LISTA DE EXERCÍCIOS SISTEMAS LINEARES 2º EM 2015 Prof. MARCO POLO

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS SISTEMAS LINEARES 2º EM 2015 Prof. MARCO POLO 01.(GV) Como se sabe, no jogo de basquete existe uma linha chamada linha dos três pontos. Cada arremesso convertido de dentro dessa linha vale 2 pontos e, de fora dessa linha, vale 3 pontos. Um time combinou com seu clube que receberia R$ 50,00 para cada arremesso convertido de 3 pontos e R$ 30,00 para cada arremesso convertido de 2 pontos. Ao final do jogo, o time fez 113 pontos e recebeu R$ 1.760,00. Então, a quantidade de arremessos convertidos de 3 pontos foi : a ) 13 b ) 15 c ) 16 d ) 17 e ) (Unicamp) Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade populacional e alimentação à base de ração. Os tanquesrede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água. Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no total, 800 g de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 1,5 g de ração por refeição e que um peixe da espécie B consome 1,0 g por refeição, calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém. 03.(Mack) O diretor de uma empresa, o Dr. Antonio, convocou todos os seus funcionários para uma reunião. Com a chegada do Dr. Antonio à sala de reuniões, o numero de homens presentes na sala ficou quatro vezes maior que o número de mulheres também presentes na sala. Se o Dr. Antonio não fosse à reunião e enviasse sua secretária, o número de mulheres ficaria a terça parte do número de homens. A quantidade de pessoas, presentes na sala, aguardando o Dr. Antonio é : a ) 20 b ) 19 c ) 18 d ) 15 e ) (GV) No início de dezembro de certo ano, uma loja tinha um estoque de calças e camisas no valor de R$ ,00, sendo R$ 80,00 o valor (preço de venda) de cada calça e R$ 50,00 (preço de venda) o de cada camisa. Ao longo do mês, foram vendidos 30% do número de calças em estoque e 40% do número de camisas em estoque, gerando uma receita de R$ 52000,00. Com relação ao estoque inicial, a diferença (em valor absoluto) entre o número de calças e o de camisas é : a ) 1450 b ) 1500 c ) 1550 d ) 1600 e ) (Mack) Trezentos estudantes foram classificados, quanto à inteligência, em muito inteligentes e normais. Sabe-se que 40% dos muitos inteligentes e 5% dos normais são míopes, totalizando 50 estudantes. O número de estudantes normais e sem miopia é : a ) 90 b ) 110 c ) 140 d ) 170 e ) (Unicamp) Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo A consome 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido.sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha, responda às questões abaixo. a ) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta. b ) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe?

2 07.(Ufscar) Dois blocos idênticos foram posicionados em uma mesa de altura h, conforme a figura 1. Em seguida, a posição dos blocos foi modificada, conforme indica a figura 2. Nas condições dadas, a altura h da mesa, em cm, é : a ) 85 b ) 78 c ) 76 d ) 72 e ) (Mack) Se (x, y) é solução do sistema 2log 3x + 3log 2 y = 7, então o valor de x + y é : log 3x - log 2 y = 1 a ) 7 b ) 11 c ) 2 d ) 9 e ) (GV) Num escritório há 3 impressoras : A, B e C. Em um período de 1 hora : - A e B juntas imprimem 150 folhas; - A e C juntas imprimem 160 folhas; - B e C juntas imprimem 170 folhas. Em 1 hora, a impressora A imprime sozinha : a ) 60 folhas b ) 65 folhas c ) 75 folhas d ) 70 folhas e ) 80 folhas 10.(Ibmec) Todos os candidatos inscritos num vestibular escolheram na ficha de inscrição que preencheram uma única entre as três seguintes situações prévias (em relação ao ano anterior) : freqüentou um cursinho, acabou de sair do ensino médio ou estudou sozinho. Por um erro no processamento dos dados, foi gerado um relatório sobre essas respostas apenas com as seguintes informações : I. 800 não fizeram cursinho, II não acabaram de sair do ensino médio, III não ficaram estudando sozinhos durante o último ano. Com isso, conclui-se que o número total de inscritos foi igual a : a ) 1250 b ) 1750 c ) 2500 d ) 3500 e ) (Fuvest) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens. 12.(Fuvest) Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laranjas, tem, respectivamente 50 maçãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa R$ 3.300,00, calcule quantas maças, peras e laranjas estão sendo transportadas. 13.(Unicamp) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo de castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. Resolva o referido sistema acima, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.

3 14.(Fuvest) Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em volta de seu castelo, conforme a planta abaixo, com uma ponte para atravessá-lo. Em um certo dia, ele deu uma volta completa no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro interno. Esse trajeto foi completado em 5320 passos. No dia seguinte, ele deu duas voltas completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro interno, completando esse novo trajeto em 8120 passos. Levando em consideração que os muros são retangulares e que a ponte possui comprimento L, pode-se concluir que a largura L do fosso, em passos, é : a ) 36 b ) 40 c ) 44 d ) 48 e ) (Unesp) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam, juntos, 33 reais. Duas lapiseiras, sete cadernos e duas canetas custam, juntos, 76 reais. O custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta, juntos, em reais, é : a ) 11 b ) 12 c ) 13 d ) 17 e ) (Ufscar) Uma loja vende três tipos de lâmpada (x, y e z). Ana comprou 3 lâmpadas tipo x, 7 tipo y e 1 tipo z, pagando R$ 42,10 pela compra. Beto comprou 4 lâmpadas tipo x, 10 tipo y e 1 tipo z, o que totalizou R$ 47,30. Nas condições dadas, a compra de três lâmpadas, sendo uma de cada tipo, custa nessa loja : a ) R$ 30,50 b ) R$ 31,40 c ) R$ 31,70 d ) R$ 32,30 e ) R$ 33,20 17.(Ita) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de : a ) R$ 17,50 b ) R$ 16,50 c ) R$ 12,50 d ) R$ 10,50 e ) R$ 9,50 2 4x + 2m y = 0 18.(Fuvest) Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por 2mx + (2m -1)y = 0 Desse modo, resolva o sistema para m = (Unicamp) Pedro precisa comprar x borrachas, y lápis e z canetas. Após fazer um levantamento em duas papelarias, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$ 23,00 pelo conjunto de borrachas, lápis e canetas, enquanto a papelaria B cobra R$ 25,00 pelo mesmo material. Em seu levantamento, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 2,00 pelo lápis e R$ 3,00 pela caneta e que a papelaria B cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 1,00 pelo lápis e R$ 4,00 pela caneta. a ) forneça o número de lápis e de borrachas que Pedro precisa comprar em função do número de canetas que ele pretende adquirir. b ) Levando em conta que x 1, y 1 e z 1, e que essas três variáveis são inteiras, determine todas as possíveis quantidades de lápis, borrachas e canetas que Pedro deseja comprar.

4 20.(GV) Um galo custa 5 moedas; uma galinha, 3 moedas e 3 frangos custam 1 moeda. Com 100 moedas, compram-se 100 dessas aves. Quantos galos, galinhas e frangos são? Esse é o problema chinês do Cento de Aves, que foi enunciado pela primeira vez no livro Manual Matemático, de Zhang Quijian, editado no século V. O problema ficou famoso e apareceu, mais tarde, em diversos textos matemáticos na Índia, no mundo islâmico e na Europa. a ) Expresse o enunciado do problema chinês mediante um sistema de equações. b ) Dê a solução geral do sistema. c ) Nessa época, o zero não era considerado um número e, por isso, não entrava na solução dos problemas. Então, quais as prováveis respostas que o matemático chinês deve ter encontrado para o problema do Cento de Aves? 21.(GV) O sistema linear nas incógnitas x, y e z x 3x + 2y - z = 2 + y + m.z = 0, é possível e determinado se, e somente se : 2x + 3z = 1 13 a ) m 4 14 b ) m 5 15 c ) m 6 16 d ) m 7 17 e ) m 8 22.(GV) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z : a ) Para que valores de m o sistema é determinado? b ) Resolva o sistema para m = 0. x + y + m.z = 3 2x + 3y - 5z = - 7 3x - y + z = 4 x + 2y = 6 23.(Mack) O sistema (a + 1)x + ay = 4a + 2 a ) admite solução única para a = - 2 b ) admite infinitas soluções para a - 2 c ) não admite solução para a = - 2 d ) admite solução única, qualquer que seja a real. e ) admite solução, qualquer que seja a real 24.(GV) Sendo n um número real, então o sistema de equações é igual a : nx + y = 1 ny + z = 1 + nz = 1 não possui solução se, e somente se, n a ) 1 b ) 0 c ) 4 1 d ) 2 1 e ) 1 25.(GV) Discuta, em função de m, o sistema nas incógnitas x e y : m.x + y = 4 + m.y = 6

5 a.x + y + z = 1 26.(Unicamp) Considere o sistema linear ao lado, no qual a é um parâmetro real : x + a.y + z = 2 + y + a.z = - 3 a ) Mostre que para a = 1, o sistema é impossível. b ) Encontre os valores do parâmetro a para os quais o sistema tem solução única. 27.(GV) O sistema linear ao lado, nas incógnitas x e y, x + 3y = m, será impossível quando : 2x - p.y = 2 a ) p - 6 e m = 1 b ) p - 6 e m 1 c ) p = - 6 e m = 1 d ) p = - 6 e m 1 e ) nunca 28.(Ita) A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear x + y + 3z = 2 x + 2y + 5z = 1 é : 2x + 2y + az = b a ) a b 2 b ) a + b = 10 c ) 4a 6b = 0 d ) a 3 = e ) a.b = 24 b 2 29.(GV) Considere o sistema linear kx - y + z = 3 x + ky + z = k x + y + kz = 1 de incógnitas x, y e z. Sendo k um parâmetro real, então : a ) o sistema será impossível se k = - 1 ou k = 1 b ) o sistema será determinado se k = 1 c ) o sistema será impossível se k = 0 ou k = - 1 d ) o sistema será indeterminado se k = 0 ou k = - 1 e ) o sistema será determinado se k = 0 ou k = x 30.(Ita) Considere o sistema A.X = B, em que A = 2 k 6, B = 6 e X = y, com k R. Sendo T a -1 3 k z soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema possível e indeterminado, então o valor de T S é : a ) 4 b ) 3 c ) 0 d ) 1 e ) 4

6 GABARITO 01. A 02. Espécie A = 400 peixes Espécie B = 200 peixes 03. B 04. B 05. E 06. a ) Não b ) Tipo A :22,5 kg Tipo B:5 kg 07. D 08. B 09. D 10. B 11. Hambúrguer = R$ 4,00 Suco = R$ 2,50 Cocada = R$ 3, maças 3000 peras 5000 laranjas 250 g de amendoim g de castanha de caju 125 g de castanha - do - pará 14. B 15. C 16. C 17. D 18. α S = -, α a ) y = z - 2 e x = 27-5z b ) (12,1, 3), (7, 2, 4), ( 2, 3, 5) 20. x + y + z = 100 a ) + 9y + 15z = z 100-7z b ),, z 4 4 c ) (78,18, 4), (81,11, 8), (84, 4,12) 21. A 22. a ) m b ) S = {( 1, 2, 3) } 23. E 24. A 25. Se m 1e m -1 SPD Se m = 1 SI Se m = -1 SI 26. b ) a 1 e a D 28. A 29. C 30. A