabilidade de escolher exatamente 3 objetos vermelhos? 3Vermelhos 3Vermelhos 2Azuis P(3 Vermelhos ) P( V V V A A ) P( A A V V V ) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 P( V V V A A ) 1 2 3 4 5? 34
Exercícios 2) Qual a probabilidade de escolher exatamente 3 objetos vermelhos? 3Vermelhos 3Vermelhos 2Azuis P(3 Vermelhos ) P( V V V A A ) P( A A V V V ) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5? P( V1 V2 V3 A4 A5 ) 1110 9 8 7 35
Exercícios 2) Qual a probabilidade de escolher exatamente 3 objetos vermelhos? 3Vermelhos 3Vermelhos 2Azuis P(3 Vermelhos ) P( V V V A A ) P( A A V V V ) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5? 6 5 4 5 4 P( V1 V2 V3 A4 A5 ) 1110 9 8 7 iguais! 5 4 6 5 4 P( A1 A2 V3 V4 V5 ) 1110 9 8 7 Mas quantas vezes? Técnicas de contagem 36
Técnicas de Contagem I A I A O U E O O De quantas formas posso rearranjar estas 9 letras? Se fossem 9 letras diferentes: 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 9! Permutação (sem reposição) Permutação com repetição k n! # grupos n n n! n!... n! i1 1 2 k i 9! # grupos 2!1!2!3!1! A E I O U 9 8 7 6 5 4 3 2 2 2 3 2 15120 37
Técnicas de Contagem A D C E Quantos grupos de 2 letras é possível formar com estas 5 letras? A ordem é importante: Arranjo {A, AC, AD, AE, A, C,..., ED} # grupos n! ( n k)! 5! 5.4 20 3! A ordem não é importante: Combinação {A, AC, AD, AE, C, D,..., DE} # grupos n! k!( n k)! 5! 10 2!3! 38
Exercícios 2) Qual a probabilidade de escolher exatamente 3 objetos vermelhos? 3Vermelhos 3Vermelhos 2Azuis P(3 Vermelhos ) P( V V V A A ) P( A A V V V ) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 P(3 Vermelhos ) 5! 6 5 4 5 4 3!2!1110 9 8 7 5! 3!2! 5 5 3 2 39
Exercícios 3) A (sem reposição) Qual a probabilidade que ambas sejam da mesma cor? M ( R R ) ( G G ) ( ) 1 2 1 2 1 2 P( M ) P( R R ) P( G G ) P( ) 1 2 1 2 1 2 P( M ) P( R ) P( R / R ) P( G ) P( G / G ) P( ) P( / ) 1 2 1 1 2 1 1 2 1??? 40
Exercícios 3) A Qual a probabilidade que ambas sejam da mesma cor? M ( M R ) ( M G ) ( M ) A A A P( M ) P( M R ) P( M G ) P( M ) A A A P( M ) P( R ) P( M / R ) P( G ) P( M / G ) P( ) P( M / ) A A A A A A M ( R R ) ( G G ) ( ) 1 2 1 2 1 2 41
Exercícios 3) A Qual a probabilidade que ambas sejam da mesma cor? P( M ) P( R ) P( M / R ) P( G ) P( M / G ) P( ) P( M / ) A A A A A A M ( R R ) ( G G ) ( ) 1 2 1 2 1 2 PM ( ) 3 2 1 2 1 1 3 2 0 0 0 6 5 4 5 4 6 5 4 3 4 1 6 2 4 26 13 PM ( ) 6 20 6 20 6 20 120 60 2 2 1 2 1 0 6 5 4 5 4 (ver pasta exemplo2 em revisao_probabilidade.xls) 42