Aula 12 Introdução ao Cálculo Integral Objetivos da Aula Contextualizar o cálculo integral, dando ênfase em sua definição como sendo a operação inversa da diferenciação e estudar algumas propriedades fundamentais. Antiderivada Definição Uma unção F é chamada uma antiderivada de f sobre um intervalo I se F (x) = f (x) para todo x em I. Por exemplo, seja. Não é difícil descobrir uma antiderivada de f se mantivermos a Regra da Potência em mente. De fato, se, então F (x) = = f (x). Mas a função G (x) =1/3 + 100 também satisfaz G (x) =. Conseqüentemente, ambas F e G são antiderivadas de f. Na verdade, qualquer função da forma H (x) = 1/3 + C, onde C é uma constante, é uma antiderivada de f. A questão que se levanta é: Há outras? Para responder a esta questão, lembre-se de que usamos o Teorema de Valor Médio para provar que se duas funções têm derivadas idênticas em um intervalo, então elas devem ser diferentes por uma constante. Faculdade On-line UVB 1
Assim, se F e G são duas antiderivadas quaisquer de f, então F (x) = f (x) = G (x) logo G (x) - F (x) = C, onde C é uma constante. Podemos escrever isso como G (x) = F (x) + C. Temos então o seguinte resultado. Teorema [ 1 ] Se F for uma antiderivada de f em um intervalo I, então a antiderivada mais geral de f em I é F (x) + C onde C é uma constante arbitrária. Voltando à função f (x) =, vemos que a antiderivada geral de f é 1/3 + C. Atribuindo valores específicos para a constante C obtemos uma família de funções cujos gráficos são verticais transladados de um outro (veja a figura ao lado). Faculdade On-line UVB 2
Exemplo 1: Encontre uma derivada mais geral de cada uma das seguintes funções. a) Lembre -se de que Logo, em um intervalo (0, ), a antiderivada de 1/x é ln x + C. Também sabemos que para todo x 0. O Teorema [ 1 ] ao nos diz que a antiderivada geral de f (x) = 1/x é ln x + C em qualquer intervalo que não contém zero. Em particular, isso é verdadeiro em cada um dos intervalos (-, 0) e (0, ). Logo a antiderivada de f é b) Usamos a Regra da Potência para descobrir uma antiderivada de x n. de fato, se n -1, então Assim, a antiderivada de Isso é válido para todo n 0, uma vez que f (x) = x está definida em um intervalo. Se n for negativo (mas n -1), é válido em qualquer intervalo que não contenha zero. Faculdade On-line UVB 3
Como no exemplo 1, toda a fórmula de diferenciação, quando lida da direita para a esquerda, dá origem a uma fórmula de antidiferenciação. Na tabela abaixo listamos algumas antiderivadas particulares. Cada fórmula na tabela é verdadeira, pois a derivada da função na coluna direita aparece na coluna da esquerda. Em particular, a primeira fórmula diz que a antiderivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a antiderivada da função. A segunda fórmula estabelece que a antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas. Usamos a notação F = f, G = g. Faculdade On-line UVB 4
Exemplo 2: Encontre todas funções de g tal que Queremos achar uma antiderivada de Usando a fórmula da tabela acima junto com o Teorema [ 1 ] obtemos Nas aplicações do cálculo, é muito comum situações como a do exemplo 2, onde é requerido achar uma função sendo fornecidos dados sobre suas derivadas. Uma equação que envolva as derivadas de uma função é chamada equação diferencial. A solução geral de uma equação diferencial envolve uma constante arbitrária (ou constantes), como no exemplo 2. Contudo, podem ser dadas condições extras que irão determinar as constantes e assim especificar univocamente a solução. Integral Indefinida Regras Básicas de Integração Pelo fato de integração e diferenciação serem operações inversas uma da outra, descobrimos muitas das regras de integração tentando inicialmente adivinhar a antiderivada F da função f a ser integrada. Tal resultado é então verificado demonstrando-se que F = f. A Integral Indefinida de uma Constante Faculdade On-line UVB 5
Para provar este resultado, observe que Exemplo: Encontre cada uma das seguintes integrais indefinidas. Cada um dos integrandos tem a forma f (x) = k, onde k é uma constante. Aplicando a regra citada acima em cada caso teremos Em seguida, a partir da regra de integração obtemos a seguinte regra de integração. Regra da Potência Uma antiderivada de uma função potência é uma outra função potência obtida do integrando aumentando-se seu expoente de 1 e dividindo-se a expressão resultante pelo novo expoente. Observe: Exemplo: Encontre cada uma das seguintes integrais indefinidas. Faculdade On-line UVB 6
Cada integrando é uma função potência com expoente n -1. Aplicando a regra da potência em cada caso, obtemos o seguinte resultado: Os resultados acima podem ser verificados diferenciando-se cada uma das antiderivadas mostrando que os resultados são iguais aos correspondentes integrandos. Integral Indefinida de um Múltiplo Constante de uma Função A integral indefinida de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela integral indefinida da função. Faculdade On-line UVB 7
Atenção: Apenas uma constante pode ser passada para fora do sinal da integral. Por exemplo, seria incorreto escrever Exemplo: Encontre cada uma das seguintes integrais indefinidas. Cada integrando tem a forma cf (x), onde c é a constante. Aplicando a regra da integral indefinida de um múltiplo constante, iremos obter: onde C = 2K. Deste ponto em diante, denotaremos a constante de integração por C, uma vez que um múltiplo não nulo de uma constante arbitrária é uma constante arbitrária. Regra da Soma e da Diferença A integral indefinida de uma soma ou de uma diferença de duas funções integráveis é igual à soma ou diferença de suas integrais indefinidas. Faculdade On-line UVB 8
Exemplo: Encontre a integral indefinida. Aplicando a regra da soma ou diferença de duas funções obteremos: Note que ao combinarmos as três constantes de integração, que surgiram durante os cálculos das três integrais indefinidas, obtivemos apenas uma única constante C. Afinal, a soma de três constantes arbitrárias é também uma constante arbitrária. Regra da Integral Indefinida da Função Exponencial A integral indefinida da função exponencial com base e é igual à própria função (exceto pela constante de integração). Faculdade On-line UVB 9
Exemplo: Encontre a integral indefinida. Aplicando a regra da integral indefinida da função exponencial teremos: Regra da Integral Indefinida da Função f (x) = x -1 Esta regra cobre a integração da função f (x) =. Lembre-se de que esta função constitui o único caso excepcional na integração da função potência f (x) = Exemplo: Encontre a integral indefinida. Faculdade On-line UVB 10
Abaixo citaremos uma tabela com diversas integrais indefinidas. Tabela de Integrais Indefinidas Faculdade On-line UVB 11
Referências Bibliográficas TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thomson, 2001. MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros. Matemática para os cursos de Economia, Administração, Ciências Contábeis. vol. 1. 5 Ed. São Paulo: Atlas, 1999. LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra, 1988. STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. Faculdade On-line UVB 12