Probabilidade 1. Probabilidade.... 2 2. Espaço Amostral.... 3 3. Evento.... 3 4. Probabilidade de Laplace.... 4 5. Combinações de eventos.... 4 6. Propriedades sobre probabilidades.... 6 7. Exercícios Resolvidos.... 8 8. Probabilidade Condicional.... 21 9. Exercícios.... 24 10. Relação das questões comentadas.... 41 11. Gabaritos.... 48 1
1. Probabilidade A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existência, e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão deste número para o de todos os casos possíveis é a medida desta probabilidade, a qual é portanto uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador é o número de todos os casos possíveis. Pierre Simon Laplace, Ensaio filosófico sobre as Probabilidades A Teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria modelos que são utilizados para estudar experimentos aleatórios. Um experimento é dito aleatório quando ele pode ser repetido sob as mesmas condições inúmeras vezes e os resultados não podem ser previstos com absoluta certeza. Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento aleatório, em geral podemos descrever o conjunto que abriga todos os resultados possíveis. Quando é possível fazer uma previsão do resultado de um experimento, ele é chamado de determinístico. Experimentos ou fenômenos aleatórios acontecem com bastante frequência em nossas vidas. Diariamente ouvimos perguntas do tipo: Choverá próxima semana? Qual a minha chance de ganhar na Mega Sena? Vejamos alguns exemplos de experimentos aleatórios: i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima. O que os experimentos acima têm em comum? As seguintes características definem um experimento aleatório. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento, somos capazes de descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 2
2. Espaço Amostral Para cada experimento do tipo que estamos considerando (aleatório), definiremos o espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Denotaremos este conjunto pela letra U. Vamos considerar os experimentos acima e descrever um espaço amostral para cada um deles. i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Quando jogamos um dado, o resultado pode ser 1,2,3,4,5 ou 6. Portanto: 1,2,3,4,5,6 ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima., Resumindo: ao efetuar um experimento aleatório, o primeiro passo consiste em descrever todos os resultados possíveis, ou seja, explicitar o conjunto de possíveis resultados e calcular o número de elementos que pertencem a ele. Este conjunto é chamado de Espaço Amostral. 3. Evento Chamaremos de evento todo subconjunto do espaço amostral. Voltemos ao lançamento do dado. Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Por exemplo, o subconjunto 1,2,3,4,5,6 2,3,5 é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é um número primo. Vejamos outros eventos relativos a este espaço amostral.. C: ocorrência de número menor que 8. 1,2,3,4,5,6 D: B: ocorrência de número menor maior que 8. 5. 1,2,3,4 (conjunto vazio). 3
Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. 4. Probabilidade de Laplace Passemos agora à segunda etapa: calcular a probabilidade de um evento. Consideremos o caso do evento 2,3,5 que vimos anteriormente. Como são 6 resultados possíveis no lançamento de um dado e são 3 números primos nas faces, intuitivamente percebemos que se repetimos o experimento um grande número de vezes obteremos um número primo em aproximadamente a metade das vezes. O que está por trás do nosso raciocínio intuitivo é o seguinte: i) Cada um dos elementos que compõem o espaço amostral são igualmente prováveis. ii) O número de elementos do evento 3 é justamente a metade dos elementos do espaço amostral 6. Estas considerações motivam a definição de probabilidade de um evento A da seguinte forma: 3 6 1 2 Como vimos o texto no início da aula, Laplace referia-se aos elementos do evento como os casos favoráveis (ou desejados). Os elementos do espaço amostral são chamados de casos possíveis. Desta forma: ú á ú í 5. Combinações de eventos Podemos empregar as várias técnicas de combinar conjuntos (eventos) para formar novos conjuntos (eventos). União de dois eventos Considere dois eventos A e B. O evento união é denotado por e ocorre se e somente se ao menos um dos eventos ocorrerem. Podemos dizer que ocorre se e somente se A ou B (ou ambos) ocorrerem. 4
Interseção de dois eventos Considere dois eventos A e B. O evento interseção é denotado ocorre por se e somente se os dois eventos ocorrerem (A e B ocorrerem). e Complementar de um evento Considere um evento A. O evento complementar de A é denotado por e ocorre se e somente se não ocorre A. Vejamos alguns exemplos: Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Considere os seguintes eventos. 1,2,3,4,5,6 B: ocorrência de um número par: 2,4,6. C: ocorrência de um número menor ou igual a 3. A: ocorrência de um número ímpar. 1,3,5 Desta forma, temos os seguintes eventos.. 1,2,3 : ocorrência de um número ímpar ou número par. 1,2,3,4,5,6 : ocorrência de um número ímpar ou de um número menor ou igual a 3. 1,2,3,5 : ocorrência de um número par ou de um número menor ou igual a 3. 1,2,3,4,6 : ocorrência de um número ímpar e par. O resultado foi o conjunto vazio porque não existe número que seja simultaneamente par e ímpar. Neste caso dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. : ocorrência de um número ímpar e menor ou igual a 3. 1,3 : ocorrência de um número par e menor ou igual a 3. 5
: não ocorrer um número ímpar. 2 2,4,6 : não ocorrer um número par. 1,3,5 : não ocorrer um número menor ou igual a 3. 4,5,6 6. Propriedades sobre probabilidades A probabilidade do evento impossível é 0 e a probabilidade do evento certo é igual a 1. Vamos lembrar: Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. Para ilustrar esta propriedade, vamos voltar ao exemplo do dado. Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Considere os eventos. 1,2,3,4,5,6 A: ocorrência de número menor que 8. 1,2,3,4,5,6 B: ocorrência de número maior que 8. (conjunto vazio). Já sabemos que: Desta forma, ú ú ç 6 6 1 6
0 6 0 Se A é um evento qualquer, então 0 1. Esta propriedade afirma que qualquer probabilidade é um número maior ou igual a 0 e menor ou igual a 1. A probabilidade será igual a 0 se o evento for impossível e a probabilidade será igual a 1 se o evento for certo. Se o evento A nem for o evento certo nem o evento impossível, então a probabilidade é um número positivo e menor que 1. Se A é um evento qualquer, então 1. É muito fácil ilustrar esta propriedade. Imagine que alguém te informa que a probabilidade de chover amanhã seja de 30%. Você rapidamente conclui que a probabilidade de não chover é de 70%. Isto porque a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1. Lembre-se que o símbolo % significa dividir por 100. Desta forma, podemos dizer que a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1 ou 100%. Já que: Probabilidade do evento união 100% 100 100 1 Se A e B forem dois eventos quaisquer, então Podemos ilustrar esta propriedade utilizando conjuntos. O evento interseção é aquele formado pelos elementos comuns entre A e B. O evento união é o representado abaixo. 7
Quando somamos as probabilidades dos eventos contidos em são computadas duas vezes (uma por estarem em A e outra vez por estarem em B). Para eliminar esta dupla contagem, subtraímos para que nenhum elemento seja contado mais de uma vez. Falei anteriormente que quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio eles são chamados de mutuamente excludentes. Neste caso, quando, tem-se que. 7. Exercícios Resolvidos 01. (INSS 2009/FUNRIO) João encontrou uma urna com bolas brancas, pretas e vermelhas. Ele verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. João, então, colocou outras bolas pretas na urna, e a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. Diante disso, a quantidade de bolas colocadas por João na urna é igual a(o) A) quantidade de bolas brancas. B) dobro da quantidade de bolas brancas. C) quantidade de bolas vermelhas. D) triplo da quantidade de bolas brancas. E) dobro da quantidade de bolas vermelhas. Resolução 8
João verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. Vamos considerar que a urna contém bolas brancas. A quantidade de bolas pretas é o dobro da quantidade de bolas brancas. Desta forma, tem-se 2 bolas pretas. Sabemos ainda que a quantidade de bolas pretas é a metade da quantidade de bolas vermelhas. Concluímos que são 4 bolas vermelhas. Resumindo: bolas brancas. 2 bolas pretas. 4 bolas vermelhas. João colocar mais bolas pretas na urna. Vamos considerar que João acrescentou bolas pretas na urna. O nosso quadro com a quantidade de bolas ficará assim: bolas brancas. 2 bolas pretas. 4 bolas vermelhas. Total de bolas: 2 4 7 A probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. 0,5 1 2 Sabemos que probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. ú á ú í Há um total de 2 bolas pretas (número de casos favoráveis) e um total de 7 bolas na urna (número de casos possíveis. 2 7 1 2 O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 2 2 1 7 4 2 7 1 2 9
2 7 4 3 O número de bolas pretas acrescentadas por João é igual a 3. Como o número de bolas brancas é igual a, então o número de bolas pretas acrescentadas por João é o triplo do número de bolas brancas. Letra D 02. (INVEST RIO 2010/FUNRIO) Em uma empresa foram levantados os seguintes dados sobre os 80 funcionários: - Existem funcionários solteiros e funcionários casados; - Existem 25 funcionários que possuem filhos; - Dentre os solteiros, 20 funcionários não possuem filhos. Diante desses dados, qual a probabilidade de se selecionar um funcionário ao acaso que pertença ao grupo de casados? A) Inferior a 25% B) 25 % C) Superior a 25 e inferior a 50% D) 50% E) Superior a 50% Resolução Observe que estamos trabalhando com eventos mutuamente excludentes, pois: A interseção entre o conjunto dos funcionários solteiros e o conjunto dos funcionários casados é o conjunto vazio. A interseção entre o conjunto dos funcionários que possuem filhos e o conjunto dos funcionários que não possuem filhos é o conjunto vazio. Vamos representar estes conjuntos por meio de uma tabela. Funcionários Solteiros Funcionários Casados Possuem filhos Não possuem filhos Sabemos que dentre os solteiros, 20 funcionários não possuem filhos. Funcionários Solteiros Funcionários Casados Possuem filhos Não possuem filhos 20 10
Sabemos ainda que são 80 funcionários e que existem 25 funcionários que possuem filhos. Desta forma, o número total de funcionários que não possuem filhos é igual a. 80 25 55 Destes 55 funcionários que não possuem filhos, sabemos que 20 são solteiros, e, portanto, 35 são casados. Não Possuem possuem filhos filhos Funcionários 20 Solteiros Funcionários 35 Casados Diante desses dados, qual a probabilidade de se selecionar um funcionário ao acaso que pertença ao grupo de casados? Sabemos apenas que são 25 funcionários que possuem filhos. Não sabemos, porém, quantos são solteiros e quantos são casados. Não temos dados suficientes para responder a pergunta do enunciado. A questão foi anulada pela FUNRIO. (PRF 2003/CESPE-UnB) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003. A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. 03. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,2. Resolução 11
Há um total de 1.405 relatórios. Este é o número de casos possíveis. Queremos calcular a probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão. De acordo com a tabela, ocorreram 225 81 306 acidentes no estado do Maranhão. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é: ú á ú í 306 1.405 0,21 Portanto, a probabilidade pedida é superior a 0,2 e o item está certo. 04. A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%. Resolução Há um total de 1.405 relatórios. Este é o número de casos possíveis. Queremos calcular a probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino. De acordo com a tabela fornecida, há um total de 81 42 142 42 307 acidentes ocorridos com mulheres. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é: ú á ú í A probabilidade pedida é inferior a 23% e o item está errado. 307 0,218 22% 1.405 12
05. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5. Resolução Neste caso, o número de casos possíveis não é 1.405. O enunciado nos manda considerar que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino. Devemos, portanto, desconsiderar os acidentes com pessoas do sexo feminino. O nosso espaço amostral (casos possíveis) está representado na tabela abaixo. Desta forma, o número de casos possíveis será igual a 225 153 532 188 1.098. Queremos calcular a probabilidade de que o acidente mencionado no relatório tenha ocorrido no estado do Paraná. Lembre-se que devemos olhar apenas para os acidentes ocorridos com vítimas do sexo masculino!! O número de casos desejados (favoráveis) é, portanto, igual a 532. A probabilidade pedida é igual a: 13
532 1.098 0,48 Que é inferior a 0,5. Portanto, o item está errado. 06. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,27. Resolução O enunciado nos manda considerar que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná. Desta forma, o nosso espaço amostral será reduzido. Eis o nosso espaço amostral: O total de elementos do nosso espaço amostral (casos possíveis) é igual a.. Estamos interessados em calcular a probabilidade de o acidente ser com uma vítima do sexo masculino no estado do Maranhão. Eis o nosso evento (em verde). A probabilidade pedida é igual a: 14
225 731 0,3 A probabilidade calcular é superior a 0,27 e o item está certo. 07. A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. Resolução Voltamos a considerar o nosso espaço amostral com 1.405 relatórios. Queremos calcular a probabilidade de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela. Vamos selecionar as vítimas do sexo feminino. Vamos agora selecionar as vítimas da região Sul. Queremos calcular a probabilidade do evento união (ou). Há um total de 532 188 42 142 42 81 1.027 casos desejados. A probabilidade pedida é igual a: 1.027 1.405 15
Poderíamos ter utilizado a fórmula da probabilidade do evento união. Onde: 532 188 142 42 1.405 904 1.405 307 1.405 ã 4. 142 42 1.405 184 1.405 Desta forma: 904 307 184 1.027 1.405 1.405 1.405 1.405 A fórmula não foi útil na questão, por haver cálculos em demasia. Bom, a probabilidade é pedida é: Portanto, o item está errado. 1.027 0,73 73% 1.405 08. (SEFAZ-SP 2009/ESAF) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher? a) 44% b) 52% c) 50% d) 48% e) 56% Resolução 16
Para facilitar a resolução do exercício, vamos supor que a cidade tenha 100 adultos. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher Total 100 O enunciado nos diz que 40% dos adultos são fumantes. Logo, temos 40 fumantes. 40% 100 40 100 40 100 Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher Total 40 100 40% dos fumantes são mulheres. 40% 40 40 40 16 100 São 16 mulheres fumantes. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher 16 Total 40 100 Se, das 100 pessoas, 40 são fumantes, então há 60 não-fumantes. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher 16 Total 40 60 100 O enunciado informa que 60% dos não-fumantes são mulheres. 60% 60 60 100 60 36 ã 17
Ao todo, temos 52 mulheres. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher 16 36 Total 40 60 100 Fumantes Nãofumantes Total Homem Mulher 16 36 52 Total 40 60 100 Como estamos considerando que a cidade possui 100 adultos, então o número de casos possíveis é igual a 100. Queremos calcular a probabilidade de a pessoa escolhida ser uma mulher. Como há 52 mulheres, então o número de casos desejados é igual a 52. ú á ú í 52 52% 100 Letra B (SEBRAE-BA 2008/CESPE-UnB) Na eleição para prefeito de uma cidade de 10.000 eleitores legalmente aptos a votar, concorrem os candidatos A e B. Uma pesquisa de opinião revela que 1.500 eleitores não votariam em nenhum desses candidatos. A pesquisa mostrou ainda que o número de eleitores indecisos isto é, que, apesar de não terem ainda decidido, votarão em algum dos dois candidatos, que votariam apenas no candidato A ou que votariam apenas no candidato B são números diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Nessa situação, com base nessa pesquisa, escolhendo-se ao acaso um desses eleitores, é correto afirmar que a probabilidade dele 09. votar em algum dos candidatos é superior a 80% 10. ser um eleitor indeciso é inferior a 15%. 11. já estar decidido em qual dos candidatos vai votar é superior a 65% e inferior a 70%. Resolução Vamos analisar o enunciado e, em seguida, avaliar cada um dos itens. Há um total de 10.000 eleitores. Como 1.500 eleitores não votariam nos candidatos A e B, então os dois candidatos juntos computarão um total de 10.000 1.500 8.500 votos. 18
A quantidade de candidatos indecisos, dos que votarão em A e dos que votarão em B são diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Se a constante de proporcionalidade for igual a, então: 2 pessoas estão indecisas. 3 pessoas votarão em A. 5 pessoas votarão em B. Somando estas quantidades temos 8.500 pessoas. Desta forma: 2 3 5 8.500 10 8.500 850 2 2 850 1.700 pessoas estão indecisas. 3 3 850 2.550 pessoas votarão em A. 5 5 850 4.250 pessoas votarão em B. É correto afirmar que a probabilidade dele 09. votar em algum dos candidatos é superior a 80% Sabemos que 8.500 pessoas votarão nos candidatos A e B. Temos 8.500 casos favoráveis e 10.000 casos possíveis. A probabilidade pedida é igual a O item está certo. 8.500 0,85 85% 10.000 10. ser um eleitor indeciso é inferior a 15%. Sabemos que 1.700 pessoas estão indecisas. Como há um total de 10.000 eleitores, a probabilidade pedida é igual a: 1.700 0,17 17% 10.000 O item está errado. 11. já estar decidido em qual dos candidatos vai votar é superior a 65% e inferior a 70%. 19
Sabemos que 2.550 pessoas votarão em A e 4.250 pessoas votarão em B. O total de decididos é igual a 2.550 4.250 6.800. A probabilidade pedida é igual a 6.800 0,68 68% 10.000 O item está certo. 12. (MPOG 2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendose que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a: a) 30 % b) 80 % c) 62 % d) 25 % e) 75 % Resolução Vamos listar todas as comissões, excluindo Denílson: - Arnor, Bruce, Carlão - Arnor, Bruce, Eleonora - Arnor, Carlão, Eleonora - Bruce, Carlão, Eleonora São 4 comissões possíveis. Em três delas nós temos a participação de Carlão. São 3 casos favoráveis em 4 possíveis. Letra E 3 Logo: P = = 75% 4 20
8. Probabilidade Condicional Imagine a seguinte situação: você está sentado em um teatro assistindo a uma peça. Há 400 homens e 600 mulheres no teatro. De repente, é anunciado que será sorteado um carro entre os espectadores. Desta forma, como há 1.000 pessoas na platéia, então a probabilidade de um homem ser sorteado é igual a 400 e a probabilidade de uma mulher ser sorteada é igual a 0,4 40% 1.000 600 0,6 60% 1.000 Se eu, Guilherme, estivesse sentado neste teatro, a minha chance de ganhar este carro seria de 1 0,001 0,1% 1.000 Estas são as probabilidades a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos que o apresentador do sorteio realize o experimento e resolve fazer um tipo de suspense. Ele então informa que a pessoa sorteada é um homem. Ocorre uma frustração geral entre as mulheres. Por quê? Porque a chance de alguma mulher vencer agora é igual a 0. Esta é uma probabilidade a posteriori, isto é, depois de realizado o experimento. Por outro lado, os ânimos dos homens se exaltam. Suas chances aumentaram!! Ora, não temos mais 1.000 concorrentes, e sim 400. Os casos possíveis agora totalizam 400 pessoas. A minha chance que antes era de 0,1%, agora será de: A minha chance de ganhar o 1 carro aumentou! Observe que o espaço amostral foi reduzido. Isto já foi trabalhado 0,0025 um pouco 0,25% nas questões 05 e 06. 400 Vejamos outro exemplo. Consideremos o experimento que consiste em jogar um dado não-viciado. Sejam o espaço amostral 1,2,3,4,5,6 e os eventos 2,4,6 e. 1,2,5 Temos que a probabilidade de ocorrer o evento B é igual a: 3 6 1 2 21
Esta é a probabilidade de B a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos que, uma vez realizado o experimento, alguém nos informe que o resultado do mesmo é um número par, isto é, que o evento A ocorreu. A nossa opinião sobre a ocorrência do evento B se modifica com esta informação, já que, então, somente poderá ter ocorrido B se o resultado do experimento tiver sido o número 2. Esta opinião é quantificada com a introdução de uma probabilidade a posteriori ou, como vamos chamá-la doravante, probabilidade condicional de B dado A, definida por. 1 3 Vamos ilustrar esta situação com um diagrama. Sabemos que ocorreu um número par. O nosso espaço amostral (casos possíveis) deixa de ser U e passa a ser A. í Vamos representar o espaço amostral com a cor vermelha. O número de casos possíveis agora é igual a 3. í 22
Para calcular a probabilidade de ocorrer o evento B, devemos nos restringir aos elementos comuns de A e B. Portanto, os casos desejados são os elementos da interseção entre A e B. Finalmente, a expressão probabilidade de ocorrer B sabendo que A ocorreu é expressa assim: Chegamos à fórmula: A noção geral é a seguinte: Que pode ser expressa da seguinte forma: Esta fórmula é chamada de Teorema da Multiplicação e pode ser lida assim: A probabilidade de ocorrerem os eventos A e B é igual a probabilidade de A vezes a probabilidade de B depois que A ocorreu. Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da probabilidade do evento B, os eventos são ditos independentes e neste caso, tem-se Vamos resolver alguns exercícios para por a teoria em prática. 23
9. Exercícios CURSO ON-LINE RACIOCÍNIO LÓGICO P/ INSS 13. (IJSN 2010/CESPE-UNB) A probabilidade de se obter um número menor que 5 no lançamento de um dado, sabendo que o dado não é defeituoso e que o resultado é um número ímpar, é igual a 2/3. Resolução CUIDADO!!! O problema nos informou que o resultado é um número ímpar. Devemos descartar os números pares. Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Nosso novo espaço amostral (casos possíveis) é {1, 3, 5}. Queremos calcular a probabilidade de se obter um número menor que 5. Há 2 casos desejados. Portanto, a probabilidade pedida é igual a O item está certo. 2 3 (Paraná Previdência 2002/CESPE/UnB) Texto IV Uma empresa adotou uma política de contratação de deficientes físicos. Para avaliar se as deficiências afetam o desempenho desses empregados no trabalho, foi gerado o seguinte quadro, a partir de uma avaliação dos 400 empregados dessa empresa. Desempenho Tipo de deficiência Total Surdez Cegueira Outras Sem deficiência Bom 35 40 2 123 200 Regular 5 20 18 157 200 Total 40 60 20 280 400 Com relação aos dados do texto IV, julgue os seguintes itens. 14. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser considerado como tendo bom desempenho será igual a 0,50. 15. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os empregados considerados como tendo bom desempenho, a probabilidade de ele ser cego será de 0,20. 16. Considere A o evento o empregado é surdo e B o evento o empregado tem desempenho regular. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os 400 avaliados, a probabilidade de ele ser surdo e ter sido avaliado como tendo desempenho regular, P(A B), será igual a P(A) P(B) = 0,05. 24
17. Considere C o evento o empregado é cego e B o evento o empregado tem desempenho regular. Se um empregado for escolhido ao acaso, a P( B C ) probabilidade condicional será P ( B C) = = 0, 1. P( B ) 18. Considere B o evento o empregado tem desempenho regular e D o evento o empregado tem desempenho bom. Os eventos B e D são independentes, pois P ( B D ) = 0. Resolução 14. Queremos a probabilidade de um empregado, escolhido ao acaso, ter bom desempenho. São 400 funcionários. Logo, são 400 casos possíveis. Todos eles são equiprováveis (todos os funcionários têm a mesma chance de serem escolhidos). Estamos interessados em um dos 200 empregados que têm bom desempenho. Portanto, são 200 casos favoráveis. A probabilidade fica: á í 200 400 0,5 O item está certo. 15. A escolha vai se dar apenas entre os empregados com bom desempenho. São 200 casos possíveis (há 200 empregados com bom desempenho). Estamos interessados apenas nos empregados que têm bom desempenho e são cegos. Nesta condição temos 40 funcionários. São 40 casos favoráveis. A probabilidade fica: á í 40 200 0,2 O item está certo. 16. Queremos a probabilidade da intersecção de dois eventos. Queremos que o empregado seja, ao mesmo tempo, surdo e tenha desempenho regular. Estão nesta condição 5 empregados. São 5 casos favoráveis. Os casos possíveis são 400. A probabilidade fica: á í 5 0,0125 400 25
O item está errado. CURSO ON-LINE RACIOCÍNIO LÓGICO P/ INSS. 17. Queremos a probabilidade de o evento B acontecer dado que ocorreu o evento C ocorreu. Trata-se de cálculo de probabilidade condicional. Note que a fórmula dada pelo exercício está errada. Já dava pra marcar errado de cara, sem fazer conta. Vejamos: é lido como probabilidade de ocorrer B sabendo que C ocorreu. Se C ocorreu, então o nosso espaço amostral é C e não B. O denominador deveria ser. Podemos fazer o problema aplicando a fórmula ou não. Primeiro, sem utilizar a fórmula. Queremos calcular a probabilidade de o funcionário ter desempenho regular. Se não tivéssemos nenhuma informação, os casos possíveis seriam 400, assim discriminados: 35 funcionários têm desempenho bom e são surdos 40 funcionários têm desempenho bom e são cegos 2 funcionários têm desempenho bom e têm outras deficiências 123 funcionários têm desempenho bom e não têm deficiência 5 funcionários têm desempenho regular e são surdos 20 funcionários têm desempenho regular e são cegos 18 funcionários têm desempenho regular e têm outras deficiências 157 funcionários têm desempenho regular e não têm deficiência Estamos interessados nos empregados que têm desempenho regular. São 200 casos favoráveis, assim discriminados: 5 funcionários têm desempenho regular e são surdos 20 funcionários têm desempenho regular e são cegos 18 funcionários têm desempenho regular e têm outras deficiências 157 funcionários têm desempenho regular e não têm deficiência Só que temos uma condição. É dado que o empregado escolhido é cego. Nossos casos possíveis passam a ser apenas 60, assim discriminados: 35 funcionários têm desempenho bom e são surdos 40 funcionários têm desempenho bom e são cegos 26
2 funcionários têm desempenho bom e têm outras deficiências 123 funcionários têm desempenho bom e não têm deficiência 5 funcionários têm desempenho regular e são surdos 20 funcionários têm desempenho regular e são cegos 18 funcionários têm desempenho regular e têm outras deficiências 157 funcionários têm desempenho regular e não têm deficiência E os casos favoráveis ficam assim: 5 funcionários têm desempenho regular e são surdos 20 funcionários têm desempenho regular e são cegos 18 funcionários têm desempenho regular e têm outras deficiências 157 funcionários têm desempenho regular e não têm deficiência A probabilidade fica: O item está errado. 20 P = = 0, 333.. 60 Para resolver esse item, também poderíamos utilizar a fórmula. Primeiro calculamos a probabilidade de os eventos B e C ocorrerem simultaneamente. Cegos com desempenho regular são apenas 20. Portanto: 20 B ( C) = = 0,05 P 400 A probabilidade de um cego ser escolhido 60 é: P ( C) = = 0,15 Portanto, a probabilidade de ser escolhido 400 um empregado com desempenho regular, dado que foi escolhido um cego, é de: P( B C ) 0,05 P ( B C) = = = 0, 333... P( C ) 0,15 Item errado. 18. Não há nenhum funcionário que tenha, ao mesmo tempo, um desempenho bom e um desempenho regular. Portanto: 27
P ( B D ) A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ter um desempenho regular é: 200 P ( B) = = 400 A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ter um desempenho bom é: Concluímos que: 200 P ( D) = = 400 0 0,5 0,5 P ( B D ) P( B ) P( D ) Portanto, os dois eventos não são independentes. Item errado. Note que o CESPE tentou confundir EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES com EVENTOS INDEPENDENTES. Eventos mutuamente excludentes são aqueles cuja interseção é o conjunto vazio. Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da probabilidade do evento B, os eventos são ditos independentes e neste caso, tem-se 19. (CGU 2008/ESAF) A e B são eventos independentes se: a) P ( A B ) = P( A ) + P( B ) b) P ( A B ) = P( A ) P( B ) c) P( A B ) = P( A ) P( B ) d) P ( A B) = P ( A) + P ( B A ) e) P ( A B ) = P( A ) P( B ) Resolução Aplicação direta da fórmula vista. Letra E 20. (STN 2008/ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se: a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. 28
e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. Resolução: Aplicação direta do conceito visto acima. Letra D 21. (Administrador FUNAI 2009/FUNRIO) O vírus X aparece nas formas X 1 e X 2. Se um indivíduo tem esse vírus, a probabilidade de ser na forma X 1 é 3/5. Se o indivíduo tem o vírus na forma X 1, a probabilidade desse indivíduo sobreviver é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X 2, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Nessas condições, a probabilidade do indivíduo portador do vírus X sobreviver é a) 11/15 b) 2/3 c) 3/5 d) 7/15 e) 1/3 Resolução Se o indivíduo tem o vírus X, a probabilidade de ser na forma X 1 é 3/5. 3 5 Como o vírus só aparece nas formas X 1 e X 2, então a probabilidade de aparecer na forma X 2 é: Isto porque a soma das probabilidades deve ser igual a 1. 2 5 Se o indivíduo tem o vírus na forma X 1, a probabilidade desse indivíduo sobreviver é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X 2, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Queremos calcular a probabilidade de um portador do vírus X sobreviver. 29
Há dois casos a considerar. Os portadores na forma X 1 e os portadores na forma X 2., 3 5 2 3 2 5 5 6 Probabilidade de ser portador do vírus na forma X 1 Probabilidade de sobreviver com o vírus na forma X 1 Probabilidade de ser portador do vírus na forma X 2 Probabilidade de sobreviver com o vírus na forma X 2 Letra A 3 5 2 3 2 5 5 6 6 10 12 10 22 11 15 30 30 30 15 22. (TCE-ES 2004/CESPE-UnB) Considere que dois controladores de recursos públicos de um tribunal de contas estadual serão escolhidos para auditar as contas de determinada empresa estatal e que, devido às suas qualificações técnicas, a probabilidade de José ser escolhido para essa tarefa seja de 3/8, enquanto a probabilidade de Carlos ser escolhido seja de 5/8. Em face dessas considerações, julgue os itens subseqüentes. 1. Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a probabilidade de José ser escolhido é 1/5. Nessas condições, a probabilidade de José e Carlos serem ambos escolhidos é menor que 1/4. Resolução. O exercício forneceu as seguintes probabilidades: P ( Jose) = 3 / 8 P ( Carlos ) = 5 / 8 P ( Jose Carlos) = 1 / 5 A pergunta é: P ( Jose Carlos ) =? Aplicando a fórmula da probabilidade da intersecção, temos: 30
P ( Jose Carlos) = P ( Carlos) P ( JoseCarlos ) O item está certo. 5 1 P ( Jose Carlos ) = = 8 5 1 8 23. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Os eventos A e B são independentes e suas probabilidades são P(A) = 0,5 e P (B) = 0,4. Quanto vale P(A B)? (A) 0,5 (B) 0,6 (C) 0,7 (D) 0,8 (E) 0,9 Resolução. Como os eventos são independentes, então: P ( A B ) = P( A ) P( B ) = 0,5 Agora podemos achar a probabilidade da união: Letra C 0, 4 0,2 P( A B) = P ( A) + P ( B) P ( A B ) P ( A B ) = 0,5 0, 4 0,2 24. (TRT 1ª Região 2008/CESPE-UnB) Considere que, em 2005, foram julgados 640 processos dos quais 160 referiam-se a acidentes de trabalho; 120, a não-recolhimento de contribuição do INSS; e 80, a acidentes de trabalho e não-recolhimento de contribuição de INSS. Nesse caso, ao se escolher aleatoriamente um desses processos julgados, a probabilidade dele se referir a acidentes de trabalho ou ao não-recolhimento de contribuição do INSS é igual a a) 3/64 b) 5/64 c) 5/16 d) 7/16 e) 9/16 0, 7 Resolução. Sejam os seguintes eventos: - A: ocorre quando o processo escolhido aleatoriamente se refere a acidentes de trabalho 31
- B: ocorre quando o processo escolhido aleatoriamente se refere a nãorecolhimento. Temos: 160 120 80 P ( A) = ; P ( B) = ; P ( A B) = 640 640 640 Aplicando a fórmula probabilidade da união: P( A B) = P ( A) + P ( B) P ( A B ) Letra C 160 120 80 200 P ( A B ) = + = = 640 640 640 640 5 16 25. (CGU 2008/ESAF) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,4; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a: a) 0,04 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,45 e) 0,95 Resolução: Seja A o evento que ocorre quando, escolhendo-se ao acaso um dia em que Paulo vai ao futebol, ele encontra Ricardo. Seja B o evento equivalente, quando Paulo encontra Fernando. Temos: P ( A ) = 0,4 A pergunta é: Aplicando a fórmula: Letra D P ( B ) = 0,1 P ( A B ) 0,05 P ( A B) =? P( A B) = P ( A) + P ( B) P ( A B ) P ( A B ) = 0,4 + 0, 1 0,05 = 0, 45 32
26. (Ministério da Fazenda 2009/ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50% Resolução. A probabilidade de sair 6 é 20% P ( 6 ) = 0,2 A probabilidade para os demais números, portanto, é de 80%. Esta probabilidade é dividida entre os cinco números restantes. 80 % = 16% 5 Queremos calcular a probabilidade de, em um dado lançamento, sair par. P ( par) = P (2 4 6 ) Os eventos sair 2, sair 4 e sair 6 são mutuamente excludentes. A probabilidade da união é a soma das probabilidades. P ( par) = P (2) + P(4) + P (6) P ( par ) = 0, 16 0,16 + 0, 2 0,52 Queremos que dois números pares ocorram em dois lançamentos. Seja A o evento que ocorre quando, no primeiro lançamento, o resultado é par. Seja B o evento que ocorre quando, no segundo lançamento, o resultado é par. Para que tenhamos dois números pares, A e B devem ocorrer. P ( A B )? Como os dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades. P( A B ) = P( A ) P( B ) = 0, 52 0, 52 0,2704 Letra B 33
27. (IJSN 2010/CESPE-UNB) Considere que de uma urna contendo 2 bolas azuis e 6 bolas brancas retira-se ao acaso uma bola, anota-se sua cor e repõese a bola na urna. Em seguida retira-se novamente uma bola da urna e anotase sua cor. Nessas condições, a probabilidade das duas bolas retiradas serem azuis é 1/4. Resolução Como a primeira bola retirada é colocada de volta na urna, então os eventos são independentes (a cor da bola retirada na primeira vez não vai influenciar na cor da bola retirada na segunda vez). Neste caso, O item está errado. 1ª 2ª 2 8 2 8 4 32 1 8 28. (CGU 2008/ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24 Resolução: De quantas formas podemos escolher os profissionais? Vamos dividir em etapas. Na primeira etapa, temos 10 opções (são 10 profissionais). Escolhido o primeiro para entrar no grupo de trabalho, sorteamos o segundo. Nessa segunda etapa temos, portanto, 9 opções. Escolhidos os dois primeiros, vamos ao terceiro. Para a terceira vaga do grupo de trabalho nos restam 8 opções. Logo, o número total de formas pelas quais podemos formar o tal grupo é: 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 10 9 8 10 9 8 720 34
São 720 casos possíveis. Vamos ver agora quantos são os casos favoráveis. Estamos interessados nos casos em que os três escolhidos são do mesmo sexo. Vamos dividir em dois casos. Primeiro caso: são sorteadas três mulheres. Segundo caso: são sorteados três homens. Vejamos de quantas formas podemos escolher três mulheres. No primeiro sorteio, temos 4 mulheres para escolher. São 4 maneiras de completar a primeira etapa. Escolhida a primeira mulher, vamos para a segunda etapa. No segundo sorteio, temos 3 opções de mulher. Escolhidas a primeira e a segunda mulheres, vamos para a terceira etapa. Na terceira etapa, restaram opções de mulher. Assim, o número de maneiras pelas quais podemos escolher três mulheres é: 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 4 3 2 4 3 2 24 São 24 formas de se sortearem as três mulheres. Para os homens as contas são análogas. Temos 6 formas de realizar a primeira etapa (são 6 opções de homem para o segundo sorteio). Escolhido o primeiro homem, ficamos com 5 opções para o segundo sorteio. Escolhidos o primeiro e o segundo homens, ficamos com 4 opções para o terceiro sorteio. O número de maneiras pelas quais podemos escolher três homens é: 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa 6 5 4 6 5 4 120 São 120 formas de se escolherem os três homens. Ao todo, são 144 casos favoráveis. São 120 casos em que temos três homens no grupo de trabalho. E 24 casos nos quais temos três mulheres no grupo de trabalho. Além disso, são 720 casos possíveis. A probabilidade de termos três profissionais do mesmo sexo é: Letra D 144 P = = 720 12 60 1 = = 20% 5 35
29. (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? a) 100/729. b) 100/243. c) 10/27. d) 115/243. e) 25/81. Resolução Suponha que temos apenas uma bola vermelha. O número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, logo temos 5 bolas amarelas. O número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas, logo temos 10 bolas azuis. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, logo temos 20 bolas pretas. Total de bolas: 1 + 5 + 10 + 20 = 36 bolas. 20 bolas pretas e 16 não-pretas. Ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? Temos as seguintes possibilidades: - não preta, preta, preta. - preta, não preta, preta - preta, preta, não preta Seja X uma bola de cor não-preta. Letra B XPP, PXP, PPX 3 16 36 20 36 20 100 36 243 36
30. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de venda: A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a (A) 87,5%. (B) 80,0%. (C) 75,0%. (D) 60,0%. (E) 50,0%. Resolução O somatório de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Desta forma: 3 2 1 8 1 1 8 A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a Letra C 3 2 6 6 1 8 6 8 3 0,75 75% 4 31. (Analista ANEEL 2006/ESAF) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião, o pai de Ana a presenteou com quatro blusas pretas e duas brancas. Vítor, namorado de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e três pretas. Ana guardou todas essas blusas - e apenas essas - em uma mesma gaveta. Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vítor, Ana retira, ao acaso, uma blusa dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai é igual a: a) 4/5 b) 7/10 c) 3/5 d) 3/10 e) 2/3 Resolução Vamos resumir os dados do problema. 37
Mãe 4 blusas pretas e 5 brancas. Pai 4 blusas pretas e 2 blusas brancas. Namorado 2 blusas brancas e 3 blusas pretas. Na gaveta de Ana há, portanto, 20 blusas. Como queremos calcular a probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai, então o número de casos desejados é igual a 6. Letra D 6 20 3 10 32. (Técnico MPU 2004/ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a a) 1/3 b) 1/5. c) 9/20. d) 4/5. e) 3/5. Resolução Pulseiras de João 4 de prata e 5 de ouro. Pulseiras de Pedro 8 de prata e 3 de ouro. Maria retirou uma pulseira de prata. Ela tem 12 pulseiras de prata (casos possíveis). Queremos saber a probabilidade de essa pulseira ser uma das que ganhou de João. Ela ganhou 4 pulseiras de prata de João (casos desejados) Assim, a probabilidade pedida é Letra A 4 12 1 3 33. (TCE-RN 2000/ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5 38
Resolução CURSO ON-LINE RACIOCÍNIO LÓGICO P/ INSS Se os eventos são independentes, a probabilidade de os dois eventos acontecerem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades. Lembre-se que 1, onde é o evento complementar do evento. Por exemplo, se a probabilidade de chover é 40% = 0,4, então a probabilidade de não chover é 60% = 0,6, pois 0,4+0,6 =1. Calcular a probabilidade de somente o cão estar vivo é o mesmo que calcular a probabilidade de o cão estar vivo e o gato estar morto (coitado!). Se a probabilidade de o gato estar vivo daqui a 5 anos é igual a 3/5, então a probabilidade de ele não estar vivo é igual a 2/5. Assim, ã 4 5 2 5 8 25. Letra B 34. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a probabilidade de que sejam da mesma cor é de: a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60% Resolução São 5 bolas das quais 2 são brancas e 3 são pretas. Queremos calcular a probabilidade de sacar ao acaso duas bolas e as duas serem brancas ou as duas serem pretas. A probabilidade de a primeira bola ser branca é igual a 2/5 (pois são 2 bolas brancas num total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser branca é igual a 1/4 (pois agora há apenas uma branca e 4 bolas no total). A probabilidade de a primeira bola ser preta é igual a 3/5 (pois são 3 bolas pretas num total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser preta é igual a 2/4 (pois agora há 2 bolas pretas e 4 bolas no total). Letra C 2 5 1 4 3 5 2 4 2 20 6 20 8 0,4 40% 20 39
35. (UNIPAMPA 2009/CESPE-UnB) Considerando duas moedas viciadas A e B, de modo que, jogando a moeda A, a probabilidade de dar cara é 0,7, e a moeda B tem probabilidade 0,5 de dar coroa, então a probabilidade de se obterem duas coroas ao se jogarem as moedas A e B simultaneamente é igual a 0,2. Resolução Vejamos a moeda A. Se a probabilidade de dar cara é 0,7, então a probabilidade de dar coroa deve ser 0,3, pois a soma das probabilidades deve ser igual a 1. O resultado de uma moeda não interfere no resultado da outra moeda, portanto os eventos são independentes. A probabilidade de se obterem duas coroas ao se jogarem as moedas A e B simultaneamente é igual a: O item está errado. 0,3 0,5 0,15 40
10. Relaçãodas questões comentadas 01. (INSS 2009/FUNRIO) João encontrou uma urna com bolas brancas, pretas e vermelhas. Ele verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. João, então, colocou outras bolas pretas na urna, e a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. Diante disso, a quantidade de bolas colocadas por João na urna é igual a(o) A) quantidade de bolas brancas. B) dobro da quantidade de bolas brancas. C) quantidade de bolas vermelhas. D) triplo da quantidade de bolas brancas. E) dobro da quantidade de bolas vermelhas. 02. (INVEST RIO 2010/FUNRIO) Em uma empresa foram levantados os seguintes dados sobre os 80 funcionários: - Existem funcionários solteiros e funcionários casados; - Existem 25 funcionários que possuem filhos; - Dentre os solteiros, 20 funcionários não possuem filhos. Diante desses dados, qual a probabilidade de se selecionar um funcionário ao acaso que pertença ao grupo de casados? A) Inferior a 25% B) 25 % C) Superior a 25 e inferior a 50% D) 50% E) Superior a 50% (PRF 2003/CESPE-UnB) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003. A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. 41
03. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,2. 04. A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%. 05. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5. 06. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,27. 07. A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. 08. (SEFAZ-SP 2009/ESAF) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher? a) 44% b) 52% c) 50% d) 48% e) 56% (SEBRAE-BA 2008/CESPE-UnB) Na eleição para prefeito de uma cidade de 10.000 eleitores legalmente aptos a votar, concorrem os candidatos A e B. Uma pesquisa de opinião revela que 1.500 eleitores não votariam em nenhum desses candidatos. A pesquisa mostrou ainda que o número de eleitores indecisos isto é, que, apesar de não terem ainda decidido, votarão em algum dos dois candidatos, que votariam apenas no candidato A ou que votariam apenas no candidato B são números diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Nessa situação, com base nessa pesquisa, escolhendo-se ao acaso um desses eleitores, é correto afirmar que a probabilidade dele 09. votar em algum dos candidatos é superior a 80% 10. ser um eleitor indeciso é inferior a 15%. 11. já estar decidido em qual dos candidatos vai votar é superior a 65% e inferior a 70%. 42