Sinais e Sistemas Discretos

Sinais e Sistemas Discretos Luís Caldas de Oliveira Resumo 1. Sinais em Tempo Discreto 2. Sistemas em Tempo Discreto 3. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo 4. Representações em requência 5. A Transformada de ourier Sinais em Tempo Discreto São representados matematicamente como sequências de números: x = {x(n)}, n [, + ] em que n é um inteiro. Exemplo: A evoluçao do valor de fecho de um índice de bolsa: {... 4.376,42 4.363,21 4.370,12 4.312,93...} Luís Caldas de Oliveira 1 Amostragem de Sinais em Tempo Contínuo Deslocamento Temporal Na prática a maior parte dos sinais em tempo discreto resultam da amostragem de sinais em tempo contínuo (x c (t)): x(n)...... x(n) = x c (nt ), n [, + ] em que x c (t) é uma função da variável real t e T é o período de amostragem. 1 0 1 2 3 4 5 6 7 n y(n)...... 1 0 1 2 3 4 5 6 7 n y(n) = x(n n 0 ) Qual o valor de n 0?...... T Luís Caldas de Oliveira 2 Luís Caldas de Oliveira 3

Sinal Periódico Impulso Unitário Um sinal discreto diz-se periódico de período N (inteiro) se se mantiver inalterado por um deslocamento temporal de N amostras: x(n) = x(n + N), n Nesse caso, também será periódico de período 2N, 3N,... Ao menor valor de N positivo para o qual x(n) ainda é periódio chamase período fundamental. δ(n) = { 0, n 0. 1, n = 0. δ(n)...... 4 3 2 1 0 1 2 3 4 n Qualquer sequência pode ser expressa em termos de uma soma de impulsos unitários escalados e deslocados no tempo: x(n) = x(k)δ(n k) Luís Caldas de Oliveira 4 Luís Caldas de Oliveira 5 Escalão Unitário Relações Entre o Impulso e o Escalão Unitário u(n) = { 0, n < 0. 1, n 0. u(n)...... 4 3 2 1 0 1 2 3 4 n O escalão unitário pode-se relacionar com o impulso unitário: n u(n) = δ(k) Inversamente: δ(n) = u(n) u(n 1) Luís Caldas de Oliveira 6 Luís Caldas de Oliveira 7

Sequência Exponencial Real Sequência Exponencial Complexa Sendo α e A números reais: x(n) = Aα n α > 1 a sequência x(n) é crescente; α < 1 a sequência x(n) é decrescente; α > 0 as amostras da sequência x(n) têm todas o mesmo sinal de A; Se α = e jω 0 e A = A e jφ : x(n) = A e j(ω 0n+φ) = A cos(ω 0 n + φ) + j A sen(ω 0 n + φ) Por analogia com a correpondente função contínua, a ω 0 chama-se frequência da sinusoide complexa e φ é a sua fase. α < 0 as amostras da sequência x(n) são alternadamente positivas e negativas. Luís Caldas de Oliveira 8 Luís Caldas de Oliveira 9 Periodicidade Temporal Periodicidade em requência No caso discreto, a sequência exponencial complexa nem sempre é periódica. A e j(ω 0n+φ) x(n) = x(n + N) = A e j(ω 0(n+N)+φ) = A e j(ω 0n+φ) e jω 0N No caso discreto, as exponenciais complexas com frequência (ω 0 +2πr) são indistinguíveis entre si: A e j[(ω 0+2πr)n+φ] = A e j(ω 0n+φ) e j2πrn = A e j(ω 0n+φ) Só é periódica se: ω 0 N = 2πk N = 2πk/ω 0 Mas N tem de ser inteiro! Luís Caldas de Oliveira 10 Luís Caldas de Oliveira 11

Sistemas em Tempo Discreto Sistema Linear Um sistema em tempo discreto define-se como transformação de uma sequência de entrada x(n) numa sequência de saída y(n): Exemplos: y(n) = T {x(n)} 1. sistema sem memória: y(n) = 2x(n); 2. atraso ideal: y(n) = x(n 2); 3. média móvel: y(n) = 1 3 [x(n) + x(n 1) + x(n 2)]; Propriedade da aditividade { T {x1 (n)} = y 1 (n) T {x 2 (n)} = y 2 (n) Propriedade da homogeneidade T {x 1(n) + x 2 (n)} = y 1 (n) + y 2 (n) aditividade T {x(n)} = y(n) T {ax(n)} = ay(n) homogeneidade em que a é uma constante arbitrária Um sistema linear tem de verificar as propriedades da aditividade e da homogeneidade. Luís Caldas de Oliveira 12 Luís Caldas de Oliveira 13 Sistema Invariante no Tempo T {x(n)} = y(n) invariante no tempo T {x(n n 0)} = y(n n 0 ) Exemplos: 1. invariante: y(n) = x(n 2) 2. variante: y(n) = x(2n) 3. invariante: y(n) = sen(x(n)) 4. variante: y(n) = nx(n) Causalidade Um sistema é causal se a sua saída só depender de entradas actuais ou passadas. Exemplos: x 1 (n) = x 2 (n), n n 0 y 1(n) = y 2 (n), n n 0 n0 causalidade 1. causal: y(n) = x(n 2) 2. não-causal: y(n) = x(n + 2) 3. causal: y(n) = x(n) x(n 1) 4. não-causal: y(n) = x(n + 1) x(n) Luís Caldas de Oliveira 14 Luís Caldas de Oliveira 15

Estabilidade Resposta Impulsiva Resposta de um sistema a um impulso localizado no instante k: Um sistema é estável se todas as sequências de entrada limitadas produzirem sequências de saída limitadas: Exemplos: x(n) B x < n y(n) B y < n estabilidade h k (n) = T {δ(n k)}, n Representação da entrada como uma soma de impulsos: x(n) = x(k)δ(n k) 1. estável: y(n) = 4 k=0 x(n k) 2. instável: y(n) = n k=0 x(k) Saída do sistema: y(n) = T { x(k)δ(n k)} Luís Caldas de Oliveira 16 Luís Caldas de Oliveira 17 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo Sistema Linear y(n) = y(n) = T { x(k)t {δ(n k)} = x(k)δ(n k)} Invariância Temporal: h k (n) = h(n k) y(n) = x(k)h k (n) x(k)h(n k) Somatório de Convolução y(n) = x(n) h(n) = x(k)h(n k) Num SLIT, conhecida a sua resposta impulsiva é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada através do somatório de convolução. Realização gráfica de h(n k) = h( (k n)) 1. reflectir h(k) em relação à origem para obter h( k); 2. deslocar a origem da sequência reflectida para k = n. Luís Caldas de Oliveira 18 Luís Caldas de Oliveira 19

Convolução Gráfica x(k)...... 0 1 2 3 k h(n k) 0 0 1 2 3 Luís Caldas de Oliveira 20 Propriedades Associações de SLITs A operação de convolução é comutativa: x(n) h(n) = h(n) x(n) A operação de convolução é associativa: x(n) (h 1 (n) h 2 (n)) = (x(n) h 1 (n)) h 2 (n) A operação de convolução é distributiva em relação à adição: Associação em cascata de SLITs: h(n) = h 1 (n) h 2 (n) Associação em paralelo de SLITs: h(n) = h 1 (n) + h 2 (n) x(n) (h 1 (n) + h 2 (n)) = x(n) h 1 (n) + x(n) h 2 (n) Luís Caldas de Oliveira 22 Luís Caldas de Oliveira 23

Estabilidade de um SLIT Causalidade de um SLIT Um SLIT é estável sse a resposta impulsiva for absolutamente somável: S = h(k) < Um SLIT é causal se a sua reposta impulsiva verificar: h(n) = 0, n < 0 Uma sequência causal é uma sequência que pode ser a resposta impulsiva de um sistema causal, ou seja, que assume valores nulos para n < 0. Luís Caldas de Oliveira 24 Luís Caldas de Oliveira 25 Equações às Diferenças de Coeficientes Constantes unção Própria de um Sistema Uma sub-class importante dos SLITs é a dos sistemas cujas sequências de entrada e saída satisfazem uma equação às diferenças com a forma geral: N M a k y(n k) = b k x(n k) k=0 Importante: Como se verá mais tarde, uma equação às diferenças não define univocamente um sistema é necessária informação adicional. k=0 p(n) será uma função própria de um sistema caracterizado pela transformação T { } se: T {p(n)} = P p(n) neste caso P é o valor próprio associado à função própria p(n). Luís Caldas de Oliveira 26 Luís Caldas de Oliveira 27

unções Próprias dos SLITs Resposta em requência As sequências exponenciais complexas são funções próprias dos SLITs x(n) = e jωn y(n) = ou seja: h(k)e jω(n k) = e jωn y(n) = H(e jω )e jωn em que H(e jω ) é o valor próprio associado. + h(k)e jωk } {{ } H(e jω ) H(e jω ) = h(k)e jωk No caso geral, a reposta em frequência é uma função complexa: H(e jω ) = H R (e jω ) + jh I (e jω ) = H(e jω ) e j H(ejω ) A resposta em frequência é uma função periódica em ω de período 2π. Luís Caldas de Oliveira 28 Luís Caldas de Oliveira 29 Transformada de ourier de uma Sequência Convergência do Somatório da Transformada de ourier X(e jω ) = n= x(n)e jωn A sequência pode ser reconstruída a partir da sua transformada: x(n) = 1 π X(e jω )e jωn dω 2π π A resposta em frequência é a transformada de ourier da resposta impulsiva se x(n) é absolutamente somável então a sua transformada de ourier existe (X(e jω )); pode-se mostrar que nesse caso a série converge uniformemente para uma função contínua em ω; todas as sequências estáveis têm transformada de ourier; todas as sequências de duração limitada têm transformada de ourier. Luís Caldas de Oliveira 30 Luís Caldas de Oliveira 31

Sequências Simétricas Componentes Simétricas de um Sequência Sequência par ou conjugada-simétrica: x e (n) = x e( n) Qualquer sequência pode ser representada pela soma de uma sequência par com uma sequência ímpar: x(n) = x e (n) + x o (n) Sequência ímpar ou conjugada-anti-simétrica: x o (n) = x o( n) em que x e (n) = 1 2 (x(n) + x ( n)) x o (n) = 1 2 (x(n) x ( n)) Luís Caldas de Oliveira 32 Luís Caldas de Oliveira 33 Propriedades de Simetria da T de uma Sequência Complexa Propriedades de Simetria da T de uma Sequência Real x (n) x ( n) R{x(n)} ji{x(n)} x e (n) x o (n) X (e jω ) X (e jω ) X e (e jω ) X o (e jω ) X R (e jω ) jx I (e jω ) x(n)(real) x(n)(real) x(n)(real) x(n)(real) x(n)(real) x e (n)(real) x o (n)(real) X(e jω ) = X (e jω ) X R (e jω ) = X R (e jω ) X I (e jω ) = X I (e jω ) X(e jω ) = X(e jω ) X(e jω ) = X(e jω ) X R (e jω ) X I (e jω ) Luís Caldas de Oliveira 34 Luís Caldas de Oliveira 35

Linearidade da Transformada de ourier Deslocamento no Tempo e na requência Se e então x 1 (n) X 1 (e jω ) x 2 (n) X 2 (e jω ) ax 1 (n) + bx 2 (n) ax 1 (e jω ) + bx 2 (e jω ) Deslocamento temporal: x(n n d ) e jωn dx(e jω ) Deslocamento em frequência: e jω0n x(n) X(e j(ω ω0) ) Luís Caldas de Oliveira 36 Luís Caldas de Oliveira 37 Inversão Temporal Diferenciação em requência no caso particular de x(n) ser real: x( n) X(e jω ) nx(n) j dx(ejω ) dω x( n) X (e jω ) Luís Caldas de Oliveira 38 Luís Caldas de Oliveira 39

Teorema de Parseval Teorema da Convolução Se então E = n= x(n) X(e jω ) x(n) 2 = 1 π X(e jω ) 2 dω 2π π Se e então x(n) X(e jω ) h(n) H(e jω ) y(n) = x(k)h(n k) = x(n) h(n) Y (e jω ) = X(e jω )H(e jω ) n= Luís Caldas de Oliveira 40 Luís Caldas de Oliveira 41 Teorema da Modulação Pares de Transformadas de ourier y(n) = x(n)w(n) Y (e jω ) = 1 π X(e jθ )W (e j(ω θ) )dθ 2π π δ(n) δ(n n 0 ) 1 ( < n < + ) a n u(n) u(n) 1 e jωn 0 2πδ(ω + 2πk) 1 1 ae jω 1 1 e jω + πδ(ω + 2πk) Luís Caldas de Oliveira 42 Luís Caldas de Oliveira 43

Pares de Transformadas de ourier Pares de Transformadas de ourier x(n) = (n + 1)a n u(n) ( a < 1) r n sen[ω p (n + 1)] u(n) sen(ω p ) sen(ω c n) πn { 1, 0 n M 0, caso contrário 1 (1 ae jω ) 2 1 1 2rcos(ω p )e jω + r 2 e j2ω { 1, ω < ω c 0, ω c < ω π X(e jω ) = sen[ω(m + 1)/2] e jωm/2 sen(ω/2) cos(ω 0 n + φ) e jω 0n π 2πδ(ω ω 0 + 2πk) [e jφ δ(ω ω 0 + 2πk) + e jφ δ(ω + ω 0 + 2πk)] Luís Caldas de Oliveira 44 Luís Caldas de Oliveira 45