Coordenadora do Curso de Graduação

CÁLCULO II 2007 INSTRUCIONAIS DE MATEMÁTICA Coordenadora do Curso de Graduação Sônia Albuquerque - Matemática Conteudista Sônia Albuquerque

SUMÁRIO UNIDADE I PRIMITIVA 1.1 Introdução 1.2 Definição UNIDADE II INTEGRAL INDEFINIDA 2.1 - DEFINIÇÃO 2.2 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO UNIDADE III CÁLCULO DE ÁREAS 3.1 CÁLCULO DE ÁREA UTILIZANDO OS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO UNIDADE IV CÁLCULO DE VOLUMES 4.1 CÁLCULO DE VOLUMES UTILIZANDO OS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO Glossário Referências bibliográficas QUADRO SÍNTESE DO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Unidade de Programa I. PRIMITIVA 1.1.INTRODUÇÃO 1.2.DEFINIÇÃO II. INTEGRAL INDEFINIDA 2.1.DEFINIÇÃO 2.2 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO III. Cálculo de AREA 3.1.CÁLCULO DE ÁREAS UTILIZANDO OS Objetivos -Identificar uma função primitiva. -Resolver uma integral indefinida utilizando os diversos métodos de integração -Resolver problemas de área de uma superfície utilizando uma integral

DIVERSOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO. IV. CÁLCULO DE VOLUMES 4.1.CÁLCULÇO DE VOLUMES UTILIZANDO OS DIVERSOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO definida -Resolver problemas de volume aplicando o conceito de integral definida CONTEXTUALIZAÇÃO DA DISCIPLINA: Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo, porém acreditamos ter conseguido um bom desenvolvimento lógico das unidades, mantendo um certo rigor coerente com o nível para o qual o material é proposto. O objetivo é fazer com que você compreenda as idéias básicas da disciplina de Cálculo I e II e, quando necessário, saiba transferir as estruturas adquiridas às outras áreas de conhecimento. Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado. GLOSSÁRIO: INTEGRAL, INTEGRAL INDEFINIDA, INTEGRAL DEFINIDA, CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUME Objetivo: - Desenvolver no aluno o raciocínio e criatividade para solucionar problemas que envolvam o cálculo com integrais. Mostrar as diversas aplicações da integral nas ciências físicas Bibliografia GUIDORIZZI, Hamilton Luis. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. LTC, 1995. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. McGraw-Hill, 1993. MUNEN, Mustafá A. E FOULIS, J. D. Cálculo. Vol. 1. Guanabara, 1982. SWOKOWSKI, Earl Willian. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. McGraw-Hill, 1993 Definição PRIMITIVA OU ANTIDERIVADA Uma função derivável F(x) denomina-se primitiva (ou antiderivada) de uma outra função f(x) em I (I Cf) ( x I) : F (x) = f(x).

Observação: Diremos simplesmente que f(x) é uma primitiva (ou antiderivada) de f(x), quando I = Cr. Exemplos: 1. F(x) = 2 / 3. x 3 x 2 / 2 + 1 é uma primitiva de f(x) = 2 x 2 x; 2. f(x) = x arc senx + 1 - x 2 e F1(x) = x arc sen x + 1 - x 2-10 são antiderivadas de f(x) = arc sem x; 3. F(x) = 1 / x (x 2 + x 1 ) é uma primitiva de f(x) = 1 + 1 / x 2. Proposição: Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis num intervalo (ou extensão de intervalo) I. Uma condição necessária é suficiente para que f(x) e g(x) tenham derivadas iguais em I é que a função diferença f(x) g(x) seja constante em I. Demonstração: Consideremos a função ϑ : I R definida por ϑ(x) = f(x) g(x). Das hipóteses do teorema segue que ϑ(x) é derivável. Assim, aplicando a Fórmula dos Acréscimos Finitos para a função ϑ(x) relativamente a dois pontos u e x distintos de I, vem ( ξ R ) ( ξ= x + (u x) θ, 0 < θ < 1 ) : ϑ (u) - ϑ(x) = (u x) ϑ (ξ). Como a derivada de ϑ (x) se anula em I, tem-se: ϑ (ξ) = 0 ϑ (u) = ϑ(x). Sendo u e x arbitrários, ϑ(x) é constante em I, ou seja, ( k R) : f(x) g(x) = k. Suponhamos que a função diferença f(x) f(x), isto é, a função ϑ (x) seja constante em I. Como a derivada de ϑ (x) é nula em I e ϑ (x) = f (x) g (x) em I, segue imediatamente que f (x) = g (x) em I. Corolário: Se f(x) possui uma antiderivada num intervalo I(*), então ela possui uma infinidade de antiderivadas em I cujas diferenças, duas a duas, são constantes em I. Demonstração: Seja F(x) uma antiderivada de f(x) em I e k uma constante real arbitrária. Como a função F(x) + k é derivável em I e sua derivada é f(x), F(x) + k para cada constante real k é uma primitiva de f(x) em I e portanto, existem infinitas primitivas de f(x). Provemos ainda que qualquer primitiva de f(x) é da forma F(x) + k para alguma constante real k. De fato, se por absurdo, existisse uma primitiva G(x) de f(x) em I diferente de F(x) + k, para todo k real, por serem G(x) e F(x) primitivas de f(x) em I, viria: G (x) = F (x) = f(x) em I. Mas, pela proposição anterior teríamos a exist6encia de uma constante k0, de modo que G(x) F(x) = k0 em I, o que contradiria à hipótese assumida. INTEGRAL INDEFINIDA Definição:

Sendo F(x) primitiva de uma função f(x) contínua num intervalo I e K uma constante real indeterminada, chama-se integral indefinida de f(x) em I e se indica: f(x) dx, à função F(x) + K Observação: Se F(x) é uma primitiva da função contínua f(x) em I, então ( f(x) dx) = F (x) = f(x), ou seja, a função f(x) dx é uma primitiva (ou antiderivada) genérica de f(x). Por outro lado, temos também d f(x) dx = F (x) dx = f(x) dx. Designando com o termo integração indefinida o processo que nos leva a obter de uma certa função f(x) a sua integral indefinida e usando o termo (impróprio, mas sugestivo) operação para as palavras integração, derivação e diferenciação, de significados conhecidos pelo exposto, podemos dizer que a integração indefinida é a operação inversa das operações derivação ou diferenciação. Por outro lado, sendo f(x) dx = f(x) + K e notando que d F(x) = f(x) dx, por brevidade, às vezes escrevemos d f(x) ao invés de f(x) dx. Exemplos: Na integral indefinida f(x) dx o símbolo: chama-se sinal de integral, a função f(x) é a função integrada, ou simplesmente integranda e a constante k denomina-se constante de integração. Quando uma função f(x) possui integral indefinida num intervalo, diremos que ela é integrável segundo Cauchy (Existem autores que denominam função integrável segundo Cauchy a toda função contínua e limitada num, intervalo, a menos de um número finito de pontos de descontinuidade, que constitui uma generalização da integrabilidade por nós considerada.) ou simplesmente é integrável neste intervalo. Usaremos o termo integração para significar o raciocínio mediante o qual se determina uma primitiva de uma função contínua. No texto que segue, diremos que uma função contínua é integrável, sem especificar o intervalo em que isso ocorre, quando tal função é integrável em seu campo de definição, que admitiremos conhecido. Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Sendo f(x) integrável no intervalo I, e F(x) uma de suas primitivas, temos por definição: f(x) dx = F(x) = k. Supondo que E(x), F(x), G(x) e H(x) sejam algumas das infinitas primitivas de f(x) em I, representemos seus gráficos Γ E, Γ F, Γ G e Γ H respectivamente, conforme figura a seguir:

Sendo E(x), G(x) e H(x) primitivas de f(x), serão da forma F(x) + k, onde F(x) é a primitiva dada e k tem valores k1, k2 e k3 respectivamente (k1 < 0, K2 > 0 E K3 > 0). Assim, ( x I ) : G(x) = F(x) + k 2, H(x) = F(x) + k 3 e E(x) = F(x) + k 1. Conclusão: A integral indefinida de uma função, quando existe, representa, geometricamente, uma família de curvas planas congruentes que, duas a duas podem ser superpostas através de translações convenientes realizadas na direção do eixo y. TEOREMAS SOBRE INTEGRAIS INDEFINIDAS TEOREMA I 1 Se f(x) é integrável e c é uma constante real, então c f(x) é integrável e [c f(x)] dx = c f(x)dx (1) Demonstração: F(x) é integrável f(x) possui uma primitiva F(x) F (x) = f(x) cf(x) = c F (x) = [c F(x) c f(x) é uma primitiva de c f (x). Como c f(x) é contínua, ela é integrável. Para c = 0, o primeiro membro de (1) é constante, enquanto o 2 o.membro de (1) é nulo. Assim, por convenção, consideramos válida a igualdade (1). Para c 0 e sendo f(x) dx = F(x) + k, tem-se: c f(x) dx = cf(x) + ck. Mas c.k é uma constante real indeterminada e portanto cx f(x) dx = c f(x) dx. TEOREMA I 2 Se f(x) e g(x) são integráveis então f(x) +/- g(x) são integráveis e [f(x) +/- g(x)] dx = f(x) dx +/- g(x) dx. Demonstração F(x) é integrável f(x) possui uma primitiva F(x) G(x) é integrável g(x) possui uma primitiva G(x).

Portanto, F (x) +/- G (x) = [F(x) +/- G(x)] = f(x) +/- g(x) F(x) +/- G(x) são primitivas de f(x) +/- g(x). como f(x) +/- g(x) são contínuas, serão também integráveis. Sendo e f(x) dx = F(x) + k1 e g(x) dx = G(x) + k2, temos: f(x) dx +/- g(x) dx = [F(x) +/- G(x)] + (k1 +/- k2) e como k1 +/- k2 são constantes indeterminadas, vem finalmente: f(x) dx +/- g(x) dx = (f(x) dx +/- g(x)) dx. Este teorema pode ser generalizado para o caso de n funções (n>,2) integráveis: Se fi(x) (i= 1,2,...,n) são integráveis então n Σ i=i é integrável e n Σ i=i fi(x) dx = nσ i=i e fi(x) dx. Sugerimos ao leitor a demonstração deste resultado utilizando o Princípio da Indução finita sobre n. TEOREMA I 3 Sendo u= f(x) e v = g(g) funções deriváveis com derivadas de 1 a. ordem contínuas, se f (x) x g(x) é integrável, então f(x) x g (x) também é integrável e tem-se: f(x) g (x) dx = f(x) x g(x) - g(x) f (x) dx e se indica: u dv = u. v - v du. Demonstração: Sendo f(x) deriváveis, tem-se: f(x) x g(x) é derivável e (f(x). g(x)) = f (x.g(x) + f(x) g (x) f(x). g (x) =(f(x). g(x)) - g(x). f (x). Mas (f(x). g(x)) é integrável, pois é contínua e f(x) x g(x) é uma primitiva da mesma; como por hipótese, g(x) x f (x) é integrável, pelo Teorema I2 (f(x) g(x)) - g(x). f (x) é integrável f(x). g (x) é integrável. Sendo H(x) uma primitiva de f (x) x g(x), f (x) x g(x) dx = H(x) + k2 e (f(x).g(x)) dx = f(x). g(x) + k1, usando a formula garantida pelo Teorema I2, vem: f(x) x g (x) dx = [(f(x) x g(x)) - g(x) x f (x)] dx = (f(x) x g(x)) dx - g (x) x f (x) dx = f(x) x g(x) [H(x) + (k2 k1)]. Como f(x) x g(x) H(x) é uma primitiva de f(x). g (x) e k1 k2 é uma constante real indeterminada, vem finalmente que f(x) x g (x) dx = f(x) x g(x) - f (x) g(x) dx ou abreviadamente, u dv = u. v - v du. TEOREMA I 4 Se f(u) é uma função integrável e g(x) é uma função derivável com derivada contínua (g(cg) Cf), então (fog) (x). g (x)(*) é integrável e f(u) du = (fog) (x). g (x) dx (u = g(x)). Demonstração: f(u) é integrável f(u) possui uma primitiva F(u). Mas g(x) é derivável por hipótese. Logo, pelo Teorema D5, (Fog) (x) é derivável e fazendo u = g(x), tem-se (Fog) (x) = F (u). g (x) = f(u). g (x) = (fog) (x). g (x). Assim, (Fog) (x) é primitiva de (fog) (x). g (x) e, como esta é contínua, será também integrável. Sendo f(u) du = F(u) + k = (Fog) (x) + k, por ser k uma constante real indeterminada, vem: f(u) du = (fog) (x). g (x) dx. PRIMITIVAS E INTEGRAIS IMEDIATAS São chamas de imediatas as primitivas que se deduzem da tabela das derivadas das funções elementares, como conseqüência imediata da definição de primitiva. As integrais correspondentes

às primitivas imediatas chamaremos de integrais imediatas. Relacionaremos a seguir, numa tabela, as integrais imediatas, as quais o leitor poderá facilmente justificar pela definição de integral indefinida. y = f(x) y = 0 y = 1 y = xα (α - 1) y = 1/x y = sen x y = cos x y = sec2 x y = sec x. tg x y = cosec2x y = cosec x. cotg x y = 1/ x2 + 1 y = 1/ 1 x2 y = 1/x x2 1 y = ax (0 < a 1) Integral Indefinida de f(x) 0 dx = k (k = constante) dx = x + k dx/x = log x + k sem x dx = - cos x + k cos x dx = sem x + k sec2 x dx = tg x + k sec x. tg x dx = sec x + k cosec2 x dx = - cotg x + k cosec x. cotg x dx = - cosec x + k dx / 1 + x2 = arctg x + k1 = - arccotg x + k2 dx/ 1 x2 = arc sem x + k1 = - arcos x+k2 dx/x x2 1 = arcsec x + k1 = - arccosec x + k2 axdx = 1/log a ax + k MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO Pelo que vimos em exemplos, e da tabela anterior, para determinar a integral indefinida de uma função f(x), devemos procurar uma nova função F(x) cuja derivada seja a própria função dada, caso uma tal função exista. Como foi observado, quando f(x) é contínua num intervalo, demonstrase que ela possui primitiva que pode ou não ser expressa por meio de funções elementares. Como as funções elementares ou suas combinações são continuas em qualquer intervalo contido em seus campos de definição, elas são integráveis nestes intervalos. No estudo que segue, interessa-nos saber quando uma função continua possui alguma primitiva elementar (primitiva que pode ser obtida em termos de funções elementares) e como determinar explicitamente uma tal primitiva. Na tentativa de determinar uma primitiva elementar da função dada, utilizamos um raciocínio que poderíamos chamar de invertido em relação ao usado para encontrar a derivada de uma certa função. Por isso, de acordo com uma observação anterior, costuma-se dizer que a integração é a operação inversa da derivação. Por outro lado, enquanto na derivação de função, quando dadas por meio de funções elementares submetidas, um número finito de vezes, a operações algébricas ou passagens de função de função, utilizamos regras e fórmulas bem determinadas, que sempre nos permitem encontrar suas derivadas, no caso da integração indefinida o processo de achar as primitivas não imediatas, é livre e não obedece, em geral, a formulas bem determinadas. Alem disso, existem muitas funções, relativamente simples, cujas primitivas não podem ser expressas por meio de funções elementares, como ocorre, por exemplo, com as funções.estas funções não tem primitivas elementares. A diretriz geral que deve nortear-nos para determinação de uma primitiva elementar de uma função dada, é procurar, através de artifícios ou passagens engenhosas, cair em algumas das primitivas imediatas, as quais devemos conhecer de memória. Freqüentemente podemos chegar a resultados equivalentes utilizando artifícios diferentes, que correspondem a caminhos, uns muitas vezes mais simples que outros. À as vezes, para efetuar uma

integração, por um certo encaminhamento gasta-se paginas e paginas; por outro, chega-se ao resultado através de algumas linhas. Cabe, portanto, a cada um, descobrir o caminho melhor a ser seguido, na integração de uma função; para isto, porem deve-se adquirir uma certa pratica através de muitos exercícios. Apesar de não existirem regras bem definidas para encontrar primitivas elementares de funções, utiliza-se alguns processos gerais, chamados Métodos de Integração, com auxilio dos quais se consegue, para certas classes de funções, simplificações convenientes que redundam em primitivas imediatas, ou pelo menos permitem prever a existência ou não de primitivas elementares. Pode ocorrer também que, ao aplicar um método, a função integrada se transforma em mais complicada; neste caso convém tentar encaminhar a integração por outro método. Muitas vezes, por métodos diferentes, chegamos à primitiva desejada. Nestes casos, escolhemos, de preferencia, o método que simplifica mais as passagens. I -- Método da Substituição Este método consiste no emprego da fórmula: f(u)du = fog(x). g (x) dx (u = g(x)) que em certas hipóteses estabelecidas, é garantida pelo Teorema I 4. Exemplos:

Observação Este método é sempre indicado quando a integranda f(x) pode ser colocada na forma αog(x) g (x): neste caso, com a substituição u = g(x), a nova integranda será α(u), que certamente será mais simples que a anterior. O importante é verificar, se a integral pode ser colocada em função de certa expressão multiplicada pela derivada da mesma, eventualmente a menos de um fator multiplicativo constante.

Substitui-se, então, a expressão em questão por uma nova variável. Um caso particular frequente é quando f(x) tem a forma α(ax + b) (a, b R; a o). Neste caso tem-se: onde a função u = g(x) = ax + b tem derivada 1, a menos do fator multiplicativo a. (exemplos 1. e 5.). O estudioso, após adquirir uma certa prática, em lugar de efetuar substituições introduzindo novas variáveis, pode indicar simplesmente as passagens, mantendo a variável original, como ocorre nos exemplos seguintes: II Método da Decomposição Neste método utilizamos a fórmula [f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx que, em certas hipóteses, resulta do Teorema I 2 e que, como consta na observação após a demonstração desse teorema, pode ser generalizado para soma ou diferença de n (n > 2) funções.. Para aplicar este método, procura-se decompor a integranda numa soma ou diferença de funções mais simples, integrando-as separadamente, caso sejam integráveis elementarmente; somando ou subtraindo as primitivas parciais encontradas, resulta a primitiva desejada. Exemplos

Da Álgebra sabemos que a função pode ser decomposta na soma de duas

frações mais simples da forma: de identidade entre funções racionais, vem:, onde a e b são constantes convenientes. Pelo princípio sendo k uma constante indeterminada igual à diferença entre as constantes introduzidas em cada uma das duas integrações realizadas. A integranda é uma função racional com o grau do seu numerador 2x 3 + 1 menor que o do seu denominador (x + 1) 2 ( 3x 2 + 1). Neste caso da Álgebra sabemos que: onde a, b, c e d são constantes reais convenientes. Portanto, devemos ter : 2x 3 + 1 = (x +1) (3x 2 + 1)a + (3x 2 + 1)b + (x + 1) 2 (cx + d) = = (3a + c) x 3 + (3a + 3b + 2c + d) x 2 + (a + c + 2d)x + (a + b + d). As constantes a, b, c, d serão dadas pela solução do sistema : 3a + c = 2 3a +3 b + 2c + d = 0. a + c + 2d = 0 a + b + d = 1,

é a soma algébrica das constantes indeterminadas introduzidas nas integrações efetuadas. onde k III Método da Integração por Partes Este método utiliza a fórmula u dv = uv - v du, demonstrada dentro de condições explicitadas, no Teorema I 3. Método da Integração por Partes é usado, de preferência, na integração de funções transcendentes ou produtos de funções racionais algébricas por funções transcendentes elementares, se bem que pode também ser aplicado em certas integrais de funções algébricas, como veremos em exemplos a seguir. Observação: Nas integrações que fizermos por este método, e também em outros casos quando convier, doravante convencionaremos não escrever as constantes de integração dos resultados parciais, mas unicamente a da resposta final. Exemplos:

EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES

2.- 3.- 4.- 5.- 6.-

7.- 8.- 9. - 10.-

11.- 12.-

ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE PLANA APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE PLANA A [ f ( x) g( x)]. dx = b a [ f ( wk ) g( wk ] Δxk h( wk ). Δx = ) k k k lim 0 P ( k ). Δxk = hw h( x). dx b a

A [ f ( x) g( x)]. dx = b a Se f e g são contínuas e f(x) g(x) para todo x em [a, b], então a área da região delimitada pelos gráficos de f, g, x = a, x = b é A [ f ( x) g( x)]. dx = b a Método para resolução: 1. Esboçar a região, designando por y = f(x) a fronteira superior, e y = g(x) a fronteira inferior. Achar o

menor valor x = a e o valor x = b dos pontos (x, y) na região. 2. Esboçar um retângulo vertical típico e designar por dx a sua largura 3. Expressar a área do retângulo como [f(x) g(x)].dx 4. Aplicar a integrar nos limites x = a, x = b. Exemplo: A 1 ( dx 2 = 0 1 x + 6) ( x) 4 A = 2 [ 3 ( x + 6 x ]dx 2 ) 0 A = A + A 1 2 REGIÃO R 1 REGIÃO R 2 Front. superior y = x + 6 y = x + 6 Front. inferior y = -(1/2).x y = x 3 Larg. do dx dx

retângulo Comp. do (x + 6) (-1/2.x) (x + 6) x 3 retângulo Área do retângulo [(x + 6) (- [(x + 6) x 3 ].dx 1/2.x)].dx. A = A + A 1 2 A = c a [ f ( x) g( x) ] dx + [ g( x) f ( x) ]dx c b

VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO MÉTODO DOS DISCOS CIRCULARES -

[ ] 2 f ( x) dx 2 dv = π r. dx = π. = = x= a = [ f ( x) ] Ex. Use o método dos discos circulares para determinar o volume V do sólido S gerado pela revolução da região R sob o gráfico da função f dada, no intervalo indicado [a, b], em torno do eixo x. x b V dv π. dx b a 2 f ( x) = [ 1,2] 3 x O método pode também ser usado quando a região plana R gira em torno do eixo y.

dv b = π a 2 [ g( y) ]. dy Ex. Calcule o volume do sólido S gerado pela revolução da região R, pelo eixo y, pela linha y = 4 e pelo gráfico de y = x2 para x 0, em torno do eixo y. MÉTODO DOS ANÉIS CIRCULARES. f ( x ) > g ( x )

dv = { [ ] 2 f x [ g x ] 2 π ( ) π ( ) }dx V = π b a {[ ] 2 f x [ g x ] 2 ( ) ( ) }dx Ex.: Usando o método dos anéis circulares, determine o volume V do sólido S gerado pela revolução da região R em torno do eixo x, onde R é limitada pelas curvas y = x 2 e y = x + 2.

ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE PLANA VOLUMES PELO MÉTODO DE DIVISÃO EM FATIAS. O método também pode ser usado com rotação no eixo y

Ex1: Use o método dos anéis

circulares para determinar o volume V do sólido de revolução S gerado pela revolução da região R em torno do eixo y, onde R é a região plana limitada à direita pelo gráfico de x = 2, à esquerda pelo gráfico de y = x 3 e abaixo pelo eixo x. Ex2: Determine o volume do sólido S obtido pela revolução da região R em torno da linha x = 6, onde R é limitada pelos gráficos de y 2 = 4x e x = 4.

MÉTODO DAS CAMADAS CILÍNDRICAS f ( x) > g( x) V b = 2πx[ f ( x) g( x) ]dx a

Ex.: Seja a região plana limitada pelos gráficos de y = x 3/2, y = 1 e x = 3, e seja S o sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo y. Use o método das cascas cilíndricas para determinar o volume V de S.

VOLUMES PELO MÉTODO DE DIVISÃO EM FATIAS. Ex.: Calcule o volume de um sólido cuja base é um círculo de raio 2, se todas as seções de corte perpendiculares a um diâmetro fixo da base forem quadrados.

Ex.: Calcule o volume de cone sólido circular reto de altura 30 cm se o raio da base é 10 cm. Ex.: A gasolina é armazenada num tanque esférico de raio r = 10 m. Quantos metros cúbicos de gasolina estão no tanque se a superfície da gasolina está 3 m abaixo do centro do tanque.

Ex.: Um sólido tem como base, a região circular do plano xy delimitada pelo gráfico de x 2 + y 2 = a 2 com a > 0. Ache o volume do sólido, se toda secção transversa por um plano perpendicular ao eixo x é um triângulo eqüilátero com um lado na base. COMPRIMENTO DO ARCO.

( ds) 2 = ( dx) 2 + ( dy) 2 ( ds) 2 = 1 + dy dx 2 ( dx) 2 s = a b 1 + [ f ' ( x)] 2 dx Ex 1.: Se f(x) = 3x 2/3 10, determine o comprimento do arco do gráfico de f do ponto A(8,2) a B(27,17).

Ex2 : Calcule o comprimento do arco do gráfico da equação 8x = y 4 + 2/y 2 de (3/8, 1) a (33/16, 2).