Estudando Matrizes e Determinantes utilizando o Software Winmat

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1 DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO/GERÊNCIA DE PESQUISA PROJETO: TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA Estudando Matries e Determinantes utiliando o Software Winmat Silvia Cristina Freitas Batista Gilmara Teieira Barcelos Campos dos Gotacaes 6

2 DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO/GERÊNCIA DE PESQUISA PROJETO: TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA Estudando Matries e Determinantes utiliando o Software Winmat ª Parte - Conhecendo o Software Winmat Trata-se de um programa gratuito, desenvolvido por Richards Parris, disponível, em português, no endereço eletrônico Nesta seção apresentamos algumas informações básicas sobre a utiliação do software Winmat, adaptadas do material produido por Mauri C. Nascimento, disponível em Outras informações poderão ser obtidas no ajuda do programa. Ao abrir o software, visualiamos a seguinte tela: Para entrar com uma matri, acione Matri e, em seguida Nova (ou CtrlN), na barra de menu do Winmat. Ao faer isso, abre-se uma janela onde se escolhe a dimensão e o tipo de matri (eros, aleatório, valor diagonal, linhas de probabilidade ou colunas de probabilidade). Acionando o botão criar, a matri aparecerá. Se você quiser uma matri particular, escolha qualquer tipo e troque os elementos a ij da matri usando o botão da esquerda (para trocar somente um elemento) ou direito (para trocar todos os elementos) do mouse e acione a tecla Enter no teclado para realiar as trocas. Na parte superior da janela nova matri aparece escrito nova matri[real]. Isto significa que a matri a ser criada é uma matri com elementos reais. É possível entrar com matries com elementos inteiros ou compleos. Para isso acione, na barra de menu do Winmat, Matri e, em seguida Modo.

3 Comando da barra de menu do Winmat: - Matri: Nova: para entrar com uma matri. Abrir: para abrir uma matri salva anteriormente. Colar: para colar uma tabela de números reais, inserida em um teto (fora do programa). Cada campo numérico é interpretado como uma entrada da matri. Todo o material de teto restante é ignorado quando o programa etrai a matri. Modo: para escolher o tipo de elemento da matri (reais, inteiros, compleos). Rotação D: matri de rotação do plano. Rotação D: matri de rotação do espaço. Refletir/ Projetar: matri para projeção e refleão. Fórmula: para escolher o tipo de matri e digitar a lei de formação da matri. Copiar coluna: para criar uma matri formada por uma coluna de uma das matries já definidas. Fundo Branco: para que a cor de fundo da matri seja branca. Ajuda: para tirar dúvidas sobre os itens desse menu. Sair: para sair do programa. - Calc (algumas das opções descritas abaio só aparecem no modo Real): Uma Matri: para obter informações sobra a matri (posto, traço, determinante, polinômio característico com suas raíes). Calcular: para realiar operações com matries, por eemplo, AB-CB^, /A ou A^(-) para inversa de A, A para a transposta de A, A/B para justapor as matries A e B (veja ajuda). Resolver: para resolver um sistema de equações lineares na forma matricial MX B, onde B é uma matri coluna. Prog Linear: para maiminiar ou minimiar funções lineares definidas em regiões conveas descritas por desigualdades lineares. Forma Escalonada: abre uma caia de diálogo que permite você levar uma matri passo a passo à forma escalonada por linhas. Operações linhas/colunas: para realiar operações elementares sobre linhas e colunas.

4 - Ver: acionando fechar na janela de uma matri, ela desaparece da tela. Para voltar a ver a matri acione Ver e em seguida, a letra que designa a matri. Comando da barra de menu da Matri: - Arquivo: para salvar a matri como matri (salvar ou salvar como), como teto (teto eterno) ou.te (TeXto matri). - Editar: Desfaer: desfa as últimas operações. Dimensões: para mudar as dimensões da matri. Formato: para definir o formato, sendo que espessura do campo define o espaço destinado a cada elemento (a ij ) e num decimais define o número de casas decimais depois da vírgula. Resolver: para resolver linhas ou colunas. Inserir: para inserir linhas ou colunas. Trocar: para trocar linha ou colunas. Col por col autoavanço: para entrar com os elementos por colunas (clicando com o botão direito do mouse). Caso contrário, a entrada dos elementos será realiada por linhas. - Misc: Fonte: para escolher o tipo de fonte Hífen do menos: para aumentar o sinal de menos Cor do bordo: para alterar a cor dos índices do bordo Notas: para digitar notas suplementares sobre uma dada matri. De início é mostrada apenas a descrição de usa criação. - Fechar: para faer desaparecer da tela a janela da matri. ª Parte Resolvendo Sistemas Lineares Nesta seção apresentamos algumas informações sobre a utiliação do software Winmat na resolução de sistemas lineares. Estas informações foram retiradas da apostila Cenários sobre Sistemas Lineares, disponível em

5 Os sistemas lineares no Winmat são resolvidos através da epressão MX B, onde B representa a matri dos coeficientes, a matri X representa a matri das incógnitas e B a matri dos resultados, por eemplo, o sistema: 5 6 Logo: 5 M, X, B 6 Para resolvermos o sistema acima, utiliando o Winmat, criamos a matri M e B conforme o eemplo acima, depois basta clicar no menu Resolver que está em Calc. A solução do sistema aparecerá em forma de uma matri X, conforme a tela abaio: Caso tivéssemos montado a matri M ou a B com outro nome não precisaríamos criá-las novamente com esses nomes, porque, como podemos observar, o software permite que informemos qual será a matri M e B. O software apresenta como solução de um sistema que seja possível e indeterminado, duas matries colunas, ou seja, no caso do sistema: 5 7 A resposta que estamos acostumados a obter é (-k, -k, k ) k IR. No software o que ele apresenta como respostas são duas matries colunas, sendo a primeira representando que o software chama de Kernel basis (núcleo base) para MX B, ou seja, o núcleo do sistema, no caso: e a segunda, que é uma solução particular para o sistema. O que nada mais é do que (,, )(k,k, k) que ainda pode ser melhorado para (,, )k(,, ) - dois vetores iguais às nossas duas matries. Quando calculamos este sistema, o programa apresenta as duas soluções ao mesmo tempo, em janelas separadas, mas com a tela da matri Kernel eatamente por cima da outra tela, dando-nos a impressão de haver apenas uma única solução. Mas se arrastarmos a janela da matri Kernel para o lado, veremos a outra janela. Se o sistema for impossível, o programa apenas apresenta uma mensagem de erro, como mostra a figura abaio:

6 5 ª Parte Atividades Esta seção contém atividades, elaboradas por Gilmara Teieira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista, com a finalidade de mostrar algumas das inúmeras formas de aplicação do software Winmat como recurso didático. Eplorando Algumas Propriedades da Adição e Multiplicação de Matries Atividade a) Clique em Matri e selecione Nova. Na janela que abrirá, solicite uma matri A. Em seguida, clique em aleatório e escolha o intervalo de para. Clique em criar. b) Solicite duas outras matries: uma B e outra C. c) Clique em Calc na barra de menu principal e, em seguida, em Calcular. Na janela que abrirá solicite uma matri A C, nomeando-a D. Clique em criar e observe a mensagem eibida. Reflita sobre o porquê dessa mensagem. d) Na janela calcular solicite uma matri A B, nomeando-a D. Clique em criar. e) Na janela calcular solicite uma matri B A, nomeando-a E. Clique em criar. f) Compare as matries D e E. Descreva o que você observou. Atividade a) Feche as janelas que contêm as matries D e E. b) Na janela calcular solicite uma matri A * B, nomeando-a F. Clique em criar e observe a mensagem eibida. Reflita sobre o porquê dessa mensagem, comparando o número de colunas de A com o número de linhas de B. c) Novamente na janela calcular, solicite uma matri B * C, nomeando-a F. d) Observe o número de linhas e colunas da matri F. Compare o tipo da matri F com o tipo das matries B e C. Descreva o que você observou. e) Na janela calcular solicite uma matri C * B, nomeando-a G. Observe a mensagem eibida. Reflita sobre o porquê dessa mensagem e descreva o que você observou. f) Na janela da matri A, clique em Editar, selecione Remover e, em seguida clique em Colunas. Na janela que abrirá remova a primeira coluna da matri A, tornando-a uma matri quadrada de ordem. g) Repita o que foi feito no item f, tornando também a matri B uma matri quadrada de ordem. h) Na janela calcular solicite uma matri A * B, nomeando-a G.

7 6 i) Na janela calcular solicite uma matri B * A, nomeando-a H. j) Compare as matries G e H. Descreva o que você observou. k) Feche todas as janelas. l) Crie a matri J. 5 m) Crie a matri K. n) Clique em Calc e, em seguida, em calcular. Solicite uma matri J * K, nomeando-a L. o) Na janela calcular, solicite uma matri K * J, nomeando-a M. p) Compare as matries L e M. Descreva o que você observou. q) As matries L e M comutam. Para que uma matri comute com outra é necessário que ambas sejam quadradas de mesma ordem. O fato de duas matries atenderem a esta condição é suficiente para afirmar que elas comutam? r) Feche todas as janelas. Eplorando Algumas Propriedades dos Determinantes Antes de iniciar as atividades a seguir, certifique-se de que o software está no modo real Atividade a) Clique em Matri e selecione Nova. Na janela que se abrirá, solicite uma matri A, aleatória. b) Clique em Calc e selecione Uma matri, clicando em seguida em A. Isso fará abrir uma janela com algumas informações, dentre as quais o valor do determinante dessa matri. Deie anotado esse número:. c) Feche a janela que contém o determinante. d) Na janela da matri A, clique em Editar, selecione Trocar e, em seguida, clique em Linhas. Na janela que abrirá, troque a linha pela linha da matri A. e) Siga os comandos do item b e registre o determinante da matri assim obtida:. f) Feche a janela que contém o determinante. g) Na janela da matri A, clique em Editar e em seguida em Desfaer. Isso desfará sua última modificação na matri, faendo com que a matri A original volte a ser apresentada na tela h) Na janela da matri A, clique em Editar, selecione Trocar e, em seguida, clique em Colunas. Na janela que abrirá, troque a ª coluna pela ª coluna da matri A.

8 7 i) Siga os comandos do item b e registre o determinante da matri assim obtida: j) Feche a janela que contém o determinante. k) Descreva o que você observou. l) Feche todas as janelas. Atividade a) Clique em Matri e selecione Nova. Na janela que se abrirá, solicite uma matri A, aleatória. b) Substitua os elementos da matri A por números inteiros. c) Clique em Calc e, em seguida, em Calcular. Na janela que abrirá solicite uma matri A, nomeando-a B. d) Novamente na janela Calcular, solicite uma matri A, nomeando-a C. e) Registre os determinantes com o auílio do software: Det A Det B Det C f) Calcule (sem utiliar o software): DetB Det A DetC Det A g) Feche todas as janelas. Clique em Matri, selecione Nova e solicite uma matri D. h) Substitua os elementos da matri D por números inteiros. i) Clique em Calc e, em seguida,em Calcular. Na janela que abrirá, solicite uma matri D, nomeando-a E. j) Novamente na janela Calcular, solicite uma matri D, nomeando-a F. k) Registre os determinantes com o auílio do software: Det (D) Det (E) Det (F) l) Calcule (sem utiliar o software): DetE DetD DetF DetD m) Observe os itens f e l e descreva um meio de obter determinantes de matries do tipo km, k R, a partir do determinante da matri M, sendo M uma matri quadrada de ordem n.

9 8 Atividade a) Mantenha na tela somente a matri A da atividade. b) Clique em Calc e, em seguida, selecione Calcular. Na janela que abrirá, solicite uma matri A, nomeando-a B. Isso abrirá uma janela com a matri B, transposta de A. c) Registre os determinantes: Det (A) Det (B) d) Feche as janelas. Clique em Matri, selecione Nova e solicite uma matri C, aleatória. e) Repita os comandos do item b para determinar a matri D, transposta de C. f) Registre os determinantes: g) Det (C) Det (D) h) Descreva o que você observou. Resolvendo Sistemas Lineares Atividade Com auílio do programa Winmat, resolva os sistemas abaio: a) 8 5 e) b) 5 f) 7 5 c) 6 g) 5 d) 7 h 5