Sólidos Inscritos 1. (Uerj 014) Uma esfera de centro A e raio igual a 3dm é tangente ao plano de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a ilustração: Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT, em decímetros, corresponde a: a) 10 b) 9 c) 8 d) 7. (Ufrn 013) Por motivo de segurança, construiu-se um superaquário de vidro, em formato esférico, dentro de um cilindro também de vidro, conforme esquematizado na figura a seguir. A esfera está completamente cheia de água e, caso quebre, toda a água passará para o cilindro. Desconsidere a pequena diferença entre os raios da esfera e do cilindro e o volume de água deslocado pelos pedaços de vidro da esfera quando quebrada. Supondo que R é igual a m, determine: a) O volume de água da esfera. b) A capacidade volumétrica do cilindro. c) A altura do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre. 3. (Uerj 010) Uma embalagem em forma de prisma octogonal regular contém uma pizza circular que tangencia as faces do prisma. Página 1 de 9
Desprezando a espessura da pizza e do material usado na embalagem, a razão entre a medida do raio da pizza e a medida da aresta da base do prisma é igual a: a) b) 3 4 c) 1 d) 1 4. (Enem ª aplicação 010) Numa feira de artesanato, uma pessoa constrói formas geométricas de aviões, bicicletas, carros e outros engenhos com arame inextensível. Em certo momento, ele construiu uma forma tendo como eixo de apoio outro arame retilíneo e rígido, cuja aparência é mostrada na Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete, que pode ser pensado como composição, por justaposição, de diversos sólidos básicos de revolução. Sabendo que, a figura, os pontos B, C, E e F são colineares, AB = 4FG, BC = 3FG, EF = FG, e utilizando-se daquela forma de pensar o foguete, a decomposição deste, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos: a) pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto. b) cilindro reto, tronco de cone, cilindro reto, cone equilátero. c) cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero. d) cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro. e) cone, cilindro equilátero, tronco de pirâmide, cilindro. 5. (Ufrj 008) Um cone circular reto de altura H circunscreve duas esferas tangentes, como mostra a figura a seguir. A esfera maior tem raio de 10 cm e seu volume é oito vezes o volume da menor. Determine H. Página de 9
6. (Ufmg 007) Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST: Cada aresta do cubo mede 4 cm e os vértices do sólido OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral total do sólido OPQRST mede a) 8 cm. b) 8 3 cm. c) 16 cm. d) 16 3 cm. 7. (Uece 007) Como mostra a figura, o cilindro reto está inscrito na esfera de raio 4 cm. Sabe-se que o diâmetro da base e a altura do cilindro possuem a mesma medida. O volume do cilindro é a) 18ð cm 3 b) 4ð cm 3 c) 3ð cm 3 d) 36ð cm 3 8. (Fuvest 006) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é 3 e o volume do cone é ð. Então, o comprimento g da geratriz do cone é Página 3 de 9
a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 11 9. (Pucsp 006) De um cristal de rocha, com o formato de uma esfera, foi lapidada uma joia na forma de um octaedro regular, como mostra a figura seguinte. Se tal joia tem 9 cm 3 de volume, quantos centímetros cúbicos de rocha foram retirados do cristal original para lapidá-la? (Use: ð = 3) a) 36 b) 3 c) 4 d) 18 e) 1 10. (Enem 005) Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles são colocados líquido até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras. Representando por V 1, V e V 3 o volume de líquido em cada um dos recipientes, tem-se Página 4 de 9
a) V 1 = V = V 3 b) V 1 < V 3 < V c) V 1 = V 3 < V d) V 3 < V 1 < V e) V 1 < V = V 3 Página 5 de 9
Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Considere a figura. Sabendo que a área da superfície esférica é igual à área do círculo de centro T e raio TQ, vem 4 π AP π TQ 4 3 TQ TQ 6dm. Logo, como FQ é tangente à esfera no ponto P, segue que TQ PQ. Da semelhança dos triângulos FTQ e FPA, obtemos FP PA FP 3 FT TQ FT 6 1 FP FT. Finalmente, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo FPA, encontramos 1 FA PA FP (FT AT) PA FT 1 FT 6 FT 3 3 FT 4 1 FT FT 0 4 FT 8dm. Resposta da questão : a) O volume de água na esfera é dado por 4 3 4 3 3 3 πr π π m. 3 3 3 b) Como o cilindro é equilátero, segue que sua capacidade volumétrica é dada por 3 3 3 πr π 16π m. c) A altura h do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre é tal que Página 6 de 9
3 8 π h π h m. 3 3 Resposta da questão 3: [C] Sejam O, A e M, respectivamente, o centro da pizza, um vértice do prisma e o ponto médio de uma das arestas adjacentes ao vértice A. OM Queremos calcular. MA ˆ 180 MOA 30'. 8 tgmoa ˆ tg 30' 1 cos 45 1 cos 45 1 ( ) 1. 1 MA MA tgmoa ˆ 1 OM OM OM 1 1 1. MA 1 1 Portanto, OM 1 OM 1. MA MA Resposta da questão 4: [C] Girando a forma em torno do arame rígido, obtemos a figura abaixo. Página 7 de 9
Portanto, a decomposição do foguete, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos: cone reto (AB 4FG BB' FG), cilindro reto (BC 3FG FG), tronco de cone e cilindro equilátero (EF FG). Resposta da questão 5: H = 40 cm Resposta da questão 6: [D] Resposta da questão 7: [C] Resposta da questão 8: [D] Resposta da questão 9: [D] Resposta da questão 10: [B] R H R H V 1. 8 H V3 R R H V V 1 3 Por superposição observamos que V 3 < V Página 8 de 9
Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 8/04/015 às 19:59 Nome do arquivo: Sólidos inscritos Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1... 1568... Média... Matemática... Uerj/014... Múltipla escolha... 1655... Baixa... Matemática... Ufrn/013... Analítica 3... 97341... Média... Matemática... Uerj/010... Múltipla escolha 4... 106505... Baixa... Matemática... Enem ª aplicação/010... Múltipla escolha 5... 77737... Não definida.. Matemática... Ufrj/008... Analítica 6... 71489... Não definida.. Matemática... Ufmg/007... Múltipla escolha 7... 7573... Não definida.. Matemática... Uece/007... Múltipla escolha 8... 634... Não definida.. Matemática... Fuvest/006... Múltipla escolha 9... 68865... Não definida.. Matemática... Pucsp/006... Múltipla escolha 10... 6175... Elevada... Matemática... Enem/005... Múltipla escolha Página 9 de 9