NOTAÇÕES N : cjut ds úmers aturais R : cjut ds úmers reais R + : cjut ds úmers reais ã egativs i : uidade imagiária; i = arg z : argumet d úmer cmple z [a, b] = { R : a b} A\ B = { : Ae B} A C : cmplemetar d cjut A P(A) : cjut de tds s subcjuts d cjut A (A) : úmer de elemets d cjut fiit A AB : segmet de reta uid s pts A e B AB : arc de circuferêcia de etremidades A e B ak k = a0 + a + a + + a, N Observaçã: Os sistemas de crdeadas csiderads sã cartesias retagulares Questã Deseja-se trcar uma meda de 5 cetavs, usad-se apeas medas de l, 5 e 0 cetavs Etã, úmer de diferetes maeiras em que a meda de 5 cetavs pde ser trcada é igual a a) 6 b) 8 c) 0 d) e) 4 alterativa D Sejam, y e z, respectivamete, s ttais de medas de, 5 e 0 cetavs Desejams ctar úmer de sluções aturais de + 5y + 0z = 5 (*) Tems que + 5y + 0z = 5 = 5(5 y z), u seja, = 5 cm N Lg + 5y + 0z = 5 5 + 5y + 0z = 5 + y + z = 5 + y = 5 z O úmer de sluções aturais da equaçã a + b =, N, é + Prtat, cm + y = 5 z + y = 5 u + y = u + y =, a equaçã (*) tem 6 + 4 + = sluções Questã Dis atiradres acertam alv uma vez a cada três dispars Se s dis atiradres disparam simultaeamete, etã a prbabilidade d alv ser atigid pel mes uma vez é igual a a) 9 b) c) 4 9 d) 5 9 e) alterativa D Supd que s evets sã idepedetes, a prbabilidade de s dis atiradres errarem alv é igual a 4 = Lg a prbabilidade d 9 alv ser atigid pel mes uma vez é igual a 4 5 = 9 9 Questã Sejam z = (cs 45 + i se 45 ) e w = (cs 5 + i se 5 ), em que émer iteir psitiv tal que ( + i) é real z Etã, w é igual a a) + i b) ( + i ) c) ( + i ) e) ( i ) d) ( i ) alterativa B Cm ( + i) = ( ) [cs( 45 ) + + i se( 45 )], mer para que ( + i) seja real é tal que se( 45 ) = 0, u seja, = 4 Assim, z 4 = (cs(45 5 ) + i se(45 5 )) = w 4 i = 4(cs 0 + i se 0 ) = 4 + = = ( + i)
matemática 4 Questã 4 Se arg z =, etã um valr para arg( ) 4 iz é a) b) 4 c) d) 7 e) 4 4 alterativa E O argumet pricipal de i é Assim, um valr para arg( iz) é arg( i) + arg z = + 7 + = 4 4 Questã 5 Sejam r, r e r úmers reais tais que r r e r + r + r sã raciais Das afirmações: I Se r é racial u r é racial, etã r é racial; II Se r é racial, etã r + r é racial; III Se r é racial, etã r e r sã raciais, é (sã) sempre verdadeira(s) a) apeas I b) apeas II c) apeas III d) apeas I e II e) I, II e III alterativa E r r Q r r Q r + r + r Q r + r Q Lg r Q r Q r Q e as três afirmações sã verdadeiras Questã 6 As raízes, e d pliômi p ( ) = 6 + + a ( 4 + ) + estã relaciadas pelas equações: + + = e = 0 Etã, ceficiete a é igual a a) ( ) b) ( + ) c) 4( ) d) 4 + e) 4 alterativa C Pelas relações etre ceficietes e raízes, + + = 4 + Assim, + + = 4 + + + = = 0 + + = 4 + = + ( + ) = 4 + + + = 4 + = 5 + = 0 + 4 Lg + + = a = = = 4 ( ) + 4 + ( ) 4 = a a = 4( ) Questã 7 Sabe-se que ( + y, 5y, 8 y, 7y + + z) é uma prgressã aritmética cm últim term igual a 7 Etã, prdut yz é igual a a) 60 b) 0 c) 0 d) 0 e) 60
matemática 5 alterativa A Cm ( + y, 5y, 8 y, 7y + z) é uma prgressã aritmética cm últim term 7, tems: + y + 8 y 5y = 5y + 7y + z 8 y = 7y + z = 7 + 0y = 0 + 4y = z 7y + ( + 4y) = 7 + 0y = 0 + y = 7 z = + 4y = 0 y = y z = 60 z = + 0y = 0 0 0y = 70 z = + 4y Questã 9 Um triâgul ABC tem lads cm medidas a = cm, b = cm e c = cm Uma circuferêcia é tagete a lad a e também as prlgamets ds utrs dis lads d triâgul, u seja, a circuferêcia é e-iscrita a triâgul Etã, rai da circuferêcia, em cm, é igual a a) + b) 4 4 c) + d) e) + 4 alterativa A Questã 8 Csidere um pliômi p(), de grau 5, cm ceficietes reais Sabe-se que i e i sã duas de suas raízes Sabe-se, aida, que dividid-se p() pel pliômi q ( ) = 5 btém-serestzereque p( ) = 0( 5 + ) Etã, p( ) é igual a a) 55 ( ) c) 0( 5 ) e) 50( 5 ) b) 5( 5 ) d) 45( 5 ) alterativa C Dad que p() é um pliômi de ceficietes reais, z C é raiz de p() se, e smete se, z C é raiz de p() Lg, cm p() é um pliômi de grau 5 divisível pr 5, etã p() = a( ( i)) ( ( i ))( (i )( (i ))( 5), cm a R Assim, para R, cm z z = z : p() = a( + i)( + i)( + i)( + i)( 5) p() = a( + )(( + ) + ( ) )( 5) p() = a( + 4)( + + 4)( 5) e, prtat, p() = a 5 (5 + ) ( 4) 0(5 + ) = 0(5 + )a a = Csequetemete, p( ) = ( ) 5 (5 )( 6) = 0(5 ) Sejam O cetr da circuferêcia e-iscrita de rai r e P, Q e R s pts de tagêcia cm BC e s prlgamets de AC e AB, respectivamete Cm AC = AB + BC, âgul ABC é ret e, csequetemete, quadriláter BPOR é um quadrad de lad r Assim: CQ = PC = r e AQ = AR = + r AC + CQ = + r + r = + r r = + cm 4
matemática 6 Questã 0 Sejam A = ( 00,, ) B = ( 06, ) e C = ( 4, ) vértices de um triâgul A distâcia d baricetr deste triâgul a vértice A, em uidades de distâcia, é igual a a) 5 97 b) 09 c) 5 d) e) 0 alterativa B O baricetr G d triâgul ABC é pt 0 0 4 G = + + ; 0 + 6 + 4 = ; Assim a distâcia de G até vértice A é 4 97 0 + ( 0) = Questã A área d quadriláter defiid pels eis crdeads e as retas r : y + = 0 e s : + y = 0, em uidades de área, é igual a a) 9 b) 0 c) 5 d) 7 e) 9 alterativa D Csiderems a figura a seguir: Questã DadssptsA = ( 00,, ) B = ( 0e, ) C = (, ), lugar gemétric ds pts que se ectram a uma distâcia d = da bissetriz itera, pr A, d triâgul ABC é um par de retas defiidas pr a) r, : y ± 4 + = 0 b) r, : y ± 0 + = 0 c) r, : y ± 0 + = 0 d) r, :( + ) y ± + 4 = 0 e) r, :( + ) y ± 4 + = 0 alterativa E N ΔABC, tg A = = m(a) = 45 Assim, a bissetriz itera d âgul A tem icliaçã m tg 45 m = Cm tg 45 = m m = m = (pis m > 0), uma m equaçã da bissetriz é y 0 = ( ) ( 0) ( + )y = 0 Prtat, sed (; y) um pt d lugar gemétric ds pts que distam da bissetriz, tems: ( + )y = ( + )y = + ( + ) = 4 + ( + )y ± 4 + = 0 que sã as equações d lugar gemétric prcurad Para ectrar pt P, reslvems sistema y + = 0 6 = Lg P = (6; ) + y = 0 y = A área d quadriláter defiid pels eis crdeads e pelas retas r e s é igual à difereça etre as áreas ds triâguls APC e ABO, u seja, 0 7 = Questã Sejam A, B e C subcjuts de um cjut uivers U Das afirmações: C I ( A\ B )\ C = A ( B C) ; C II ( A\ B )\ C = C C A ( B C ) ;
matemática 7 C C C III B C = ( B C), é (sã) sempre verdadeira(s) apeas a) I d) I e III b) II e) II e III c) III alterativa C Sabe-se que X Y = X Y Assim: (A B) C = (A B) C = (A B) C = = A (B C) (A B) C = (A B) C = (A B) C = = A (B C) = A (B C) Vams supr que eiste u U Etã: I Falsa (A B) C = A (B C) A (B C) = A (B C) Tmad A = { u }, B = { u} ec= 0, terems 0 = {u} II Falsa ( A B) C = A (B C) A (B C) = A (B C) Tmad A = 0, B = 0 e C = 0, terems 0 = U III Verdadeira Essa é uma das leis de Mrga Obs: se U = 0, tdas as afirmações seriam verdadeiras Questã 4 Sejam A e B dis cjuts disjuts, ambs fiits e ã vazis, tais que (P(A) P(B)) + = = (P(A B)) Etã, a difereça (A) (B) pde assumir a) um úic valr b) apeas dis valres distits c) apeas três valres distits d) apeas quatr valres distits e) mais d que quatr valres distits alterativa A Cm A e B sã fiits e disjuts, (A) = a N ; (B) = b N, (A B) = a + b e P(A) e P(B) têm apeas cjut vazi em cmum Assim: (P(A) P(B)) + = (P(A B)) a b a+ b + + = a b a b + + = a b a b = + = a b ( ) ( ) Cm a, b N, tems: a a = = a = b b = = b = Lg: (A) (B) = = 0 Questã 5 Csidere um úmer real a psitiv, fiad, e a equaçã em a + βa β = 0, β R Das afirmações: I Se β<0, etã eistem duas sluções reais distitas; II Se β=, etã eiste apeas uma sluçã real; III Se β=0, etã ã eistem sluções reais; IV Se β>0, etã eistem duas sluções reais distitas, é (sã) sempre verdadeira(s) apeas a) I b) I e III c) II e III d) II e IV e) I, III e IV alterativa C Tems a + βa β = 0 (a ) + β(a ) β = 0 O discrimiate Δ dessa equaçã a variável a é igual a ( β) 4 ( β) = 4β + 4β = = 4 β ( β + ) β = Lg Δ< 0 < β < 0, Δ= 0 u β = 0 e β < Δ> 0 u β > 0 I Falsa Para < β < 0, Δ<0 e ã há sluçã real II Verdadeira Para β= a equaçã é 0 a a + = 0 (a ) = 0 a = a = 0, apeas uma sluçã real III Verdadeira Cm β=0, a = 0 e cm a > 0 ã eistem sluções reais IV Falsa Cm β>0, Δ>0ecm a sma e prdut das raízes da equaçã (a ) + β(a ) β = 0 a variável a sã egativs, a assume um valr psitiv e utr egativ Lg eiste apeas uma sluçã real para cm β>0 Questã 6 Seja S = Etã, a) S = 0 + d) S = R R arc se e e e e + arccs = b) S = {} 0 e) S = R c) S = + R \{ 0 }
matemática 8 alterativa B Cm arc se t + arc cs t = e arc cs( t) = = arc cs t para td t [, ], arc se e e arc cs e e + = arc se t + arc cs( t) = e e t = arc cs t + arc cs t = e e t = arc cs t = e e = cs e e t = e = e = 0 e S = {0} Questã 7 Seja [ 0, ] tal que se() cs() = 5 Etã, prdut e a sma de tds s pssíveis valres de tg() sã, respectivamete a) e 0 b) e 5 c) e 0 d) e 5 e) e 5 alterativa B se cs se cs = = 5 cs 5cs se = = + cs 5 sec tg (tg ) 5 tg 5tg + = 0 Cm a equaçã tems Δ>0, prdut e a sma de tds s valres de tg sã, respectivamete, ( = e 5) 5 = c) cs(α) quad é ímpar d) se(α) quad é par e) zer quad é ímpar alterativa E Tems que: para k par, cs( α + k ) = csα; para k ímpar, cs( α + k ) = cs( α + ) = csα Lg cs( α + k ) = k = ( ) csα = csα cs α + + ( ) csα e, prtat: para par, cs( α + k ) = csα; para ímpar, cs( α + k ) = 0 Questã 9 Um ce circular ret de altura cm egeratriz cm éiterceptadprumplaparalel à sua base, sed determiad, assim, um v ce Para que este v ce teha mesm vlume de um cub de aresta / cm, é ecessári que a distâcia d 4 plaàbasedcerigialseja,emcm,iguala a) 4 b) c) d) e) 4 alterativa D Csiderems a figura a seguir: Questã 8 A sma cs( α + k), para td α [ 0, ], vale a) cs(α) quad é par b) se(α) quad é ímpar
matemática 9 Aplicad terema de Pitágras triâgul VOA, tems R = = Sed vlume d ce mer 4 =, 4 h = 4 h = Lg a distâcia pedida é h = = Questã 0 AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE A 0, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES Questã Dez cartões estã umerads de a 0 Depis de embaralhads, sã frmads dis cjuts de 5 cartões cada Determie a prbabilidade de que s úmers 9 e 0 apareçam um mesm cjut Seja A cjut em que está cartã 9 Detre s demais 9 úmers, há 4 que pertecem a cjut A Assim, a prbabilidade de cartã 0 estar mesm cjut que cartã 9 é 4 9 A superfície lateral de um ce circular ret é umsetrcircularde0 eáreaiguala cm A área ttal e vlume deste ce medem, em cm e cm, respectivamete a) 4 e b) 4 e c) 4 e d) e e) e alterativa A Sed g a medida, em cetímetrs, da geratriz d ce, 0 g = g = 60 O cmprimet d arc determiad pel setr é 0 60 = cm, e, sed r rai da base, tems r = r = cm A altura d ce é g r = = cm e, prtat, sua área ttal é ST = + = 4cm e seu vlume é = cm Questã Determie s valres reais de de md que se( ) cs( ) seja máim Tems que se cs = = = se cs = se cs cs se = = se Para que a epressã teha valr máim, devems ter se = = + k, k Z 5 = + k, k Z Questã Csidere a matriz quadrada A em que s terms da diagal pricipal sã, +, +,, + e tds s utrs terms sã iguais a Sabe-se que (,,, ) é uma prgressã gemétrica cuj primeir term é e a razã é 4 Determie a rdem da matriz A para que seu determiate seja igual a 56
matemática 0 + Chiò Seja A = + = + + 0 0 0 0 Chi 0 0 ò + = ( ) 0 0 0 = 0 0 0 = Cm (,,, ) é uma PG cm = e ( ) q = 4, tems = q = = ( ) 4 = Sed A = 56, 8 = = 8 = 4 u = Lg a rdem da matriz é + = 4 + = 5 Questã 4 Seja um úmer atural Sabed que determiate da matriz lg lg A = + 5 lg lg 4 5 lg5 lg5 5 5 é igual a 9, determie e também a sma ds elemets da primeira clua da matriz iversa A Cm N, vem que = Sed b b b A = b b b, tems que A A = I, lg b b b b + b + b = b + b + b = b A Assim b A 9 ( ) + 5 = = = e, prtat, b + b + b = = Questã 5 Em um pla estã situads uma circuferêcia ω de rai cm eumptp que dista cm d cetr de ω Csidere s segmets PA e PB tagetes a ω s pts A e B, respectivamete A girar a regiã fechada delimitada pels segmets PA e PB e pel arc mer AB em tr de um ei passad pel cetr de ω e perpedicular a segmet PA, btém-se um sólid de revluçã Determie: a) A área ttal da superfície d sólid b) O vlume d sólid Seja O cetr da circuferêcia Etã PO = = cm, AO = cm e, pel Terema de Pitágras, PA + AO = PO PA = cm Sed PÂO ret e PA = PB = OA = OB, quadriláter PAOB é um quadrad lg lg Tems que A = + 5 lg lg 4 = 5 lg5 lg5 5 5 = + 5 5 = + 9 0 5 Lg A = 9 + 9 0 = 9 = u = Assim, sólid em questã é um cilidr de rai PA = cm e altura cm d qual fi subtraída uma semiesfera de rai OB = cm:
matemática Questã 7 a) A superfície crrespde à superfície lateral d cilidr, uma base de cilidr e um hemisféri, que é + + 4 = 0 cm b) O vlume d sólid é vlume d cilidr subtraid-se da semiesfera, u seja, 4 8 = cm Questã 6 As iterseções das retas r : y + = 0, s: + y 7 = 0 e t: + 7y 7 = 0, duas a duas, respectivamete, defiem s vértices de um triâgul que é a base de um prisma ret de altura igual a uidades de cmprimet Determie: a) A área ttal da superfície d prisma b) O vlume d prisma Ds alus de um clégi, cada um estuda pel mes uma das três matérias: Matemática, Física e Química Sabe-se que 48% ds alus estudam Matemática, % estudam Química e 6% estudam Física Sabe-se, aida, que 8% ds alus estudam apeas Física e Matemática, equat 4% estudam tdas as três matérias Os alus que estudam apeas Química e Física mais aqueles que estudam apeas Matemática e Química ttalizam 6 estudates Determie Csiderad que a epressã estudam apeas X e Y idica s elemets de X Y ( X Y Z), tems seguite diagrama de Ve, cm valres idicads em prcetagem: As iterseções das retas, duas a duas, defiem s seguites pts, vértices d triâgul: y + = 0 = y + = 0, + y 7 = 0 y = + 7y 7 = 0 = 0 y = e + y 7 = 0 7 = + 7y 7 = 0 y = 0 Lg a área d triâgul é det 0 7 0 = 5 e seus lads medem ( 0) + ( ) = 0, ( 7) + ( 0) = 5 e (0 7) + ( 0) = 5 a) A área ttal da superfície d prisma é 5 + 0 + 5 + 5 = = 0 + 0 + 4 5 + 0 b) O vlume d prisma é 5 = 0 Cm td alu estuda alguma matéria, 48 + 4 +8 y = 00 + y = 0; prém ( + y)% = 6 0 = 6, que ã tem sluçã Agra, csiderad que estudam apeas X e Y idica s elemets de X Y: 48 + 8 + 8 y = 00 + y = 4 Assim ( + 4 + y + 4)% = 6 % = 6 = 55
matemática Questã 8 +, 0 Aalise se f:r R, f( ) = é, < 0 bijetra e, em cas afirmativ, ectre f : R R Vams csiderar a relaçã iversa g Sabems que g éderemre(,y) f (y, ) g Para prvarms que f é bijetra, basta mstrarms que g é fuçã Para 0,y = + = y = y cm y Para < 0, y = = y = y cm y < Prtat, g é fuçã cm g : R R e y,y g(y) = Assim, f é bijetra e y, y < f = g 5 < θ < u < θ < 4 4 0 θ 5 < θ < u < θ < 4 4 Lg θ 4 ; ; 5 4 Questã 0 As retas re r sã ccrretes pt P, eterir a um círcul ω A reta r tagecia ω pt A e a reta r itercepta ω s pts B e C diametralmete psts A medida d arc AC é 60 e PA mede cm Determie a área d setr mer de ω defiid pel arc AB Csidere a figura a seguir, em que O é cetr e R é rai da circuferêcia Questã 9 Determie s valres de θ [ 0, ] tais que se() θ lg tg () θ e 0 Para θ [ 0; ], tems: 0 tgθ seθ lgtgθ e 0 < < u tg θ > seθ e e se θ < < 0 4 < < 5 θ u θ 4 u seθ 0 5 < θ < u < θ < 4 4 seθ 0 < < < < 5 0 θ u θ 4 4 u θ CmarcACmede60, âgul AOP também mede 60 Sed triâgul AOP retâgul PA em A, tems tg(aôp) = tg 60 = OA R R = cm Assim, âgul d mer setr defiid pel arc AB mede 80 60 = 0,esuaáreaé 0 60 9 cm =