RESUMO TEÓRICO IDÉIAS DOS CONCEITOS: Sistemas Lineares como composição de várias equações lineares, que devem ser satisfeitas simultaneamente. De um modo geral, tais equações modelam restrições encontradas no cotidano Operações Elementares não alteram a solução de um sistema e faem parte dos processos de busca de tal solução. A Representação Matricial pode ser útil nos processos de análise, algoritmos de resolução e adaptação a processos computacionais de um sistema linear. Forma Escalonada como uma das formas úteis para obtenção e análise da solução de um sistema Classificação de um sistema linear dependendo do número de soluções Escalonamento como método prático para a resolução de sistemas lineares RESUMO TEÓRICO: Equação linear Eemplo: Contraeemplo: 7 Solução de uma equação linear do tipo Terna ordenada de números (,, ) que satisfaçam tal equação. Eemplos: (,, ) OK! (,, ) OK! Um sistema linear geralmente é composto por m equações lineares com n incógnitas: Eemplos: 7 equações com incógnitas e 9 equações com incógnitas, e
Solução de um sistema linear: todo par ordenado, terna ordenada,..., n upla ordenada, que satisfaça simultaneamente todas as equações do sistema. Eemplos: 7 (, ) satisfa as duas equações! 9 (,, ) e (7,, ) satisfaem as duas equações! Conjunto Solução de um sistema linear: conjunto que represente todas as soluções do sistema. Eemplos: 7 S { (, ) } Única solução 9 S { (7,, ) / R} Infinitas soluções 7 S { } ou S Não eiste solução Sistemas Equivalentes são aqueles que têm o mesmo conjunto solução. Eemplo: ~ 6 S { (,, ) } Operações Elementares são realiadas com os equações de um sistema linear e que não alteram a solução do sistema. São três as operações elementares: Trocar as posições de duas equações do sistema. Eemplo: Trocando a de posição a a e a equações: ~ Multiplicar uma das equações por um número real diferente de ero. Eemplo: Multiplicando a a equação por ( ): ~ 8
Somar a uma das equações uma outra equação multiplicada por um número real. Eemplo: Somando a a equação a a equação multiplicada por ( ): ~ A Representação Matricial de um sistema linear pode ser feita por meio da multiplicação e igualdade de matries. Eemplo: A primeira matri com os coeficientes numéricos é a Matri Incompleta. A segunda matri é a Matri das Incógnitas. A terceira matri é a Matri dos Termos Independentes. Matri Completa ou Ampliada é obtida acrescentadose os termos independentes como última coluna na matri incompleta. Eemplo: Matri Incompleta Matri Completa Classificação de um sistema quanto ao número de soluções. Sistema Possível e Determinado Única solução S. P. D. Eemplo: 7 S { (, ) }
Sistema Possível e Indeterminado Infinitas soluções S. P. I. Eemplo: 9 S { (7,, ) / R} Sistema Impossível Não eiste solução S. I. Eemplo: 7 S { } ou S Uma matri está na Forma Escalonada se: ) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é ; ) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem todos elementos abaio desta linha iguais a ero; ) Toda linha nula está escrita abaio de todas as linhas que tem pelo menos um elemento não nulo e; ) O primeiro elemento não nulo de uma linha deve aparecer à direita do elemento não nulo da linha superior. Eemplos:,, 7, 8 6 8 Sistema Escalonado é aquele que tem a matri ampliada na forma escalonada. Para a solução de um sistema escalonado basta tomar as incógnitas encontradas nas equações inferiores e substituílas, encontrando as outras incógnitas, nas equações superiores. Eemplo: S Procederemos de maneira análoga a desenvolvida na aula anterior, até obtermos uma matri ampliada na forma escalonada, ou seja: o Passo: escrevêlo na forma matricial
o Passo: tomar a matri ampliada o Passo: por meio das operações elementares, transformar a matri ampliada em matri ampliada a forma escalonada: Após várias operações... o Passo: a partir da matri ampliada a forma escalonada escrever o sistema escalonado equivalente ao original: S ~ S Equação Equação Equação o Passo: determinar as soluções do sistema, por substituição: Equação (),, na equação (): Equação ( ) Equação () e ( ), e, na equação (): Equação ( ) Soluções: (,, ) S { (,, ) } Única Solução Sistema Possível e Determinado () () () IMPORTANTE: O método de resolução descrito acima é conhecido como Método do Escalonamento ou Método de Eliminação de Gauss. Quando um sistema está escrito na forma escalonada: Se o número de equações é igual ao número de incógnitas o sistema é possível e determinado. Se o número de equações é menor que o número de incógnitas o sistema é possível e indeterminado. Se o número de equações é maior que o número de incógnitas o sistema é impossível.
) Assinale das equações abaio, quais são lineares: PARTE A a) ( ) b) 6 ( ) c) 9 ( ) d) ( ) e) 6 ( ) f) ( ) ) Verifique quais das ternas ( 7,, ), (,, ), (,, ), e (,, ) representam soluções da equação linear ) Resolva os seguintes sistemas lineares: a) b) 7 c) 7 d) ) O que são sistemas equivalentes? Resolva por meio do escalonamento os sistemas a seguir ( até ). Use a notação matricial, lembrado de epressar ao final o conjunto solução e a classificação de cada sistema. ) 8) 9 6 6) 9) 9 7 6 7) Resolva os sistemas escalonados a seguir ( até ), epressando ao final de cada item, o conjunto solução e a classificação. ) ) ) 8 9 6 6 ) ) Resolva por meio do escalonamento os sistemas a seguir ( até ). Use a notação matricial, lembrado de epressar ao final o conjunto solução e a classificação de cada sistema. ) 7) 6) 8) 6
9) 7 6 ) t t t 9 t 6 ) Determine o valor de a para que o sistema a tenha uma única solução. ) Determine para quais valores de k o sistema é: k a) possível e determinado; b) possível e indeterminado e; c) impossível. PARTE B ) (PUCRS ) O sistema a) pode ser apresentado como b) c) d) e) ) (UEA ) Na era do real, o brasileiro nunca guardou tantos recursos na poupança quanto no mês de junho de. Nesse mês, a caderneta captou R$ 9, bilhões líquidos (depósitos menos saques), um recorde mensal na série do Banco Central, iniciada em 99. Sabendo que, nesse mês, a metade do valor total depositado mais do valor total sacado foi igual a R$,6 bilhões, podese concluir que o valor total depositado na poupança em junho de foi, em bilhões de reais, igual a a),. b) 8. c) 6,. d) 6. e) 98. ) (UEMG ) Uma pequena empresa fabrica dois tipos de colchão: solteiro e casal. A tabela a seguir referese ao faturamento da empresa nos meses de agosto e setembro: 7
Faturamento mensal Faturamento mensal TOTAL com colchão de solteiro com colchão de casal AGOSTO (?) (?) R$ 8, Metade do valor faturado Um terço do valor SETEMBRO R$, em agosto faturado em agosto Cada colchão de solteiro custa R$,, e cada colchão de casal custa R$ 8,. A quantidade de colchões de solteiro vendidos em agosto corresponde a a) 6. b) 8. c). d). 6) (G EPCAR (CPCAR) ) Pitágoras e Tales possuem hoje, cada um, certa quantia em reais. Se Pitágoras desse para Tales reais, eles ficariam com a mesma quantia em reais, cada um. Porém se Tales desse para Pitágoras reais, Tales passaria a ter da quantia de Pitágoras. Dessa forma, é correto afirmar que: a) a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 6 reais. b) Pitágoras possui hoje, do que Tales possui. c) Tales possui hoje, mais que reais. d) a diferença entre os valores que eles possuem hoje é menor que reais. 7) (UFRGS ) O sistema de equações possui: 8 a) nenhuma solução. b) uma solução. c) duas soluções. d) três soluções. e) infinitas soluções. 8) (UEPA ) Em um Shopping Center, uma pessoa verificou o valor por unidade de CD de diferentes gêneros musicais (samba e forró) nas lojas A e B, conforme indicado na tabela abaio: Samba Forró Loja A R$ 8, R$, Loja B R$ 7, R$, Se essa pessoa decidisse comprar unidades de CD do gênero samba e unidades de CD do gênero forró, na loja A, ela gastaria R$ 8,. Mas, se ela comprasse as mesmas quantidades de CDs e na loja B ela gastaria R$,. Então a soma é igual a: a) 8 b) 7 c) 6 d) e) 9) (G UTFPR ) Num jogo de decisão de campeonato, os preços dos ingressos num estádio de futebol eram: arquibancada R$, e geral R$,. A renda, com a venda desses dois tipos de ingressos, foi de 8
R$8.,. Sabendo que todos os ingressos foram vendidos e que o número de ingressos da arquibancada equivale a do número de ingressos da geral, determine quantos ingressos da arquibancada foram vendidos. a). b) 96. c) 8. d). e) 89. ) (ESPM ) Sendo e números reais e ( ) ( 8), o valor de é: a) 9 b) 8 c) 8 d) 9 e) 8 ) (UNISINOS ) Numa loja, todas as calças têm o mesmo preço, e as camisas também, sendo o preço de uma calça diferente do de uma camisa. Ricardo comprou calça e camisas e pagou R$,. Roberto comprou calças e camisas e pagou R$,. Qual o preço, em reais, de uma calça e uma camisa, respectivamente? a) 7 e 9. b) 7 e 9. c) 8 e 8. d) 8 e 8. e) 9 e 7. ) (UFPR ) Uma bolsa contém moedas, distribuídas entre as de, e centavos, totaliando R$,. Sabendo que a quantidade de moedas de centavos é a mesma das moedas de centavos, quantas moedas de centavos há nessa bolsa? a) 6. b) 8. c) 9. d). e). ) (EPCAR (AFA) ) Três amigos Samuel, Vitória e Júlia, foram a uma lanchonete. Samuel tomou guaraná, comeu esfirras e pagou reais. Vitória tomou guaranás, comeu esfirra e pagou reais. Júlia tomou guaranás, comeu esfirras e pagou k reais. Considerandose que cada um dos três pagou o valor eato do que consumiu, é correto afirmar que a) o guaraná custou o dobro da esfirra. b) os três amigos, juntos, consumiram 6 reais. c) cada esfirra custou reais. d) Júlia pagou 8 reais pelo que consumiu. ) (MACKENZIE ) Relativas ao sistema k k, k R, considere as afirmações I, II e III abaio. k 8 Dessa forma, I. Apresenta solução única para, eatamente, dois valores distintos de k. II. Apresenta mais de solução para um único valor de k. III. É impossível para um único valor de k. a) somente I está correta. b) somente II e III estão corretas. c) somente I e III estão corretas. d) somente III está correta. e) I, II e III estão corretas. 9
) (ESPECEX (AMAN) ) Para que o sistema linear a b seja possível e indeterminado, o valor de a b é: a) b) c) 9 d) e) 9 6) (FGV ) O sistema linear abaio, nas incógnitas e : m p Será impossível quando: a) Nunca b) p 6 e m c) p 6 e m d) p 6 e m e) p 6 e m PARTE C 7) (FGV ) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma sociedade com um capital de R$.,. B entrou com uma quantia igual ao dobro da de A, e a diferença entre a quantia de C e a de A foi R$ 6.,. O valor absoluto da diferença entre as quantias de A e B foi: a) R$, b) R$, c) R$, d) R$, e) R$, 8) (UEL ) Uma padaria possui tipos de padeiros, classificados como A, B e C. Essa padaria é bem conhecida na cidade pela qualidade do pão francês, da baguete e do pão de batata. Cada padeiro do tipo A produ, diariamente, pães franceses, baguetes e pães de batata. Cada padeiro do tipo B produ, diariamente, pães franceses, 7 baguetes e pães de batata. Cada padeiro do tipo C produ, diariamente, 9 pães franceses, baguetes e pães de batata. Quantos padeiros do tipo A, do tipo B e do tipo C são necessários para que em um dia a padaria produa, eatamente, pães franceses, 77 baguetes e 6 pães de batata? Apresente os cálculos realiados na resolução desta questão. 9) (UEPG ) Se Bruna der 6 reais a Ana, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Carla perder reais, ficará com a mesma quantia que tem Ana. Se Bruna perder um terço do que tem, ficará com a mesma quantia que tem Carla. Nesse conteto, assinale o que for correto. ) As três juntas têm mais de reais. ) Ana tem menos de reais. ) Carla tem mais de reais. 8) Bruna tem mais do que Ana e Carla juntas. ) (UPE ) Em uma floricultura, é possível montar arranjos diferentes com rosas, lírios e margaridas. Um arranjo com margaridas, lírios e rosas custa reais. No entanto, se o arranjo tiver uma margarida, lírios e uma rosa, ele custa reais. Entretanto, se o arranjo tiver margaridas, lírios e uma rosa, custará reais. Nessa floricultura, quanto custará um arranjo simples, com uma margarida, um lírio e uma rosa? a) reais b) 8 reais c) reais d) reais e) reais
) (UNIOESTE ) Sabese que, e são números reais. Se então é igual a ( ) ( ) ( ), a) 7. b) 6. c). d). e). ) (ESPECEX (AMAN) ) A figura abaio é formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vértices e nos pontos médios dos lados, estão representados alguns valores, nem todos conhecidos. Sabese que a soma dos valores correspondentes a cada lado do triângulo é sempre. Assim, o valor numérico da epressão é a) b) c) d) e) ) (UFG ) Um fabricante combina cereais, frutas desidratadas e castanhas para produir três tipos de granola. As quantidades, em gramas, de cada ingrediente utiliado na preparação de g de cada tipo de granola são dadas na tabela a seguir. Tipo de granola/ingredientes Cereais Frutas Castanhas Light 8 Simples 6 Especial 6 O fabricante dispõe de um estoque de 8 kg de cereais, 6 kg de frutas desidratadas e kg de castanhas. Determine quanto de cada tipo de granola ele deve produir para utiliar eatamente o estoque disponível. ) (UNESP ) Uma família fe uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomésticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freeer e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freeer por R$.88,. A loja B vendia a TV e o freeer por R$.698, e a loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$.88,. A família acabou comprando a TV, o freeer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor total pago, em reais, pelos três produtos foi de a).767,. b).777,. c).787,. d).797,. e).87,.
) (G IFAL ) Analise as afirmativas abaio. I. O sistema é possível e indeterminado. II. O sistema 7 é possível e determinado. III. O sistema é impossível. Marque a alternativa correta. a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas II é verdadeira. c) Apenas III é verdadeira. d) Apenas I é falsa. e) Apenas III é falsa. a 6) (UFSJ ) A respeito do sistema 6 b a) se a, o sistema tem solução única. é CORRETO afirmar que: b) se b, o sistema tem infinitas soluções. c) se a e b, o sistema não tem solução. d) se a, o sistema tem infinitas soluções. 7) (UFTM ) Seja o sistema linear nas variáveis, e : m m a) Determine os valores do parâmetro m para que o sistema tenha apenas a solução nula. b) Resolva o sistema para m. 8) (G IFSC ) O sistema 6 é possível e determinado, quando o valor de k for: k 9 a) k. b) k. c) k. d) k. e) k. 9) (IBMECRJ ) Seja o sistema linear nas incógnitas, e Assinale a afirmativa correta: k k
a) para k, possui mais de uma solução. b) para k, não possui solução. c) para k, possui infinitas soluções. d) para k, não possui solução. e) para k, possui uma única solução. ) (G IFSC ) A alternativa CORRETA que indica o valor de a para que a seguinte equação matricial admita somente a solução trivial é: 8 a 6 a) a b) a c) a d) a e) a RESPOSTAS PARTES B e C ) Alternativa A. Solução: Decompondo o sistema num produto matricial, temos: ) Alternativa D. Solução: Considerando o valor depositado e o valor sacado, temos o seguinte sistema: 9, 9,,6 6 Multiplicando a primeira equação por e somando com a segunda, temos 9 6. Portanto, 6 bilhões. ) Alternativa B. Solução: Sendo o faturamento para o mês de agosto para colchão de solteiro e o faturamento para o mês de agosto para colchão de casal, tem o seguinte sistema: 8 Resolvendo o sistema temos 6, portanto o número de colchões vendidos em agosto será dado por 6 : 8. 6) Alternativa A. Solução: Pitágoras possui p reais e Tales possui t reais. Temos, então, o sistema abaio: p t p t Resolvendo o sistema, temos t e p. Portanto, a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 6 reais.
7) Alternativa B. Solução: Como, segue que o sistema é possível e determinado, ou seja, possui uma solução. 8) Alternativa B. Solução: Com as informações do problema, podemos escrever o seguinte sistema linear: Faendo (i) (ii), temos: 7. 8 8 (i) 7 (ii) 9) Alternativa B. Solução: é o número de ingressos na arquibancada e o número de ingressos na geral. Podemos escrever o sistema:.. 8 (I) (II) substituindo (II) em (I), temos: 8 8 96 Portanto foram vendidos 96 ingressos da arquibancada. ) Alternativa A. Solução:Para que a soma dos quadrados de dois números reais seja ero, será necessário que estes dois números sejam iguais a ero. 8 Resolvendo o sistema temos: e. Logo, /9. ) Alternativa E. Solução: Preço da calça: ; Preço da camisa:. Com as informações do problema, escrevemos o sistema. Resolvendo o sistema temos: 9 e 7 Portanto, o valor da calça será R$9, e o da camisa R$7,. ) Alternativa D. Solução: moedas de centavos; moedas de centavos e moedas de centavos. Considerando as informações do problema temos o seguinte sistema:.( ) 6 6,.,,.() 6.() 6 Resolvendo o sistema por adição, temos: 7 7, assim. ) Alternativa C. Solução: Vamos considerar o preço do guaraná e o preço da esfirra.
8 Somando as equações, temos: o que leva a e. Logo, o preço de cada esfirra é de R$,. ) Alternativa B. Solução: k k k k k e k (o sistema possui solução única) k 8 Se k temos e pode ser qualquer real, logo o sistema possui infinitas soluções. 8 8 (: ) Se k temos (sistema impossível) 8 8 I) Falsa. Possui solução única para infinitos valores de k. II) Verdadeira, se k o sistema apresenta infinitas soluções. III) Verdadeira, é impossível se k ) Alternativa D. Solução: Para que o sistema seja possível e indeterminado, devese ter Por conseguinte, a b. a a b e b. 6) Alternativa E. Solução: Se D SPI ou SI p 6 p 6 p m Faendo p 6, temos: 6 Resolvendo temos m Logo, o sistema será SI quando m for diferente de ero, ou seja, quando m. 7) Alternativa A. Solução:Sejam a, b e c, respectivamente, as quantias com que os sócios A, B e C entraram na sociedade. Temse que a b c a a a 6 b a b a c a 6 c a 6 a b. c 7 Portanto, o resultado é a b a a a R$.,. 8) Solução: Sejam a, b e c, respectivamente, o número de padeiros do tipo A, do tipo B e do tipo C. Temos
a b 9c a b c a 7b c 77 a 7b c 77 a b c 6 a b c 8 a b c a 7b c 77 c a b 8 a 7b 7 c a b. c Portanto, são necessários padeiros do tipo A, padeiros do tipo B e padeiros do tipo C. 9) Resposta: 7. Solução: Considerando b o valor que Bruna possui, a o valor que Ana possui e c o valor de Carla, seguindo as orientações do problema, temos o sistema: b 6 a 6 a c, resolvendo o sistema, temos: a 8, b e c c b [] Verdadeira, pois 8 >. [] Verdadeira, pois Ana tem 8 reais. [] Verdadeira, pois Carla tem reais. [8] Falsa, pois < 8. ) Alternativa D. Solução: Sejam, e, respectivamente, os preços unitários das margaridas, lírios e rosas. De acordo com as informações, obtemos o sistema 6 8 8. 8 Portanto, o resultado pedido é 8 R$,. ) Alternativa D. Solução: Para que a soma de quadrados seja ero, devemos ter: Resolvendo o sistema temos:, e 7. Logo,. 6
) Alternativa A. Solução: De acordo com o enunciado, segue que 9 9. Tomando a matri ampliada do sistema, vem 9 9. Somando a ª linha com a ª multiplicada por, obtemos 9 9. Somando a ª linha com a ª multiplicada por, encontramos 9 9. Assim,, 7 e. Portanto, segue que 7. ) Solução: Considerando: a quantidade de porções de g de granola light a quantidade de porções de g de granola simples e a quantidade de porções de g de granola especial Temos o seguinte sistema: 8 6 6 8 6 Resolvendo o sistema temos, e, logo kg de granola light, kg de granola simples e kg de especial. ) Alternativa C. Solução: Sendo, o preço da TV, o preço do freeer e o preço da churrasqueira, podemos escrever o sistema: 88 698 88 Somando as equações, temos:.( ) 77. Logo,.787. ) Alternativa B. Solução: [I] Falsa, pois o sistema admite um a única solução com e. 7
[II] Verdadeira, pois o sistema 7 admite uma única solução com, e. [III] Falsa, pois (sistema possível e indeterminado). 6) Alternativa A. Solução: Calculando o determinante dos coeficientes, temos: a D 6a 6 Se 6a 6 o sistema será possível e determinado, logo se a o sistema terá solução única. 7) Solução: a) Para que o sistema linear homogêneo tenha apenas a solução trivial, devese ter m m m m m b) Para m, temos que a matri dos coeficientes é essa matri, encontramos: m m m e m,. Aplicando as operações elementares sobre Desse modo, o sistema S { (,, ) / R }. L' ( ) L L L' ( ) L L L'' L' L'' L'' L'. é equivalente ao sistema dado e seu conjunto solução é 8) Alternativa D. Solução: O determinante dos coeficientes deverá ser diferente de ero. 8
6k k 6 k k k 9) Alternativa D. Solução: Faendo k, temos: k k k k Observado a primeira e terceira equações, entendemos que para k o sistema é impossível. ) Alternativa D. Solução: Para que a equação matricial acima admita somente a solução trivial, o determinante ser diferente de ero. Calculando o determinante, teremos a seguinte desigualdade: 6 8 a 6 8 a deverá 6 a 8 a a 8 9