Modelos de equações estruturas: uma avalação dos métodos de máxma verossmlhança, mínmos quadrados ordnáros e mínmos quadrados parcas usados na estmação de parâmetros do modelo. Tâna Luca Hojo (UFMG) hojo@est.mest.ufmg.br Suel Aparecda Mngot (UFMG) suel@est.ufmg.br Resumo Atualmente, com um mercado compettvo, o montoramento da satsfação do consumdor é um fator essencal para o sucesso da empresa, propcando a melhora contínua do produto (ou servço) de acordo com as expectatvas do consumdor. Entretanto, a satsfação é um conjunto de concetos teórcos formados por varáves que não podem ser dretamente mensuradas (chamadas varáves latentes). Além dsso, estes concetos podem representar váras relações de dependênca entre as varáves. Uma técnca que tem sdo utlzada nesta área é a modelagem de equações estruturas (SEM), que também é conhecda como análse da estrutura de covarânca. A SEM é utlzada quando deseja-se analsar váras relações de dependênca as quas são relaconadas entre s, podendo uma varável dependente numa equação ser a varável ndependente numa outra equação. Além de ncorporar varáves que não são mensuradas dretamente. Este estudo enfoca o desenvolvmento estatístco que têm ocorrdo durante os últmos anos na Modelagem de Equações Estruturas, prncpalmente na área de marketng, apresentando os aspectos teórcos e uma comparação dos métodos de estmação. Palavras chave: Equações estruturas, Métodos de estmação, Qualdade, Varáves latentes. Introdução A qualdade sempre é vsta como o atendmento rgoroso de especfcações técncas ou de padrões de conformdade, vsando garantr a confabldade do produto ou servços. Atualmente, com um mercado altamente compettvo, a satsfação do consumdor é uma preocupação vtal para companhas e organzações, no aperfeçoamento da qualdade do produto ou servço e, conseqüentemente, a lealdade de seus clentes. É mportante ressaltar que clentes satsfetos resultam num maor grau de fdeldade e conseqüentemente em melhores resultados para a companha. Clentes mutos satsfetos também costumam dssemnar nformações postvas, que atraem o nteresse de outros clentes, contrbundo para a sua consoldação no mercado. A satsfação do consumdor, que é o resultado da comparação das expectatvas do consumdor com a qualdade percebda, possblta o acompanhamento da prestação do servço, dentfcando problemas a serem corrgdos e possbltando a melhora da qualdade dos servços oferecdos. Ou seja, é um nstrumento estratégco no processo de planejamento e gestão das organzações. Entretanto, a satsfação é um conjunto de concetos teórcos (constructos) formado por varáves que não são dretamente mensuráves ou observáves (chamadas de varáves latentes). O reconhecmento deste prncípo, despertou a necessdade de desenvolver estudos mas sofstcados para montorar a satsfação do consumdor como forma de avalação do desempenho ENEGEP 004 ABEPRO 670
global das organzações. Uma técnca que tem sdo muto utlzada nesta área é a modelagem de equações estruturas (HAIR et. al., 998), que também é conhecda por análse da estrutura de covarânca. Bascamente, se resume em modelos de regressão nos quas as varáves latentes são utlzadas para tentar descrever uma possível relação de "causa-efeto". Na realdade, pode-se dzer que as equações estruturas combnam as técncas de análse de regressão e análse fatoral. Como todo modelo de regressão, exstem parâmetros desconhecdos e que precsam ser estmados a partr da amostra observada. O problema de estmação é mas complexo devdo à presença das varáves latentes. Os métodos estatístcos mas comuns utlzados para a estmação de parâmetros são: máxma verossmlhança, mínmos quadrados ordnáros e mínmos quadrados parcas. Estes métodos são procedmentos teratvos os quas mnmzam uma função de ajuste partcular através de sucessvos cálculos das estmatvas dos parâmetros. O objetvo deste estudo é avalar a confabldade dos métodos de estmação em stuações de falta de smetra da dstrbução geradora dos dados amostras, erros de especfcação do modelo, multcolneardade entre as varáves e o efeto do tamanho amostral. Modelos de Equações Estruturas O modelo completo das equações estruturas consste de um sstema de equações lneares, que pode ser decomposto em dos sub-sstemas: o modelo das varáves latentes ou modelo estrutural, que especfca as relações de causaldade entre as varáves latentes, e os modelos de mensuração, que especfcam quas varáves observadas mensuram quas constructos latentes. η = Βη+ Γξ+ ζ (Modelo Estrutural) () =Λ η+ ε (Modelo de Mensuração de ) () x = Λ ξ + ε (Modelo de Mensuração de x) (3) x x onde η e ξ são, respectvamente, varáves latentes endógenas e exógenas; x e são varáves de manfestação ou ndcadores; Β, Γ, Λ, Λ x são as matrzes dos coefcentes; e os vetores de erros são ζ, ε e ε x. O dagrama de camnho representa de forma gráfca os relaconamentos entre as varáves de um modelo de equações estruturas. A fgura exemplfca o dagrama de camnho com o índce de satsfação consumdor europeu (ECSI).. Estmação do Modelo Os procedmentos de estmação mas utlzados para os modelos de equações estruturas são: máxma verossmlhança, mínmos quadrados ordnáros, mínmos quadrados generalzados e mínmos quadrados parcas... Máxma Verossmlhança (ML) Segundo Bollen (989) o método de Máxma Verossmlhança (ML) é a função de ajuste mas amplamente utlzada em equações estruturas, que é defnda por: ENEGEP 004 ABEPRO 67
F tr S S p q ( ) = log Σ + ( Σ ) log ML ( + ) Os estmadores de máxma verossmlhança possuem propredades mportantes: são assntotcamente não vcados, consstentes, efcentes e normalmente dstrbuídos (BOLLEN, 989). Sua prncpal desvantagem é que as observações devem ser provenentes de uma dstrbução normal multvarada e na prátca nem sempre sso é verdade. Imagem Expectatva do Consumdor Lealdade Valor Percebdo Satsfação do Consumdor Qualdade Percebda Reclamação Fgura : Dagrama de camnho para o ECSI... Mínmos Quadrados Generalzados (GLS) e Ordnáros (ULS) A função de ajuste do método GLS é dada por: { ( ) } FGLS = tr S Σ W onde W é uma matrz de pesos para a matrz resdual. Portanto, o método ULS é um caso partcular do método GLS quando W = I, ou seja, quando a matrz de pesos é a matrz dentdade. Os estmadores GLS possuem as mesmas propredades dos estmadores de máxma verossmlhança, ou seja, são assntotcamente não vcados, consstentes e possuem uma dstrbução normal multvarada. A prncpal característca dos estmadores de ULS é smplcdade, pos não requer que as varáves observadas tenham uma dstrbução em partcular; além de produzrem estmadores consstentes...3 Mínmos Quadrados Parcas (PLS) O método de Mínmos Quadrados Parcas (PLS) fo ncalmente utlzado por Herman Wold em 98, para estmar varáves latentes nos modelos de índces de satsfação do consumdor. Os algortmos PLS são procedmentos teratvos que combnam as técncas de análse de componentes prncpas, correlação canônca e regressão lnear múltpla, que é dvddo em ENEGEP 004 ABEPRO 67
estmação externa e nterna, que serão descrtas a segur. (A) Estmação Externa: as varáves latentes são estmadas como combnações lneares das varáves de manfestação, ou seja, ˆ η = w Y e ˆ ξ = w X η onde os pesos w estmados por dos modos: () se as varáves de manfestação estão relaconadas as varáves latentes endógenas, os pesos w são os coefcentes da regressão lnear smples de sobre η ; () se as varáves de manfestação estão relaconadas às varáves latentes exógenas, os pesos w são os coefcentes da regressão múltpla de ξ sobre x. (B) Estmação Interna: os escores das varáves latentes são obtdos como médas ponderadas das varáves latentes encontradas na estmação nterna. Os pesos podem ser obtdos por três modos: fatoral, centróde e camnho. As prncpas característcas dos estmadores PLS são: não requerem suposções sobre a dstrbução das varáves que podem ser contínuas ou categórcas e é adequado para explcar relações mas complexas (CHIN, 996). No entanto, suas estmatvas são vcadas (O'LOUG- HLIN & COENDERS, 00). ξ 3 Smulação e Resultados O modelo proposto por Cassel et. al. (999) fo utlzado para o processo de geração dos da- ξ, ξ e ξ e uma varável dos. Este modelo consste de três varáves latentes exógenas ( 3) latente endógena ( η ) e é dado por: η = ξ + ξ + ξ + ζ 3 3 ξ = π x + π x + π x + δ 3 3 ξ = π x + π x + π x + δ 4 4 5 5 6 6 ξ = π x + π x + π x + δ 3 7 7 8 8 9 9 3 ( ) ( ) = λ η+ ε ( ) ( ) = λ η+ ε ( ) ( ) = λ η+ ε 3 3 3 ( ) ( ) = λ η+ ε 4 4 4 Desta forma, no modelo básco os valores de x possuem dstrbução smétrca Beta(6,6), todos os coefcentes π são 3, os coefcentes para as varáves latentes exógenas são = 0,8, = 0, e = 0, e os coefcentes relaconando a η são 3 λ =,, λ =, 0, λ3 = 0,9 e λ4 = 0,8. Os erros δ e ε possuem dstrbução unforme contínua, enquanto que o erro ζ possu dstrbução normal. Em todos os casos o erro possu méda zero e varânca gual a 30% da varânca da varável latente correspondente. Os valores das varáves de manfestação x foram transformados em uma escala de a 0 e smlarmente os escores das varáves latentes ξ e η foram transformados para uma escala de a 00. O processo de geração dos dados fo modfcado para avalar a nfluênca da assmetra das varáves de manfestação, multcolneardade entre as varáves latentes ou manfestação e erros de especfcação do modelo. Para cada caso, foram geradas 500 réplcas para cada tamanho amostral, n = 50, 00 e 000. Neste artgo apresentaremos apenas os resultados obtdos para n = 00. ENEGEP 004 ABEPRO 673
3. Assmetra das varáves de manfestação Para avalar o efeto da assmetra das varáves de manfestação, foram consderados três casos de dstrbuções: smétrca (Beta(6,6)), assmetra moderada à dreta (Beta(9,4)) e assmetra elevada à dreta (Beta(9,)). Os resultados da smulação mostraram que a assumndo dstrbução smétrca, os coefcentes π foram melhores estmados através do método PLS (centróde e camnho) e os métodos ML e ULS produzram resultados semelhantes. Para os coefcentes de camnho ( ) os métodos ML e ULS possuem uma pequena vantagem sobre PLS. Observa-se que e 3 são melhores estmados que, para os três métodos. O mesmo ocorre quando a dstrbução é moderadamente assmétrca. No entanto, somente as estmatvas de π no método PLS sofrem um pequeno aumento em seus erros. Agora, quando a dstrbução das varáves tem uma assmetra elevada, o método ML possu uma pequena vantagem sobre os ULS e PLS, em todos os parâmetros. Sendo que as estmatvas de π sofreram uma maor nfluênca da assmetra. Mas cabe ressaltar que nos três casos de assmetra, somente o método PLS (centróde e camnho) não produzu estmatvas nconsstentes. 3. Multcolneardade entre as varáves de manfestação e/ou latentes Para avalar a nfluênca da multcolneardade entre as varáves foram ntroduzdas correlações: (a) entre as varáves do mesmo bloco (denomnadas de r), sto é, entre as varáves de manfestação x que pertencem a mesma varável ξ, e (b) entre os blocos (denomnadas de b), sto é, entre as varáves ξ. Então, foram consderados três casos: () correlação entre as varáves de manfestação (r = 0,7 e b = 0,0); () correlação entre as varáves latentes (r = 0,0 e b = 0,7) e (3) correlação entre as varáves latentes e manfestação (r = 0,7 e b = 0,7). A tabela apresenta os erros médos, quadrátcos, relatvos e absolutos para os três métodos de estmação em estudo. As fguras a 4 lustram o box-plot do erro quadrátco médo para as estmatvas de π, e, respectvamente, para os métodos ML, ULS e PLS (centróde) nos três casos de multcolneardade quando o tamanho amostral é 00. Pela tabela percebe-se que quando há correlação somente entre as varáves de manfestação, os resultados mostram que os métodos ML, ULS e PLS produzem resultados semelhantes, com lgera vantagem para o método ULS, prncpalmente na estmação de π. Quando há correlação somente entre as varáves latentes, o método PLS produz melhores resultados que ML e ULS para as estmatvas de π. Já para os coefcentes de camnho ( ), os métodos ML e ULS possuem uma pequena vantagem em relação a PLS. O mesmo acontece quando exste correlação entre as varáves latentes e manfestação. Anda, observa-se que houve uma dmnução dos erros das estmatvas em todos os parâmetros à medda que são ntroduzdas correlações entre as varáves latentes e manfestação. Este é um fato mportante uma vez que a maora das pesqusas de opnão e mercado produzem varáves correlaconadas. 3.3 Erros de especfcação do modelo Para avalar o efeto dos erros de especfcação do modelo, foram consderados dos casos de omssão do coefcente da varável latente: pequeno = 0, e maor = 0,8. Os resultados da smulação quando há omssão da varável latente com coefcente pequeno =, mostraram que as estmatvas de π foram melhores estmadas pelo método PLS. ( ) 0, ENEGEP 004 ABEPRO 674
Correlação Caso (r = 0,7 e b = 0) Caso (r = 0 e b = 0,7) Caso 3 (r = 0,7 e b = 0,7) π λ 3 π λ 3 π λ 3 ML 0,049 0,0496 0,857 0,0084 0,00 0,48 0,0493 0,0585 0,009 0,0094 0,056 0,0497 0,060 0,0087 0,008 ULS 0,056 0,0497 0,89 0,03 0,09 0,35 0,0495 0,0585 0,000 0,0096 0,0474 0,0458 0,060 0,0078 0,0075 Fatoral -0,0636 0,0497 0,867 0,089 0,087 0,088 0,0494 0,0654 0,0098 0,043-0,05 0,0498 0,0669 0,0097 0,03 Centróde -0,0505 0,0497 0,867 0,076 0,077 0,088 0,0494 0,0654 0,0098 0,043-0,05 0,0498 0,0669 0,0097 0,03 EM Camnho -0,0505 0,0497 0,867 0,076 0,077 0,088 0,0494 0,0654 0,0098 0,043-0,05 0,0498 0,0669 0,0097 0,03 ML 0,09 0,049 0,0335 0,0037 0,0030 0,06 0,049 0,0035 0,000 0,000 0,0075 0,049 0,0037 0,000 0,000 ULS 0,0056 0,049 0,0336 0,0007 0,0008 0,067 0,049 0,0035 0,0003 0,0004 0,0096 0,06 0,0037 0,0004 0,0004 Fatoral 0,040 0,049 0,0350 0,006 0,006 0,0086 0,049 0,0044 0,000 0,0003 0,006 0,049 0,0045 0,000 0,000 Centróde 0,054 0,049 0,0350 0,000 0,0008 0,0086 0,049 0,0044 0,000 0,0003 0,006 0,049 0,0045 0,000 0,000 EQM Camnho 0,054 0,049 0,0350 0,0008 0,0008 0,0086 0,049 0,0044 0,000 0,0003 0,006 0,049 0,0045 0,000 0,000 ML 0,08 0,0998 0,87 0,036 0,0335 0,48 0,0996 0,0585 0,03 0,008 0,0705 0,0998 0,060 0,0095 0,009 ULS 0,0597 0,0998 0,89 0,04 0,046 0,389 0,0997 0,0585 0,07 0,04 0,0733 0,036 0,060 0,0 0,007 Fatoral 0,07 0,000 0,867 0,0344 0,0349 0,088 0,0999 0,0654 0,05 0,046 0,066 0,000 0,0669 0,003 0,05 EA Centróde 0,090 0,000 0,867 0,076 0,077 0,088 0,0999 0,0654 0,05 0,046 0,066 0,000 0,0669 0,003 0,05 Camnho 0,090 0,000 0,867 0,076 0,077 0,088 0,0999 0,0654 0,05 0,046 0,066 0,000 0,0669 0,003 0,05 ML 0,487 0,7 0,84 0,369 0,3354 0,737 0,5 0,073 0,9 0,08 0,35 0,8 0,075 0,0950 0,090 ULS 0,80 0,8 0,86 0,406 0,465 0,740 0,6 0,073 0,76 0,4 0,0 0,67 0,075 0,4 0,073 Fatoral 0,3083 0,9 0,333 0,3445 0,3495 0,674 0,8 0,087 0,5 0,464 0,896 0,30 0,0836 0,036 0,50 ER Centróde 0,730 0,9 0,333 0,765 0,775 0,674 0,8 0,087 0,5 0,464 0,896 0,30 0,0836 0,036 0,50 Camnho 0,730 0,9 0,333 0,765 0,775 0,674 0,8 0,087 0,5 0,464 0,896 0,30 0,0836 0,036 0,50 π = =, K,9, λ representa a méda das estmatvas de λ = (,, 0 0, 9 0, 8 ) e = ( 0, 8 0, 0, ). Fonte: Dados smulados. π representa a méda das estmatvas de /3, Tabela : Erros = /3, =, K,9 Médos (EM), Quadrátcos (EQM), Absoluto (EA) e Relatvos (ER) das estmatvas dos parâmetros para o modelo com multcolneardade entre as varáves latentes e/ou manfestação com n = 00. ENEGEP 004 ABEPRO 675
No entanto, para os coefcentes de camnho ( e ) 3 os métodos ML e ULS produzem melhores resultados que PLS. E, o mesmo ocorre quando há omssão da varável latente com coefcente maor ( = 0,8), observando que os erros das estmatvas de ( e 3) sofrem uma maor nfluênca. 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 Método de Estmação ML Método de Estmação ULS Método de Estmação PLS(centróde) Fgura : Box-plot do erro quadrátco médo para as estmatvas de π quando há multcolneardade entre as varáves latentes e/ou manfestação com n = 00. 0.0 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 Método de Estmação ML Método de Estmação ULS Método de Estmação PLS(centróde) Fgura 3: Box-plot do erro quadrátco médo para as estmatvas de quando há multcolneardade entre as varáves latentes e/ou manfestação com n = 00. ENEGEP 004 ABEPRO 676
0.0 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 0.0 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 0.0 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 Método de Estmação ML Método de Estmação ULS Método de Estmação PLS(centróde) Fgura 4: Box-plot do erro quadrátco médo para as estmatvas de quando há multcolneardade entre as varáves latentes ou manfestação com n = 00. 4 Conclusões Os resultados da smulação mostraram que as estmatvas para λ em todos os métodos não sofreram nfluênca das nequações (assmetra, multcolneardade e omssão de regressor). Para as estmatvas de π o método PLS produz melhores resultados do que os métodos ML e ULS. No entanto, para os coefcentes de camnho os métodos ML e ULS produzem melhores resultados que PLS, embora a dferença observada entre os erros dos três métodos de estmação não seja elevada. Observa-se melhores resultados em todos os métodos quando é ntroduzda correlação entre as varáves latentes e manfestação. Anda, o método PLS (centróde e camnho) produz estmatvas consstentes. Consderando-se todas as smulações realzadas, verfcou-se que para o método PLS não houve dferença sgnfcatva entre os resultados obtdos para n = 50, 00 e 000. Os métodos ML e ULS foram mas afetados. Portanto, os dados deste estudo ndcam que o método PLS para não ser nfluencado pelo tamanho amostral. Este fato é concordante com o estudo de Cassel et. al. (999) 5 Referêncas Bblográfcas BOLLEN, K. A. (989), Structural Equatons wth Latent Varables, New York, Wle. CASSEL, C., HACKL, P., WESTLUND, A. H. (999), Robustness of partal least-squares method for estmatng latent varable qualt structures, Journal of Appled Statstcs, v. 6, Nº 4, 435-446. CHIN, W. W., MARCOLIN, B. L., NEWSTED, P. R. (996), A partal least squares latent varable modelng approach for measurng nteracton effects: results from a Monte Carlo smulaton stud and voce mal emoton/adopton stud, Oho, Proceedngs of the Seventeenth Internatonal Conference on Informaton Sstems. HAIR, J. F., ANDERSON, R. E., TATHM, R. L., BLACK, W. C. (998), Multvarate Data Analss, New Jerse, Prentce Hall. O'LOUGHLIN, C., COENDERS G. (000), Applcaton of the European Customer Satsfacton Index to Postal Servces. Structural Equaton Models versus Partal Least Squares, Unverstat de Grona. ENEGEP 004 ABEPRO 677